Inhalt: - Michael Knappmann

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Abschluß:
Photoingenieurwesen ( FH Köln, Betzdorfer Str. 2, D-50679 Köln )
B 1.3. Wellenoptik II
B 1 Physikalische Optik
Prof. Dr. Jörg Gutjahr
2
2 Semester
Prüfungsvorleistung (PV)
© Achim Wolf, Michael Knappmann 05.04.95
In der Wellenoptik-Vorlesung des 5. Semesters werden in erster Linie die fünf im Praktikum durchzuführenden Versuche genauer beschrieben.
Folgende Versuche sollen durchgeführt werden : 1.)
optische Filterung
2.)
Herstellung von Gittern (Polarisation)
3.)
Beugung
4.)
Zonenplatte
5.)
MICHELSON Interferometer
Inhalt:
1. Optische Filterung..................................................................................................................................... 2
2. Herstellung von Gittern ............................................................................................................................. 3
2.1. Erweiterung des Versuchs durch Polarisation .......................................................................... 5
3. Beugung ................................................................................................................................................... 6
4. Zonenplatte............................................................................................................................................... 8
4.1. Astigmatismus bei der Abbildung durch eine Zonenplatte........................................................ 8
4.2. Aufnahme eines bewegten Punktes ......................................................................................... 8
5. Michelson Interferometer.......................................................................................................................... 9
5.1. Oberflächenmessung mit dem Michelson Interferometer......................................................... 10
5.2. Schwebungen am Michelson Interferometer ............................................................................ 11
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt)................................................................................... 13
6.1. Objektive Speckles ................................................................................................................... 13
6.2. Subjektive Speckles.................................................................................................................. 15
6.3. Verschiebungsmessung ........................................................................................................... 15
6.4. Zeit- Mittelungs- Verfahren (time- average- Verfahren)............................................................ 16
6.5. Shearographie .......................................................................................................................... 17
7. Moiré- Techniken...................................................................................................................................... 18
7.1. Intensitätstransmission ............................................................................................................. 18
7.2. Verdrehungsmoiré .................................................................................................................... 18
7.3. Vermessung von Oberflächen mit der Moiré- Technik ............................................................. 19
7.4. Meßmethoden mit projeziertem Gitter ...................................................................................... 20
7.5. relativ- contouring ..................................................................................................................... 20
7.6. absolut- contouring ................................................................................................................... 21
8. Übungsaufgaben ...................................................................................................................................... 22
1. Beugung....................................................................................................................................... 22
2. Interferenz.................................................................................................................................... 33
Hinweis zu spektraler Bandbreite und Kohärenzlänge .................................................................... 37
Weißlicht-Zweistrahl-Interferenz ...................................................................................................... 38
Anhang ......................................................................................................................................................... 41
Näherung der Bessel-Funktionen .................................................................................................... 41
Index ................................................................................................................................................ 42
Literatur............................................................................................................................................ 43
Verwendete Symbole und ihre Einheiten......................................................................................... 43
1. Optische Filterung *
1. Optische Filterung
Der eigentlich wichtigste Aufbau zur optischen Filterung ist der 4-f-Aufbau. Bei Verwendung von Linsen
gleicher Brennweite wird das Objekt mit dem Abbildungsmaßstab β = -1 in die Bildebene abgebildet:
Wird als Objekt ein harmonisches Amplitudengitter eingebracht, würden in der Fourierebene drei Punkte
sichtbar (Maxima nullter & erster Ordnung). Werden die beiden Maxima erster Ordnung unterdrückt, wird die
Bildebene nur erhellt und zeigt keine Gitterstruktur. (Im Versuch sollte festgestellt werden, was bei einer
Unterdrückung der Maxima nullter Ordnung geschieht.)
Das Gitter wird im allg. durch seine Gitterkonstante g beschrieben.
λ
sinα = g
Die Größe der Linse und die Größe des Objektes müssen aufeinander abgestimmt sein. Ist die Linse so
klein, daß sie die 1. Beugungsordnung hemmt, wirkt die Linse selber schon wie ein Tiefpaßfilter.
2
Wellenoptik II
2. Herstellung von Gittern *
Eine Beugungsfigur, die nur aus drei Punkten besteht, liefert nur ein unendlich ausgedehntes harmonisches
Gitter. Da ein reales Gitter aber immer durch eine Maske begrenzt ist, muß auch die Beugung an der Maske
selber Berücksichtigung finden.
Das Objekt ist dann nicht mehr als reines harmonisches Gitter
2π 
tA(x) = a + b cos
î g ·x
zu sehen. Die tatsächliche Transmissionsfunktion erhält man durch eine Multiplikation des Gitters mit der
Maske
2π 
tA(x,y) = a + b cos
î g ·x · Maske (x,y).
Eine Beschreibung der Beugungsfigur erhält man dann durch die Faltung der Fouriertransformierten der
"Gitterfunktion" mit der Fouriertransformierten der Maskenfunktion 1.
Mit Hilfe der optischen Filterung ist es auch möglich, die Ableitung einer "Bildfunktion" zu erzeugen. Um dies
zu erreichen, muß ein Filter mit folgendem Amplitudentransmissionsverlauf in die Fourierebene eingebracht
werden 2:
Ein Filter mit tA = r2 würde zur zweiten Ableitung führen.
2. Herstellung von Gittern
Zur Herstellung eines Gitters werden zwei ebene Wellen unter einem Winkel α zur Interferenz gebracht.
λ
Hierbei entsteht ein harmonisches Gitter mit der Periode p =
.
2 sin α
Das Koordinatensystem ist hier so gewählt, daß die Wellenvektoren sich in der x/z - Ebene ausbreiten. An
→→ →→
der Formel für die Zweistrahlinterferenz (Iges = I1 + I2 + 2· I1· I2 cos (k2 r2 - k1 r1 )) läßt sich erkennen, daß
→→ →→
→ → →
die Phasendifferenz der beiden interferierenden Wellen δ = k2 r2 - k1 r1 am gleichen Ort (d.h. r1 = r2 = r ) nur
→ → →
durch die unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen der Wellen entsteht (δ = (k2 - k1) · r ) .
Im Versuch wird ein Laser mit der Wellenlänge λ = 632,8 nm verwendet. Die Wellenlänge ist also konstant,
so daß die Gitterkonstante nur über den Winkel α eingestellt werden kann.
1
2
Mit
zum Faltungssatz siehe Skript zur Fourier-Transformation & Skript zur Statistik-Vorlesung
F(v) = ƒ{f(x)}
gilt für die n-te Ableitung von f(x):
ƒ{f(n)(x)} = (2πiv)n · F(v)
( vgl. Skript zur Fourier-Transformation, Anh. C2; 7 u. 8 )
Wellenoptik II
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2. Herstellung von Gittern *
Durch Verstellung des zweiten Spiegels mit Hife eines Feintriebes können verschiedene Gitterkonstanten
verwirklicht werden. Um diesen Aufbau zu realisieren, ist es nötig, eine wirklich ebene Wellenfront herzustellen. Die beiden Linsen zur Strahlaufweitung müssen also genau justiert werden. Zur Justage wird im Praktikum eine Shearing - Platte verwendet:
Mit Hilfe der Shearing Platte muß der Kollimator so eingestellt werden, daß in der Schnittfläche zwischen direkt und indirekt gespiegeltem Strahlenbündel keine Interferenzstreifen zu sehen sind. Nur dann handelt es
sich um eine ebene Welle.
