Physik I und Physik II

Musso: Physik II
Teil 29 Wechselstromkreise
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ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Tipler-Mosca
29. Wechselstromkreise (Alternating-current circuits)
29.1 Wechselstromgeneratoren (Alternating current generators)
29.2 Wechselspannung an einem Ohm'schen Widerstand (Alternating current in a resistor)
29.3 Wechselstromkreise (Alternating current circuits)
29.4 Zeigerdiagramme (Phasors)
29.5 LC- und RLC-Stromkreise ohne Wechselspannungsquelle (LC and RLC circuits without a
generator)
29.6 Erzwungene Schwingungen in RLC-Stromkreisen (Driven RLC circuits)
29.7 Der Transformator (The transformer)
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Teil 29 Wechselstromkreise
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29.1 Wechselstromgeneratoren (Alternating current generators)
Teil 29 Wechselstromkreise
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Wechselstromgenerator, bestehend aus einer Spule mit Fläche A und N Windungen
Ende des Spulendrahtes mit Schleifringen verbunden ⇒
elektrischer Kontakt über fest montierte Bürsten hergestellt;
Φmag = N B A cos θ
θ = ωt + δ
⇒ Spule im Magnetfeld gedreht mit
⇒ Φ mag = N B A cos (ωt + δ )
induzierte Spannung Uind = −
= N B A ω sin (ω t + δ )
dΦ mag
dt
⇒
= −N B A
d
cos (ω t + δ )
dt
⇒ Uind,max = N B A ω
Mechanische Energie des herabfließenden Wassers wird
über Turbinen und Generatoren in elektrische Energie
umgewandelt
Wechselstrommotor: einer Spule in einem Magnetfeld wird eine
Wechselspannung zugeführt ⇒ durch die Spule fließt ein
Wechselstrom ⇒ ein Drehmoment wird ausgeübt (siehe Teil
26.3) ⇒ Im Moment des Einschalten des Motors ist die
Stromstärke hoch, begrenzt durch den Widerstand des
Stromkreises ⇒ die Spule beginnt sich zu drehen ⇒ Spannung
wird induziert, die der Ursache (angelegte Wechselspannung)
entgegenzuwirken sucht ⇒ die Stromstärke nimmt ab
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29.2 Wechselspannung an einem Ohm'schen Widerstand (Alternating current in a resistor)
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Wechselstromkreis bestehend aus Ohm'schen Widerstand R und idealer Wechselpannungsquelle
Umax sin(ω t + δ ) (Selbstinduktivität und Kapazität der Spannungsquelle werden vernachlässigt)
Spannungsabfall am Widerstand U R = Umax sin(ω t + δ ) = U R ,max sin(ω t + δ )
Phasenkonstante δ beliebig ⇒ gewählt δ =
π⎞
⎛
U R = UR ,max sin ⎜ ω t + ⎟ = UR ,max cos ω t
2⎠
⎝
U
⇒ I = R ,max cos ω t = Imax cos ω t ⇒
R
π
2
⇒
⇒
⇒ U R ,max cos ω t = IR
⇒ mit U R = IR
am Ohm'schen Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
2
Umgesetzte Leistung: P = RI 2 = R ( Imax cos ωt ) = RImax
cos2 ω t
2
2
Mittelwert P = R I 2 = RImax
cos2 ωt =
1 2
RImax
2
⇒
da cos2 ω t =
1
2
u.a. wegen sin2 ωt + cos2 ω t = 1
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Effektivwerte
Teil 29 Wechselstromkreise
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Definition der Effektivwerte:
Effektive Stromstärke Ieff =
I 2 = Irms
2
für einen sinusförmigen Strom I 2 = Imax
cos2 ωt =
aus Gl. (29.10) P = R I 2
mit Gl. (29.11) Ieff =
1 2
Imax
2
I2
⇒ Ieff = Irms =
2
⇒ P = RIeff
1
2
Im ax ≈ 0.7071Imax
⇔ Fließt durch einen Ohm'schen
Widerstand ein Wechselstrom mit der effektiven Stromstärke Ieff , so wird im zeitlichen Mittel die gleiche
Leistung in Wärme umgewandelt wie beim Fließen eines Gleichstromes mit der Stromstärke Ieff
Beispiel 29.1: Eine Sägezahnfunktion
