3. Systeme von starren Körpern

24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
Systeme von starren Körpern lassen sich folgendermaßen
berechnen:
–
Die einzelnen starren Körper werden freigeschnitten.
–
Für jeden einzelnen Körper werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt.
–
Die kinematischen und physikalischen Bindungsgleichungen werden aufgestellt.
–
Die Gleichungen werden nach den interessierenden Größen aufgelöst.
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-1
3. Systeme von starren Körpern
●
24.04.17
Beispiel 1: Beschleunigendes Fahrzeug
–
Es wird berücksichtigt, dass die Räder eine Masse haben
und sich drehen.
L1
mF
L2
S
h
mR , JR , r
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-2
3. Systeme von starren Körpern
–
Gegeben:
●
●
●
–
24.04.17
Das Fahrzeug ist ein starrer Körper der Masse mF (ohne Räder).
Die Räder sind starre Körper mit der Masse mR , dem Radius r
und dem Massenträgheitsmoment JR bezüglich dem Schwerpunkt.
An jedem der beiden Hinterräder greift ein Antriebsmoment M
an.
Gesucht:
●
Beschleunigung a des Fahrzeugs, wenn vorausgesetzt wird,
dass die Räder rollen
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-3
3. Systeme von starren Körpern
–
24.04.17
Freigeschnittenes System:
A M
y
φ
Ay
x
M
H1
GR
N1
Prof. Dr. Wandinger
B
Bx
By
GF
Ay
Ax
S
Ax
By
Bx
GR
H2
N2
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-4
3. Systeme von starren Körpern
–
Schwerpunktsatz und Drallsatz für das Fahrzeug:
∑ F x =m a x
∑ F y =0 :
S
M
∑ =0 :
–
24.04.17
:
(1)
2 ( A x −B x )=m F a
(2)
2 ( A y + B y )−G F =0
2 M +2 h ( A x −B x )−2 L 1 A y +2 L 2 B y =0 (3)
Schwerpunktsatz und Drallsatz für das Hinterrad:
∑ F x =m a x :
∑ F y =0 :
A
A
M
=J
ω̇ :
∑
Prof. Dr. Wandinger
−A x + H 1=m R a
−A y −G R + N 1=0
−M + r H 1=J R ω̇
4. Kinetik des starren Körpers
(4)
(5)
(6)
TM 3 4.3-5
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Schwerpunktsatz und Drallsatz für das Vorderrad:
∑ F x =m a x :
∑ F y =0 :
∑ M B =J B ω̇ :
–
B x −H 2 =m R a
−B y −G R + N 2 =0
−r H 2 =J R ω̇
(7)
(8)
(9)
Kinematik: Rollbedingung für die Räder
v
v +ω r =0 → ω=−
r
a
→ ω̇=−
r
Prof. Dr. Wandinger
ω
v
(10)
4. Kinetik des starren Körpers
r
TM 3 4.3-6
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Auflösen nach der Beschleunigung:
(1) + 2 (4) + 2 (7) → 2 ( H 1−H 2 )= ( m F + 4 m R ) a (11)
a
M
a
(6) → r H 1=M + J R ω̇=M −J R → H 1= −J R 2 (6')
r
r
r
a
a
(9) → r H 2 =−J R ω̇=J R → H 2 =J R 2 (9')
r
r
JR
M
(6') und (9') in (11) → 2 −4 2 a=( m F + 4 m R ) a
r
r
(
→ m F + 4 m R +4
Prof. Dr. Wandinger
JR
r2
)
a=2
M
2M /r
→ a=
r
mF + 4 ( mR + J R / r2)
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-7
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
●
Wenn das System nach Berücksichtigung der kinematischen Bindungen nur noch einen Freiheitsgrad hat, kann
die Bewegungsgleichung auch aus dem Arbeitssatz
gewonnen werden.
Lösungsweg:
–
Definition der kinematischen Größen
–
Aufstellen der kinematischen Bindungsgleichungen
–
Ermittlung der Ausdrücke für die Energien und Arbeiten
–
Ansetzen des Arbeitssatzes
–
Auflösen nach der gesuchten Größe
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-8
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
Beispiel 2: Schrägaufzug
J3 , r3
M
g
J2 , r 2
m1
m4
α
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-9
3. Systeme von starren Körpern
–
24.04.17
Gegeben:
●
●
●
●
Der Schrägaufzug mit der Gesamtmasse m1 wird über eine
Antriebstrommel mit dem Radius r3 und dem Massenträgheitsmoment J3 mit dem konstanten Moment M angetrieben.