4
Wellenoptik II
2. Herstellung von Gittern * 2.1. Erweiterung des Versuchs durch Polarisation
2.1. Erweiterung des Versuchs durch Polarisation
Zur Erweiterung des Versuchs werden in den Strahlengang zwei Polarisationsfilter eingebracht, deren Polarisationsrichtungen senkrecht aufeinander stehen:
Beobachtet man nun ohne ein weiteres Polarisationsfilter, sieht man keine Interferenzstreifen. Diese sind erst
bei Betrachtung durch ein weiteres Polarisationsfilter zu erkennen. Dreht man diesen Analysator, so kann
man die Modulation des erzeugten Gitters verändern.
Wird ein λ/4 - Plättchen so hinter den Polarisationsfiltern angebracht, daß sich zwei zirkular polarisierte
Wellen ergeben, ist wieder - auch mit unbewaffnetem Auge - Interferenz festzustellen.
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3. Beugung *
Bei einer Drehung des Analysators kann man die Interferenzstreifen wandern sehen. Die gegensinnig zirkular
polarisierten Wellen erzeugen je nach Phasendifferenz verschieden orientierte linear polarisierte Wellen.
3. Beugung
Um den Beugungsversuch näher zu verstehen, ist es sinnvoll, sich noch einmal die FRESNEL´sche Zonenkonstruktion anzuschauen:
Die Ursprungsfläche aller Kugelwellen, die aus der Blendenebene kommen und einen Weg s zurücklegen,
der
s ≤ b +λ/2
ist, wird als die erste FRESNEL´sche Zone bezeichnet. Die zweite FRESNEL´sche Zone ist durch
s ≤ b +λ ∧ s ≥ b +λ/2
beschrieben. Der Radius der Zonen ergibt sich aus
rm = m · λ·b
6
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3. Beugung *
Die Einzelbeiträge Km der Zonen zur Intensität im Punkt P wird wie folgt aufsummiert:
Kges = K1 - K2 + K3 - K4 + K5 - ... Km
Aus der besonderen Art der folgenden Summation ergibt sich, daß K1/2 den wichtigsten Beitrag zur Intensität
in P leistet.
K1 K1 K2 K2 K3 K3
Kges = î 2 + 2  - î 2 + 2  + î 2 + 2  ...
Da die Flächen der entsprechenden Halbzonen nahezu die gleiche Größe haben, heben sich Paare wie
½·K1 und ½·K2 usw. auf.
Im "Pflichtteil" des Versuchs "Beugung" ist die Beugungsfigur eines Spaltes bei verschiedenen Entfernungen
L auszumessen und die Spaltbreite B als Funktion von (L/s) aufzutragen.
s · u
Die Beugungsfigur eines Spaltes wird durch sinc2
î λ · L beschrieben.
1,0
I(u)
I0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-u0
b
+u0
u
0
1
2
3
λ·L
2·λ·L
u0 = s
⇒ B = 2u0 =
s
L
L

B
î s = 2 ·λ · s soll in einem Diagramm aufgetragen werden.
⇒
4
5
6
L
In dem Bereich, für den die FRAUNHOFER'schen Vorschriften zur Beugung gelten, ist B
î s eine Gerade mit
L
der Steigung B'
î s = 2 · λ
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4. Zonenplatte * 4.1. Astigmatismus bei der Abbildung durch eine Zonenplatte
4. Zonenplatte
4.1. Astigmatismus bei der Abbildung durch eine Zonenplatte
Wird die Zonenplatte um den (kleinen) Winkel ε zur optischen Achse gedreht, trifft die rekonstruierende
ebene Welle unter dem Winkel ε auf die Zonenplatte. Dies führt dazu, daß sich die Brennweite der Zonenplatte in einer Ebene verkürzt.
fε = f0 · cos2ε
Die Brennweite der Zonenplatte verändert sich also in der Zeichenebene. Senkrecht zur Zeichenebene bleibt
die Brennweite allerdings gleich ( ⇒ Astigmatismus).
4.2. Aufnahme eines bewegten Punktes
Mit dem Verfahren der In-line-Holographie soll ein sich bewegender Punkt aufgenommen werden. Der Punkt
bewegt sich bei der Aufnahme um ∆y in y-Richtung.
Die Verschiebung wirkt sich in der Mitte des Interferogramms nicht so stark aus wie am Rand. Am Rand
nimmt der Kontrast im Hologramm ab.
Zweistrahlinterferenz Kugelwelle mit ebener Welle (Aufnahme mit ruhendem Punkt)
π·x2
Iges = I1 + I2 + 2· I1·I2·cos
R·λ
(
)
Zweistrahlinterferenz Kugelwelle mit ebener Welle (Aufnahme mit bewegtem Punkt)
T
Iges · T =
∫
2
- v·t)
( π·(xR·λ
) dt
I1 + I2 + 2· I1·I2·cos
0
Die Lösung dieses Integrals ist die sinc- Funktion ! Das mit dem bewegten Objekt (in y-Richtung) belichtete
Hologramm weist in y-Richtung einen Kontrastverlauf auf, der einer sinc-Funktion entspricht.
8
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5. Michelson Interferometer * 4.2. Aufnahme eines bewegten Punktes
5. MICHELSON Interferometer
Beim MICHELSON-Interferometer interferieren 2 ebene Wellen (nur bei planen Spiegeln) miteinander. Die
Phasendifferenz zwischen beiden Wellen wird durch den optischen Wegunterschied bestimmt.
2π
Iges = I1 + I2 + 2· I1·I2 cos
· 2∆s
λ
Wenn die Spiegel nicht gegeneinander verdreht sind, ist der Wegunterschied für jede Stelle auf dem Beobachtungsschirm gleich. Der Schirm ist homogen ausgeleuchtet. Bei einer Verschiebung des Spiegels um ∆s
ändert sich die Intensität auf dem Beobachtungsschirm entsprechend.
Um die Richtung von ∆s zu erkennen, muß man einen Spiegel leicht verdrehen. Durch diese Verdrehung
werden Interferenzstreifen auf dem Schirm sichtbar. Wird der Spiegel dann um ∆s verschoben, wandern die
Interferenzstreifen.
(
)
Durch Kippen des Spiegels zeigen sich auf dem Schirm Interferenzstreifen. Die Intensität am Ort x1 ist ungleich der am Ort x2. Die Intensitäten berechnen sich wie folgt:
( 4πλ · ∆s(t) - ϕ1 )
4π
I1·I2 cos (
· ∆s(t) - ϕ2 )
λ
I1ges = I1 + I2 + 2· I1·I2 cos
I2ges = I1 + I2 + 2·
Mit Hilfe der zwei Empfänger an den Orten x1 und x2
tung sich die Streifen bewegen.
( ϕ1 - ϕ2 = π2 ) kann man erkennen, in welche Rich-
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5. Michelson Interferometer * 5.1. Oberflächenmessung mit dem Michelson Interferometer
5.1. Oberflächenmessung mit dem MICHELSON Interferometer
Mit Hilfe der Interferometrie ist es möglich, eine Aussage über die Ebenheit einer Oberfläche zu machen.
Wenn der Referenzspiegel eben ist, sieht man auf dem Schirm ein Interferenzmuster, das durch die Oberflächenstruktur der Probe bestimmt wird.
Die Intensität an der Stelle (x,y) ist von dem entsprechenden optischen Wegunterschied abhängig.
4π
Iges(x,y) = 2I0 ( 1 + cos( δ(x,y) ) )
δ(x,y) =
∆s(x,y)
λ
Eine Möglichkeit der genaueren Oberflächenbetrachtung, also Information über δ(x,y), bietet eine Auswertung des Interferenzbildes mit Hilfe der elektronischen Bildverarbeitung und dem Phasenshiftverfahren.
Durch Anlegen einer Spannung an das Piezoelement wird der Referenzspiegel verschoben. So ist es möglich, δ(x,y) um einen bestimmten Betrag ϕ zu verändern.