t
für 0 < t < T ;
T
gesucht: a) mittlere Stromstärke, b) effektive Stromstärke ⇒
Gegeben: Sägezahnfunktion mit I = I0
Teil a)
Teil b)
T
T
I0 T
I t2
t
1
1
I = ∫ Idt = ∫ I0 dt = 2 ∫ tdt = 02
T 0
T 0 T
T 0
T 2
I
2
T
=
0
I 0 T 2 I0
=
2
T2 2
T
T
I02 T 2
I02 t 3
1 2
1 2 t2
= ∫ I d t = ∫ I0 2 d t = 3 ∫ t d t = 2
T 0
T 0 T
T 0
T 3
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T
0
I02 T 3 I02
= 3
=
3
T 3
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⇒ Ieff =
I2 =
I0
3
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Vom Wechselstromgenerator gelieferte mittlere Leistung P = UI = Umax cos ω t Im ax cos ω t = Umax Im ax cos2 ω t ⇒
P =
U
I
1
Umax Im ax = Ueff Ieff wobei U eff = max und Ieff = max
2
2
2
Haushaltnetzspannung in Deutschland und Österreich U eff = 230 V bei einer Frequenz von 50 Hz
29.3 Wechselstromkreise (Alternating current circuits)
Spule und Kondesatoren verhalten sich in Wechselstromkreisen grundlegend anders als in Gleichstromkreisen.
Spulen in Wechselstromkreisen
Reihenschaltung einer Spule, Induktivität L, mit einer Wechselspannungsquelle
dI
= Uind ⇒
Uind = Umax cosωt ⇒ Spannungsabfall UL an der Spule: UL = L
dt
U
dI
L
= UL,max cosω t wobei UL,max = Umax ⇒ dI = L,max cosω t dt ⇒
L
dt
U
U
Integration ⇒ I = L,max ∫ cosω t dt = L,max sin ωt + C wobei Integrationskonstante
L
ωL
U
C
Gleichstromanteil ⇒ C = 0 gesetzt ⇒ I = L,max sin ω t = Im ax sin ωt ⇒
ωL
Spannung UL = UL,max cosωt und Strom I = Im ax sin ω t = Im ax cos(ω t − π / 2) an der
Spule sind gegeneinander um 90° phasenverschoben.
Wert UL,max wird eine Viertelperiode (90° = π / 2) vor den Wert Im ax erreicht ⇒
Die Spannung an der Spule eilt dem Strom um 90° voraus.
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laut Gl. (29.21) Imax =
wegen Ieff =
Imax
UL,max
=
ωL
UL,max
XL
bzw. UL,eff =
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mit X L = ωL induktiver (Blind-)Widerstand (oder Induktanz) ⇒
UL,max
⇒ Ieff =
2
2
Einheit des Blindwiderstandes X L : Ohm
UL,eff
XL
Momentane Leistungsaufnahmen der Spule: P = UL I = UL,max cos ωt Imax sin ω t = UL,max Imax cos ω t sin ω t
⇒
1
1
UL,max Imax sin 2ω t ⇒ P = UL,max Imax sin 2ω t = 0 da sin 2ω t = 0
2
2
⇒ im zeitlichen Mittel wird in der Spule keine Leistung umgesetzt
da 2cos ω t sin ω t = sin 2ω t
⇒ P=
Beispiel 29.2: Induktiver Blindwiderstand
Spule mit Induktitivät L = 40 mH an Wechselspannungsgenerator Uind = UL,max = 120 V;
Gesucht: induktiver Widerstand X L und maximale Stromstärke Im ax bei einer Frequenz von Uind von
a) 60 Hz, b) 2000 Hz
⇒
Teil a) aus Gl. (29.23) Imax =
UL,max
ωL
=
UL,max
XL
X L,1 = ω1L = ( 2π )( 60 Hz )( 40 mH) = 15.1 Ω
und Gl. (29.24) X L = ω L ⇒
Teil b) X L,2 = ω2 L = ( 2π )( 2000 Hz )( 40 mH) = 503 Ω
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120 V
= 7.95 A
15.1 Ω
120 V
⇒ Im ax,2 =
= 0.239 A
503 Ω
⇒ Im ax,1 =
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Kondensatoren in Wechselstromkreisen
Teil 29 Wechselstromkreise
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Reihenschaltung eines Kondensators, Kapazität C, mit einer
Wechselspannungsquelle
Uind = Umax cosω t
⇒ Spannungsabfall am Kondensator UC =
UC = Uind = Umax cosωt = UC ,max cosω t
q = CUC ,max cosωt
⇒
q
= UC ,max cosωt
C
q
C
⇒
⇒
dq
= −ωCUC ,max sin ωt = −Imax sin ω t = Imax cos (ωt + π / 2 )
dt
⇒
⇒ I=
wobei Imax = ωCUC ,max
Spannung UC = UC ,max cosωt und Strom I = Imax cos (ω t + π / 2 ) am Kondensator
sind gegeneinander um 90° phasenverschoben.