Die Massenträgheitsmomente der Laufräder können vernachlässigt werden.
Die Umlenkrolle hat den Radius r2 und das Massenträgheitsmoment J2 .
Das Gegengewicht hat die Masse m4 .
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-10
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Gesucht:
●
–
Beschleunigung, mit der sich der Aufzug nach oben bewegt
Lösungsweg:
●
●
Zunächst wird mit dem Arbeitssatz die wegabhängige Geschwindigkeit des Schrägaufzugs ermittelt.
Daraus kann dann die gesuchte Beschleunigung berechnet
werden.
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-11
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Freiheitsgrade und Nullniveaus:
ϕ3
s3
s1
ϕ2
NN4
NN1
s4
α
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-12
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Kinematische Bindungen:
●
Die Umlenkrolle rollt auf dem feststehenden unteren Seil:
ṡ 1 =v1 =r 2 ω2,
●
–
v1
ṡ 4=v 4 =2 r 2 ω 2 =2 v 1 → s 4 =2 s 1 , ω2 =
r2
Für die Antriebstrommel gilt:
v4
v1
s1
v 4 =r 3 ω3 → ω3= =2 , ϕ3 =2
r3
r3
r3
Energien:
●
Zustand A: Ruhelage: s1 = 0, v1 = 0
●
Zustand B: beliebige ausgelenkte Lage
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-13
3. Systeme von starren Körpern
Zustand A
E
G
EK
Zustand B
Aufzug
E G1 A=0
E G1 B =m1 g s 1 sin (α)
Gewicht
E G4 A =0
E G4 B =−m 4 g s 4
K
1A
Aufzug
E =0
Umlenkrolle
E K2 A=0
Trommel
E 3KA=0
Gewicht
E K4 A =0
Prof. Dr. Wandinger
24.04.17
1
2
E = m1 v 1
2
1
E K2 B = J 2 ω22
2
1
K
2
E 3 B = J 3 ω3
2
1
K
2
E 4 B= m4 v 4
2
K
1B
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-14
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Arbeit des Antriebsmoments:
–
Arbeitssatz:
WM
AB =M ϕ3
( E KB + E GB )−( E KA + E GA )=W MAB
1
m1 v 12 + J 2 ω 22 + J 3 ω 23 +m 4 v 24 ) + m1 g s 1 sin (α)−m 4 g s 4 =M ϕ3
(
2
–
Einsetzen der kinematischen Bindungen ergibt:
J2
J3
1
M
m1 + 2 + 4 2 + 4 m 4 v 21 = 2 +2 m 4 g−m1 g sin (α) s 1
2
r3
r2
r3
(
Prof. Dr. Wandinger
) (
4. Kinetik des starren Körpers
)
TM 3 4.3-15
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
2
M
+2 m 4 g−m1 g sin (α)
r3
s1
J2
J3
m1 + 4 m 4 + 2 + 4 2
r2
r3
Geschwindigkeit:
v 12=2
Beschleunigung:
M
+2 m4 g−m1 g sin (α)
2
r3
1 dv 1
a 1=
=
2 ds 1
J2
J3
m1 +4 m 4 + 2 + 4 2
r2
r3
2
–
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-16
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
Beispiel 3: Rollensystem
–
–
Die Rolle 1 ist von einem
Seil umschlungen, das in
den Punkten A und B abgespult wird und über die
reibungsfrei gelenkig gelagerte Rolle 2 umgelenkt
wird.
Eine Last der Masse mL
hängt an einem Seil, das
im Punkt C von der Rolle
1 abgespult wird.