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5. Michelson Interferometer * 5.2. Schwebungen am Michelson Interferometer
(
)
I1(x1,y1,δ) = 2I0 (1 + cos( δ1 + ϕi))
I0(x0,y0,δ) = 2I0 1 + cos( δ0 + ϕi)
mit δ = δ0(1) + ϕi
Für jedes Bildelement (x,y) kann so die Gesamtintensität Iges(x,y) bei verschiedenen δ = δ0(1) + ϕi aufgenommen und gespeichert werden. Dies ermöglicht, den gesamten Kurvenverlauf von Iges(x,y) aufzunehmen
und so eine Aussage über das Anfangsdelta zu bekommen.
Σ = I1i cos ϕi
=
SC
Σ = I1i sin ϕi
=
SS
i
i
SS
arctan δ1 = SC
Der wesentliche Nachteil dieser Methode besteht darin, daß bei hohem i und bei vielen Bildpunkten x,y viel
Speicherplatz und hohe Rechenleistung benötigt wird. Es ist aber auch möglich, das i deutlich zu beschränken. Am günstigsten ist die 4er-Teilung von ϕ in π/2- Schritten. Das Anfangsdelta kann dann wie folgt berechnet werden:
( )
π
I12 = 2I0 + 2I0 cos(δ1 + 2)
I13 = 2I0 + 2I0 cos(δ1 + π)
3π
I14= 2I0 + 2I0 cos(δ1 + 2 )
I11 = 2I0 + 2I0 cos δ1
⇒
=
=
=
=
( )
2I0 - 2I0 sin(δ1)
2I0 - 2I0 cos(δ1)
2I0 + 2I0 sin(δ1)
2I0 + 2I0 cos δ1
 I12- I14 
δ1 = arctanI - I 
î 11 13
5.2. Schwebungen am MICHELSON Interferometer
Wenn das Interferometer mit zwei im Spektrum dicht beieinanderliegenden Wellenlängen λ1 & λ2 betrieben
wird, beobachtet man auf dem Schirm die Summe von Iges λ1 und Iges λ2. Da die Interferenzminima und
Maxima der beiden Wellenlängen bei verschiedenen ∆s liegen, kann man bei der Variation von ∆s eine
Schwebung im Kontrast erkennen.
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5. Michelson Interferometer * 5.2. Schwebungen am Michelson Interferometer
Itot = Iges l1 + Iges l2
Itot = 2Il1 (1 + cos (2k1 ∆s)) + 2Il2 (1 + cos (2k2 ∆s))
Itot = 2Il1 + 2Il2 + 2Il1 cos (2k1 ∆s) + 2Il2 cos (2k2 ∆s)
mit Il1 = Il2
Itot = 4Il1/2 + 2Il1/2 (cos (2k1 ∆s) + cos (2k2 ∆s))
a-b
a+b
mit cos a + cos b = 2cos( 2 ) cos ( 2 )
Itot = 4Il1/2 + 4Il1/2 (cos ((k1 + k2) ∆s) cos ((k1 - k2) ∆s))
Wird das Interferometer nicht nur mit zwei dicht beieinanderliegenden Wellenlängen betrieben, so verläuft
der Kontrast in Abhängigkeit von ∆s nicht mehr als cos-Funktion. Bei einer Verschiebung ∆s berechnet sich
das Iges(∆s) aus der Summe aller Einzelintensitäten Iges(λ).
Iges = I1 + I2 + 2 I1·I2 cos
( 2πλ · 2∆s )
Aus praktischen Gründen wird nicht mit Iges(λ), sondern mit Iges(k) gerechnet { k =
Iges(k) = I1(k) + I2(k) + 2 I1(k)·I2(k) cos
∞
⇒
Iges(∆s) =
∫{
2π
}.
λ
( k · 2∆s )
I1(k) + I2(k) + 2 I1(k)·I2(k) cos
( k · 2∆s )}dk
-∞
_
I(k) wird durch lineare Koordinatentransformation zu I(x)
12
_
( x = k - k ). k wird also zum Koordinatenursprung.
Wellenoptik II
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt) * 6.1. Objektive Speckles
∞
⇒
Iges(∆s) =
_
_
{
I1(x + k ) + I2(x + k ) + 2
∫
_
_
I1(x + k )·I2(x + k ) cos
_
( (x + k ) · 2∆s )}dx
-∞
∞
Iges(∆s) =
_
_
{
2I(x + k ) (1+ cos ( (x + k ) · 2∆s ))} dx
∫
-∞
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) - sin(α) · sin(β)
mit
∞
Iges(∆s) =
∫
∞
_
2I(x + k ) dx +
-∞
∫
∞
_
_
2I(x + k ) cos(2∆s x) cos(2∆s k ) dx -
-∞
∫
_
_
2I(x + k ) sin(2∆s x) sin(2∆s k ) dx
-∞
∞
P
=
∫
_
2I(x + k ) dx
∫
_
2I(x + k ) cos(2∆s x) dx
∫
_
2I(x + k ) sin(2∆s x) dx
-∞
∞
C(∆s)
=
-∞
∞
S(∆s)
=
-∞
⇒
_
_
Iges(∆s) = P + C(∆s) cos(2∆s k ) - S(∆s) sin(2∆s k )
_
Betrachtet man diese Gleichung etwas genauer, stellt man fest, daß für eine gerade Funktion I(x + k ) der
_
Term S(∆s) zu Null wird. Die Funktion C(∆s) cos(2∆s k ) besteht aus einem hochfrequenten Kosinusterm (k
ist sehr groß), der quasi durch C(∆s) moduliert wird.
Der Kontrastverlauf des Interferogramms kann also im Wesentlichen durch das Verhältnis von C(∆s) zu P
beschrieben werden.
C(∆s)
Kontrast:
K(∆s) = P
C(∆s) ist der Realteil der Fouriertransformierten der Intensitätsverteilung der Lichtquelle. Mit Hilfe dieses
Zusammenhangs ist es möglich, anhand einer Kontrastfunktion K(∆s) auf das Spektrum einer Lichtquelle zu
schließen.
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt)
6.1. Objektive Speckles
Durch die Reflexion von zeitlich und räumlich kohärentem Licht (z.B. Laserlicht) an einer diffus reflektierenden Fläche kommt es zu einem stationären Interferenzbild. Beleuchtet man beispielsweise ein Blatt Papier
mit einem aufgeweitetem Laserstrahl, kann man keine homogen ausgeleuchtete Fläche, sondern ein Flekkenmuster (Speckles) beobachten. Die Kohärenzlänge des Lichts muß hierbei größer sein als der Gangunterschied der von der streuenden Fläche ausgehenden "Elementarwellen", der in der Unebenheit der Fläche
begründet liegt. Die von der diffus reflektierenden Oberfläche ausgehenden Wellen stehen also in einer statistischen, aber festen Phasenbeziehung. Aufgrund dieser festen Phasenbeziehung ist es nicht möglich, an
jedem Ort in der Beobachtungsebene die Gesamtintensität als Summe der Einzelintensitäten der Elementarwellen zu beschreiben. Vielmehr müssen hier die Amplituden der Elementarwellen phasengerecht aufsummiert werden.
Wellenoptik II
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6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt) * 6.1. Objektive Speckles
Um die Erscheinung der Speckles auf dem Rechner zu simulieren, müssen nur die Einzelamplituden AE = a0
cos ϕi für jeden Punkt x,y über i aufsummiert werden. ϕ ist hierbei gleichverteilt aus dem Intervall 0 .. 2π zu
wählen.