Wert UC ,max wird eine Viertelperiode (90° = π / 2) nach den Wert Im ax erreicht ⇒
Der Strom durch den Kondensator eilt der Spannung um 90° voraus.
aus Imax = ωCUC ,max =
UC ,max
1 ωC
=
UC ,max
XC
bzw.
Ieff =
UC ,eff
kapazitiver (Blind-)Widerstand (Kondensanz) X C =
XC
⇒
1
ωC
Einheit des Blindwiderstandes X C : Ohm,
im zeitlichen Mittel wird im Kondensator keine Leistung umgesetzt
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Beispiel 29.3: Kapazitiver Blindwiderstand
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Kondensator mit Kapazität C = 20 μF an Wechselspannungsgenerator Uind = UC,max = 100 V;
Gesucht: kapazitiver Widerstand XC und maximale Stromstärke Im ax bei einer Frequenz von Uind von
60 Hz und 6000 Hz
⇒ aus Gl. (29.27) bzw. (29.29) Imax =
XC ,1 =
1
1
=
= 133 Ω
ω1C ( 2π )( 60 Hz ) 20 × 10 −6 μF
XC ,1 =
1
1
=
= 1.33 Ω
ω1C ( 2π )( 6000 Hz ) 20 × 10 −6 μF
(
)
(
)
⇒ Im ax ,1 =
UC ,max
XC
und Gl. (29.30) XC =
1
ωC
⇒
100 V
= 0.752 A
133 Ω
⇒ Im ax,1 =
100 V
= 75.2 A
1.33 Ω
29.4 Zeigerdiagramme (Phasors)
Zur Darstellung der Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom an Spulen, Widerständen und
Kondensatoren eignen sich zweidimensionale Vektoren in der x-y-Ebene, die sogenannten Zeiger.
Spannungsabfall an einem Ohm'schen Widerstand dargestellt in Form des Zeigers UR :
Länge des Zeigers UR = RImax , schließt mit der x-Achse den Winkel θ = ωt − δ und
rotiert mit der Kreisfrequenz ω, Momentanwert gegeben durch x-Komponente
UR = RI = RImax cos (ωt − δ ) ; Strom gegeben durch x-Komponente des Zeigers I
UR
UL eilt I vor
UC eilt I nach
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I
Zeigerdiagramm der Spannungen UR , UL , und UC in einer
RLC-Reihenschaltung : Jeder Zeiger rotiert mit Kreisfrequenz ω,
Momentanwerte gegeben durch die x-Komponenten der Zeiger,
Spannungsabfall an der RLC-Schaltung gleich der x-Komponente
des resultierenden Zeigers UR + UL + UC
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29.5 LC- und RLC-Stromkreise ohne Wechselspannungsquelle (LC and RLC circuits without a generator)
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LC-Stromkreis (Spule + Kondensator): zum Zeitpunkt t = 0 ist der Kondensator geladen mit der Ladung Q = CUC
