a = 1/x 1


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1
1.1 Abschatzen von Grossenordnungen
1. Ein Mol eines Stoes wird im Ozean gelost3und verteilt sich gleichmassig auf die Weltmeere. Wieviele
Stomolekule enthalt 1cm Meerwasser ungefahr ? (Avogadrozahl LA
= 6 1023mol 1)
2. Die Sonnenmasse betragt 1.99 1030kg. Sie besteht zum grossten Teil aus Wassersto
und besitzt nur einen kleinen27Anteil an schwereren Elementen. Das Wasserstoatom
hat eine Masse von 1.67 10 kg. Wenn man ein Atom pro Sekunde abzahlen konnte,
wie viele Jahre wurde es dann dauern, um alle Wasserstoatome der Sonne zu zahlen ?
Abschatzung des Ozeanvolumens: Radius der Erde r 6400km, mittlere Tiefe der2Ozeane h
4000m, Oberachenanteil OA 2/3 ergeben ein Wasservolunmen von: V = 4 r OA h 1:5 1024cm3 , also L/V 0.3 Molekule pro cm3 Wasser.
Absch
atzung Anzahl Wasserstoatome: A = MSonne /mH 1.2 1057. Das ergibt etwa 3.8 1049 Jahre.
1.2 Physikalische Grossen und Einheiten
Bestimmen Sie die SI-Einheiten der beiden Konstanten C1 und C2 in den folgenden Gleichungen ([x] = m, [t] = s, [v] = m/s, [m] = kg, [F] = N):
1. x = C1 + C2 t
2. v2 = 2 C1 x
3. v = C1 x ln(C2 t)
4. F = C1 m1r2m2
1.3 Repetition der Schulmathematik
Bilden Sie die Ableitungen dy/dx folgender Funktionen:
1. y(x) = a x3 + b x2 + c x + d
2. y(x) = ln(a x)
3. y(x) = x e ax
p
4. y(x) = a x 1 b x3
= 3ax2 + 2bx + c
= ax1 a = 1=x
y0 (x) = e ax + x ( a)e ax = (1 ax) e ax
p
2a
1
2
y0 (x) = x 1 bx3 ax p
1 bx3 ( 3bx ) = 2p1
y0 (x)
y0 (x)
sowie die Ableitungen der folgenden Funktionen nach der Zeit:
1
abx3
bx3
1. E(t) = 12 m v2 (t)
2. q(t) = m v(t)
dE=dt
dq=dt
= d(Edt(v(t)) = mv(t) dvdt(t) = mv a
= m dv(t) = ma
dt
Berechnen Sie die Stammfunktionen F(x) = R f(x)dx von:
1. f(x) = x3 + 2 x2
2. f(x) = a sin (b x)
3. f(x) = 1/x
3
4
= x4 + 2x3 + c
a
F (x) =
cos(bx) + c
b
F (x) = ln(x) + c
0
0
1
11
1
Bilden Sie aus den Vektoren !a = @ 2 A und !b = @ 2 A die Vektoren
3
4
1. !s = !a + !b
2. !d = !a !b
3. Das Skalarprodukt s = !a !b
0
2 1 ! e1 1 1 0 2 1
!s = @ 0 A d = e2 2 2 = @ 7 A s = 1 1 + 2 ( 2) + ( 3) 4 = 15
e3
1
3 4
4
Berechnen Sie noch den Winkel zwischen
1. !a und !b
2. !a und !d
F (x)
s
= !a !b =k !a k k !b k cos )
= 90o
2
= 151o
1.3.1 Repetition: Die funktionale Denkweise und die einfachen Begrie der
Dierential- und Integralrechnung
In der Mathematik, in den Naturwissenschaften, in der Medizin und in der Nationalokonomie
ist seit dem Beginn der Neuzeit folgende Fragestellung nicht mehr wegzudenken :
z.B.
Wie hangt eine bestimmte Grosse (abhangige Variable) von einer
anderen Grosse (unabhangige Grosse) ab ?
Wie hangt das Volumen eines Wurfels von seiner Kantenlange ab ?
Wie hangt die Lange einer Eisenstange von der Temperatur ab ?
Welche Wegstrecke hat ein fallender Korper nach x Sekunden vom Moment des Fallen-
lassens an gemessen zuruckgelegt ?
Wie andert die Korpertemperatur eines Patienten im Laufe einiger Tage ?
Wie hangt der Verbrauch elektrischer Energie der Stadt Basel ab von der Tageszeit ?
Wie verlauft die Ausbreitung eines Virus in einer Grossstadt ?
Die genannten Fragestellungen und Untersuchungen fallen unter den Begri der funktionalen
Denkweise. Die Abhangigkeitsverhaltnisse werden oft anschaulich gemacht durch graphische
Darstellungen (Kurven)
y = f(x) (gelesen y gleich f von x) bedeutet:
Die Grosse y hangt ab von der Grosse x, man sagt; y ist eine Funktion von x. Dabei ist x die
unabhangige Variable, y die abhangige Variable.
Die Aufgabe der Physik ist es, die Objekte der Natur zu beobachten und ihre Eigenschaften,
Zustande und Zustandsanderungen zu beschreiben. Dabei begnugt man sich nicht mit qualitativen Angaben, sondern sucht immer quantitative Aussagen zu gewinnen. Dadurch werden
die Eigenschaften zu physikalischen Grossen.
Physikalische Grosse G =
Zahlenwert [G]
1.3.2 Die geradlinige Bewegung
[Einheit von G]
Ein Massepunkt P bewege sich auf der x-Achse:
6
x(t1)
x(t2) x
Denition: Die Funktion x = x(t), welche angibt, an welcher Stelle x sich der Massepunkt
P zur Zeit t bendet, heisst die Ortsfunktion.
Denition: v = x(t2t2) xt1(t1 ) heisst die mittlere Geschwindigkeit des Punktes P im Zeitintervall
t1, t2 .
Merke: Die mittlere (oder durchschnittliche) Geschwindigkeit ist ein Dierenzen-Quotient. Im
Weg-Zeit-Diagramm bedeutet v die Steigung der Sekante durch die Kurvenpunkte (t1 ,x(t1 ))
und (t2 ,x(t2)).
3
Denition:
v(t1 ) = t lim
!t
2
1
x(t2 ) x(t1 )
t2 t1
heisst die (Momentan-) Geschwindigkeit des Punktes P zur Zeit t1.
Merke: Die Geschwindigkeit ist ein Dierential-Quotient. Im Weg-Zeit-Diagramm bedeutet
v die Steigung der Tangente durch den Kurvenpunkt (t1 ,x(t1 )).
Denition: a = v(t2t2) vt1(t1 ) heisst die mittlere Beschleunigung des Punktes P im Zeitintervall
t1, t2 .
Merke: Die mittlere (oder durchschnittliche) Beschleunigung ist ein Dierenzen-Quotient.
Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm bedeutet a die Steigung der Sekante durch die Kurvenpunkte (t1 ,v(t1)) und (t2,v(t2 )).
Denition:
v(t2 ) v(t1 )
a(t ) = lim
1
t2 !t1
t2 t1
heisst die (Momentan-) Beschleunigung des Punktes P zur Zeit t1 .
Merke: Die Beschleunigung ist ein Dierential-Quotient. Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
bedeutet a die Steigung der Tangente durch den Kurvenpunkt (t1,v(t1 )).
1.3.3 Einige Denitionen zur Stetigkeit einer Funktion
Denition: y strebt gegen xo (Im Zeichen: x ! xo ) bedeutet: x nahert sich von beiden Seiten
immer mehr dem Wert xo, ohne je den Wert xo anzunehmen.
x strebt fallend (bzw. wachsend) gegen xo (Im Zeichen x # xo bzw. x " xo) bedeutet: x nahert
sich uber grossere Werte (bzw. kleinere Werte) immer mehr dem Wert xo, ohne je den Wert
xo anzunehmen.
y = f(x) strebt (konvergiert) gegen den Wert G fur x ! xo bedeutet: Fur x ! xo nahert sich
y = f(x) immer mehr dem Wert G und keinem anderen Wert.
Denition der Stetigkeit einer Funktion
y = f(x) heisst stetig an der Stelle xo, wenn folgende drei Bedingungen erfullt sind:
1. Der Funktionswert f(xo) existiert
2. Der Grenzwert limx!xo f(x) existiert
3. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert an der Stelle xo
Die Stetigkeit von y = f(x) an der Stelle xo hangt ab sowohl vom Verhalten von y = f(x) in
der Ungebung von xo, als auch vom Verhalten in xo selbst.
1.3.4 Allgemeine Denition der Ableitung
Es sei y = f(x) stetig an jeder Stelle des Intervalls a < x-h < x < x+h.
4
y=f(x )
s
Q
∆y
P
∆x
x
x +h
Die Steigung der Sekante s durch die Kurvenpunkte P(x,f(x)) und Q(x+h,f(x+h)) betragt:
y f (x + h) f (x)
m(h) =
x =
h
m(h) ist ein Diferenzen-Quotient
Denition: Existiert der
lim f (x + h) f (x)
k!0
h
so heisst er die Ableitung oder der Dierentialquotient von y = f(x) und wird mit f'
oder mit den Leibnitzschen Symbolen dy/dx (gelesen: dy nach dx) bezeichnet.
1.3.5 Einige nutzliche Folgerungen
lim(f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) lim(c f (x)) = c lim f (x)
f (x)
= lim
lim(f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x)
lim fg((xx))
lim g(x) (g(x) 6= 0)
Konstantenregel : (af (x))0
= af 0(x)
Summenregel :
(f (x) + g(x))0 = f 0(x) + g0(x)
P roduktregel :
(f (x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f (x)g0(x)
Quotientenregel : (f (x)=g(x))0 = (f 0 (x)g(x) f (x)g0 (x))=g2 (x)
Kettenregel :
(F (g(x))0
= F 0(g(x))g0 (x)
Einige Beispiele aus den U bungen:
f (x) = axn
f 0 (x) = anxn 1
Beweis durch Einsetzen
in Denition
p
0 (x) = (ax)0 p1 bx3 + ax (p1 bx3 )0 =
y(x) = ax (1 bx3 ) yp
p
a 1 bx3 + ax (1= 1 bx3 ) ( 3bx2)
Produktregel und Kettenregel
E (t) = 1=2mv2
E (t) = F (v(t));
E 0 (t) = F 0 (v(t)) v0 (t) = mv dv=dt = mva
Kettenregel
g(x) = ln(f (x))
g0 (x) = ff ((xx))
0
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2.1 Scheinbarer Sonnendurchmeser
Der Sonnenradius betragt 6.96 108m.
1. Unter welchem Sehwinkel erscheint ie Sonne ?
2. Kann man die Sonne bei ausgestrecktem Arm mit dem Daumen verdecken (Distanz
Erde-Sonne 0 1.496 1011m)
3. Die Entfernung des Sterns -Centauri von der Sonne ist 4.1 1016m. Wie gross ist
dieser Abstand in Parsec ?
108 0:53o
tan = dr = 114
:5 1011
Daumenradius 1cm, Armlange 1m ) = 0:102 1:2o
Ein Parsec ist diejenige Entfernung, von der aus die mittlere Entfernung der Erde
von
1:51011 =
der Sonne (= 1 AE) unter einem Winkel von einer Sekunde erscheint: 1P c = =180
1=3600
3:1 1016m ) Centauri : 34:110101616 = 1:33P c
2.2 Momentangeschwindigkeit
Geben Sie fur jede der vier x-t-Kurven in folgender Abbildung an, ob:
1. die Geschwindigkeit zur Zeit t2 grosser, kleiner oder gleich der Geschwindigkeit zur Zeit
t1 ist.
2. ob der Betrag der Geschwindigkeit zur Zeit t2 zur Zeit t2 grosser, kleiner oder gleich
dem Betrag der Geschwindigkeit zur Zeit t1 ist.
x
x
t1
a
b
c
d
v(t1 ) > v(t2 )
v(t1 ) = v(t2 )
v(t1 ) < v(t2 )
v(t1 ) > v(t2 )
t2
t
x
b
a
t1
t2
t
x
c
t1
t2
t
d
t1
t2
jv(t1 )j > jv(t2 )j
jv(t1 )j = jv(t2 )j
jv(t1 )j > jv(t2 )j
jv(t1 )j = jv(t2 )j
2.3 Bewegung in 2-D
Ein Flugzeug iege mit einer Geschwindigkeit von 250km/h relativ zur Luft. Es weht ein
Wind mit 80km/h genau in nordostlicher Richtung.