100
2
⇒
I(x,y) =
a0 cos ϕi

Σ
i =1
Um eine Aussage über die Größe der "Körner" machen zu können, nimmt man folgende Modellvorstellung
zur Hilfe:
Der Abstand zwischen Beobachtungsebene und diffus reflektierender Fläche wird als so groß angenommen,
daß es möglich ist, "ebene" Wellen zu betrachten. Wäre es möglich, nur die beiden Wellen, die von den
äußeren Punkten 1 und 2 stammen und unter dem Winkel 2α zusammentreffen, zu betrachten, so würde
λ
man eine harmonische Intensitätsverteilung mit der Periode p =
sehen 3. Da der Winkel α bei den ge2sinα
gebenen geometrischen Verhältnissen der größt mögliche Winkel zwischen den beiden ebenen Wellen ist,
ist p die kleinst mögliche Periode.
Diese kleinste Periode bzw. größte Ortsfrequenz kommt aber nur einmal im Spektrum vor. Niedrigere Ortsfrequenzen, die durch Elementarwellen zweier näher beieinanderliegenden Punkte erzeugt werden, kommen
im Spektrum häufiger vor.
Das Häufigkeitsspektrum bei einer kreisförmigen, streuenden Fläche kann wie folgt ermittelt werden:
3
zu Gitter vgl. Seite 3
14
Wellenoptik II
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt) * 6.2. Subjektive Speckles
Die Schnittfläche der beiden um b verschobenen Kreise ist ein Maß für die Häufigkeit der auftretenden Ortsfrequenzen, die durch die Elementarwellen zweier im Abstand b auseinanderliegenden Punkten erzeugt
werden.
Bei einer kreisförmig begrenzten streuenden Fläche ist die Größe der Beugungsfigur (AIRY-Scheibchen) ein
Maß für die Körnigkeit der Speckles.
6.2. Subjektive Speckles
Die Größe des AIRY-Scheibchens ist auch hier als Maß für die Körnigkeit zu sehen.
6.3. Verschiebungsmessung
Wird auf Photomaterial eine Aufnahme der Speckles gemacht und diese zur Rekonstruktion mit einem unaufgeweitetem Laserstrahl beleuchtet, so zeigt die Beugungsfigur das Häufigkeitsspektrum, das zur Entstehung der Speckles beigetragen hat.
Wird ein zweite, um ∆x verschobene Aufnahme (Doppelbelichtung) der Speckles angefertigt, kann man bei
der Rekonstruktion das in der folgenden Abbildung zu sehende Spektrum beobachten.
Anhand der Periode der inneren Streifen kann man die Verschiebung ∆x bei der Aufnahme berechnen.
(vergleiche Beugungsfigur beim Doppelspalt).
Wellenoptik II
Seite 15
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt) * 6.4. Zeit- Mittelungs- Verfahren (time- averageVerfahren)
Aufgrund der Verformung des Objekts ändert sich die Intensität auf den entsprechenden Pixeln.
Zur Messung wird das Objekt erst unverformt betrachtet und vier Phasenbilder, die sich nur durch eine um
jeweils π/2 verschobene Phase (Phasenschieber) der Referenzwelle unterscheiden, aufgenommen. Mit Hilfe
dieser vier Bilder (die Bildänderung beruht hier noch nicht auf Verformung) kann unter Anwendung des Phasenshiftverfahrens eine Aussage über die Phase an jedem Pixel gemacht werden. Nach der Verformung
werden wieder vier Bilder im Phasenshiftverfahren aufgenommen, um so die Phase an jedem Pixel bei
verformten Objekt zu ermitteln. Wird das zweite Phasenbild vom ersten abgezogen, erhält man nur noch ein
Bild der Verschiebung (modulo 2π).
6.4. Zeit- Mittelungs- Verfahren (time- average- Verfahren)
Mit Hilfe der Formel zur Zweistrahlinterferenz kann man die Gesamtintensität auf jedem Pixel beschreiben.
Iges = IObj + IR + 2· IObj IR cosδ
Der Phasenschieber ermöglicht es, das δ, also die Phasendifferenz zwischen Objektwelle IObj und Referenzwelle IR, zu verändern. Durch das Phasenshiftverfahren wird es möglich, den Kontrast für jedes einzelne
Pixel zu bestimmen. Teilt man den größtmöglichen Kontrast in beispielsweise 255 Stufen ein, kann man auf
einem Rechnermonitor ein Kontrastbild erzeugen.
Holographiert man ein schwingendes Objekt, so ist δ nicht mehr konstant, sondern eine Funktion der Zeit
(δ → δ(t))
4.
( )
I(t) = IObj + IR + 2 IObj IR cos δ(t)
→
→
δ(t) = k E · a0 cos ωt
( )
→
k E:
Empfindlichkeitsvektor
→
a0:
Amplitude der Oberflächenschwingung
2π
Kreisfrequenz der Anregung ω = T
Will man beispielsweise eine Lautsprechermembran holographieren (ESPI), stellt man fest, daß die Anregungsfrequenz wesentlich höher als die Abtastfrequenz ist.
Das auf einem Pixel über die Zeit T aufgezeichnete Intensitätssignal muß wie folgt beschrieben werden:
T
T
→
→
I(t) dt =
IObj + IR + 2· IObj IR cos k E · a0 cos(ωt) dt
0
0
T
T
→
→
I(t) dt = IObjT + IRT + 2 IObj IR
cos k E · a0 cos(ωt) dt
0
0
→
→
mit
z = k E · a0
und
α = ωt
ω:
∫
∫
4
16
∫[
∫
(
)]
(
)
vgl. Skript zu Holographie, Seite 32
Wellenoptik II
6. Speckles (Laserlicht Granulation / Flecken Effekt) * 6.5. Shearographie
∞
Σ
(
)
cos(z cosα) = J0(z) + 2
J2m(z) cos 2mα
m=1
∞
Σ
(
)
J2m(z) cos 2mα = 0 (durch das sehr große ω)
2
m=1
T
∫0 I(t) dt = I
⇒
ObjT
+ IRT + 2 IObj IR · J0(z) T
k1
→ →
k0 = J0( k E a0 )
Der zu messende Kontrast verläuft also nach der Besselfunktion Jo und ist abhängig vom Empfindlichkeits⇒
→
vektor k E .
Betrachtet man das Signal eines ruhenden Körpers auf einer CCD-Zeile, stellt man fest, daß das Signal von
Pixel zu Pixel sehr stark schwankt. Der erreichbare Intensitätsumfang auf jedem einzelnen Pixel ist sehr
(
hoch. Imin = IObj + IR - 2· IObj IR ; Imax = IObj + IR + 2· IObj IR
)
Bei der Aufnahme des bewegten Objekts nähert sich die Intensität auf einem Pixel immer mehr dem Wert
Iges = IObj + IR ,
→
→
je größer der Empfindlichkeitsvektor k E bzw. die Amplitude der Schwingung a0 wird.
Mit Hilfe von hochauflösenden Kameras ist es möglich, aus nur einem Intensitätsbild ein Phasenbild zu gewinnen. Hierzu muß die Specklegröße so bestimmt werden, daß sie größer ist als ein Pixel. Der häufigste
Kompromiß ist eine Speckle, das sich über drei Pixel erstreckt.
Die Referenzwelle wird so schräg zur optischen Achse gestellt, daß sich die Speckles wie in der Zeichnung
gezeigt strukturieren. Eine Periode wird also auf drei Pixel verteilt, so daß man mit Hilfe des Dreier-Phasenshiftalgorithmus die Phase berechnen kann.