Prof. Dr. Wandinger
D
Rolle 2
r2
g
JD2
rC rA
rB
S
A
B
Rolle 1
m 1 , JS 1
4. Kinetik des starren Körpers
C
mL
Last
TM 3 4.3-17
3. Systeme von starren Körpern
–
Gegeben:
●
●
●
●
–
Last: mL = 10 kg
Rolle 2: J = 0,1 kgm
2
D
2
Radien: rA = 20 cm,
rB = 5 cm, rC = 15 cm
Prof. Dr. Wandinger
Gesucht:
●
Rolle 1: m1 = 20 kg,
JS1 = 0,5 kgm2
24.04.17
●
●
Beschleunigungen a1
des Schwerpunkts der
Rolle 1 und aL der Last
Winkelbeschleunigungen der Rollen
Seilkräfte SA , SB und SC
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-18
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Lösungsweg:
●
●
–
Ermittlung von v1 mit
dem Energieerhaltungssatz
Ermittlung der Seilkräfte
mit Schwerpunktsatz
und Drallsatz
Freiheitsgrade und Nullniveaus:
●
ϕ2
ϕ1
NN1
A
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
rB
S
B
Die Nullniveaus liegen in
der Ruhelage der Rolle
1 bzw. der Last.
rC rA
C
s1
NNL
sL
TM 3 4.3-19
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Kinematik:
●
●
Rolle 2:
v A=v B =ω 2 r 2
Rolle 1:
1
r Π = ( r A +r B )
2
v 1=ω1 r Π
2 v1
→ ω 1=
r A +r B
v L =v C =( r Π +r C ) ω 1
r A +r B +2 r C 2 v 1
=
⋅
2
r A +r B
r A +r B +2 r C
=
v1
r A +r B
Prof. Dr. Wandinger
A
rC rA
rΠ
vA
B
Π
vB
rB
S
C
v1
vC
●
Radius von Rolle 2:
1
r 2 = ( r A −r B )
2
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-20
3. Systeme von starren Körpern
24.04.17
r A −r B 2 v 1
r A −r B
v B =( r Π −r B ) ω1 =
⋅
=
v
2
r A +r B r A +r B 1
vB
2 vB
2 v1
ω2 = =
=
=ω 1
r 2 r A −r B r A +r B
●
Für die Verschiebungen gilt:
v L = ṡ L
r A + r B +2 r C
→ s L=
s1
r A +r B
E KA + E GA =0
–
Energien in der Ruhelage:
–
Energien in der ausgelenkten Lage:
1 D 2 S 2
E = ( J 2 ω 2 + J 1 ω1 + m1 v 12 + m L v 2L ) , E GB =−m1 g s 1−m L g s L
2
K
B
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-21
3. Systeme von starren Körpern
–
24.04.17
E KB + E GB =E KA + E GA
Energieerhaltungssatz:
1 D 2 S 2
J 2 ω 2 + J 1 ω 1 + m1 v 21 + m L v 2L )−m1 g s 1 −m L g s L =0
(
2
–
Einsetzen der kinematischen Beziehungen ergibt:
[
2
1 D S
2
J
+
J
+ m1 +m L
(
2
1)
2
r A+ r B
(
)
(
r A +r B +2 r C
r A +r B
)]
2
v 12
r A + r B +2 r C
= m1 + m L
g s1
r A+ r B
(
Prof. Dr. Wandinger
)
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-22
3. Systeme von starren Körpern
–
Daraus folgt:
r A +r B +2 r C
2 m1 + m L
g s1
r A +r B
(
2
1
v=
m1 +m L
–
24.04.17
)
(
S
D
r A +r B +2 r C 2 4 ( J 1 + J 2 )
+
2
r A +r B
( r A+ r B )
)
Beschleunigungen:
2
dv
1 1
a 1=
=
2 ds 1
Prof. Dr. Wandinger
(
r A +r B +2 r C
m1 + m L
g
r A +r B
m1 + m L
)
(
S
D
r A +r B +2 r C 2 4 ( J 1 + J 2 )
+
2
r A +r B
r
+
r
( A B)
)
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-23
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
r A +r B +2 r C
2 a1
aL=
a 1 , ω̇1 =ω̇ 2 =
r A +r B
r A+ r B
●
Zahlenwerte:
2
a1 =0,3933 g=3,858 m /s , a L =0,8652 g=8,487 m /s
2
−2
ω̇ 1= ω̇2 =30,86 s
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-24
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Seilkräfte:
JD2
SA
SB
s1
SA
SB
A
B
m1 g
S
SC
C
m 1 , JS 1
SC
mL
mL g
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
sL
TM 3 4.3-25
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
(1)
D
●
Drallsatz für Rolle 2:
r 2 ( S B −S A ) =J 2 ω̇2
●
Schwerpunktsatz für Rolle 1:
m1 g +S C −S A−S B =m1 a 1 (2)