6
t
1. In welche Richtung muss das Flugzeug gesteuert werden, um genau nach Norden voranzukommen ?
2. Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug relativ zum Boden ?
Die nordwarts und ostlich gerichtete Geschwindigkeitskomponente des Windes ist vW sin 45o. Das Flugzeug muss in eine westliche Richtung gesteuert werden mit der Bedingung
vF l sin = vW sin45o. Damit ist = 13:1o.
Die Geschwindigkeit des Flugzeugs setzt sich zusammen aus der nordlichen Komponente
des Windes und der nordlichen Komponente des Flugzeuges = vW sin 45o + vF l cos13:1o
= 300km/h.
2.4 Atwoodsche Fallmaschine
m2
m1
Beweisen Sie, dassm beimmasselosem Seil und reibungsfreier Rolle fur die Beschleunigung a der
Korper gilt: a = m11+;22 g
Losung mit dem Energiesatz:
Wir setzen die Gesamtenergie im Ruhezustand = 0. Wenn sich die Masse m1 um die Strecke
x senkt, dann gilt:
Verlust an potentieller Energie 2= Gewinn an
kinetischer Energie
m1 gx m2 gx = 1=2m1x_ + 1=2m2x_ 2
2g(mm1 m m2)x = (m1 + m2)x_ 2
2g m11+m22 x
= x_ 2 Ableiten ergibt:
m
m
2g m11+m22 x_
= 2x_ x Dividieren mit x;_ x_ 6= 0
x = a
= g mm11 +mm22
Losung mit Kraften:
F
m1
G 1=m 1g
F
m2
G 2=m 2g
Beschleunigende Kraft links : m1 a
= G1
Beschleunigende Kraft rechts: m2a
= G2
Gleichungen subtrahieren ) a(m1 + m2) = (m1
7
F = m1 g F
F = m2 g F
m2 )g

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3.1 Wurfbahnen
Ein Stein wird unter einem Winkel (0 < < 2 ) mit der Geschwindigkeit vo geworfen.
y
vo
θ
x
1. Was ist die Reichweite des Steines ?
2. Kann man dieselbe Reichweite unter einem verschiedenen Winkel erreichen (bei gleichem vo) ?
Bewegungsgleichung in y-Richtung: y = g ) y(t) = vo sin () t 1=2gt2
Bewegungsgleichung in x-Richtung: x = 0 ) x(t) = vo cos() t
2vo sin()
y(t) = 0 fur t=0,
t=
g
2
Reichweite:
x(t) = vo sin(2)
g
Fur gleiche Winkel gilt:
sin (21) = sin (22)
also:
2 = =2 1
3.2 Zylinder in Rotation
r=10cm
Θ
m =100g
Ein kleiner, durchgebohrter Zylinder mit einer Masse von 100g gleite auf einem Draht.
Dieser ist zu einem Halbkreis mit dem Radius 10cm gebogen und rotiere um eine vertikale
Achse mit 2 Umdrehungen pro Sekunde. Fur welchen Wert von bleibt der Zylinder relativ
zum sich drehenden Draht in Ruhe ?
8
Der Zylinder bleibt in Ruhe, wenn sich die beiden Tangentialkomponenten F1 = FGt und F2
Θ
FZt
Θ
l
FZ=m lω
ω2
FGt Θ
G =m g
= FZt gerade aufheben:
F1 = Tangentialkomponente des Gewichtes
= mg sin F2 = Tangentialkomponente der Zentrifugalkraft = ml!2 cos = mr!2 sin cos
also cos = !g2r
3.3 Reibung
Die Reibungszahl zwischen dem Korper A und dem Korper B betrage 0.6. Der Korper A
habe eine Masse von 10kg.
A 10kg
B
a
1. Bestimmen Sie die kleinste Beschleunigung a, bei der der Korper A nicht nach unten
fallt.
2. Wie gross ist die Reibungskraft in diesem Fall ?
3. Wenn die Beschleunigung uber diesen Wert ansteigt, wird dann auch die Reibungskraft
grosser als in 2 ?
a) Fur einen Korper in Ruhe existieren die beiden Krafte G~ (das Gewicht des Korpers) und
die Gegenkraft N~ der Unterlage
a)
b)
N
N
F
R
G
c)
R
B
A
N
G
F
G
9
b) Wirkt eine beschleunigende Kraft F~ auf den Korper, so bewirkt die Kontaktache zwischen
dem Korper und der Unterlage eine Gegenkraft (Reibungskraft) R~ . Nach Coulomb ist die
Reibungskraft proportional zur Normalkraft:
R~ = H N~
(1)
Denition: H bezeichnet die maximale statische Reibung, welche die Kontaktache aufFmax .
bringen kann,
H = N
Solange F~ H N~ bleibt der Korper in Ruhe, fur F~ H N~ beginnt der Korper
sich zu bewegen.
c) Wird der Korper A nach rechts beschleunigt, so ubt er auf den Korper B eine Normalkraft
N~ aus die gerade der beschleunigenden Kraft F~ = m~a entspricht.
Nach Gleichung 1 gilt also:
~
~
R = H N
= H ma
Im Gleichgewicht hebt R gerade das Gewicht G von Korper B auf, also
R = H mamin = G = mg ) amin = g=H
Die Reibung kann maximal das Gewicht des Korpers B aufheben. Wenn die Beschleunigung
uber diesen Wert amin hinausgeht, dann nimmt die Reibungskraft nicht zu (der Korper
B hebt ja nicht ab). Mit wachsender Beschleunigung steigt jedoch die maximal mogliche
Reibungskraft (d.h. ein noch grosseres Gewicht als 10kg konnte gehalten werden).
3.4 Anwendung des Energiesatzes
Ein Federpendel besitzt die Federkonstante k = 50N/m und schwingt mit einer Amplitude
von A = 20cm. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht die schwingende Masse m = 2kg?
Es gilt das Energieerhaltungsgesetz E = Epot + Ekin = konstant.
Potentielle Energie eines Federpendels Epot = 1=2kx22
Kinetische Energie
Ekin = 1=2mx_
Bei maximaler Auslenkung ist E = Epot = 1/2kA2q
Ohne Auslenkung ist E = Ekin = 1/2m_x2 ) v = mk A.
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4
4.1 Fragen zur Repetition
Was ist eine konservative Kraft ?
Die Ortsvektoren der Massepunkte m1 und m2 sind !
r1 und !
r2 . An welchem Ort !
R
bendet sich der Schwerpunkt ?
Was ist ein Inertialsystem ?
z.B. Eine Kraft heisst konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang einem beliebigen,
geschlossenen Weg gleich Null ist.
P F~ = 0 , R~ = m1mr~11 ++mm22 r~2
In einem Inertialsystem gilt das erste Newtonsche Axiom.
4.2 Leistung
Pro Sekunde sturzen durchschnittlich 1.4 106 kg Wasser die Victoria-Falle herunter, die einen
Hohenunterschied von etwa 100m aufweisen. Welche Leistung konnte mit diesen Wasserfallen
erzeugt werden, wenn sich die gesamte potentielle Energie des Wassers in elektrische Energie
umwandeln liesse ?
Die mittlere Leistung entspricht der mittleren Arbeit pro Zeiteinheit, also
A = m gh = hg m = 1:36 106kW
P=
t
t
t
4.3 Arbeit
Eine Kraft in der xy-Ebene sei gegeben durch !
F =
p
Fo
r
y
x
. Dabei sei Fo konstant;
ferner sei r = x2 + y2
Zeigen Sie, dassder Betrag dieser Kraft gleich Fo ist und dass ihre Richtung senkrecht
auf !r = xy steht.
Welche Arbeit wird von dieser kraft an einem Teilchen verrichtet, das sich auf einer
Kreisbahn um den Ursprung mit dem Radius a bewegt (pro Umlauf) ?
q
q
k F~ k = Fx2 + Fy2= Fo2 x2r+2y2 = Fo
y
x = 0 ) = 90o
F~ ~r = Fro
x
y
A
= H F~ ds~ = H k F~ k k ds~ k= Fo H ds = 2aFo
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4.4 Potentielle Energie
An einer Pendelschnur der Lange l sei eine Kugel der masse m aufgehangt. Sie werde ausgelenkt und beim Winkel 1 losgelassen. Der Faden tree auf einen Stift, der im Anstand x
unter der Aufhangung angebracht ist. damit verkurzt sich auf der rechten Seite die Lange des
Pendels. Bestimmen Sie den maximalen Winkel 2 zwischen dem Faden und der Vertikalen,
wenn die Kugel nach rechts ausgelenkt wird.
Θ1
x
l
Θ2
l−x
Die potentielle Energie des langen Pendels links wird vollstandig umgewandelt in potentielle
Energie des kurzen Pendels.
Potentielle Energie links: Epot = mgl(1 cos1)
Potentielle Energie rechts: Epot = mg(l x)(1 cos2)
)
cos2 = x lxcosl 1
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5.1 Zwei-Korper-System
Ein Block der Masse 3kg bewege sich mit 5m/s nach rechts, und ein weiter Block der Masse
3kg bewege sich mit 2m/s nach links. Bestimmen Sie:
1. die gesamte kinetische Energie der beiden Blocke in diesem Bezugssystem.
2. die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes des Zwei-Korper-Systems.
3. die Geschwindigkeit der beiden Blocke relativ zum Massemittelpunktsystem.
4. Zeigen Sie, dass der in Teil 1 ermittelte Wert um die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung grosser ist als der Wert in Teil 4.
Ekin
= 1=2(m1v12 + m2v22 ) = 43:5Nm
2 v~2
m1 v~1 + m2 v~2 = (m1 + m2 )~v ) ~v = m1mv~11 ++m
m2 = 1:5m=s
v~1r
= ~v + v~1 = 3:5m=s
v~2r
= ~v + v~2 = 3:5m=s
Ekin
= 1=2(m1v12r + m2v22r ) = 36:75Nm
Ekin;sp
= 1=2(m1 + m2)v2 = 6:75Nm
5.2 Inelastischer Stoss
Ein Geschoss der Masse m1 = 10g trit mit der Geschwindigkeit v1 = 250m/s in horizontaler Richtung auf die Masse m2 eines ruhenden Fadenpendels und bleibt darin stecken. Die
Fadenlange bertragt 100cm. Wie gross ist die Masse m2 , wenn der ballistische Ausschlag des
Pendels gerade einen Winkel von 900 ergibt ?
Impulserhaltung: I(vor Stoss) = I(nach Stoss), also m1v1 = (m1 + m2 )w
Energieerhaltung NACH Stoss: Kinetische Energie = Potentielle Energie, also
1=2(m1 + m2)w2 = (m1 + m2)gh ) w = pgh einsetzen in Impulserhaltung ergibt
m2 = 0.55kg.
5.3 Drehmoment, Drehimpuls, Energiesatz
Wir betrachten eine Hantel bestehend aus einem masselosen Arm und zwei Punktmassen
m1 und m2 , die je im Abstand R von der Mitte am Ende montiert sind. Die Hantel ist im
Zentrum drehbar (und Reibungsfrei) gelagert und unterliegt der (konstanten) Gravitationsbeschleunigung g. Die Hantel wird am Anfang horizontal gehalten und aus dieser Position
den Kraften uberlassen. Bestimmen Sie:
die Beschleunigung der Massen unmittelbar nach dem Loslassen (horizontale Lage).
die Beschleunigung zum Zeitpunkt, in dem die Hantel gerade in vertikaler Position ist.
die Geschwindigkeit im selben Zeitpunkt, d.h. vertikale Position (Energiesatz).
Schreiben Sie als Gleichung die potentielle Energie als Funktion des Drehwinkels ' auf
(' = 0 in der Ausgangslage). Skizzieren Sie zudem diese Funktion.
Beschreiben Sie die Bewegung als Funktion der Zeit in Worten.
13
R
h
R
y=0
Φ
−h
m 1g
m 2g
y=0
R
v
a) Losung mit Energiesatz:
Fur die Anfangsbeschleunigung (Hantel horizontal)
ist die Versuchsanordnung identisch mit
der Atwoodschen Fallmaschine! Also gilt a = g mm11+mm22
Wir legen die y-Achse durch die horizontale Hantelachse. In der horizontalen Lage bei
ruhender Hantel ist die Gesamtenergie somit gegeben durch Etot = Ekin + Epot = 0 + 0 = 0
In beliebiger Lage gilt (Gesamtenergie bleibt
erhalten):
Ekin
= 1=2(m1 + m2)v2
Epot
= (m2 m1)gR sin fur = 90o : Etot = q
gR(m2 m1 ) + 1=2(m1 + m2 )v2 = 0
)v
= 2gRm(m1+1m2m2)
b) Losung mit Drallsatz
Die beiden Massen uben ein Drehmoment (M~ = ~r F~ ) auf die Hantel aus:
~ = m1 gR~ m2 gR~ = gR~ (m1 m2 )
M
Die drehende Hantel besitzt den Drehimpuls (L~ = ~r ~p)
kL~ k = L = R (m1 + m2 )v
NachdLdem Drallsatz istdvdie zeitliche A nderung des Drehimpulses gerade das Drehmoment:
dt = R(m1 + m2 ) dt = r(m1 + m2 )a = gR(m1 m2 )
In senkrechter Hantelstelllung ist das Drehmoment ~r F~ = 0, also ist die Beschleunigung =
0.