⇒ bei t = 0 Schalter geschlossen ⇒ Kondensator beginnt sich zu entladen und Ladung fließt durch die Spule ⇒
I=
dQ
dt
⇒ Kirchhoff'sche Maschenregel − L
dI
dI Q
d2Q Q
− UC = 0 ⇒ L
+ =0 ⇒ L 2 + =0
dt
dt C
C
dt
⇒ vergleiche
d2 x
Gl. (14.2) m 2 + kx = 0 ⇒ Schwingungsgleichung ⇔ Die Induktivität L kann man sich als eine Trägheit des
dt
Wechselstromkreises vorstellen, äquivalent zu Masse in mechanischen Systemen
d2Q
1
d2 x
k
=−
= − x ⇒ vergleiche Teil 14.1 ⇒
Q analog zu
2
2
LC
m
dt
dt
1
dQ
Lösung Q = A cos (ω t − δ ) mit ω =
⇒ Strom I =
= −ω A sin ( ωt − δ )
dt
LC
⇒ mit Anfangsbedingung : Q ( t = 0 ) = Qmax und I ( t = 0 ) = 0 ⇒ δ = 0 und
A = Qmax ⇒ Q = Qmax cos ωt und I = −ωQmax sin ω t = −Imax sin ωt
wobei Imax = ωQmax
1
1 Q2
Im Kondensator gespeicherte elektrische Energie Eel = QUC =
⇒ mit
2
2 C
2
1 Qmax
Gl. (29.38) Q = Qmax cos ω t ⇒ Eel =
cos2 ω t ; in der Spule gespeicherte
2 C
1
magnetische Energie Emag = LI 2 ⇒ mit Gl. (29.39) I = −ωQmax sin ω t ⇒
2
2
1
1
1 Qmax
2
sin2 ω t ⇒ mit Gl. (29.37) ω =
⇒ Emag =
sin2 ω t
Emag = Lω 2Qmax
2
2 C
LC
2
2
2
1 Qmax
1 Qmax
1 Qmax
2
2
⇒ Eges = E el + Emag =
cos ω t +
sin ω t =
2 C
2 C
2 C
entspricht der ursprünglich im Kondensator enthaltene Energie
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I erreicht sein Maximum, wenn
Q null ist, und umgekehrt
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Beispiel 29.4: Ein LC-Schwingkreis
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Kondensator C = 2 μF auf UC ,max = 20 V aufgeladen, dann mit Spule L = 6 μH verbunden; gesucht:
a) Frequenz ν = ω /(2π ), ⇒ aus Gl. (29.37) ν =
b) maximale Stromstärke Imax
(
)
ω
1
=
=
2π 2π LC 2π
1
( 6 μH)( 2 μF )
⇒ aus Gl. (29.39) Imax = ωQmax mit Qmax = CUC ,max
= 4.59 × 10 4 Hz
⇒ Imax = ωCUC ,max ⇒
Imax = 2π 4.59 × 10 4 Hz ( 2 μF )( 20 V ) = 11.5 A
RLC -Reihenstromkreis: LC -Reihenstromkreis erweitert um einen Ohm'schen
Widerstand R ⇒ Anwendung der Kirchhoff'sche Maschenregel:
dI
d2Q
dQ Q
Q
L
+ RI + = 0 bzw. L 2 + R
+ = 0 ⇔ siehe Teil 14.4 gedämpfte
dt
dt C
C
dt
Schwingung eines harmonischen Oszillators ⇒ der Widerstand R in einem
RLC -Schwingkreis ist mit der Dämpfungskonstante b vergleichbar, und ist für
die Umwandlung elektromagnetischer Energie in Wärme verantwortlich.