●
Drallsatz für Rolle 1:
r A S A +r B S B +r C S C =J 1 ω̇1 (3)
●
Schwerpunktsatz für Last:
m L g−S C =m L a L
●
Auflösen:
S
(4)
(4) → S C =m L ( g−a L )
D
J2
(1) → S B −S A = ω̇2
(1')
r2
(2) → −S B −S A =m1 ( a 1−g )−S C (2')
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-26
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
D
JS
(1') + (2') → −2 S A = ω̇2 +m1 ( a1 −g ) −S C
r2
D
(
J2
1
→ S A= S C +m1 ( g−a 1 ) − ω̇ 2
2
r2
)
D
J2
(1') → S B =S A + ω̇ 2
r2
S C =13,23 N , S A=45,56 N , S B =86,71 N
●
Zahlenwerte:
●
Gleichung 3 kann zur Probe verwendet werden:
( 0,2⋅45,56+ 0,05⋅86,71+0,15⋅13,23 ) Nm=15,43 Nm
2
−2
0,5 kgm ⋅30,86 s =15,43 Nm
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-27
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
Beispiel 4: Linearisierung
–
Die Träger AB, BC und CD
sind in den Punkten B und
C reibungsfrei gelenkig miteinander verbunden.
–
Die Träger AB und CD werden in den Punkten A bzw.
D durch Festlager gehalten.
–
In den Lagern A und D sind
Torsionsfedern mit der Federkonstanten cT angeschlossen.
Prof. Dr. Wandinger
a
A
cT
ωAB
4. Kinetik des starren Körpers
a/2
B
a/2
S
a
C
a
cT
D
TM 3 4.3-28
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Gegeben:
●
●
Abmessung a
●
Federkonstante cT
●
●
1
Träger AB: J AAB = m a 2
3
Träger BC:
–
1
S
2
m BC =2 m , J BC = m a
3
●
●
1
D
2
Träger CD: J CD = m a
3
Prof. Dr. Wandinger
Die Federn sind in der
gezeichneten Ausgangslage entspannt.
In der Ausgangslage hat
der Träger AB die Winkelgeschwindigkeit
ω AB=ω0
Gesucht:
●
Bewegung des Systems
für kleine Auslenkungen
aus der gezeichneten
Ausgangslage:
4. Kinetik des starren Körpers
ω AB (ϕAB ) , ω̇ AB (ϕAB )
TM 3 4.3-29
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Kinematik:
●
In der Ausgangslage gilt:
v B =ω AB a=ω BC a
→ ω BC =ω AB
vB
A
ωAB
v C =ωBC a=ω CD a
→ ω CD =ω BC =ωAB
2
2
v S = √ ω BC a= √ ω AB a
2
2
B
ωBC
ΠBC
vS
S
C
vC
ωCD
D
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-30
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
In der ausgelenkten Lage
muss gelten:
a cos(ϕAB )+ √ 2 a cos(ϕBC )
+a sin(ϕCD )=2 a
(1)
a cos(ϕCD )+ √ 2 a sin (ϕBC )
−a sin (ϕAB )=2 a
(2)
●
B
y
A
ϕAB
ϕBC
C
Für kleine Auslenkungen
gilt:
ϕAB =Δ ϕAB , ϕCD =Δ ϕCD
ϕBC = π +Δ ϕBC
4
Δ ϕAB , Δ ϕBC , Δ ϕCD ≪1
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
ϕCD
D
x
TM 3 4.3-31
3. Systeme von starren Körpern
●
24.04.17
Für kleine Winkeländerungen gilt:
cos(ϕAB )=cos (Δ ϕAB )≈1 , sin(ϕAB )=sin(Δ ϕAB )≈Δ ϕAB
cos(ϕCD )=cos(Δ ϕCD )≈1 , sin(ϕCD )=sin (Δ ϕCD )≈Δ ϕCD
sin (ϕBC )=sin π +Δ ϕBC ≈sin π +cos π Δ ϕBC
4
4
4
2
= √ ( 1+Δ ϕBC )
2
cos(ϕBC )=cos π +Δ ϕBC ≈cos π −sin π Δ ϕBC
4
4
4
√2
= ( 1−Δ ϕBC )
2
(
)
(
Prof. Dr. Wandinger
)
( )
( )
( )
( )
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-32
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
●
●
Damit folgt:
(1) → 1+ ( 1−Δ ϕBC ) +Δ ϕCD =2 → Δ ϕCD =Δ ϕBC
(2) → 1+ ( 1+Δ ϕBC )−Δ ϕAB =2 → Δ ϕBC =Δ ϕAB
Also gilt:
Δ ϕBC =Δ ϕCD =Δ ϕAB
Für die Winkelgeschwindigkeiten folgt:
ω AB =Δ ϕ̇AB , ω BC =Δ ϕ̇BC , ω CD =Δ ϕ̇CD → ω BC =ω CD =ω AB
Für kleine Auslenkungen können die kinematischen Beziehungen mit dem Momentanpol der Ausgangslage bestimmt
werden. Die Bewegung des Momentanpols darf vernachlässigt werden.