5.4 Schwerpunkt
Betrachten Sie ein gleichseitiges Dreieck, dessen Ecken mit masselosen Staben starr verbunden
sind. An den drei Ecken seien Punktmassen der Grosse m1 = m2 = m und m3 = 2m xiert.
Bestimmen Sie die Position des Schwerpunktes.
Aus Symmetriegrunden muss der Schwerpunkt auf der Mittelsenkrechten zwischen
den Massen m1 und m2 liegen. Fur den Mittelpunkt der Hohenlinie gilt dann gerade P F~ = 0.
5.5 Elastischer Stoss
Wir betrachten den zentralen elastischen Stoss zweier Punktmassen m1 und m2, wobei m2 =
2m1 ist. Vor dem Stoss ruht m2 und m1 bewegt sich auf die zweite Masse mit der Geschwindigkeit v zu. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Massen nach dem Stoss als
Funktion von v.
Impulssatz: m1v1 = m1w + 2m1w2 ) v1 = w1 + 2w2
Energiesatz: m1v12 = m1w12 + 2m1w22 ) v12 = w12 + 2w22
einsetzen ergibt: w1 = -1/3v und w2 = 2/3v.
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6
6.1 Gleichgewicht
Worin liegt der wesentliche Unterschied zwischen einem stabilen und einem instabilen Gleichgewichtszustand ?
Bei einer kleinen Auslenkung aus der Gleichgewichtslage kehrt das System bei einem
stabilen Gleichgewicht wieder in seinen Ursprungszustand zuruck: Epot ist (lokal) minimal
fur ein stabiles Gleichgewicht, Epot ist ein (lokales) Maximum fur ein labiles Gleichgewicht,
Wenn Epot konstant ist, dann spricht man von einem indierenten Gleichgewicht.
6.2 Massentragheitsmoment
Berechnen Sie das Tragheitsmoment eines langen, dunnen und homogenen Stabes der Masse
m bezuglich einer Achse senkrecht zum Stab durch den Schwerpunkt
Das Tragheitsmoment ist deniert als = R r2 dm, wo r der Abstand der Massse dm von
der Drehachse bedeutet.
dm
r
d
Wir unterteilen den Stab in kleine Scheibchen mit dem Volumen dV = d2 dr. Die Gesamtmasse m des Zylinders ist gegeben zu m = V = d2l.
=
Z
r2 dm = 2
Z l=2
0
r2 dm = 2
Z l=2
0
r2 dV
6.3 Leiter
= 2d2
Z l=2
0
r2 dr =
d2 l3
m2
12 = 12 l
a) Beweisen Sie die folgende Behauptung: Ein starrer Korper, an dem drei Krafte angreifen,
kann nur dann im Gleichgewicht sein,
wenn sich die Wirkungslinie der drei Krafte in einem
Punkt schneiden. Verwenden Sie P M~ = 0.
b) Eine Leiter steht unter einem Anstellwinkel von = 30o an einer senkrechten, glatten
Wand (keine Reibung). Zwischen Boden und Leiter ist der HaftreibungskoeÆzient = 0.5.
Bis zu welcher Hohe x lasst sich die Leiter besteigen, ohne dass sie gleitet ? Das Eigengewicht
der Leiter sei vernachlassigbar. Verwenden Sie a).
15
F3
α
h
x
F2
G
FR
s
β
A
y
FBoden
Die Leiter bewegt sich nicht: ) P
F~ = 0P
P
Im stabilen Zustand gilt: a)
b) Die Leiter dreht sich nicht: ) M~ = F~ ~r = 0
P
Aus a) folgt: P Fhorizontal = F3 FR = 0 ) F3 = FR
Fvertikal = F2 G = 0 ) F2 = G
Im Punkt
A
gilt:
P
~
Mvertikal
=F Gx1 F3 h = 0
3
) x1 =
G h mit x1 :s = x:h folgt h
x
= FG3 h hs = FGR tanh = tan 6.4 Physikalisches Pendel
Bestimmen Sie fur kleine Auslenkungen die Schwingungsdauer T einer Kreisscheibe (Radius
R, Masse m), wenn sie um eine Drehachse schwingt, die zur Symmetrieachse parallel ist und
von dieser den Abstand a hat. Fur welches a wird T minimal ?
ϕ
a
z
a
R
R
mg
Bei einer Auslenkung um den Winkel erfahrt das Pendel ein rucktreibendes Drehmoment
= F~ ds~ = mg z = mga sin . Die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur Drehbewegungen: Drehmoment = d/dt(Tragheitsmoment Winkelgeschwindigkeit) hat dann die
folgende Gestalt:
mgz sin = a!_ = a
dabei ist a das
Tragheitsmoment bezuglich der Drehachse. Nach dem Satz von Steiner gilt
a = + ma2 = 1=2mR2 + ma2
Die Schwingungsgleichung lautet also:
ddt22  + mga sin = 0
 + mga
= 0 (sin fur kleine Winkel)
Die Losung
q diesr Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer
2
p
T = 2g R2+2a a2 . Die Schwingungsdauer wird mininmal fur T' = 0 , a = pR2
~
M
16
6.4.1 Harmonische Schwingung
Ein homogener Zylinder der Masse m rollt auf horizontaler Ebene unter dem Einuss einer
Federkraft hin und her. Wie gross ist die Frequenz?
ω
a)
dm
b)
k
m
r
FFeder
l
dl
r
r
v
m om entane Drehachse
a) Losung mit Energiesatz: (Ekin + Epot = konstant.)
Die potentielle Energie besteht aus der Energie
einer gespannten Feder, die kinetische Energie
besteht aus der Bewegungsenergie 1/2mv2 des Zylinders plus der Rotationsenergie, die in der
Drehbewegung des Zylinders wahrend dem Rollen steckt.
Mathematischer Exkurs: Rotationsenergie eines Zylinders
Wir unterteilen den Zylinder in Ringe der Dicke dl im Anstand l vom Zentrum. Die Masse in
diesem Ring mit Umfang 2l bewegt sich mit der identischen Geschwindigkeit j ~v j, besitzt
also die kinetische Energie dE = 1/2mv2. Fur die Energie des rotierenden Zylinderstuckes
gilt also:
dE = 1=2dmv2 = 1=2v22ldl = 1=2!2l2 2ldl = !2 l3dl
und fur die gesamte Rotatonsenergie
Z r
Z r
!2r4
2
2
= mr2 !2 = 1=2!2
4
0
0
Die gesamte Energie ist also E = 1=2mx_ 2 + 1=2kx2 + 1=2!2
kx2 + mx_ 2 + !2
= konstant ( = 1=2mr2; v = x_ = r!)
2
2
2
kx + mx_ + 1=2mx_ = konstant (Ableiten nach der Zeit)
2kxx_ + 3mxx_
=0
(Triviallosung x_ = 0 ausschliessen)
x + 32mk x
=0
Harmonische Schwingungsgleichung
Die Schwingungsgleichung hat die Losung x(t) = Asin(!t) mit
r
2k
! = 2f =
3m
b) Losung mit Drallsatz (M~ = dL~ =dt)
Die Federkraft ubt auf den Zylinder ein Drehmoment M~ = ~r F~F eder aus. Beachte: die
Drehachse ist nicht die Figurenachse des Zylinders, sondern der momentane Auagepunkt
des Zylinders auf der Ebene! Dieser Auagepunkt heisst auch momentane Drehachse des
Zylinders.
Drehimpuls des Zylinders:
L = ! ) dL=dt = d!=dt = =r x (r ! = v = x_ )
Aus dem Drallsatz folgt somit: FF eder r = kx r = dL=dt = r x
mit = 1/2mr2 + mr2 (Satz von Steiner) folgt die harmonische Schwingungsgleichung aus
Losungsweg a)
E=
dE = !2 l3dl =
17

7 Ubungen
Serie 7
7.1 Corioliskraft
Wie gross ist die Corioliskraft, die auf ein mit der Geschwindigkeit v = 100km/h uber den
Nordpol (zur Vereinfachung der Aufgabe) fahrendes Auto der Masse 100kg ausgeubt wird ?
Mathematischer Exkurs I: Krafte in einem parallelen Bezugsystem
Z
Z’
P
O
O’
v
X
Y, Y’
X’
Das Koordinatensystem X'Y'Z' bewege sich relativ zum Inertialsystem XYZ mit der Geschwindigkeit v (wobei v c sein soll). Zur Zeit t=t'=0 benden sich beide Koordinatenurprunge O und O' am gleichen Ort. Zur Zeit t=t' > 0 hat sich der Koordinatenursprung O'
fortbewegt.
um die Strecke OO0 = !v t auf der gemeinsamen Y-Achse
!
0
!
!
0
0
Es gilt: OP = OO + O P also r = v t + r
Diese Beziehung heisst auch Galilei-Transformation
Fur die Geschwindigkeit V von P relativ zu O gilt: V = ( drdt )O
Fur die Geschwindigkeit V' von P relativ zu O' gilt: V' = ( drdt )O = d(rdtvt) = V v
Fur die Beschleunigung a von P relativ zu O gilt: a = dVdt
Fur die Beschleunigung a' von P relativ zu O' gilt: a' = dVdt = dVdt dvdt = a
Die Beschleunigung ist unabhangig vom Bezugsystem. In beiden Systemen messen wir also
die gleichen Krafte F =ma.
0
0
0
Mathematischer Exkurs II: Krafte in einem rotierenden Bezugsystem
Das System X'Y'Z' rotiere relativ zum Inertialsystem XYZ mit der Winkelgeschwindigkeit
! um die gemeinsame Achse Z=Z'.
Z, Z’
ω
Y’
O, O’
P
r=r’
X
Y
X’
V ist die Geschwindigkeit von P relativ zu O: V = ( drdt )O
Wenn P sich nicht bewegt in O', dann bewegt sich P im System XYZ im Kreis mit der
Winkelgeschwindigkeit ! ) V = ! r
18
Wenn P sich bewegt in O' mit der Geschwindigkeit V', dann bewegt sich P im System
YXZ mit der Geschwindigkeit
V =!r+V0
(2)
Fur die Beschleunigung a von P relativ zu O gilt:
a) Falls sich P nicht bewegt in O':
d(! r)
dV
)O = ! ( dr )O = ! V = ! (! r)
(3)
a = ( )O = (
dt
dt
b) P bewegt sich in O':
a=(
dt
dV
dV 0
)
) + ! ( dr
)
O =(
dt
dt O
dt O
Die beiden Summanden berechnen sich zu:
dr
! ( )O
dt
dV 0
( dt )O
=
(4)
! V = ! (V 0 + ! r) = ! V 0 + ! (! r)
0
( dVdt )O + ! V 0 = a0 + ! V 0
=
Somit ergibt sich fur die Beschleunigung:
a = a0 + 2! V 0 + ! (! r)
(5)
Der zweite Term heisst Coriolisbeschleunigung, der dritte Term ist die Zentripetalbeschleunigung.
Fur den Betrag der Corioliskraft gilt somit FC = maC = 2mv!
0
7.2 Doppelte Fluchtgeschwindigkeit
Ein Korper werde an der Erdoberache mit der doppelten Fluchtgeschwindigkeit abgeschossen. Wie gross ist seine Geschwindigkeit, wenn er sehr weit weg von der Erde entfernt ist ?
(Lassen Sie den Luftwiderstand ausser acht)
Die Fluchtgeschwindigkeit ist deniert als die minimale Geschwindigkeit, die ein Korper
an der Erdoberache besitzen muss, um das Schwerefeld der Erde verlassen zu konnen, d.h.
v(1) = 0.
Ansatz: Es sollen die bekannten Formeln gelten fur die kinetische und potentielle Energie:
Ekin = 1=2 m v2
Epot = m g h
Mit diesem Ansatz folgt unnmittelbar Epot(1) = mg 1, d.h. die potentielle Energie
ware unendlich gross und der Korper kann deshalb das Schwerefeld der Erde nicht verlasssen,
weil am Erdboden nicht genugend kinetische Energie vorhanden ist. Oenbar ist ein Fehler
in der Annahme!