6.5. Shearographie
Eine weitere Anwendung der Speckles bietet das relativ neue Verfahren der Shearographie. Im Vergleich
zum ESPI zeichnet sich dieses Verfahren durch einen einfacheren mechanischen Aufbau aus, der dafür
sorgt, daß es in der Praxis nicht so leicht zu Dejustagen kommt.
Wellenoptik II
Seite 17
7. Moiré- Techniken * 7.1. Intensitätstransmission
Durch das Prisma entstehen in der Kamera zwei gleiche Bilder, die zueinander verschoben sind. Diese beiden Bilder interferieren miteinander. Hier wird also ohne die herkömmliche Referenzwelle gearbeitet.
Bei der ersten Aufnahme (1. Bildspeicher) wird das Objekt unbelastet aufgenommen. Die zweite Aufnahme
(2. Bildspeicher) wird unter Belastung gemacht. Wird das 2. Bildsignal vom 1. abgezogen, erhält man ein Bild
der Verformung. Alle Verschiebungen (z.B. Fertigungsfehler) werden paarweise angezeigt.
Die Verschiebung zwischen den beiden Teilbildern beträgt normalerweise 1 bis 2 mm bei einem 1/2 ZollTarget.
7. Moiré- Techniken
7.1. Intensitätstransmission
Die Amplitudentransmission eines harmonischen Gitters kann wie folgt beschrieben werden:
2π
tA(x) = a + b·cos g · x
mit
a+b < 1
und b < a
Um die Gesamttransmission zweier gleicher Gitter G1 und G2 (g1 = g2; a1 = a2; b1 = b2) zu ermitteln, muß
man beide Transmissionen multiplizieren.
(
)
7.2. Verdrehungsmoiré
Zuerst wollen wir hier die Fouriertransformierte von zwei übereinanderliegenden, gegeneinander verdrehten,
harmonischen Amplitudengittern betrachten. Die in der Objektebene zu multiplizierenden Gitter müssen in
der Fourierebene gefaltet werden. Es entsteht folgende Transformierte:
18
Wellenoptik II
7. Moiré- Techniken * 7.3. Vermessung von Oberflächen mit der Moiré- Technik
Wird das verdrehte Gitter in x-Richtung verschoben, wandert das Streifenmuster in y-Richtung.
Verschiebt man das Gitter in x-Richtung beispielsweise um eine Gitterkonstante, registriert ein Meßzelle bereits den Durchgang eine ganzen Periode der Transmission. (zwei Hell- Dunkel- bzw. zwei Dunkel- Hellwechsel) Bei einer geringen Verdrehung der beiden Gitter ist die Periode des Moiré relativ groß. Auf diese Art
ist es möglich, mit relativ "grober" Meßtechnik eine geringe Verschiebung (Teile eine Gitterkonstanten) zu
messen.
Mit dieser Anordnung und einem Vorwärts-Rückwärts-Zähler können die Anzahl der durchlaufenden Perioden gezählt und die Richtung bestimmt werden.
Es ist natürlich auch möglich, mit Hilfe der Moiré-Verfahren kleine Verdrehungen zweier Gitter untereinander
auszumessen.
7.3. Vermessung von Oberflächen mit der Moiré- Technik
Die Moiré- Technik ermöglicht es, auf eine relativ einfache Art, Oberflächen zu vermessen und miteinander
zu vergleichen. Diese Technik wird deshalb auch in der Schönheitschirurgie angewendet.
Bei dieser Technik wird ein materielles Gitter mit seinem eigenen Schattenbild überlagert.
Wellenoptik II
Seite 19
7. Moiré- Techniken * 7.4. Meßmethoden mit projeziertem Gitter
x
tan α = h
⇒
x = tan α · h
Bei einer Verschiebung der ganzen Fläche um h =
g
nach hinten würde die ganze Fläche dunkel wahrtan α
genommen.
7.4. Meßmethoden mit projeziertem Gitter
Das Gitter wird mit einem Projektor mit sehr kleiner Apertur auf das zu vermessende Objekt abgebildet. Die
Abbildung muß mit kleiner Apertur erfolgen, da eine große Tiefenschärfe benötigt wird. Im Aufnahme und im
Abbildungsteil der Aperatur müssen jeweils gleiche Gitter und Objektive verwendet werden. Fehler in der
Abbildung, die durch die Zentralprojektion des Gitters entstehen, können in der digitalen Bildverarbeitung
wieder korrigiert werden.
Weiterhin besteht die Möglichkeit, auf das Gitter im Aufnahmeteil zu verzichten und die Struktur des verwendeten Bildwandlers (CCD; Röhre) auszunutzen. Das Gitter im Abbildungsteil muß dann natürlich dem des
Bildwandlers entsprechen.
7.5. relativ- contouring
20
Wellenoptik II
7. Moiré- Techniken * 7.6. absolut- contouring
Im ersten Schritt wird das Gitter auf eine ebene Platte projeziert. Von diesem Bild wird mit Hilfe der Phasenshiftmethode ein Phasenbild erstellt. Dieses Phasenbild der ebenen Fläche wird im Folgenden als Referenz verwendet. Entfernt man die Platte und fertigt im Phasenshiftverfahren ein zweites Phasenbild an, kann
man durch nachfolgende Subtraktion der beiden Phasenbilder die Phasenverschiebung darstellen. Wird die
ebene Platte einfach nur verschoben, so ist nach der Subtraktion der beiden Phasenbilder eine über die
ganze Fläche homogene Phasendifferenz zu beobachten.
Ist die Form des zu vermessenden Objekts nicht stetig, kann man die Höhenlinien keinem absoluten Maß
mehr zuordnen.
7.6. absolut- contouring
Nach einem an der ETH Zürich gefundenen Verfahren ist es möglich, den oben genannten Mangel auszugleichen. Es ist also möglich, für jeden Punkt auf der Objektoberfläche ein absolutes Maß anzugeben.
Bei diesem Verfahren wird nicht mit einem Gitter, sondern mit zwei überlagerten Gittern gearbeitet. Beide
Gitter unterscheiden sich durch eine geringfügig andere Gitterkonstante (z.B. g1 = 30; g2 = 31). Mit Hilfe der
Phase des Moiré (zwischen den beiden Gittern) lassen sich die einzelnen Gitterlinien einander genau zuordnen.
Ein weiteres Verfahren des absolut- contouring beruht auf der Idee der Entfernungsmessung nach dem Triangulationsverfahrens.
Durch die Kenntnis der Winkel α & β und der Basislänge ist es möglich, die Entfernung zum Punkt P zu berechnen. Da im Gitterbild auf dem CCD-Chip für jede Gitterlinie problemlos der Winkel zur optischen Achse
ermittelt werden kann und die Basislänge ja bekannt ist, muß nur noch der Winkel β ermittelt werden. Die
aufgenommenen Gitterlinien müssen also den entsprechenden Linien des materiellen Gitters zugeordnet
werden.
Wellenoptik II
Seite 21
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
8. Übungsaufgaben
1. Beugung
1.1.
Beschreiben Sie die FRAUNHOFERsche Beugungsfigur zur Amplitudentransmissionsfunktion
ta(x) = (a + bcos(fx))(c + dcos(gx)) !
gegebene Amplitudentransmission:
ta(x) = (a + bcos(fx))(c + dcos(gx))
mit a,b,c,d,f,g ≥ 0; a>b und c > d; a+b ≤ 1 und c+d ≤ 1.