dI
Q
+ RI + = 0 ⇒ multipliziert mit I
dt
C
dI
Q
⇒ LI
+ RI 2 + I = 0 ⇒ in der Spule ist die magnetische
dt
C
dEmag
1
dI
Energie Emag = LI 2 ⇒
= LI ; im Kondensator ist
2
dt
dt
2
dE el
Q
1Q
⇒
=I
⇒
die elektrische Energie Eel =
dt
C
2 C
dEmag dE Joule dEel
+
+
=0
dt
dt
dt
aus Gl. (29.43a) L
R klein ⇒ schwache Dämpfung
R groß ⇒ Überdämpfung ⇔ aperiodischer Grenzfall
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29.6 Erzwungene Schwingungen in RLC-Stromkreisen (Driven RLC circuits)
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Der Reihenschwingkreis
Reihenschaltung aus Ohm'schen Widerstand, Spule, und Kondensator mit
einem Generator, der eine sinusförmige Wechselspannung UG = UG,max cos ωt
liefert ⇒ Maschenregel UG,max cos ωt − L
d2 q
dq q
+ = UG,max cos ω t
L 2 +R
dt C
dt
dI
dq
q
− RI − = 0 ⇒ mit I =
⇒
dt
dt
C
⇔ vergleiche Teil 14.5 Gl. (14.51)
Der im Schwinkreis fleißende Strom setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen: einem transienten (nach dem
Einschalten kurz andauernden) Nichtgleichgewichtsanteil und einem Gleichgewichtsanteil (stationäre Lösung)
U
I = Imax cos (ω t − δ ) = G,max cos ( ωt − δ ) wobei Z Scheinwiderstand oder Impedanz des Schwingkreises
Z
Differenz ( X L − XC ) : Gesamtblindwiderstand des Schwingkreises
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Zeigerdiagramm für den Reihenschwingkreis:
Spannung am Ohm'schen Widerstand UR ist mit Strom I in Phase,
Spannung an der Spule UL eilt dem Strom I um 90° voraus,
Spannung am Kondensator UC eilt dem Strom I um 90° nach,
x -Komponente entspricht dem momentanen Spannnungsabfall,
UG = UR + UL + UC bzw.
(
UG,max = UR + UL + UC = UR2 ,max + UL,max − UC ,max
mit UR = RImax , UL = X L Imax , UC = X C Imax
UG,max = Imax R 2 + ( X L − XC )
tan δ =
UL + UC
UR
=
2
)
2
,
⇒
= ZImax
X L Imax − X C Imax
X − XC
= L
RImax
R
Zusammenhang zwischen kapazitivem und induktivem Blindwiderstand, Ohm'schen Widerstand, Impedanz
und Phasenkonstante in einem Reihenschwingkreis
Resonanz
Der Reihenschwingkreis ist in Resonanz, wenn X L = X C
Gesamtblindwiderstand
Imax =
UG,max
Z
aus X L = X C
( X L − XC ) = 0
⇒
⇒ Impedanz Z = R
⇒
X L − XC
=0 ⇔ δ =0
R
1
⇒ ω0 =
Resonanzfrequenz
LC
wird maximal und tanδ =
⇒ ω0 L =
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1
ω0C
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Teil 29 Wechselstromkreise
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In einem Reihenschwingkreis wird weder an der Spule noch am Kondensator Energie in Joule'sche Wärme
umgewandelt ⇒ umgesetzte Leistung
Leistungsaufnahme des Ohm'schen Widerstandes P = RI 2
mit Gl. (29.46) I = Im ax cos (ωt − δ ) ⇒ P = R ( Im ax cos (ωt − δ ) )
cos (ωt − δ ) =
P =
1
2
⇒ mit R / Z = cos δ und Im ax =
UG,max
Z
2
1 2
2
RIm ax = RIeff
da
2
U
⇒ R = G,max cos δ somit
Im ax
⇒ Mittelwert
bzw. Z =
1 2
1 UG,max 2
1
RIm ax =
Im ax cos δ = UG,max Im ax cos δ = UG,eff Ieff cos δ
2
2 Im ax
2
UG,max
Im ax
⇒
P =
wobei cos δ : Leistungsfaktor;
im Resonanzfall ist δ = 0 und cos δ = 1
aus P =
U
1 2
2
mit Ieff = G,eff
RIm ax = RIeff
2
Z
Z = R + ( X L − XC )
2
2
⇒ Z2 = R2 +
L2
ω
2
(ω
⇒
P =
2
2
2
L2
1 ⎞
⎛
2
R
= R + ⎜ ωL −
=
+
ωC ⎟⎠
ω2
⎝
2
− ω02
)
2
=
ω 2 R 2 + L2 (ω 2 − ω02 )
ω 2R
R 2
P = 2 UG,eff =
Z
ω 2 R 2 + L2 ω 2 − ω02
(
ω2
)
2
R 2
UG,eff
Z2
1 ⎞
⎛ 2
⎜ ω − LC ⎟
⎝
⎠
⇒ mit Gl. (29.49) Z = R 2 + ( X L − XC )
2
⇒ mit der Resonanzfrequenz ω0 =
2
⇒
1
LC
2
⇒
2
UG,eff
Gütefaktor (oder Q-Faktor) Q = 2π
ωL
E
= 0
ΔE
R
Resonanzkurven
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Beispiel 29.5: Erzwungene Schwingungen im Reihenschwingkreis
Teil 29 Wechselstromkreise
Seite 15
Reihenschwingkreis mit Induktivität L = 2 H, Kapazität C=2 μF, Ohm'scher Widerstand R = 20 Ω, und
Wechselspannungsgenerator mit UG,max = 100 V;
gesucht: a) Resonanzfrequenz ν 0 , b) Gütefaktor Q, c) Bandbreite Δν , d) Amplitude Imax des Stroms im
Resonanzfall.