Mathematischer Exkurs:
Potentielle Energie eines Korpers im Schwerefeld der Erde
Fur einen Korper in einem Schwerefeld gilt das Newtonsche Gesetz: Die Kraft zwischen
zwei Korpern ist proportional zu deren Massen und umgekehrt proportional zum Abstand
im Quadrat
19
F (r) =
mM
r2
(6)
Die potentielle Energie eines Korpers in der Hohe h uber dem Boden ist genau gleich der
Arbeit, die aufgewendet werden muss, um den Korper von der Erdoberache um die Strecke
h hochzuheben.
A
=
=
Z RE +h
RE
F (r)dr = mM Z RE +h
RE
1 dr
r2
1
1
mM jRREE +h = mM (
r
RE + h
1 ) = mM hRE
R
R2
R +h
E
E
E
Der erste Faktor ist nach dem Gravitationsgesetz gerade das Gewicht mg des Korpers auf
der Erdoberache, also:
A = mgh RE
RE + h
(7)
Fur h RE ist der zweite Term ungefahr 1, und es entsteht die bekannte Formel fur
die potentielle Energie Epot. Fur grossere Distanzen (h vergleichbar oder grosser als RE ) ist
diese Vereinfachung oenbar nicht mehr zulassig.
Damit ergibt sich jetzt der richtige Losungsansatz: Die potentielle Energie eines Korpers
unendlich weit weg von der Erdoberache ist gleich der aufgebrachten Arbeit, um den Korper
von der Erdoberache ins Unendliche zu heben:
A
=
=
1
Z
RE
F (r)dr = mM 1
mM j1
r RE
=
1
Z
RE
mM 1 dr
r2
1
RE
Fur die Fluchtgeschwindigkeit v gilt demnach:
1
mM
Ekin (v) = A also mv2 = A =
(8)
2
RE
Wenn der Korper mit der doppelten Fluchtgeschwindigkeit losgeschickt wird, gilt nach
Energiesatz (Gesamtenergie am Erdboden = Gesamtenergie im Unendlichen):
1
1 2 mM
2
(9)
2 m(2v) + 0 = 2 mv1 + RE
Daraus lasst sich dann die Restgeschwindigkeit v1 berechnen zu: v1 = p3v:
7.3 Bohrung in der Erde
Nehmen Sie an, die Erde sei eine Kugel mit homogener Massenverteilung. Es fuhre eine
Bohrung mit einem kleinen Durchmesser von der Oberache bis zum Erdmittelpunkt.
1. Welche Arbeit musste aufgewandt werden, um einen kleinen Gegenstand der Masse m
vom Erdmittelpunkt an die Erdoberache zu heben ?
20
2. Der Gegenstand falle an der Erdoberache in die Bohrung. Wie gross ist dann seine
Geschwindigkeit beim Erreichen des Erdmittelpunktes (Reibung vernachlassigen) ?
Mathematischer Exkurs: Kraft einer homogen geladenen Kugelschale
Der Punkt P soll sich im Abstand r vom Mittelpunkt M der Kugelschale mit Radius a
benden.
dϕ
adϕ
ϕ
ϕ
M
R
dF
a
r=MP
dFII
β
P
Wir unterteilen die gesamte Kugelschale (mit Gesamtmasse m) in Scheibchen dArea der
Breite ad und berechnen die Gravitationskraft eines solchen Scheibchens auf den Punkt P.
Es gilt:
Flache des Scheibchens: dArea = Lange Breite
= 2ma sin(') ad' = 21 a2 sin ' d'
= 2 m sin ' d'
Masse des Scheibchens: dm
= 4a2 dArea
ur die Komponente
Fur die Kraft dF eines Scheibchens auf P gilt dann: dF(R) = Mdm
R2 , und f
der Kraft in Richtung zum Mittelpunkt der Kugelschale gilt dFk = dF(R) cos . Somit
dFk = dF cos =
Wir wenden zwei mal den Cosinussatz an
mM
2R2
sin 'd' cos 2
2
= r2 + R2 2rR cos ) cos = r +2RrR
R2 (') = a2 + r2 2ar cos '
Die letzte Gleichung (12) wird nach ' abgeleitet (Kettenregel beachten!):
a2
(10)
a2
(11)
(12)
R
dR
(13)
2R dR = 2ar sin 'd' ) sin ' d' = ar
Die beiden Gleichungen (11) und (13) eingesetzt in Gleichung (10) ergibt:
mM r2 + R2 a2
dFk =
(14)
2arR 2rR dR
Die gesamte Gravitationskraft der Kugelschale ergibt sich aus dem Integral der Teilkrafte
dFk aller Scheibchen.
Fur einen Punkt P ausserhalb der Kugelschale (r>a) mussen wir von (r-a) bis (r+a) integrieren:
21
Z r+a
Z r+a
2
2
Z a+r
2
2
= mM
( r R2a + 1)dR
2
4
ar
r a
r a
mM a2 r2 r+a
r
+
a
= 4ar2 R jr a + Rjr a
mM
1
1
2
2
= 4ar2 (a r ) ( r + a r a ) + 2a
mM
= mM
4ar2 4a = r2
Die Gravitationskraft, die eine Kugelschale mt Radius a und Masse m auf einen Korper im
Abstand r>a auswirkt, ist somit gleich gross wie die Kraft einer Punktmasse m im Abstand
a.
Da jede Kugel zusammengesetzt werden kann aus einzelnen konzentrischen Kugelschalen,
gilt dieser Satz somit auch fur homogene Kugeln.
Fur einen Punkt P innerhalb der Kugelschale (r<a) mussen wir von (a-r) bis (a+r) integrieren:
Fk =
Z a+r
dFk
= mM
( r R2a + 1)dR
2
4
ar
a r
a r
mM a2 r2 a+r
a
+
r
= 4ar2 R ja r + Rja r
1
1
mM
2
2
= 4ar2 (a r ) ( a + r a r ) + 2r
= mM
4ar2 (2r (r a) (r + a) = 0
Im Inneren einer homogenen Kugel mit Radius a wirkt keine Gravitationskraft auf den
Korper.
Fur einen Korper der Masse m irgendwo in der Hohe r der Bohrung gilt somit: Wir
unterteilen die Erdkugel in Schalen, deren Radien grosser ist als r, und Schalen mit Radien
kleiner als die Hohe r.
Aus der vorhergehenden Herleitung wissen wir, dass:
Alle Schalen ausserhalb von r bewirken keine Gravitationskraft auf den Korper
Alle Schalen innerhalb von r bewirken eine Gravitationskraft, die als Punktmasse im
Zentrum der Erdkugel angesehen werden kann.
Fk =
dFk
P
r
RE
22
Somit gilt in der Hohe r das Gravitationsgesetz:
mM (r)
F (r ) =
(15)
r2
wobei M(r) die Masse aller Kugelschalen innerhalb von r ist.
Masse der Erde Volumen(Kugelschalen < r) = MR3E r3
M(r) = Volumen
der Erde
E
Die Arbeit, um einen Korper vom Mittelpunkt der Erde an den Rand zu heben ist somit:
A=
Z
Z
mME RE
mME
rdr =
3
RE 0
2RE
(16)
Die Geschwindigkeit im Zentrum ergibt sich aus der vollstandigen Umwandlung der potentiellen Energie an der Erdoberache in kinetische Energie im Zentrum der Erdkugel, wenn er
an der Oberache fallen gelassen wird:
q
Ekin = 21 mv2 = A ) v = 2mA
0
RE F (r)dr =
7.4 Gravitationskraft
Ein homogener Stab mit der Masse M = 20kg und der Lange L = 5m sei zu einem Halbkreis
gebogen. Wie gross ist die Gravitationskraft, die er auf eine Punktmasse m = 0.1kg im
Zentrum des Halbkreises ausubt ?
dM
dF
ϕ
dϕ
r=L/π
π
Wir unterteilen den homogenen Stab in kleine Bogenelemente der Masse dM. Fur die
Masse im Bogenelement gilt:
T eilmasse dM
T eilwinkel d'
=
(17)
Gesamtmasse M Gesamtwinkel Ein solches Massenelement bewirkt auf den Korper eine Kraft gemass dem Gravitationsgesetz: dF = mr2dM
Fur die Kraft in y-Richtung gilt: dFy = dF sin '
Fur die Kraft in x-Richtung gilt: dFx = dF cos '
Somit:
Fy =
Fx =
Z 0
Z dF sin'
=
=
Z mdM
sin'
0 r2Z
mM 2mM
sin'd' =
2
L
L2
Z0 mM
cos'd' = 0
L2 0
=
Fx = 0, was aus Symmetriegrunden zu erwarten war
0
dF cos'
23

8 Ubungen
8
8.1 Auto im See
Ein Fahrzeug verpasse eine Kurve und versinke 8m tief in einem See.
1. Die Fahrzeugture habe die Flache 0.5m2. wie gross ist die vom Wasser von aussen auf
die Ture wirkende Kraft ?
2. Wie gross ist die von der Luft auf die Innenseite der Ture ausgeubte Kraft, wenn im
Auto Atmospharendruck herrscht ?
3. Was muss der Eingeschlossenen tun, um die Ture onen zu konnen ?
Druck in einer Flussigkeit p = gh, also F = ptotA = (patm + gh)A = 9104 N.
F = patm A = 5104 N.
8.2 Schweredruck
Ein U-Rohr, dessen Schenkel oben oen sind, ist zunachst teilweise mit Quecksilber gefullt.
Nun wird die Symmetrie durch Einfullen einer Wassersaule von 10cm Hohe in den einen schenkel gestort. Welcher Hohenunterschied der Flussigkeitsspiegel stellt sich im neuen Gleichgewicht ein ? (Hg : H2 O = 13.6 : 1)
H 2O
h
x
Hg
Linksseitiger Flussigkeitsdruck p = Hg xg
Rechtsseitiger
Flussigkeitsdruck p = w lg
) x = Hgw l, h = l-x = HgHgw l = 9.265cm
8.3 Auftrieb
Ein einseitig geschlossenes Aluminiumrohr von 120g Masse, einem Aussendurchmeser von d
= 4cm und einer Lange l von 30cm ist mit Bleischrot im Gewicht von 1.5N beschwert. Das
Rohr schwimmt in Petroleum (Dichte = 0.8g/cm3). Wie weit ragt es aus der Flussigkeit ?
d
h
l
Auftrieb = Gewicht der verdrangten Flussigkeit
Auftrieb FA
= d42 g(l h)
Gewicht F
= mAlu + GBlei = mg + G
Im Gleichgewicht FA = F ) h = l 4(md+2G=g) = 2:85cm
24
8.4 Oberachenspannung
Eine leere Dose mit einem kleinen Loch von 0.1mm Durchmesser werde unter Wasser gedruckt. In welcher Tiefe beginnt das Wasser durch das Loch in die Dose einzudringen ? Die
Oberachenspannung des Wassers betragt 0.073N/m.
Mathematischer Exkurs: Oberachenenergie und Oberachenspanung
Zwischen den Molekulen einer Flussigkeit wirken anziehende Krafte, die mit dem Abstand
sehr schnell abklingen (Van der Waals-Krafte). Auf ein Molekul in der Flussigkeit wirkt
deshalb eine resultierende Kraft, dier nur von seiner direkten Umgebung bestimmt wird.
Bendet sich das Molekul im Inneren der Flussigkeit, so ist wegen der allseitig gleichen
Umgebung des Molekuls die resultierende Kraft Null. Ein Molekul an der Oberache der
Flussigkeit ist jedoch nicht mehr allseitig umgeben von anderen Molekulen. Die resultierende
Kraft zeigt deshalb ins Innere der Flussigkeit. die Oberache wirkt wie eine Art Gummihaut,
welche sich so weit wie moglich zusammenzieht.
Schiebt sich ein Molekul vom Inneren der Flussigkeit an die Oberache S, so leistet es
gegen die Oberachenkraft F~S die Arbeit AS , welche es beim Wiedereindringen ins Innere
zuruckgewinnt. Die Arbeit AS entspricht also der potentiellen Energie Epot(Oberache).