Die Beugungsfigur (im Abstand R) läßt sich durch die FOURIER-Transformierte beschreiben. Betrachten wir
zuerst einen Faktor:
∞
A(u)
-i·k/R·ux
dx
=
⌠ (a + bcos(fx) )·e
A
⌡
o
−∞
=a
∞ k
∞
-i· /R·ux
-i·k/R·ux
e
dx
+
b
dx
⌠
⌠cos(fx)·e
⌡
⌡
⌡
⌡
−∞
−∞
∞ ifx -ifx
∞ k
e +e
-i·k/ ·ux
-i· / ·ux
·e R dx
= a ⌠e R dx + b ⌠
2
−∞
−∞
∞
∞
∞ k
-i·(ku/R+f)·x
-i·(ku/R-f)·x
-i· / ·ux
dx
dx+ ½·b ⌠·e
= a ⌠e R dx + ½·b ⌠·e
⌡
⌡
⌡
⌡
⌡
⌡
−∞
−∞
−∞
∞ k
∞
∞
-i· / ·ux
-i·(ku/R-f)·x
-i·(ku/R+f)·x
= a ⌠e R dx + ½·b ⌠·e
dx+ ½·b ⌠·e
dx
−∞
−∞
−∞
Diese Integrale sind immer null, es sei denn der Exponent ist null, denn dann haben wir ein Integral von -∞
bis +∞ mit dem Integranden e0 = 1:
k·u
k·u
k·u
R
= a·δ (u) + ½·b·δ ( R - f ) + ½·b·δ ( R + f )
mit R = ± f <=> u = ± f · k
R
R
= a·δ (u) + ½·b·δ ( u - f · k ) + ½·b·δ ( u + f · k )
Ebenso gilt für den zweiten Faktor:
B(u)
R
R
= c·δ (u) + ½·d·δ ( u - g · k ) + ½·d·δ ( u + g · k )
Bo
Um das Produkt zweier Funktionen A und B zu transformieren, kann man nach dem Faltungssatz diese auch
zuerst transformieren und dann falten:
∞
A(u) B(u)
R
R
∗
=
⌠[a·δ (u) + ½·b·δ ( u - f · k ) + ½·b·δ ( u + f · k )]
A
B
o
o
⌡
-∞
·[c·δ (z-u)
∞
=
( ac δ (u) · δ (z-u)
⌠
⌡
R
R
+ ½·d·δ ( z - u + g · k ) + ½·d·δ ( z - u - g · k )] du
R
+ ½·ad·δ (u)·δ ( z - g · k - u )
R
+ ½·ad·δ (u)·δ ( z + g · k - u )
-∞
R
R
R
R
R
+ ½·bc·δ ( u - f · k )·δ (z-u) + ¼·bd·δ( u - f · k )·δ ( z + g · k - u )
+ ¼·bd·δ( u - f · k )·δ ( z - g · k - u )
R
R
R
R
R
+ ½·bc·δ ( u + f · k )·δ (z-u) + ¼·bd·δ( u + f · k )·δ ( z + g · k - u ) + ¼·bd·δ( u + f · k )·δ ( z - g · k - u )du
22
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Mit
∞
⌠δ(u-zo)·δ(z-u) du = δ(z-zo) folgt:
⌡
-∞
R
R
+ ½·ad·δ ( z + g · k )
+ ½·ad·δ ( z - g · k )
R
R
R
R
R
+
½·bc·δ ( z - f · k ) + ¼·bd·δ ( z + g · k - f · k )
+ ¼·bd·δ ( z - g · k - f · k )
R
R
R
R
R
+
½·bc·δ ( z + f · k ) + ¼·bd·δ ( z + g · k + f · k )
+ ¼·bd·δ ( z - g · k + f · k )
Es ergeben sich also insgesamt 9 Lichtpunkte: einer für den Gleichanteil liegt in der optischen Achse, dann
jeweils zwei an den Stellen, die den einzelnen Faktoren zugeordnet sind und weitere vier für das Produkt.
1.2.
In einer 4-f-Anordnung wird ein harmonisches Gitter als Objekt verwendet. Beschreiben Sie das Objekt, wenn die nullte Beugungsordnung herausgefiltert wird.
Ein harmonisches Amplituden-Gitter hat eine Transmissionsfunktion der Art ta(x) = a + b·cos(ν·x) mit a≥b.
In der FOURIER-Ebene tritt die FOURIER-Transformierte auf:
∞
A(u)
-i·k/R·ux
=
dx
⌠ (a + bcos(ν·x) )·e
A
ac δ (z)
=
o
⌡
−∞
∞
-i·k/ ·ux
= ⌠a·e R dx
⌡
∞
+
-i·k/R·ux
b·cos(νx)·e
⌠
⌡
dx
−∞
−∞
Wenn wir nun ausmultiplizieren und die entstandene Summe in zwei Integrale aufteilen, stellt das erste Integral die Transformierte des konstanten Anteils (Frequenz 0) dar und das zweite diejenige der Gittermodulation mit der Frequenz ν .
∞ k
∞ iνx -iνx
e +e
-i·k/ ·ux
-i· / ·ux
= a ⌠e R dx
·e R dx
+b⌠
2
⌡
⌡
−∞
∞ k
-i· / ·ux
= a ⌠e R dx
+ ½·b
−∞
∞ k
-i· / ·ux
= a ⌠e R dx
−∞
−∞
∞
∞
-i·(ku/R-ν)·x
-i·(ku/R+ν)·x
+ ½·b ⌠·e
dx+ ½·b ⌠·e
dx
⌡
⌡
−∞
−∞
∞
-i·(ku/R-ν)·x
e
⌠
⌡
∞
dx+ ½·b
⌡
-i·(ku/R+ν)·x
e
⌠
⌡
dx
⌡
−∞
−∞
k·u
k·u
= a·δ (u) + ½·b·δ ( R - ν ) + ½·b·δ ( R + ν )
R
R
= a·δ (u) + ½·b·δ ( u - ν · k ) + ½·b·δ ( u + ν · k )
Die Transformierte des konstanten Anteils ist also auf der optischen Achse. Das heißt, die nullte Beugungsordnung wird vom Gleichanteil erzeugt, während der harmonische Anteil der Gittermodulation die erste
Beugungsordnung rechts und links der optischen Achse erzeugt. Blenden wir die nullte Beugungsordnung
heraus, so bleibt bei der anschließenden Rücktransformation nur der Kosinus-Anteil erhalten und der
Gleichanteil fällt weg.
Wellenoptik II
Seite 23
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Betrachten wir den vereinfachten Fall mit a = b = ½, so schwankt die Transparenz zwischen 0 und 1. Für
Amax = 1 hat die durch das Gitter entstandene Welle eine ortsabhängige Amplitude, die zwischen null und
eins schwankt:
Amplitude(Ort)
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Ort
Entfernen wir den Gleichanteil (hier = ½), so erhalten wir eine Amplitude, die zwischen -½ und +½ schwankt:
Amplitude(Ort)
0,5
0,0
-0,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Ort
Wahrnehmen können wir (und der Film) aber nur Intensitäten, die ja dem Amplitudenquadrat proportional
sind:
Amplitude²(Ort)
0,25
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Ort
Die Intensität einer Kosinusschwingung ohne Gleichanteil hat also die doppelte Frequenz wie die Intensität
einer Schwingung mit Gleichanteil. Dies wird auch durch folgende Beziehung deutlich:
cos²x = ½·cos2x+½ 5.
In der durch das ursprüngliche Gitter entstandenen Intensitätsverteilung ist diese doppelte Frequenz übrigens
schon enthalten. Ein Gitter mit einer harmonischen Amplitudentransmission erzeugt nämlich eine unharmonische Intensitätsverteilung:
(1+cosx)² = cos²x + 2cosx +1 = ½·cos2x + ½·3 + 2·cosx
1.3.
Man habe eine Filteranlage, die aus zwei konfokal angeordneten Objektiven mit f = 100mm besteht.
