Prof. Dr. A. Große PT/LOT/PVHT WS 13/14 Analysis I

Prof. Dr. A. Große
PT/LOT/PVHT WS 13/14
Analysis I
Serie 2
Mengen, Logik, komplexe Zahlen
Bei der einen oder anderen Aufgabe, könnte diesmal ausnahmsweise ein Taschnerechner
von Nutzen sein . . .
Aufgabe 1
Folgende Mengen sind gegeben
A ={0, 1, 2, 3}
B ={3, 4}
C ={2, 4}
Geben Sie folgende Mengen in aufzählender Schreibweise an:
a) A ∩ B
b) (A ∪ B) ∩ C
d) (A ∩ B) \ C
e) (A ∩ B) ∩ C
c) (A \ C) ∩ B
sowie
f) die Menge aller Teilmengen von B
Aufgabe 2
Die Menge A, B, C seien die Punkte der Ebene,
die jeweils innerhalb des entsprechenden Kreises
liegen. Skizzieren Sie die Mengen
a) A ∩ B ∩ C
b) A ∪ B ∪ C
c) A ∩ (B ∪ C)
d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
e) A ∪ (B ∩ C)
f) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
C
A
B
Aufgabe 3
Seien A und B Aussagen. Stellen Sie die Wahrheitstafeln für folgende Aussagen auf:
a) ¬(A ∧ B)
b) (¬A) ∧ (¬B)
c) (¬B) ⇒ (¬A)
d) A ⇒ B
Aufgabe 4
Negieren Sie die folgenden Aussagen:
a) Es regnet.
b) Es ist Sommer und es schneit.
c) Wenn es regnet wird die Straße nass.
d) Alle Professoren freuen sich, wenn alle Studenten die Klausur bestehen.
Aufgabe 5
Berechnen Sie:
z1 + z2
z1 − z 2
z1 · z2
z1
z2
Re(z1 · z2 )
wobei
a) z1 = 1 + 2j
z2 = 2 + j
b) z1 = 3 − 2j
z2 = 5 + 4j
1
Im(
z1
)
z2
Aufgabe 6
Berechnen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahl z:
a) z = j + 1
b) z =
√
1 1√
c) z = − +
3j
2 2
3+j
Aufgabe 7
Formen Sie die komplexen Zahlen in die trigonometrische und die Exponentialform um:
√
a) z = 2j
b) z = 2 − 2j
c) z = − 5 + 2j
d) z = 1 + 2j
Aufgabe 8
Formen Sie die komplexen Zahlen in die arithmetische Form um:
a) 42 · (cos 120◦ + j sin 120◦ )
π
b) 23 · e−j 6
c) 2 · (cos 30◦ − j sin 30◦ )
Aufgabe 9
Geben Sie die Lage folgender komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene an:
√
π
b) | arg(z)| ≤
a) |z| = 2
c) |z − 2j − 1| = 2
4
Aufgabe 10
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 = w, wobei:
√
a) w = 1
b) w = 4 2(−1 + j)
Aufgabe 11
Berechnen Sie:
a)
1
(1 + 2j)110
555
Aufgabe 12
Lösen Sie die Gleichung:
a) z 2 + 5 = 12j
b) z 2 + z + 1 + j = 0
Aufgabe 13
Rechnen Sie die folgenden Regeln nach:
a) z = z
b) z1 + z2 = z1 + z2
c) z1 · z2 = z1 · z2
Aufgabe 14
Man überlagere, unter Verwendung komplexer Zeiger, die harmonischen Schwingungen:
a) y1 (t) = A sin(ωt)
und
y2 (t) = B cos(ωt)
Aufgabe 15
Die Berechnungen im Wechselstromkreis führt man zweckmäßigerweise symbolisch unter
Verwendung komplexer Zahlen durch. Der ohmsche Widerstand hat nur einen Realanteil
R, während der induktive und der kapazitive Widerstand nur einen Imaginärteil jωL
1
bzw.
haben. Ein komplexer Widerstand hat die Form Z = R + jX, wobei R den
jωC
2
Wirkwiderstand und X den Blindwiderstand darstellen. Der resultierende komplexe
Widerstand ergibt sich in einer
Reihenschaltung als Z = Z 1 + Z 2 ,
1
1
1
und in einer Parallelschaltung als
=
+
.