Eine Flussigkeit mit n S Molekulen an der Oberache S besitzt deshalb die Oberachenenergie Epot(Oberache) = S
wird als Oberachenspannung bezeichnet. Es gilt also:
E
= pot
S
dx F
= Fl dx
=l
2r
(18)
h
Wasserdruck in der Tiefe h: p = gh, also ist die Kraft des Wasserdruckes auf die Dosenonung
F = pA = ghr2
Diese Wasserkraft wird ausgeglichen durch die Oberachenkraft (siehe Gleichung 18) F = l
= 2r:
2 30cm
2r = ghr2 ) h = gr
25

9 Ubungen
Serie 9
9.1 Bernoulli-Gleichung
Wasser iesse mit 0.65m/s durch einen Schlauch mit dem Innendurchmesser von 3cm. Der
Durchmesser einer Duse am Ende des Schlauches betrage 0.3cm.
1. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus der Duse aus?
2. Die Pumpe auf einer Seite und die Duse auf der anderen Seite des Schlauches benden
sich auf gleicher Hohe, und der Druck auf die Duse sei gleich dem Atmospharendruck.
Wie gross ist dann der Druck an der Pumpe?
F1
A1
v1
z1
F2
A2
dx 1
v2
dx 2
z2
1. Wir betrachten eine Masse M die links in das Rohr mit Querschnitt A1 hineiniesst und
rechts durch das Rohr mit Querschnitt A2 hinausiesst. F1 und F2 sind die Krafte auf
die Flachen A1 und A2 . Diese Kafte auf die Flachen entstehen, weil in der Flussigkeit ein
ortsabhangiger Druck p existiert.
ML = Masse links = V1 = A1 dx1
MR = Masse rechts = V2 = A2 dx2
Weil keine Masse verschwindet, muss pro Zeiteinheit gleich viel Masse ins Rohr hinein wie
hinausiessen, d.h. dMdxL=dt = dMr =dt:
dML=dt = A1 dt1 = A1 v1
dMR =dt = A2 dxdt2 = A2 v2 also A1 v1 = A2 v2 ) v2 = v1 ( dd21 )2 = 65m=s
2. Wir wenden den Satz von Bernoulli an (ohne den Term gh):
p1 + 1=2v12 = p0 + 1=2v02 ) p1 = p0 + 1=2(v02 v12 ) = 21:9Atm
Mathematischer Exkurs: Das Theorem von Bernoulli
Fur die Anwendung des Energiesatzes (Summe aller Energien ist konstant) mussen wir beachten, dass zusatzlich zur potentiellen Energie (Hohenunterschiede z1, z2 ) und zur kinetischen
Energie (Geschwindigkeiten v1, v2) noch ein weiterer Energieterm dazukommt. In der Figur
sind die Krafte F1 und F2 eingezeichnet, die durch den vorhandenen Druck innerhalb der
Flussigkeit entstehen. Wegen diesen Kraften wird Arbeit in die Flussigkeit gesteckt oder die
Flussigkeit leistet Arbeit: Bei A1 wird die Flache A1 durch die Kraft F1 gestossen, bei A2
stosst die Flussigkeit die Flache A2. Somit wird im Flussigkeitsvolumen zwischen A1 und A2
die Arbeit W = F2 dx2 F1 dx1 = p2A2 dx2 p1A1dx1 = (p2 p1)A1 dx1 verrichtet (nach
der Kontinuitatsgleichung gilt ja A1dx1 = A2dx2 ).
Fur die Energieerhaltung gilt somit:
Energie links: Etot = 1=2m1v12 + m1gz1 = A1dx1 (1=2v12 + gz1)
Energie rechts: Etot = 1=2m2v22 + m2gz2 + W = A2 dx2 (1=2v22 + gz2 + (p2 p1)A1 dx1 )
= A1 dx1 ((1=2v22 + gz2) + (p2 p1))
26
Gleichsetzen der Energien links und rechts gibt demnach:
1=2v12 + gz1 + p1 = 1=2v22 + gz2 + p2
Diese Gleichung heisst auch das Theorem (oder Satz) von Bernoulli
(19)
9.2 Flugzeug
Ein Flugzeug besitzt eine Tragache von A = 300m2. Seine Startgeschwindigkeit sei v =
500km/h. Welche Tragkraft entsteht, wenn die Stromungsgeschwindigkeit der Luft an der
Oberseite der Tragache um 5 Prozent grosser und an der Unterseite um 5 Prozent kleiner
ist als die Fluggeschwindigkeit ?
Wir wenden den Satz von Bernoulli (Gleichung
19) an (ohne den
Term gh):
2
Oberhalb des Flugels: patm + 1=2v2 = poben + 1=2voben
2
Unterhalb des Flugels: patm + 1=2v2 = punten + 1=2vunten
2
2
) punten poben
= 1=2(voben vunten )
= 1=2v2(1:052 0:952) = 2373P a
F = (punten poben ) A
= 712kN
Anmerkung: Fliegen wird entweder durch den statischen Auftrieb (Ballon) oder durch
den sogenannten dynamischen Auftrieb ermoglicht. Der Grund fur dynamischen Auftrieb
muss man im 3. Newtonschen Gesetz sehen und nicht in der Gleichung von Bernoulli.
Wenn die an eine Tragache stromende Luft eine aufwartsgerichtete Kraft erzeugt, dann
muss nach dem 3. Newtonschen Gesetz die Tragache eine abwartsgerichtete Kraft auf die
Luft ausuben. Da Luft einer solchen Kraft nicht widerstehen kann, wird sie abgelenkt und
nach unten beschleunigt. das 2. Newtonsche Gesetz gibt uns einen quantitativen Ausdruck
fur die Auftriebskraft.
Flug bei hoher Geschwindigkeit
Flug bei niedriger Geschwindigkeit
vLuft
vLuft
dV
α
dV
α
F=mdV/dt
vLuft
vLuft
Grosse Masse, kleine Beschleunigung
F=mdV/dt
Kleine Masse, grosse Beschleunigung
Wie in der Figur 9.2 schematisch dargestellt, kommt es zu einer Ablenkung von Luft
abwarts verursacht durch den Anstellwinkel des Flugels. Besonders anschaulich ist die
Beschleunigung der Luft beim Hubschrauber. Der Pilot erhoht die Geschwindigkeit des Rotors
und den Anstellwinkel der Rotorblatter bis genugend Luft abwarts beschleunigt wird, um eine
Reaktionskraft zum Gewicht seiner Maschine zu erreichen.
Die nach unten beschleunigte Luft ist der Grund fur den dynamischen Auftrieb einer Tragugelache, erst als Eekt resultiert davon die oft als Grund angesehene Druckverteilung am
Tragugel.
27
Zur Vertiefung des Problems mussen auch noch die Rolle der Anfahrwirbel und der Wirbelzopfe eines Tragugels berucksichtigt werden.
9.3 Viskose Stromung
Blut braucht etwa 1s, um durch eine 1mm lange Kapillare des menschlichen Kreislaufsystems
zu gelangen. Der Durchmesser der Kapillare betrage 7m, und der Druckabfall sei 2.6kPa.
Wie gross ist die Viskositat des Blutes?
nach dem Gesetz van Hagen-Poiseuille gilt:
Z r
Z r
r4
r4
r2 p
Q = dQ = 2 xv(x)dx =
p) =
p= 2
8l
8Ql
8l
0
0
mit dem Volumenuss Q = dV/dt = lr2 folgt = 4mPa.
Mathematischer Exkurs: Laminare Stromung, Gesetz von Hagen-Poiseuille
Eine Stromung, deren Verhalten durch die Reibung bestimmt ist, heisst laminare Stromung
(Gegensatz: turbulente Stromung). Stromungen wie Flusse oder Wasser in der Wasserleitung
sind im Allgemeinen turbulent; die Blutzirkulation ist normalerweise laminar. Bei laminaren Stromungen gleiten dunne Flusigkeitsschichten glatt ubereinander hin, bei turbulenten
wirbeln sie ineinander.
Eine laminare Stromung in einem zylindrischen Rohr mit dem Radius r und der Lange l kann
aus vielen Hohlzylindern mit der Dicke dx zusammengesetzt gedacht werden, in denen sich
die Flussigkeit mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt.
Der Geschwindigkeitsgradient ergibt sich aus dem Gleichgewicht
der Druckkraft Fp = x2 p
dv
und der dagegen wirkenden Reibungskraft FR = A dx (A Oberache des Zylinders = 2l),
also
p x
dv
dx =
22l
xdx = lp dv
integrieren: x2 = 4lp V + C
An den Wanden ist v=0 ) v(x) = 4lp (r2 x2)
Durch den Hohlzylinder zwischen x und x+dx iesst die Flussigkeitsmenge dQ = 2dxv(x),
durch das ganze Rohr also
Q=
Z r
dQ = 2
Z r
xv(x)dx =
r4
8l
0
0
Diese Gleichung heisst das Gesetz von Hagen-Poiseuille
obige Gleichung 20 aufgelost nach ergibt 4mPas.
p
(20)
9.4 Repetition: Harmonische Schwingung
Die Position eines Korpers sei durch x = 5cm cos(4t s 1) gegeben, wobei t in Sekunden
gemessen werde. Wie gross ist:
1. die Frequenz
2. die Periode
3. die Amplitude der Bewegung ?
28
Eine harmonische Schwingung erfullt die Gleichung
x(t) + !2 x(t) = 0:
Die Gleichungen x(t) = Asin(!t) und x(t) = Bcos(!t) sind beides Losungen dieser Dierentialgleichung. Die allgemeine Losung ist also eine Kombination dieser beiden Losungen. Die
Variablen A und B werden bestimmt durch die Anfangsbedingungen x(0) und x_ (0).
Fur die Frequenz f gilt: f = 2! = 21 (4) = 2s 1
Die Periode T = 1/f = 0.5s
Die Amplitude A ist 5cm
29

10 Ubungen
Serie 10
10.1 Komplexe Zahlen
Es gilt ei = cos2 + i sin : Quadrieren Sie diese Gleichung, d.h. ei2 = cos2 + i sin2 =
(cos + i sin ) , und bestimmen Sie durch Separation des Real- und des Imaginarteils die
beiden Doppelwinkelsatze cos2 = und sin 2 =.
Nach Formeln 23 und 25 fur die Multiplikation komplexer Zahlen gilt:
ei2 = (sin + i cos )2 = sin2 + i2 cos2 + 2i sin cos = sin2 cos2 + 2i sin cos ei2 = j1j j1j (cos(2) + i sin(2))
Der Vergleich von Realteil und Imaginarteil fuhrt auf die Additionstheoreme fur doppelte
Winkel.
10.1.1 Mathematischer Exkurs: Komplexe Zahlen
Denition Eine Menge M von Zahlen versehen mit einer Additions- und einer Multiplikationsregel heisst ein Zahlkorper, wenn folgende drei Axiome erfullt sind:
Axiom 1: Die Menge M zusammen mit der Additionsregel bildet eine Gruppe
Axiom 2: Die Menge M zusammen mit der Multiplikationsregel bildet eine Gruppe
Axiom 3: Additionsregel und Multiplikationsregel sind verknupft durch das distributive
Gesetz: a (b+c) = ab + ac
Beispiel: die Menge der Rationalen Zahlen bilden einen Zahlkorper, denn wenn a und b
zwei rationale Zahlen sind, dann gelten die bekannten Rechenregeln:
Additionsoperation
Multiplikationsoperation
Vertauschungsregel a + b
=b+a
ab
= ba
Reihenfolge
a + (b + c) = (a + b) + c a (bc) = (ab)c
Neutrales Element a + 0
=a
a11
=a
Inverses Element
a + (-a)
=0
a a
=1
Distributives Gesetz
a (b + c) = ab + ac
Fur das alltagliche Rechnen genugt dieser Zahlkorper. Trotzdem ist die einfache Gleichung:
a2 = 2
in diesem Zahlkorper nicht losbar. Die Gleichung istp aber sehr wohl losbar im Zahlkorper
der reellen Zahlen und hat dort die Losung a = 2. Die reellen Zahlen bilden anschaulich
gedeutet die sogenannte Zahlengerade.
Die einfache Gleichung:
a2 = 2
(21)
ist aber auch in diesem Zahlkorper nicht losbar. Die Frage ist nun: Gibt es einen Zahlkorper
(= eine Menge von Zahlen, versehen mit einer Additions- und Multiplikationsregel), in dem
diese Geichung losbar ist?
Denition Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a,b): z = (a,b).
Die reelle Zahl a heisst der Realteil von z
Die reelle Zahl b heisst der Imaginarteil von z
Zwei komplexe Zahlen z1 und z2 heissen gleich, wenn sie sowohl im Realteil wie auch im
Imaginarteil ubereinstimmen.
30
Wir benden uns jetzt in der Menge aller geordneten Paare von reellen Zahlen und wollen
darin eine Additions- und eine Multiplikationsregel denieren, sodass ein Zahlkorper entsteht.
