Stochastik II

Institut für Stochastik
Universität Karlsruhe
Dr. B. Klar
Dipl.-Math.oec. W. Lao
WS 2007/2008
Blatt 9
Übungen zur Vorlesung
Stochastik II
Aufgabe 35 ()
Es sei X1 , X2 , . . . eine Folge identisch verteilter (nicht notwendig unabhängiger) Zufallsvariablen
mit E(|X1 |k ) < ∞ für ein k ∈ N. Zeigen Sie:
a) lim n · P (|X1 | ≥ εn1/k ) = 0
n→∞
(ε > 0).
P
b) n−1/k · max |Xj | → 0.
1≤j≤n
Hinweis zu Teil a): Wenden Sie die Darstellungsformel für den Erwartungswert auf E|X1 /ε|k an.
Aufgabe 36 ()
Es sei (Xn )n≥1 eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ).
a) Zeigen Sie:
f.s.
Xn → 0 =⇒
n
1X
f.s.
Xj → 0 .
n
j=1
b) Zeigen Sie am Beispiel stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen (Xn )n≥1 mit P (Xn = 0) =
1 − 1/n, P (Xn = 2n) = 1/n, daß in a) die P –fast sichere Konvergenz nicht durch die P –
stochastische Konvergenz ersetzt werden kann.
Aufgabe 37 ()
Betrachten Sie (gedanklich) eine unendliche Folge unabhängiger Wochenziehungen beim Zahlenlotto
6 aus 49. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis die Gewinnreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 tritt
”
17–mal hintereinander auf“ unendlich oft eintritt?
Aufgabe 38 ()
Seien X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit Xi ≥ 0 und E(Xi ) < ∞ für alle
i ∈ N. Zeigen Sie: Es gilt
̰
!
X
P
Xn = ∞
∈ {0, 1}.
n=1
Aufgabe 39 ()
Es sei (Xn , Yn )n∈N eine Folge unabhängiger, identisch verteilter zweidimensionaler Zufallsvektoren
auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit E(X12 ) < ∞, E(Y12 ) < ∞, V (X1 ) > 0 und
V (Y1 ) > 0. Weiter sei
n
n
1X
1X
X n :=
Xj ,
Y n :=
Yj .
n
n
j=1
j=1
Zeigen Sie, dass für den empirischen Korrelationskoeffizient
n
¢¡
¢
1 X¡
Xj − X n Yj − Y n
n
Rn :=
j=1
v
u X
n
¢2 1 X
¢2
¡
u1 n ¡
t
Xj − X n ·
Yj − Y n
n
n
j=1
j=1
von (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) gilt:
f.s.
Rn −→
C(X1 , Y1 )
p
V (X1 )V (Y1 )
= %(X1 , Y1 ) .
Keine Abgabe!
Diese Aufgaben werden in der Hörsaalübung am 08.01.2008 behandelt.
Weihnachtsquiz:
Unser Weihnachtsbaum wurde festlich geschmückt mit roten, gelben,
orangenen und blauen Kugeln und silbernen Girlanden. Längs jeder
der 11 Girlanden hängen 4 bzw. 3 Kugeln verschiedener Farbe. Bei drei
der Kugeln ist die Farbe angegeben (4=rot, 12=orange, 13=gelb). Die
Farben der übrigen 13 Kugeln gilt es zu bestimmen!
Lösung: Wenn man annimmt, dass die Girlanden so hängen, wie es die
Zeichnung suggeriert, also vier von ihnen horizontal, vier vertikal, zwei
diagonal und eine wie eine Parabel, dann gibt es genau eine zulässige
Färbung der restlichen Kugeln. Dabei kann man in der folgenden
Reihenfolge auf die Farben schließen:
Kugeln
Farben
16
blau
8
gelb
5
blau
1
orange
9
rot
6
orange
7
rot
11
gelb
10
blau
2
gelb
3
blau
Frohe WeihnaĚten und einen guten RutsĚ ins neue Jahr!
2
14
rot
15
orange