WI SS 15 Mathematik I Serie 3 www.fh

WI
SS 15
Mathematik I Serie 3
www.fh-jena.de/~puhl
Thema: komplexe Zahlen
Aufgabe 1
Man berechne z1 + z2 ,
wobei z1 = 2 + 3j,
z1 − z2 ,
z1 · z2 ,
z2 = 3 − 5j.
z1
,
z2
z2 · z 1 ,
Aufgabe 2
Berechnen Sie den Betrag und
√ das Argument der komplexen
√ Zahl z
a) z = j + 1
b) z = 3 + j
c) z = − 21 + 12 3j
Aufgabe 3
Von der komplexen Zahl z bestimme man den Real- und Imaginärteil!
1
a) z = 1+j
b) z = 3+2j
1+j
Aufgabe 4
Formen Sie die komplexen Zahlen in die trigonometrische und in die Exponentialform
um!
√
u = 2j, v = 2 − 2j, z = − 5 + 2j
Aufgabe 5
Wandeln Sie in die arithmetische Form um.
√
7π
z1 = 4(cos 120◦ + j sin 120◦ )
z2 = 2 · ej 4
Aufgabe 6
Berechnen Sie:
j)6
a) (1 −
b) (j −
√
√
d) 5 + 12j e) 3 j
√
3)8
f)
√
4
c)
3 1√
3j
+
2 2
6
16
Aufgabe 7
Um welchen Winkel wird der Zeiger einer komplexen Zahl z gedreht, wenn z mit
a) w = 8 − 15j
b) v = −2 + 2j
multipliziert wird?
Aufgabe 8
Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Punkte z für die gilt:
π
a) |arg (z)| ≤
b) |z + 2j − 1| = 2
4
Aufgabe 9
Man überlagere die harmonischen Schwingungen y1 (t) = A sin (ωt) und y2 (t) = B cos (ωt)
unter Verwendung komplexer Zeiger.
1
Aufgabe 10
Die Berechnungen im Wechselstromkreis führt man zweckmäßigerweise symbolisch unter
Verwendung komplexer Zahlen durch. Der Ohmsche Widerstand hat nur einen Realanteil R, während der induktive und der kapazitive Widerstand nur einen Imaginärteil
1
jωL bzw.
haben. Ein komplexer Widerstand hat die Form Z = R + jX, wobei R
jωC
den Wirkwiderstand und X den Blindwiderstand darstellen. Der resultierende komplexe
Widerstand in einer Reihenschaltung ist Z = Z 1 + Z 2 , bei Parallelschaltung entspre1
1
1
chend
=
+
. Eine angelegte Wechselspannung U (t) = U0 · sin (ωt + ϕ) mit
Z
Z1
Z2
ω
einem Scheitelwert U0 , einer Frequenz f =
und einer Phasenverschiebung ϕ kann als
2π
jϕ
komplexe Zeiger in der Form U = U0 · e beschrieben werden.
Es gilt nämlich:
Im U · ejωt = U (t) (analog: Stromstärke).
Das Ohmsche Gesetz läßt sich dann für den Wechselstrom durch die Gleichung I =
U
Z
ausdrücken.
Wir betrachten eine Reihenstromkreis mit einem Widerstand R = 20 Ω, einer Spule mit
der Induktivität L = 2 H und einen Kondensator mit einer Kapazität C = 2µF. Die
angelegte Spannung habe Scheitelwert von 100V und eine Frequenz von 60Hz. (keine
Phasenverschiebung)
a)
b)
Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z des Schaltkreises
Berechnen Sie die Stromstärke I und geben Sie deren Scheitelwert und
Phasenverschiebung an.
Lösungen
1 z1 + z2 = 5 − 2j; z1 − z2 = −1 + 8j; z1 · z2 = 21 − j;
z1
1
= 34
(19j − 9) ; z2 · z1 = −9 + 19j
z2
2 a) 45◦
b) 30◦
c) 120◦
3 a) Re(z) = 21 , Im(z) = − 21
b)Re(z) = 25 , Im(z) = − 12
π
4 u = 2(cos π2 + j sin π2 ) = 2e 2 j , v =
z =3·
◦
0
00
ej·138 11 24
√
=3·
√
7π
8(cos 7π
4 + j sin 4 ) =
√
8e
7π
j
4
,
e2,41187j
z2 = 1 − j
√
6 a) 8j b)√−128 + 128 3j √c) −27 d) w0 = 3 + 2j, w1 = −w0
e) w0 = 21 ( 3 + j), w1 = 12 (− 3 + j), w2 = −j f) ±2, ±2j
5 z1 = −2 + 2 3j,
7 a) = - 62◦ (bzw. = 298◦ )b) = 135◦
9 y (t) = y1 (t) + y2 (t) = C sin (ωt + ϕ), mit C =
10 a) Z= (20 − 572j) Ω
b) I0 = 0, 175A
√
A2 + B 2 ,
ϕI = 88◦
2
ϕ = arctan
B
A