Denition Unter der Summe zweier komplexer Zahlen z1 = (a1 , b1 ) und z2 = (a2 , b2 )
versteht man die komplexe Zahl (a1 + a2, b1 + b2 ):
z1 + z2 = (a1 + a2 ; b1 + b2 )
(22)
Merke: Komplexe Zahlen werden wie Vektoren addiert.
Denition Unter dem Produkt zweier komplexer Zahlen z1 = (a1 , b1 )
versteht man die komplexe Zahl (a1 a2 - b1 b2, a1b2 + a2b1):
und z2 = (a2, b2)
z1 z2 = (a1 a2 b1 b2 ; a1 b2 + a2 b1 )
(23)
Folgerungen:
Die komplexe Zahl (0,0) ist das Nullelement der Addition.
Die komplexe Zahl (1,0) ist das neutrale Element der Multiplikation.
Die Menge der komplexen Zahlen, deren Inaginarteil Null ist, bilden einen Unterkorper
des Zahlkorpers der komplexen Zahlen. Dieser Unterkorper besteht gerade aus den
reellen Zahlen.
Fur reelle Zahlen ergeben die komplexen Additions- und Multiplikationsregel gerade
unsere normalen Rechenregeln.
Abkurzung Fur (a,0) schreiben wir kurz a: (a,0) = a, Speziell (0,0) = 0, (1,0) = 1.
Abkurzung Fur (0,1) schreiben wir kurz i: (0,1) = i
Somit konnen wir fur z = (a,b) kurz schreiben: z = a + ib
Die Gleichung 21 hat im Zahlkorper der komplexen Zahlen die beiden Losungen:
p
p
a = (0; 2) = i 2
wie man durch Einsetzen in die Multiplikationsregel beweisen kann:
p
p
p p p
p
(0; 2) (0; 2) = (0 0 2 2; 0 2 + 0 2) = ( 2; 0) = 2
Ebenso folg:
i2 = (0; 1) (0; 1) = (0 0 1 1; 0 1 + 0 1) = ( 1; 0) = 1
Im Korper der komplexen Zahlen gilt nun der Fundamentalsatz der Algebra:
Jede Gleichung der Form
z n + an 1 z n 1 + an 2 z n 2 + ::: + a1 z + a0 = 0
besitzt mindestens eine Losung
31
i
b1
i
Polarkoordinaten
z1 = a1 + ib1
z2
b2
a1
a2
z = x + iy
= |z|cisφ
φ
y
|z|
R
φ
x
−b1
R
z1= a1 − ib1
Abbildung 1: Darstellung in Kartesischen und Polarkoordinaten
10.1.2 Graphische Darstellung der komplexen Zahlen
Zu jedem Punkt auf der Zahlengeraden gehort genau eine reelle Zahl und umgekehrt. Um eine
vernunftige Darstellung der komplexen Zahlen zu bekommen, mussen wir die Zahlengerade
verlassen. Wir haben schon gesehen, dass man komplexe Zahlen wie Vektoren addiert. Dies
legt den Gedanken nahe, die komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene zu deuten. Als
Ebene wird dabei das Kartesische Koordinatensystem gewahlt. Die x-Achse bildet dabei die
Zahlengerade der reellen Zahlen, die y-Achse wird als die imaginare Achse bezeichnet.
Die Distanz des Punktes z = (a,b) = a + ib vom Nullpunkt heisst der Betrag von z und
wird mit jzj bezeichnet.
Die Distanz zweier komplexen Zahlen z1 = (a1,b1) und z2 = (a2 ,b2) berechnet sich in diesem
Fall mit Hilfe der aus der analytischen Geometrie bekannten Distanzfunktion
p
D(z1 ; z2 ) = (a2 a1 )2 + (b2 b1 )2
Im Spezialfall reeller Zahlen a1,a2 stimmt sie mit der auf der Zahlengeraden ublichen Distanzfunktion ja2 a1j uberein.
Denition z = a + ib und z = a - ib heissen zueinander konjugiert-komplex. Die konjugiert
komplexe Zahl zu z liegt spiegelbildlich zur reellen
Achse. Es gilt:
zz
= (a + ib)(a ib) = a2 + b2 = jzj2
z1 + z2 = z1 + z2
z1 z2 = z1 z2
Daraus folgt unmittelbar:
zn = zn
(24)
Darstellung der komplexen Zahlen in Polarkoordinaten
Jedem Punkt (a,b) in der komplexen Zahlenebene kann eindeutig ein Zahlenpaar (r,) zugeordnet werden mit r > 0 und (0 2). In der Abbildung 1 rechts gilt:
x = jz j cos y = jz j sin z = x + iy = jz j (cos + i sin ) = jz j cis
32
z dargestellt mit Hilfe von kartesischen Koordinaten: z = x + iy
z dargestellt mit Hilfe von Polarkoordinaten:
z = jz j cis:
Der Winkel wird das Argument von z genannt.
Umrechnung vonpkartesischen in Polarkoordinaten: z = x + iy ! z = jzj cis
1: jzj = x2 + y2
2: = Aus dem System cos = jxzj und sin = jzyj
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten: z = jzj cis ! z = x + iy
1: x = jzj cos 2: y = jzj sin Anwendung auf die Multiplikation
z1
= jz1j cis1
z2
= jz2j cis2
) z1 z2 = jz1 j jz2 j cis1 cis2
= jz1j jz2j (cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2 )
= jz1j jz2j (cos 1 cos 2 sin1 sin 2 + i sin 2 cos 1 + i cos 2 sin 1)
= jz1j jz2j (cos(1 + 2) + i sin(1 + 2 ))
z1 z2
= jz1j jz2j cis(1 + 2 )
z1 z2 = jz1 j jz2 j cis(1 + 2 )
(25)
Komplexe Zalen werden also multipliziert, indem man ihre Betrage multipliziert und ihre
Argumente addiert.
Das Inverse einer komplexen
Zahl z = jzj cis ist gegeben durch:
cos i sin = 1 cos2 sin2
1 =
1
z
jzj(cos +i sin ) cos i sin jzj cos +sin = jz1j (cos( ) + i sin( )) = jz1j cis( )
10.1.3 Die komplexe Exponentialfunktion
Fur reelle Zahlen x ist die Exponentialfunktion y = ex deniert als Grenzwert von:
x n
ex = nlim
(26)
!1(1 + n )
Das Bild dieser Exponentialfunktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine positive,
streng monoton wachsende Kurve.
Fur komplexe Zahlen z gilt:
ez = limn!1 (1 + nz )n und
ez = limn!1 (1 + nz )n = limn!1 (1 + nz )n = ez (nach Gl. 24)
Hieraus folgt fur reelle x:
ix 2
e = eix eix = eix eix = eix e ix = e0 = 1
(27)
ix
somit gilt also e = 1 fur alle reellen Zahlen x.
In der hoheren Funktionentheorie beweist man:
Die im reellen geltenden Dierentiationsregeln gelten auch fur komplexwertige
Funktionen einer reellen Variablen
z.B. f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )
f 0 (z ) =
du dv
+i
dx dy
33
dv
= dy
i
du
dx
10.2 Resonator
Ein harmonisch angeregter Resonator genugt der folgenden Dierenzialgleichung:
!
z + 0 z_ + !02z = A0 !02 ei!t
Q
z ist die komplexe Amplitude des Resonators, !0 seine Eigenfrequenz und Q seine Gute.
Die Anregung wird beschrieben durch die Amplitude A0 (reell) und die Frequenz !. Setzen
Sie den Ansatz z = Aei!t in die Dierenzialgleichung ein und bestimmen Sie:
die komplexe Amplitude A
die in einem Experiment zu messende Amplitude jAj
zeichnen Sie jAj als Funktion von ! auf.
Eingesetzt in die Dierentialgleichung:
z = Aei!t
) z 0 = i!Aei!t ; z 00 =
iA!
!
i!t
2
i!t
2
i!t
0
= A0 !02ei!t
A! e + Q e + !0 Ae
Ai!
2
2
A (!0 ! ) Q
= A0 !02
A=A0
= 1 ! 12 + i! = x+1iy
!0
!2Aei!t
Q!0
Zahler und Nenner von A/A0 multipliziert mit x - iy ergibt A=A0 = xx2+iyy2
Daraus lasst sich der
Betrag ausrechnen.
jAj = q ! A20 !
2
2
(1
) +( Q!0 )
Aufgetragen in ein !, A-Diagramm ergeben sich je nach dem Wert von Q verschieden stark
ausgepragte Resonanzkurven (Maximum bei ! = !0, A = A0 fur ! = 0, A = 0 fur ! ! 1).
!0
10.3 Resonator, ein Zahlenbeispiel
Ein mechanischer Balkenresonator haz die Eigenfrequenz 1kHz und Gute Q = 100. Bestimmen Sie die relative Amplitude jAj/A0 fur die drei Anregungsfrequenzen f = 1.0kHz, f =
1.1kHz und f = 10kHz.
Eingesetzt in die obige Formel ergibt sich jAj/A0= 100, 4.76, 0.01
10.4 Frequenzspektrum
Eine Schwingung hat die Form x(t) = [1 + a cos(!t)] cos(
t); (0 < a < 1). Berechnen Sie
und zeichnen Sie das Frequenzspektrum diser Schwingung. Benutzen Sie, dass 2 cos cos =
cos( + ) + cos( ) ist.
Es kommen drei Frequenzen vor : mit Amplitude 1, ! + ! mit Amplitude a/2 und !
mit Amplitude a/2
34

11 Ubungen
11
11.1 Stahlsaite
Eine Stahlsaite in einem Klavier sei 0.7m lang und besitze eine Masse von 5g. Die Zugkraft
an der Saite betrage 500N.
1. Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen in der Saite?
2. Will man die Ausbreitungsgschwindigkeit dieser Wellen auf die Halfte senken, ohne die
Zugkraft zu verandern, kann man Kupferdraht um die Stahlsaite wickeln. Wie gross
muss die Masse des Kupferdrahtes sein?
q
Fur die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Transversalwelle gilt: v = E = 265m/s.
v2 = v/2 $ 2 = 4 = 20g. Also mussen 15g Kupferdraht aufgewickelt werden.
11.2 Dopplereekt
Eine Tonquelle mit der Frequenz 500Hz bewege sich auf einem Kreis mit dem Radius 1m
und fuhre 3 Umdrehungen pro Sekunde aus. Bestimmen Sie die maximale und die minimale
Frequenz, die ein unbewegter Horer im Abstand von 5m vom Kreismittelpunkt wahrnimmt.
Die Tonquelle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u = 2rf = 6m/s und entfernt oder
nahert sich in den beiden Tangentenpunkten (Beobachter-Kreis) direkt dem Beobachter.
Diese beiden Stellen ergeben die maximale rsp. minimale Dopplerverschiebung des Tones
von 500Hz. (Schallgeschwindigkeit v = 340m/s).
0
f+ = 1 fu=v
= 529Hz
f
0
f = 1+u=v = 474Hz
Mathematischer Exkurs: Der Doppler-Eekt
B
B
B
fmax
c
v d0
s1=ct 1
d
t1
B
s2=vt 1
fmin
v=0
v>0
t=0
v
Abbildung 2: Dopplereekt einer bewegten Quelle
In der Abbildung 2 bewegt sich die Tonquelle auf einem Kreis mit der Geschwindigkeit v. In
der Mitte der Figur ist die Situation eingezeichnet fur eine stehende Quelle: Die Schallwellen
35
bewegen sich radial von der Quelle weg mit der Geschwindigkeit c ( 340m/s). Der Abstand
zweier Knoten ist gegeben durch die Frequenz f der Quelle: d0 = 0 = c/f.
Rechts daneben bewegt sich die Tonquelle mit der Geschwindigkeit v direkt auf den Beobachter B zu. Die Schallwellen werden in der Fortbewegungsrichtung der Quelle gestaucht.
Wir nehmen jetzt an, zur Zeit t=0 sendet die Quelle gerade eine Welle aus. Nach einer Zeit
t1 sendet die Quelle eine weitere Welle aus. In dieser Zeit hat sich die erste Welle um die
Strecke s1 = ct1 auf den Beobachter zubewegt. In der gleichen Zeit t1 hat sich aber auch die
Tonquelle um die Strecke s2 = vt1 auf den Beobachter zubewegt. Die Distanz zwischen der
ersten Welle und der neuen Welle betragt also:
d = s1 s2 = (c v) t1
Wir wahlen jetzt die Zeit t1 gerade so gross, dass sie dem Unterschied von zwei direkt
aufeinander folgenden Knoten der Tonquelle entspricht: t1 = 1/f = 0 /c. Somit:
d = (c v) t1 = (c cv)0 = 0 (1 v=c)
Der Beobachter hort also einen Ton mit der Wellenlange d = = 0 (1 v=c)
Fur die Frequenz des Tones gilt dann:
f = c= = c=0 1 1v=c = f0 =(1 v=c)
Analog gilt fur die Frequenz des Tones, wenn sich die Quelle vom Beobachter wegbewegt:
f = c= = c=0 1+1v=c = f0 =(1 + v=c)
11.3 Orgel
Drei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen in einer Orgelpfeife seien 1310Hz, 1834Hz und
2358Hz.