Teil a) aus ω0 =
1
LC
= 2πν 0
Teil b) aus Gl. (29.55) Q =
Teil c) aus Gl. (29.56) Q =
ω0 L
R
ν0
Δν
⇒ ν0 =
=
1
2π LC
=
1
2π
2π ( 79.6 Hz )( 2 H)
20 Ω
= 50
79.6 Hz
= 1.59 Hz
Q
50
U
U
100 V
= G,max = G,max =
=5 A
Z
R
20 Ω
⇒ Δν =
Teil d) Im Resonanzfall Z = R ⇒ Imax
ν0
( 2 H)( 2 μF )
= 79.6 Hz
=
Beispiel 29.6: Strom, Phase, und Leistung im Reihenschwingtkreis
mögliches Prüfungsbeispiel
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Beispiel 29.7: Resonanz im Reihenschwingkreis
Teil 29 Wechselstromkreise
Seite 16
mögliches Prüfungsbeispiel
Beispiel 29.8: Ein RC-Tiefpassfilter
Reihenschaltung aus einem Ohm'schen Widerstand R, einem Kondensator C, und einem
Wechselspannungsgenerators Uapp = 2 UG,eff cos ω t.
Gesucht: Ausgangsspannung Uout als Funktion der Kreisfrequenz ω
⇒
Spannungsabfall am Kondensator Uout,eff = X C Ieff
Stromstärke Ieff =
⇒ Uout,eff =
UG,eff
⇒ mit Z = R 2 + X C2
Z
UG,eff
ω
2
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( RC )
2
+1
und X C =
1
ωC
⇒ Uout,eff = X C Ieff =
1
ωC
UG,eff
⎛ 1 ⎞
R +⎜
⎟
⎝ ωC ⎠
⇒ für ω → 0 ist Uout,eff → UG,eff bzw. für ω → ∞ ist Uout,eff → 0
Seite 16
2
2
Tiefpassfilter
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Beispiel 29.9: Ein UKW-Empfänger
Teil 29 Wechselstromkreise
Seite 17
UKW-Empfänger für den Frequenzbereich 88 bis 108 MHz ⇒ um wie viel Prozent muß die Induktivität der
Spule des Abstimmkreises variert werden (Annahme: Kapazität C konstant)?