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-33
3. Systeme von starren Körpern
–
24.04.17
Energien:
●
Ausgangslage:
1 A 2
S
2
2
D
2
E = ( J AB ω AB 1 +J BC ω BC 1 +m BC v S 1 +J CD ωCD 1 )
2
1 1 1
1 1
2 2
2 2
=
+ +2⋅ + m a ω 0 =m a ω 0
2 3 3
2 3
F
E 1 =0
K
1
(
●
)
Ausgelenkte Lage:
K
2
2
E 2 =m a ω AB
1
2
E F2 = ( c T ϕ2AB +c T ϕCD
=c T ϕ2AB
)
2
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-34
3. Systeme von starren Körpern
–
24.04.17
E K2 + E 2F =E 1K + E 1F
cT 2
2 2
2
2 2
2
2
m a ω AB +c T ϕAB =m a ω 0 → ω AB =ω 0 −
ϕ
2 AB
ma
Energieerhaltungssatz:
√
c T ϕ2AB
Winkelgeschwindigkeit:
ω AB =± ω 20 −
–
Winkelbeschleunigung:
2
d
ω
c T ϕAB
1
AB
ω̇ AB =
=−
2 d ϕAB
m a2
–
Das System schwingt mit der Kreisfrequenz Ω= √ c T /(m a 2 )
um die Ausgangslage.
–
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
m a2
TM 3 4.3-35
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
●
Beispiel 5: Rollensystem
–
Die Last E hängt an einem
dehnstarren Seil, das von der
Rolle A abgespult und über die
Rollen B und C umgelenkt wird.
–
Die Last D ist über ein dehnstarres Seil mit der Rolle B verbunden.
–
Die Rollen A und C sind reibungsfrei gelenkig gelagert.
Prof. Dr. Wandinger
rC , J C
A
C
rA , J A
4. Kinetik des starren Körpers
mB ,
rB , J B
B
g
mE
mD
E
D
TM 3 4.3-36
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
–
Gegeben:
●
Rolle A: Radius rA , Massenträgheitsmoment JA
●
Rolle B: Masse mB , Radius rB , Massenträgheitsmoment JB
●
Rolle C: Radius rC , Massenträgheitsmoment JC
●
Last D: Masse mD
●
Last E: Masse mE
Gesucht:
●
alle Beschleunigungen und Winkelbeschleunigungen
●
Kräfte in den Seilen AB, BC und CE
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-37
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Kinematik:
ωA
v D =v B
v 1=v B +ω B r B =ω A r A
v B +ω B r B
→ ωA =
rA
(1)
v E =−v B +ω B r B
(2)
v E =ω B r B −v B =ωC r C
ω B r B −v B
→ ωC =
(3)
rC
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vE
A
4. Kinetik des starren Körpers
v1
ωB
ωC
C
vE
vE
B
E
v1
vB
vE
5 Freiheitsgrade
3 kinematische
Bindungen
TM 3 4.3-38
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Unter Berücksichtigung der kinematischen Bindungen bleiben zwei kinematische Variablen übrig. Das System kann
daher nicht mit dem Arbeitssatz berechnet werden.