1. Ist die Pfeife an einem Ende geschlossen oder an beiden Enden oen?
2. Wie hoch ist die Grundfrequenz?
3. Wie lang ist die Pfeife?
Fur eine einseitig oene Pfeie der Lange gilt: 0 = 4l; f0 = c=0 = 4cl (Ein Knoten am einen
Ende, ein Bauch am oenen Ende).
c
Fur den n.ten Oberton in der Pfeie gilt fn = (2n4+1)
l = (2n + 1)f0 .
Fur zwei aufeinanderfolgende Obertone (n+1) und n gilt damit:
Frequenzdierenz = fn+1 - fn = 2f0. Die Dierenzen der Obertone sind gegeben als 2358Hz1834Hz = 1834Hz-1310Hz = 524Hz.
Somit ist die Grundfrequenz 262Hz und die Lange der Pfeie l = c/4f0 = 0.324m.
11.4 dB
Eine Schallquelle strahlt 100W ab und kann als isotroper Kugelstrahler angenommen werden.
Wie gross ist die Lautstarke in dB bei einem Abstand von 5m?
Schallintensitat = Im Zeitmittel pro Flacheneinheit ubertragene Leistung.
Grossenordnungen:
Atmospharendruck
106bar
Horschwelle bei 1kHz
2 10 4bar entspricht etwa 10 16W=cm2
Schmerzschwelle
2 102bar
10 10W=cm2
Menschliche Stimme (2m Abstand) 0:2bar
Bezugsschallstarke I0
10 12W=m2 =
10 16W=cm2
36
Messung in logarithmischer Skala: Schallpegel = 10log II01
Die Leistung der Quelle verteilt sich auf der Kugeloberache
mit Radius r: I1 = P/(4r2),
I
2
1
d.h. 0.32W/m . Fur den Schallpegel ergibt sich aus: 10log I0 = 115dB.
37

12 Ubungen
12
12.1 Thermische Ausdehnung
Eine Moglichkeit, den Abstand zweier Punkte temperaturabhangig konstant zu halten, ist in
der Abbildung 12.1 gezeigt: Zwei unterschiedlich lange Stabe aus veschiedenen Materialien
sind an einem Ende fest miteinander verbunden. Zeigen Sie, dass l nicht von der Temperatur
abhangt, wenn lA und lB so gewahlt werden, dass lA/lB = B /A ist.
lA
l
lB
Bei einer kleinen Temperaturerhohung T verlangert sich ein Stab um die Lange l = T.
Bei T0 gilt : l = lB - lA
Bei T0+T gilt : l' = l'B - l'A = (lB -lA) + (B lB - AlA)T.
Damit l=l' wird, muss die zweite Klammer Null sein ) Behauptung.
12.2 Phasenubergang
Ein Stuck Eis der Masse 200g habe eine Temperatur von 00C; es werde 500g Wasser der
Temperatur 200C dazugegeben. Das gesamte System bende sich in einem von der Umwelt
isolierten Behalter mit vernachlassigbar geringer Warmekapazitaat.
1. Wie hoch ist die Temperatur nach Erreichen des thermischen Gleichgewichts ?
2. Wieviel Eis ist dann geschmolzen ?
Erfahrt ein Sto durch Zu- oder Abfuhr von Warmeenergie eine Strukturumwandlung Beispiele sind das Schmelzen fester Korper und das Sieden von Flussigkeiten -, dann bleibt
wahrend des ganzen Umwandlungsprozesses die Temperatur konstant.
Wird durch Zufuhr der Warmemenge Q bei der Schmelztemperatur Ts eine Masse m eines Stoes zum Schmelzen gebracht, so heisst das Verhaltnis Qs = Q / m die spezische
Schmelzwarme des Stoes.
Die Abkuhlung von 0.5l Wasser liefert die Warmeenergie Q = mcw T = 0.54.18620 kJ =
41.86 kJ.
Zum Schmelzen von 1g Eis benotigen wir die Warmeenergie Q = mQs = 333.5 J. Mit 41.86
kJ konnen also 125.5g Eis geschmolzen werden.
12.3 Warmeubertragung
Ein 2m langer, runder Kupferstab habe einen Durchmesser von 2cm. Die beiden Enden
werden auf einer Temperatur von 1000C bzw. 00C gehalten. Die Oberache des Stabes sei
isoliert, so dass seitlich keine Warme abiessen kann. Berechnen Sie:
1. den Warmewiderstand des Stabes
38
2. den Warmestrom
3. den Temperaturgradienten T/x
4. die Temperatur in einer Entfernung von 25cm vom heissen Ende
Grundgesetz: Warmestromdichte j = - dT
dx (dx zeigt in Richtung sinkender Temperatur). Der
Temperaturabfall ist also linear.
Fur den Temperaturgradienten gilt: dT=dx = T=x = T=l = 500C/m
Die Temperatur 25cm vom heissen Ende betragt somit: 100(1-1/8)0C = 87.50C
Der Warmestrom
I entspricht der Warmeenergie, die pro Zeiteinheit durch die Flache A
iesst: I = RA jdA = jA. Also
I = jA = Al T = AT
l = 6 W.
Fur den Warmewiderstand R gilt: R = IT 16 K/W.
12.4 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Ein Bleigeschoss mit anfangs 300C fange gerade an zu schmelzen, wenn es inelastisch auf eine
Platte aufschlagt. Nehmen Sie an, die gesamte kinetische Energie des Projektils gehe beim
Aufprall in seine innere Energie uber und bewirke dadurch die Temperaturerhohung, die zum
Schmelzen fuhrt. Wie hoch war die Geschwindigkeit des Projektils ?
Die zut Verfugung stehende kinetische Energie ist E = 1/2mv2. Diese Energie wird einerseits benotigt, um das Blei auf die Schmelztemperatur (600K) zu bringen (Q = mcv T),
andererseits muss die Schmelzwarme aufgebracht
werden (Q = Qs/m). Somit:
p
2
1=2mv = mccT + mQs ) v = 2(cv T + Qs) = 354m=s
39

13 Ubungen
13
13.1 Gas Ausdehnung
Aus dem Atemgerat eines Tauchers entweiche
in 40m Tiefe (bei einer Temperatur von 50C)
3
eine Luftblase mit
dem Volumen 15cm und steige nach oben. An der Oberache betrage die
Temperatur 250C. Welches Volumen hat die Luftblase kurz bevor sie die Wasseroberache
erreicht?
An der Wasseroberache ist der Druck p = patm .
In 40m Tiefe ist der Druck p = patm + gh.
Vatm ergibt sich: V
Tatm p40 V
Mit p40Tm40Vm40m = patmTatm
atm = T40
40m 5.2 V40m .
m patm
13.2 Mittlere Geschwindigkeit
Gegeben sei das Integral
1
Z
0
2
v3 e av dv = a 2 =2
Berechnen Sie mit Hilfe der Maxwell-Boltzmann-Verteilung4 diemmittlere Geschwindigkeit
<v>
der Gasmolekule. Maxwell-Boltzmann-Verteilung f(v) = p ( 2kB T )3=2 v2e mv2=2kB T
R
Fur den Mittelwert einer Geschwindigkeitsverteilung
gilt
allgemein:
< v >= 01 vf (v)dv
q
Nach grossem Integrieren folgt < v > = 8kmB T
13.3 Adiabatische Kompression
Wie hoch steigt die Lufttemperatur bei einer sehr raschen Kompression in einem pneumatischen Feuerzeug, wenn das Volumen auf den zehnten Teil verkleinert wird?
= const ) TV 1 = const (pV/T = konst).
Fur Adiabate gilt pV
1
Daraus folgt: TAVA = TE VE 1; TE = TA( VVEA ) 1 = 528 K.
13.4 Entropiezunahme
Ein abgeschlossenes System bestehe aus zwei mit je 100kg Wasser von T1 = 330K bzw. T2
= 290K gefullten Geassen. Die Gefasse werden in Warmekontakt gebracht und es stellt sich
eine gemeinsame Endtemperatur ein. Um wieviel hat bei diesem Prozess die Entropie des
Systems zugenommen?
Fur die Entropie S gilt: dS = dQ/T + pdV = mcv dT/T (dV=0).
Also: SE SA = RAE dS = RTT12 mcT v dT = mcv ln TT12
310 + ln 310 )
Die Endtemperatur betragt 310 K. Also folgt: S = mcv (ln 330
290
13.5 Carnot-Wirkungsgrad
Welche A nderung wirkt sich auf den Carnot-Wirkungsgrad starker aus: die Temperaturerhohung des warmeren Reservoirs um 5K oder die Temperaturerniedrigung des kalteren
Reservoirs um 5K?
Der Carnot-Wirkungsgrad berechnet sich zu: W = 1 - T2/T1, wo T1 die Temperatur des
warmen Reservoirs und T2 die Temperatur des kalten Reservoirs bedeutet.
40
Fur ein um T kalteres Reservoir ist Wk = 1 (T2 T )=T1.
Fur ein um T heisseres Reservoir ist Wh = 1 T2=(T1 + T ).
Wir betrachten den Quotienten der Wirkungsgrade:
T ) T2 = a = a = T1 +T > 1
Wk =Wh = T1 (TT21 T ) = (T1T+
T1 T1 +T
T1
1 +T
Der Wirkungsgrad mit einem um T kalteren Reservoir ist also hoher als mit einem um T
warmeren Reservoir.
41
14 Pru
fung Physik 1 und 2 Sommer 2001
14.1 Mechanik
1. Wenn man in einer Teetasse ruhrt, sammeln sich die oben schwimmenden Teeblattchen
in der Mitte. Warum?
2. Mit wieviel Umdrehungen pro5Minute muss eine Zentrifuge drehen, damit eine maximale
Radialbeschleunigung von 10 g erreicht wird? Der maximale Radius sei R = 0.1 m und
g = 9.81 m/s2.
3. Die Zentrifuge der letzten Aufgabe erreiche 105g. Wir fragen nach der maximalen Kraft,
die auf eine (kugelformige) Zelle mit Durchmesser 10m wirkt. Die Massendichte der
Zelle sei um 5 Prozent grosser als ide der umgebenden Flussigkeit, die wir als Wasser
annehmen (1 kg/l).
4. Wir betrachten die reibungsfreie Bewegung einer Punktmasse (Masse m) in einem vorgegebenen Potential
in einer Dimension (Orstkoordinate x). Die potentielle Energie sei
Epot = 1/2ax2, wobei a eine gegebene Konstante ist. Die Masse wird zur Zeit t = 0 am
Ort x0 ohne Anfangsgeschwindigkeit sich selbst uberlassen. Zeichnen Sie x als Funktion
der Zeit. Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit (als Gleichung).
Mit dem Loel wird normalerweise Zucker in die Tasse gegeben. Weil er noch etwas
klebrig ist vom Zucker, bleiben die Teeblatter daran haften (0.5 Sympatiepunkte fur
originelle Losung).
Die Dichte der Teeblatter ist kleiner als die Dichte von Wasser. Weil ein Volumenelement Wasser daher von der Zentrifugalkraft starker nach aussen beschleunigt wird als
ein Volumenelement Teeblatter, verdrangt das Wasser das Teeblatt. Somit wird das
Teeblatt nach Innen gedrangt.
Mathematische Losung
Hydrostatik: grad p = W asser a (p = Druck, = Dichte, a = az = Beschleunigung
durch externe Kraft, hier Zentrifugalkraft).
Mit Green's
Theorem ergibt
sich fur die Auftriebskraft
R
R
B = Oberf pds = V ol H2 O aZ dV .
Die Kraft auf die Teeblatter Rselbst ist F = RV ol T ee aZ dV .
Die Gesamtkraft ist F+B = V ol(T ee H2O )aZ dV und zeigt nach Innen, weil T ee <
H2 O .
Zentrifugalkraft FZ = mr!2 = ma. a = 105 g = 9.81105 m/s2. Daraus folgt:
!