Resonanzfrequenz des Schwingkreises ω0 = 2πν 0 =
1
LC
⇒ L=
1
ν 02
1
1
−2
=
ν
=
a
mit
a
0
4π 2C 2
4π 2C 2
−2
−2
−2
−2
⎛
ΔL Lmax − Lmin aν 0,max − aν 0,min ν 0,max −ν 0,min
1
1
2
⎜
=
=
=
=
−
98
MHz
(
)
−2
−2
2
2
⎜ (108 MHz )
L
L
ν0
aν 0
88
MHz
(
)
⎝
ΔL
≈ 42%
Induktivitätsänderung
L
Infos siehe
⇒
⎞
⎟ = −0.417 ⇒
⎟
⎠
http://kundendienst.orf.at/service/technik/
http://de.wikipedia.org/wiki/VHF-Band_II
Funkgerät am Bord eines Schiffs um 1920
Plattenkondensator
Spule
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Der Parallelschwingkreis
Teil 29 Wechselstromkreise
Seite 18
Parallelschaltung aus einem Ohm'schen Widerstand R, einem Kondensator C, einer Spule L, und einem
Wechselstromgenerator U G = Uapp
⇒ der vom Generator erzeugte Gesamtstrom I teilt sich in drei Ströme
⇒
IR , IC , und IL , und der momentane Spannungsabfall ist an allen drei Bauelementen gleich
(
am Ohm'schen Widerstand R sind Strom IR und Spannung U G in Phase Zeiger IR
)
UG , IR = UG,max R ,
an der Spule L eilt die Spannung UG dem Strom IL um 90° voraus ⇔ IL eilt UG um 90° nach, wobei IL = UG,max / X L ,
am Kondensator C eilt die Spannung UG dem Strom IC um 90° nach ⇔ IC eilt U G um 90° vor, wobei IC = UG,max / X C
⇒ Gesamtstrom I = x-Komponente der Vektorsumme der einzelnen Ströme ⇒
I = I + ( IL − IC )
2
R
2
2
2
U
U
⎛U
⎞
⎛U
⎞
= ⎜ G,max ⎟ + ⎜ G,max − G,max ⎟ = G,max
XC ⎠
Z
⎝ R ⎠
⎝ XL
⎛ 1
1
1 ⎞
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ +⎜
−
⎟
Z
⎝R ⎠
⎝ X L XC ⎠
2
⇒
2
Im Resonanzfall sind IL und IC um 180° phasenverschoben ⇒ IL − IC = 0 ⇒ I = IR minimal ⇒
Z = R maximal bzw. 1 Z = 1 R minimal bei X C = X L
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⇔ Resonanzfrequenz
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1
= ω0 L ⇒ ω0 =
ω0C
1
LC
08.05.2007
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29.7 Der Transformator (The transformer)
Teil 29 Wechselstromkreise
Seite 19
Mit einem Transformator kann man eine gegebene Eingangsspannnung U1 ohne wesentlichen Leistungsverlust
in eine gewünschte Ausgangsspannung U2 umsetzen.
Transformator: besteht aus zwei Spulen mit Windungszahl N1
(Primärspule, an der Seite der Eingangsspannung) bzw. N2
(Sekundärspule, auf der Seite der Ausgangsspannung), die auf
einem gemeinsamen Kern gewickelt sind
mögliche Leistungsverluste des Transformators:
Erwärmung der Spulen infolge ihres Ohm'schen Widerstandes,
Hysterese des Kernmaterials (siehe Teil 27.5),
Wirbelströme im Kern (siehe Teil 28.5)
Sei der Sekundärstromkreis zunächst offen ⇒ aufgrund des Eisenkerns ist der magnetische Fluß Φ mag
durch jede einzelne Windung beider Spulen gleich groß ⇒ unter der Annahme, daß der Ohm'sche Widerstand
der Spulen vernachlässigt wird, da
X L der Spulen ⇒ Primärstromkreis besteht aus
Wechselspannungsgenerator U1 und induktivem Widerstand X L1 (siehe Teil 29.3) ⇒ U1 = −N1
dΦ mag
,
dt
Spannung eilt dem Strom um 90° voraus, in der Spule wird keine Leistung umgesetzt ⇒ unter der
Vernachlässigung von Streufeldern ⇒ in jeder einzelnen Windung der Sekundärspule ist Φ mag gleich dem Fluß
in jeder einzelnen Windung der Primärspule ⇒ Gesamtfluß in der Sekundärspule N2 Φ mag
Spannungsabfall an der Sekundärspule U2 = −N2
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dΦ mag