Z
Z1 Z2
Eine angelegte Wechselspannung U (t) = U0 · sin (ωt + ϕ) mit einem Scheitelwert U0 ,
ω
einer Frequenz f =
und einer Phasenverschiebung ϕ kann als komplexe Zeiger in der
2π
Form U = U0 · ejϕ beschrieben werden.
Es sei erinnert an:
Im U · ejωt = U (t)
Im I · ejωt = I (t)
Das Ohmsche Gesetz läßt sich dann für den Wechselstrom durch die Gleichung I =
U
Z
ausdrücken.
Wir betrachten eine Reihenstromkreis mit einem Widerstand R = 20 Ω, einer Spule mit
der Induktivität L = 2 H und einen Kondensator mit einer Kapazität C = 2 µF. Die
angelegte Spannung habe Scheitelwert von 100V und eine Frequenz von 60Hz (keine
Phasenverschiebung).
a) Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z des Schaltkreises.
b) Berechnen Sie die Stromstärke I und geben Sie deren Scheitelwert und Phasenverschiebung an.
3
Lösungen
1 a) {3} b) {2, 4}
c) {3}
d) {3}
e) ∅
f) {{3}, {4}, {3, 4}, ∅}
3
A B
w w
w f
f w
f f
a)
f
w
w
w
b)
f
f
f
w
c)
w
f
w
w
d)
w
f
w
w
4
a) Es regnet nicht.
b) Es ist nicht Sommer oder es schneit nicht.
c) Es regnet und die Straße ist nicht nass.
5 a)
z1 − z2 = −1 + j
z1 + z2 = 3 + 3j
4 3
z1
= + j
z2
5 5
Re(z1 · z2 ) = 4
z1 · z2 = 5j
z1
Im( ) = −1
z2
b)
z1 − z2 = −2 − 6j
z1 + z2 = 8 + 2j
z1
7
22
=
− j
z2
41 41
6 a)
√
2
45◦ =
π
4
Re(z1 · z2 ) = 7
b) 2
30◦ =
π
6
c) 1
z1 · z2 = 23 + 2j
z1
2
Im( ) = −
z2
41
2
120◦ = π
3
π
7 a) 2 · (cos( π2 ) + j sin( π2 )) = 2 · ej· 2
√
√
7
b) 8 · (cos( 74 π) + j sin( 47 π)) = 8 · ej· 4 π
◦
c) ≈ 3√· (cos(138, 2◦ ) + j sin(138, 2◦ )) = √
3 · ej·138,2
◦
d) ≈ 5 · (cos(63, 4◦ ) + j sin(63, 4◦ )) = 5 · ej·63,4
√
√
√
8 a) −21 + 21 3j b) 23
3 − 23
3−j
2
2 j c)
√
3j
10 a) z0 = 1, z1 = −1+2
√
b) z0 = 2(1 + j), z1 =
, hz2 =
√1
2
√
−1− 3j
2
√
−(1 +
i
√
3) + ( 3 − 1)j z1 =
√1
2
h √
i
√
( 3 − 1) − ( 3 + 1)j
11 a) ≈ −0, 741 + 0, 671j
12 a) z1 = 2 + 3j, z2 = −2 − 3j
b) z1 = 1 + j, z2 = −j
√
B
14 a) y(t) = y1 (t) + y2 (t) = C sin(ωt + ϕ) mit C = A2 + B 2 , ϕ = arctan( )
A
◦
15 a) Z = (20 − 572j) Ω b) I0 = 0, 175A ϕI = 88
1. Oktober 2013, 12:05 Uhr
4