1 r a = 500Hz = 30000U=min
f= =
2 2 R
Die externe Kraft ist gegeben zu FZ = mR!2 . Fur die resultierende Kraft ergibt sich
also gemass Teil 1:
dF = (1:05H2 O H2 O )aZ dV
R
R
3 aZ = 2:6 10:8N
F = dF = (1:05H2 O H2 O )aZ dV = 0:05H2O 43 rZelle
42
Anwendung des Energiesatzes: Ekin + Epot = konstant
1=2ax2 + 1=2mv2 = konstant Ableiten nach t
axx_ + mx_ x
=0
x_ 6= 0 partikulare Losung ausschliessen
x + ma x
=0
Ansatz x = Acos(!t)
ergibt die Losung x = x0 cos(p ma t), vmax = x0p ma
Anmerkung Die Aufgabe schliesst eine Losung mit a<0 im Prinzip nicht aus. Die Losung
fur a<0 ergibt eine exponentiell abnehmende Losung mit dem gleichen vmax.
14.2 Hydromechanik
1. Im horizontalen Rohr der Figur 3 strome eine inkompressible und reibungsfreie Flussigkeit
mit der Dichte 1 kg/dm3. Der Durchuss sei konstant und gleich 1 ml/s. Weiter ist der
Druck p1 gegeben: p1 = 1 bar. Wie gross ist der Druck p2 in der schlanken Rohre?
2. Die Flussigkeit werde nun als viskos angenommen (laminare Stromung im Rohr der
Figur 2). Gegeben sind die Drucke p1 = 18 bar und p3 = 1 bar. Wie gross ist der Druck
p2 im dunnen Rohr unmittelbar nach der Verengung? (das dicke Rohr ist gleich lang
wie das dunne Rohr).
3. Wir betrachten eine Kugel mit Radius R = 5mm aus einem bestimmten Material und
wollen uns uberlegen, was beim Eintauchen dieser Kugel in einen mit Wasser gefullten
Becher passiert. Die Oberachenspannung zwischen Kugel und Wasser ist KW = 0.05
N/m, die zwischen Wasser und Luft W L = 0.073 N/m, wahrend wir die zwischen
Kugel und Luft vernachlassigen. Wieviel Arbeit muss an der Kugel geleistet werden,
um diese ganz unter Wasser zu drucken (den hydrostatischen Auftrieb vernachlassigen
wir) ? (Tipp: Vergleichen Sie die beiden Situationen: Kugel nicht im Wasser und Kugel
ganz eingetaucht).
3
2
1
L>>d
d=1mm
p1
3
2
1
L>>d
L>>d
L>>d
d=0.5mm
d=1mm
d=0.5mm
p1
p2
p3
p2
Abbildung 3: Hydromechanik
Satz von Bernoulli (ohne Term mit h=konstant): p2 = p1 + 1=2(v12 v22 )
Kontinuitatsgleichung: = dV=dt = A1v1 = A2 v2 einsetzen (v = /A, A = R2 ):
1
2 1
p2 = p1 + 2 ( 4
2 R1 R24 ) = 0:88bar
43
8l4 Q. Der Druckunterschied p betragt 17 bar.
Satz von Hagen-Poiseuille: p = r
Fur den Druckunterschied links gilt: pl = 8rQl14 ,
und fur den Druckunterschied rechts gilt: pr = 8rQl24 .
Das Verhaltnis der Druckunterschiede ist also pr =pl = ( rr12 )4 = 16.
Somit ist der Druckabfall links 1 bar, rechts 16 bar, d.h. p2 = 17 bar.
Wenn die Kugel unter Wasser gedruckt ist, hat sich die Oberache des Wassers um die
Kugeloberache vergrossert. Die dazu benotigte Arbeit enstspricht der Oberachenenergie
E = A = 0.05 N/m 4r2 = 1.57 10 5J.
14.3 Warmelehre
1. Zeichnen Sie die p-V-Diagramme fur einen isothermen, adiabatischen und isobaren
Prozess.
2. Zeichnen Sie das p-V-Diagramm des Carnot-Kreisprozesses fur den Fall, dass dieser
Prozess als Warmepunpe arbeitet (zeichnen Sie die Durchlaufrichtung ein).
3. Warum fallen die Gasatome und Molekule unserer Atmosphare bedingt durch die Eranziehung nicht alle auf den Boden?
4. Wir betrachten ein Mol eines idealen Gases in einem Zylinder mit verschiebbarem Kolben. Der Aussendruck (=Innendruck) des Kolbens ist konstant (isobare Prozessfuhrung).
dem Gas wird die Warmemenge Q = 100J zugefuhrt.
Leistet der Kolben Arbeit?
Wir gross ist die Temperaturanderung (quantitativ mit Vorzeichen, d.h. Zunahme
oder Abnahme)?
5. Wir betrachten eine kurze doppelstrangige DNA-Sequenz mit 10 Basenpaaren. Der eine
Strang hat die Sequenz GACTTCAGCA (es gibt vier Basen: C,G,A,T), der andere die
komplementare Sequenz CTGAAGTCGT. Wir vergleichen diese spezische Sequenz
mit allen moglichen der Lange 10, wobei jede Base gleich wahrscheinlich sein soll.
Um wieviel ist die Entropie eines Mols dieser spezischen Sequenz geringer als eines
statistischen Gemisches aller moglichen Sequenzen?
isotherm: nRT = pV ) pV = konstant = Hyperbel
adiabatisch : pV = konstant = Hyperbel mit Exponent isobar: p = konstant = Gerade
Tippler Seite 594
Durch die Brownsche Bewegung (T > 0) jedes Gasteilchens ensteht ein Druck p =
nRT/V, d.h. jedes Teilchen nimmt ein gewisses Volumen ein.
(Nach der barometrischen Homgx
henformel mussen sich die Teilchen im Schwerefeld g der
Erde gemass n(x) = n(0) e kT verteilen).
Der Kolben leistet keine Arbeit, sondern das sich ausdehnende Gas.
U = Q + W mit Q = cpmT (m = 1Mol). Fur ein ideales Gas ist cp = 5/2R,
also
T = cpQ = 4.81 K, die Temperatur nimmt zu.
44
Die Quantenstatistik deniert S als S = k ln(
R
E <E ! (E )dE ), wo ! (E) dE die Zahl der
im Intervall E,E+dE liegenden, nicht mehr entarteten Energieniveaus ist. Die Unkenntnis des atomaren Zustandes eines Systems wird durch die Zahl !(E )ÆE gemesssen und
die Entropie eines abgeschlossenen Systems wird interpretiert als:
S = klnW
und nennt W die 'Wahrscheinlichkeit' des Zustandes. Die Entropie misst die Unordnung
der Molekule, deniert als der Logarithmus des ihnen verfugbaren Phasenvolumens.
Die Anzahl moglicher Kombinationen ergibt sich aus: Zu jeder der 4 Moglichkeiten,
die erste Stelle der
Sequenz zu besetzen, gibt es 4 Moglichkeiten fur die zweite Stelle...
etc. Insgesamt 410 mogliche Kombinationen. Es fallen jeweils 2 Moglichkeiten zusammen, da jede Sequenz und deren komplementare Sequenz nicht unterscheidbar sind
(die DNA baut sich ja aus einer Doppelhelix auf, bei dem ein Strang jeweils mit seinem
komplementaren Strang verbunden ist). Somit gibt es insgesamt 249 = 219 verschiedene 19Sequenzen der Lange 10. Die Wahrscheinlichkeit einer spezischen Sequenz ist also
2 .
S = kNA ln W = -19Rln2 (R = 8.314 J/K)
(Meiner Meinung nach hat eine solche Aufgabe nichts zu suchen in einer Vordiplomprufung fur Biologen, das Thema Quantenstatistik ist viel zu komplex).
14.4 Elektrizitat und Magnetismus
0
1. Beschreiben Sie den Unterschied in der Erzeugung eines elektrischen und eines magnetischen Feldes.
2. Ein Dipol mit dem Dipolmoment 0.5e 1nm bende sich in einem homogenen Feld der
Starke 4104N/C. Welchen Betrag hat das Drenhmoment auf den Dipol, wenn er i)
parallel, ii) senkrecht und iii) in einem Winkel von 300 zum elektrischen Feld liegt?
3. Ein einfach geladenes 23 Mg-Ion (mit der Masse 3.98310 26kg durchlaufe eine Potentialdierenz von 3kV und werde anschliessend durch ein Magnetfeld von 60 mT in einem
Massenspektrometer abgelenkt.
i) Bestimmen Sie den Krummungsradius der Bahnkurve.
ii) Wie gross ist die Dierenz der Krummungsradien bei den Ionen von 26 Mg und 24 Mg?
Setzen Sie deren Massenverhaltnis gleich 26/24.
4. Vergleichen Sie die elektrische Leitfahigkeit von Metallen mit der Reizleitung in Nervenzellen.
Ein statisches elektrisches Feld wird von einem geladenen Teilchen erzeugt, es gibt keine
statischen magnetischen Felder (bis jetzt sind keine magnetischen Monopole nachgewiesen worden). Magnetische Felder entstehen durch elektrische Strome. Das magnetische
Feld eines Kresistromes wird durch geschlossene Feldlinien beschrieben, analog den
geschlossenen Feldlinien eines elektrischen Dipols.
E = p~ E~ = pE cos ; T~ = p E = pE sin i) parallel: = 0 ) T = 0; E = 3:2 10 24 Nm
ii) senkrecht: T = pE = 0:5 1:6 10 19 10 9 4 10p4 = 3:2 10 24 Nm, E = 0
iii) T = 3:2 10 24 sin(300) = 1:6 10 24 Nm, E = 3T = -2.810 24 Nm
45
Kinetische Energie 1/2mv2 = elektrische Energie eU.
q
i) Lorentzkraft F~L = q~v B~ mit mv2=r = qvB ) r = 2mqU = 0.644m
p
ii) r2 =r1 = m2=m1 = 1:0408 ) r2 r1 = 0.0263m
Im Tippler abschreiben.
14.5 Optik
1. Zeichnen Sie den Strahlengang eines optischen Mikroskopes mit Objektiv und Okular.
Das Objektiv eines Mikroskopes habe die Brennweite 0.5 cm. Es erzeuge ein Bild im
Abstand von 16 cm von seinem zweiten Brennpunkt. Welche Vergrosserung ergibt sich
im Auge eines Betrachters, dessen Nahpunkt bei 25 cm liegt, wenn die Brennweite des
Okulars 3 cm betragt? Wo muss sich der gegenstand benden, damit das Endbild im
Unendlichen entsteht?
2. Welche Bedingung gilt fur das Auosungsvermogen eines optischen Instruments?
3. Im Elektronenmikroskop erhalt man eine hohere Auosung als im Lichtmikroskop.
Warum? Berechnen Sie die Energie der Elektronen mit einer Wellenlange von 1 nm.
Tippler Seite 1098/1099
fobj = 0.5cm, focc = 3cm, A = 16cm, S = 25cm
A S 250
Vergrosserung v = fobj
focc
Rayleigh-Kriterium = 1.22/d, d= Dierenz zweier Beugungsmaxima
3. Weil beim Rayleight-Kriterium die Wellenlange miteingeht im Zahler, und Elektronen
die kleinere Wellenlange besitzen als Photonen.
E = p2/2m mit p = h/
14.6 Moderne Physik
1. Berechnen Sie die Energie und Wellenlange der Linie mit der grossten Wellenlange in
der Balmer-Seie. Der Grundzustand der Balmer-Serie betragt E2 = -3.4 eV. Die hoheren
Energieniveaus sind: E3 = -1.51 eV, E4 = -0.85 eV.
2. Berechnen Sie den Abstand der Sauerstoatome im O2-Molekul, wenn die charakteristische Rotationsenergie 1.7810 4eV betragt.
3. Die Kraftkonstante der C-O-Bindung im CO-Molekul betragt 1.86103N/m. Berechnen
Sie die Schwingungsfrequenz des CO-Molekuls.
4. Beschreiben Sie das Prinzip des Lasers.
5. Welche 3 radioaktiven Zerfalle kennen Sie? Beschreiben Sie einen davon (was wird
abgestrahlt?).
Fur die Balmer-Serie gilt 1= = R(1=4 1=n2), n=3,4,
2
ist maximal fur = R1 n42n 4 maximal, also n = 3
E = h = hc/.
46
Ej = j(j+1)B mit B = (h=22I) = (h=2r2o2)2 ) r0
q
k
meff = mm11+mm22
E = 1=2 k x2 mit ! = meff
Siehe Buch uber Laser
Zerfall unter Aussendung eines Helium-Kernes
2
Zerfall unter Aussendung eines Elektrons und eines Neutrinos
Zerfall unter Aussendung elmagn. Strahlung
47