dt
⇒ U2 =
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⇒
N2
N
U1 ∼ 2
N1
N1
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Die Sekundärspule wird mit einem Ohm'schen Widerstand = Lastwiderstand R verbunden ⇒ Strom I2 und
Spannung U2 im Sekundärkreis sind in Phase ⇒ zusätzlicher magnetischen Fluß Φ 'mag ∼ N2I2 wird erzeugt, der
dem ursprünglichen Fluß Φ mag entgegengesetzt gerichtet ist ⇒ da der Spannungsabfall an Primärspule von der
Generatorspannung bestimmt, unabhängig vom Sekundärkreis ⇒ U1 = −N1
dΦ mag
⇒ der Gesam tfluß durch
dt
den Kern bleibt unabhängig von der Anwesenheit eines Lastwiderstandes stets gleich ⇒ in der Primärspule
fließt ein Strom I1, zusätzlich zum Magnetisierungsstrom Imag , um den Fluß Φ mag aufrechtzuerhalten ⇒
−Φ 'mag ∼ N1I1 ⇒ N2I2 = −N1I1
da I2 phasengleich mit U 2
⇔ Ströme sind gegenphasig und erzeugen entgegengesetzt gerichtete Flüsse ⇒
⇒ I1 phasengleich mit U1, wobei normalerweise I1
Imag ⇒
Generator liefert primärseitig die Leistung U1,eff I1,eff , entnommen wird sekundärseitig U2,eff I2,eff ⇒
bei Vernachlässigung der Verluste U1,eff I1,eff = U 2,eff I2,eff
vergleiche Teil 28.3
R
Beispiel 29.10: Ein Klingeltransformator
Türklingel, betrieben bei U2,eff = 6 V mit I2,eff = 0.4 A, ist verbunden an einem Transformator mit Primärspule
N1 = 2000 wobei U1,eff = 230 V (Haushaltstromnetz); gesucht: Anzahl N2 der Windungen der Sekundärspule,
b) Stromstärke I1,eff in der Primärspule ⇒
Teil a) aus Gl. (29.61) U2 =
N2
U1
N1
⇒ N2 = N1
Teil b) aus Gl. (29.63) U1,eff I1,eff = U 2,eff I2,eff
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U
(6 V )
U2
= N1 2,eff = ( 2000 )
= 52 Windungen
U1
U1,eff
( 230 V )
⇒ I1,eff = I2,eff
U 2,eff
U1,eff
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= ( 0.4 A )
(6 V )
( 230 V )
= 0.01 A
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Wichtige Anwendung des Transformators: Transport von elektrischer Energie ⇔
Leistungsverluste in Form Joule'scher Wärme (RI 2 ) minimiert, wenn Spannung U möglichst hoch und
somit Strom I möglichst klein ist.
Beispiel: Stadt mit 50000 Einwohner und Pro-Kopf-Verbrauch vom P1 = 1.2 kW ⇒ Bei einer Netzspannung
U eff = 230 V fließt pro Person im Mittel I1,eff = P1 U eff = (1200 W ) ( 230 V ) = 5.2 A ⇒
Iges,eff = 50000 I1,eff = 260000 A
⇒ wegen RI 2 wäre der Leistungsverlust sehr hoch
⇒
die in Kraftwerksgeneratoren erzeugten Wechselspannungen werden mit Transformatoren auf bis zu
Ueff
230 V
UHV,eff = 380 kV hochgespannt ⇒ Stromstärke IHV,eff =
Iges,eff =
( 260000 A ) = 160 A ⇒
380 kV
UHV,eff
wesentlich geringere Leistungsverluste
Beispiel 29.11: Leistungsverluste beim Transport
Gegeben: Überlandleitung mit Ohm'schen Widerstand R / = 0.02 Ω km-1. Gesucht: Leistungsverluste wenn
P = 200 kW aus einem Kraftwerk in L = 10 km bei a) U eff = 230 V, b) Ueff = 4.4 kV transportiert werden ⇒
Teil a) Widerstand der Überlandleitung RÜL =
aus P = Ueff Ieff
⇒
Ieff =
R
(
)
L = 0.02 Ω km-1 (10 km ) = 0.2 Ω
P
200 kW
=
= 870 A ⇒
U eff
230 V
PVerlust = RÜL I 2 = ( 0.2 Ω )( 870 A ) = 151 kW
2
Teil b) aus P = Ueff Ieff
⇒
Ieff =
P
200 kW
=
= 45.5 A ⇒
Ueff
4.4 kV
PVerlust = RÜL I 2 = ( 0.2 Ω )( 45.5 A ) = 414 W
2
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