Wie breit muß ein Bandpaßfilter sein, daß die untere Ortsfrequenz fu = 10/mm und die obere Ortsfrequenz fo = 20/mm hat ? Es wird Licht der Wellenlänge 500nm benutzt.
Vom Gitter wird Licht in alle Richtungen gebeugt. Zur konstruktiven Interferenz gelangen allerdings nur diejenigen Lichtstrahlen, die untereinander einen Wegunterschied von λ haben (bzw. n·λ).
5
mit cos2x = 2cos²x-1
24
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Der Winkel, in dem die erste Beugungsordnung sichtbar wird, hängt also von der Gitterkonstanten d und der
Wellenlänge λ ab:
λ
sinα = d
Da alle Strahlen, die unter gleichem Winkel auf einer Linse auftreffen, sich in der Brennebene in einem
Punkte treffen, gilt für die Entfernung r dieses Punktes von der optischen Achse:
r
tanα = f
Bei kleinen Winkeln α können wir nun
sinα = tanα
setzen, woraus folgt:
λ
λ r
d = f => r = d · f .
Die Gitterkonstante d ist aber der Kehrwert der Ortsfrequenz ν des Gitters, so daß gilt:
r = λ·ν·f .
Wenn wir die Radiusdifferenz, die zu zwei Ortsfrequenzen gehört, berechnen wollen, heißt das:
∆r = r1 -r2 = λ·ν1·f - λ·ν2·f = λ·f·(ν1 -ν2 ) = λ·f·∆ν
=>
∆r = 500nm · 1m · 10/mm = 5mm .
1.4.
Sie haben auf einem Kleinbildnegativ das Standbild einer Fernsehers formatfüllend aufgenommen.
Wie muß das Negativ in einer 4f-Anordnung gefiltert werden, wenn f=500mm und die Wellenlänge
600nm beträgt und dabei das Zeilenraster beseitigt werden soll.
Bei einer sichtbaren Zeilenzahl von 574 und einer Bildhöhe von 24mm ergibt sich eine Ortsfrequenz von
574
ν = 24mm = 24/mm
auf dem Negativ. Der Beugungswinkel des so entstandenen Gitters ist
λ
sinα = d = λ·ν .
Der Abstand r der ersten Beugungsordnung von der optischen Achse in der Brennebene der Linse ist bestimmt durch
r
tanα = f .
Für kleine Winkel können wir den sin gleich dem tan setzen und erhalten dann:
r = f·λ·ν => r = 7,2mm.
Um das Zeilenraster zu entfernen, würden also zwei Ausblendungspunkte senkrecht zum Zeilenraster in
7,2mm Abstand von der optischen Achse reichen.
Da aber nicht nur das Zeilenraster, sondern auch die Bildinformation enthalten ist, muß das Beugungsmuster des Zeilenrasters mit dem der Bildinformation gefaltet werden. Es entsteht also an den Stellen
ν = -24/mm;
ν= 0;
und
ν = +24/mm
die gesamte Bildinformation.
Wellenoptik II
Seite 25
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Damit diese drei Bereiche nicht überlappen, darf die Bildinformation also nur die halbe Frequenz der Abtastfrequenz haben (SHANNON-Theorem). Wenn das Bild nur von ν= -12/mm bis ν=+12/mm geht, kann also mit
einer runden Blende mit
7,2mm
r=
= 3,6mm
2
alles außer der Bildinformation ausgeblendet werden.
1.5.
Eine FRESNEL'sche Zonenplatte habe eine Brennweite von 200mm für Licht der Wellenlänge 500nm.
Wie groß muß die Gitterkonstante in 200mm Abstand von der optischen Achse sein ?
Bei einer Brennweite von 200mm und Achsenabstand von 200mm ergibt sich ein Beugungswinkel von 45°.
Für Beugung gilt allgemein:
λ
sinα = d ,
woraus für die Gitterkonstante d folgt:
500nm
d=
= 700nm
2
1.6.
Wie breit ist die FRAUENHOFER'sche Beugungsfigur eines Spaltes der Breite 0,5mm, der mit parallelem
Licht der Wellenlänge 0,5µm beleuchtet wird, wenn in 5m Entfernung beobachtet wird ?
Wir gehen hier bei der Berechnung der ersten dunklen Stelle des Beugungsbildes von folgendem Grundgedanken aus:
Wir denken uns den Spalt der Breite b in zwei gleiche Teile aufgeteilt. Gehen wir nun im Gedankenmodell
(zB von oben nach unten ) alle Elementarzentren HUYGENS'scher Wellen durch, die paarweise den Abstand
b/2 haben, so können die von diesen Elementarzentrenpaaren ausgehenden Elementarwellen gerade dann
alle destruktiv interferieren, wenn sie alle einen Wegunterschied von jeweils λ/2 haben. Dies tritt für einen
Beugungswinkel α mit
λ/2 λ
sinα = b/2 = b
x
auf. Der Abstand des Beugungsbildes auf dem Schirm von der optischen Achse läßt sich mit tanα = e
errechnen. Für kleine Winkel α können wir tanα = sinα gleichsetzen und für den Abstand der Minima folgt
dann:
λ
0,5µm
2x = 2 · b · e => 2x = 2 · 500µm ·5m = 10mm.
Dieser Wert kann auch mit Hilfe der FOURIER-Transformierten einer Rechteckfunktion, die die Beugungsfigur
eines Spaltes wiedergibt, berechnet werden 6 :
6
26
siehe Skript zur FOURIER-Vorlesung
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
.
{rect(x/b)} = b·sincî b·u
λ·e 
Die erste Nullstelle der sinc(x)-Funktion liegt an der Stelle x=1:
λ
b·u
= 1 => 2u = 2 · b · e .
λ·e
1.7.
Eine runde Öffnung ∅ = 10mm wird mit einer ebenen Welle (λ
λ= 600nm) beleuchtet. Wie weit muß die
Beobachtungsebene minimal entfernt sein, damit die FRAUNHOFER'sche Beugungsfigur der Öffnung
beobachtet wird. Dabei soll die Bedingung als erfüllt gelten, wenn ∅Öffnung < 1/10 · ∅1.FRESNEL'sche Zone
.
100·r² + L² = (L+λ/2)² => L =
100·r²
=> L = 4,166km
λ
1.8.
Beschreiben Sie die FRAUNHOFER'sche Beugungsfigur des Buchstaben T !