–
Drallsatz für Rolle A:
J A ω̇ A=r A S AB
–
–
(4)
Schwerpunktsatz für Rolle B
mit Masse D:
( m B + m D ) v̇ B
=( m B + m D ) g−S AB −S BC (5)
Drallsatz für Rolle B:
J B ω̇ B =r B ( S BC −S AB )
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(6)
4. Kinetik des starren Körpers
A
SAB
SAB
SBC
B
(mB + mD )g
TM 3 4.3-39
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
–
Drallsatz für Rolle C:
J C ω̇C =r C ( S CE −S BC )
–
–
SBC
SCE
Schwerpunktsatz für Last E:
m E v̇ E =m E g−S CE
–
(7)
C
(8)
Mit den Gleichungen (4), (6) und (7) lassen
sich die Seilkräfte eliminieren.
Einsetzen in die Gleichungen (5) und (8) ergibt dann zwei Gleichungen zur Bestimmung
von v̇ B und ω̇ B .
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4. Kinetik des starren Körpers
SCE
E
mE g
TM 3 4.3-40
24.04.17
3. Systeme von starren Körpern
(4)
→
(6)
→
(7)
→
Kräfte in (5) →
Kräfte in (8) →
Prof. Dr. Wandinger
JA
S AB = ω̇ A
rA
JB
JA
S BC = ω̇ B + ω̇ A
rB
rA
JC
JB
JA
S CE = ω̇C + ω̇ B + ω̇ A
rC
rB
rA
(4')
(6')
(7')
JA
JB
( m B + m D ) v̇ B =( m B + m D ) g−2 ω̇A − ω̇ B
rA
rB
JC
JB
JA
m E v̇ E =m E g− ω̇C − ω̇ B − ω̇ A
rC
rB
rA
4. Kinetik des starren Körpers
(5')
(8')
TM 3 4.3-41
3. Systeme von starren Körpern
24.04.17
Einsetzen der kinematischen Beziehungen (1) bis (3) ergibt:
JA
JB
(5') → ( m B +m D ) v̇ B = ( m B +m D ) g−2 2 ( v̇ B +r B ω̇ B )− 2 r B ω̇ B
rA
rB
JA
JA JB
→ m B +m D +2 2 v̇ B + 2 2 + 2 r B ω̇ B =( m B + m D ) g
(9)
rA
rA rB
JC
JB
(8') → m E (−v̇ B + r B ω̇ B )=m E g− 2 ( r B ω̇ B − v̇ B )− 2 r B ω̇ B
rC
rB
JA
− 2 ( r B ω̇ B + v̇ B )
rA
JA JC
JA JB JC
→ − m E − 2 + 2 v̇ B + m E + 2 + 2 + 2 r B ω̇ B =m E g (10)
r A rC
r A r B rC
–
(
) (
(
Prof. Dr. Wandinger
)
) (
4. Kinetik des starren Körpers
)
TM 3 4.3-42
3. Systeme von starren Körpern
24.04.17
–
Die Gleichungen (9) und (10) können nach v̇ B und ω̇ B aufgelöst werden.
–
Die übrigen Beschleunigungen folgen dann aus den kinematischen Beziehungen (1) bis (3).
–
Die Seilkräfte können aus den Gleichungen (4') bis (7') berechnet werden.
–
Die Zahlenwerte für die Massen, die Massenträgheitsmomente und die Radien müssen so vorgegeben werden,
dass alle Seilkräfte positiv sind.
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-43
3. Systeme von starren Körpern
●
24.04.17
Anmerkung:
–
Wenn wie in diesem Fall der Arbeitssatz nicht verwendet
werden kann, weil das System nach Berücksichtigung der
kinematischen Bindungen noch mehr als einen Freiheitsgrad hat, bietet der Lagrange-Formalismus eine elegante
Möglichkeit, die Bewegungsgleichungen aufzustellen, ohne
dass die einzelnen Körper des Systems freigeschnitten
werden müssen.
Prof. Dr. Wandinger
4. Kinetik des starren Körpers
TM 3 4.3-44