∞ ∞
A(u,v)
-i·k/f·(ux+vy)
=
dxdy
⌠ ⌠tA(x,y)·e
Ao
⌡⌡
−∞−∞
=
½·b
½·l
⌠
⌡
e
⌠
⌡
-½·b
½·b
½·l
⌠
⌡
e
⌠
⌡
-½·b
dxdy
½·b
dxdy +
-½·l
⌠
⌡
-½·l k
-i· / ·(ux+vy)
e f
dxdy
⌠
⌡
-½·b -½·l -b
bv
ul
= blsinc( )sinc( )
λf
λf
-½·l
½·b
⌠
⌡
-i·k/f·(ux+vy)
-i·k/f·(ux+vy)
-½·l k
-i· /f·(ux+vy)
dxdy
⌠e
⌡
-½·b -½·l -b
½·b
=
⌠
⌡
-½·l k
-i· /f·ux -i·k/f·vy
e
dxdy
⌠e
⌡
-½·b -½·l -b
½·b k
-½·l k
-i· /f·vy
-i· /f·ux
dy
dx· ⌠ e
=
⌠e
⌡
⌡
-½·b
-½·l -b
-i·k/f·u(-½·l -b) -i·k/f·u(-½·l)
e
-e
lv
· lsinc( )
=
iuk/f
λf
i·k/f·u½·b -i·k/f·u½·b
-e
-i·k/f·u(-½·l -½·b ) e
=e
·
iuk/f
=>
A(u,v)
Ao
lv
· lsinc( )
λf
k
lv
i·k/ ·u(½·l +½·b ) sin( /f·u½·b)
=e f
·
· lsinc( )
iuk/f
λf
ub
lv
i·k/ ·u(½·l +½·b )
=e f
· bsinc( ) · lsinc( )
λf
λf
ul
bv
ub
lv
i·k/ ·u(½·l +½·b )
= blsinc( )sinc( ) + e f
· bsinc( ) · lsinc( )
λf
λf
λf
λf
ul
bv
ub
lv
= blsinc( )sinc( ) + cos(k/f·u(½·l +½·b ) )· bsinc( ) · lsinc( )
λf
λf
λf
λf
ub
lv
+ i·sin(k/f·u(½·l +½·b ) )· bsinc( ) · lsinc( )
λf
λf
Wellenoptik II
Seite 27
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
lv
· lsinc( ) ²
λf
ub
lv
+ sin(k/f·u(½·l +½·b ) )· bsinc( ) · lsinc( ) ²
λf
λf
ul
bv
ul
bv
ub
lv
= blsinc( )sinc( ) ² + 2blsinc( )sinc( )cos(k/f·u(½·l +½·b ) )·blsinc( )sinc( )
λf
λf
λf
λf
λf
λf
ub
lv
ub
lv
+ cos(k/f·u(½·l +½·b ) )·blsinc( )·sinc( ) ² + sin(k/f·u(½·l +½·b ) )·bsinc( )·lsinc( ) ²
λf
λf
λf
λf
bv
ul
bv
ub
lv
ub
lv
ul
= blsinc( )sinc( ) ² + 2blsinc( )sinc( )cos(k/f·u(½·l +½·b ) )·blsinc( )sinc( ) + blsinc( )sinc( ) ²
λf
λf
λf
λf
λf
λf
λf
λf
( mit: sin²x + cos²x = 1 )
ul
bv
ul
bv
ub
lv
ub
lv
= (bl)²· sinc( )sinc( ) ² + 2sinc( )sinc( )cos(k/f·u(½·l +½·b ) )·sinc( )sinc( ) + sinc( )sinc( ) ²
λf
λf
λf
λf
λf
λf
λf
λf
=>
(
ul
bv
ub
k
| A(u,v)
Ao |)² =[blsinc(λf)sinc( λf ) + cos( /f·u(½·l +½·b ) )· bsinc( λf )
]
[
[
]
]
[
]
[
]
]
[
{[
]
[
]
[
]}
4
I(u,0)
3
I(u,0.25) 2
I(u,0.5)
1
0
-4
-3
-2
-1
0
u
28
Wellenoptik II
1
2
3
4
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
4
I(0,v)
I(0.25,v)
3
2
I(0.5,v)
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
v
Wellenoptik II
Seite 29
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
1.8.
Ein Doppelspaltpaar befindet sich symmetrisch zur optischen Achse in der vorderen Brennebene
eines fehlerfreien Objektivs. Die Beleuchtung erfolgt mit einer achsparallelen Welle mit λ=500nm. Die
Brennweite des Objektivs beträgt 500mm.
a)
Die Spaltbreite sei 1mm und der Abstand 5mm. Berechnen Sie die Beugungsfigur in der hinteren Brennebene.
Wir berechnen zuerst die FOURIER-Transformierte des einen Spaltes, da die FOURIER-Transformierte einer
Summe gleich der Summe der FOURIER-Transformierten ist:
∞
A1(u)
x+½·d -i·k/ ·ux
=
rect( b )·e f dx
⌠
Ao
⌡
−∞
-½·d+½·b
=
⌠
⌡
-i·k/f·ux
e
dx
-½·d-½·b
|
f
-i·k/ ·ux -½·d+½·b
= - k·i·u · e f
x=-½·d-½·b
f
-i·k/ ·u·(-½·d+½·b)
-i·k/ ·ux(-½·d-½·b)
= - k·i·u · e f
- e f
f
i·k/ ·u·½·d
-i·k/ ·u·½·b
i·k/ ·ux·½·b
)
= - k·i·u · e f
(e f
- e f
[
[
]
i·k/f·u·½·b
f
e
i·k/ ·u·½·d
(-2i)
= - k·i·u · e f
[
2f
i·k/ ·u·½·d
sin( k/f·u·½·b )
= k·u · e f
[
]
-i·k/f·ux·½·b
- e
2i
]
]
Ebenso gilt für den zweiten Spalt:
A2(u) ½·d+½·b -i·k/ ·ux
2f
-i·k/ ·u·½·d
e f dx = k·u · e f
sin( k/f·u·½·b )
Ao = ⌠
⌡
[
]
½·d-½·b
Dann gilt für deren Summe:
Ages,a(u)
A1(u) A2(u)
=
Ao
Ao + Ao
2f
-i·k/ ·u·½·d
i·k/ ·u·½·d
= k·u · ( e f
+e f
)sin( k/f·u·½·b )
[
]
-i·k/ ·u·½·d
i·k/ ·u·½·d
2f
e f
+e f
= k·u · 2·
·sin( k/f·u·½·b )
2
4f
= k·u ·cos( k/f·u·½·d ) ·sin( k/f·u·½·b )
f·sin( k/f·u·½·b )
= 2b·
·cos( k/f·u·½·d )
k·u·½·b
u·b
= 2b sinc(
)·cos( k/f·½·d·u )
λ·f
mit k =
2·π
λ
u·d·π
u·b
)·cos(
)
λ·f
λ·f
b)
Ein Spalt Ihrer Wahl wird mit einer Phasenplatte von ∆δ = ½·π
π belegt. Vergleichen Sie die Beugungsfigur mit dem Ergebnis von a)
Wenn wir den ersten Spalt unverändert lassen und in den zweiten eine Phasenverschiebung von ½·π einbauen, gilt für diesen:
= 2b sinc(
A(u)
Ao =
½·d+½·b
⌠
⌡
-i·½·π
e
2f
-i·½·π -i·k/f·u·½·d
·e
sin( k/f·u·½·b )
dx = k·u · e
-i·k/f·ux
·e
[
½·d-½·b
Für die Summe gilt dann:
30
Wellenoptik II
]
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Ages,b(u) 2f
-i·½·π -i·k/f·u·½·d
i·k/ ·u·½·d
= k·u · ( e
·e
+e f
) ·sin( k/f·u·½·b )
Ao
2f
+i·¼·π i·k/f·u·½·d
-i·¼·π -i·k/f·u·½·d
-i·¼·π
) ·sin( k/f·u·½·b )
·e
·e
+e
·( e
= k·u · e
2f
+i·(¼·π+k/f·u·½·d)
-i·(¼·π+k/f·u·½·d)
-i·¼·π
= k·u · e
) ·sin( k/f·u·½·b )
+e
·( e
u·b
-i·¼·π
= 2b sinc(
)·cos( k/f·½·d·u + ¼·π) · e
λ·f
u·d·π
u·b
-i·¼·π
)·cos(
+ ¼·π) · e
= 2b sinc(
λ·f
λ·f
Will man die sichtbaren Beugungsfiguren vergleichen, so sind die Quadrate der Beträge der Amplituden
heranzuziehen. Dadurch fällt der letzte Faktor im Fall b) weg. Der sichtbare Unterschied besteht also nur in
der Phasenverschiebung der cos-Terme.
a)
[
]
Amplitude²(Ort)
1
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,3
0,4
0,5
Ort
b)
|Amplitude|²(Ort)
1
0
0,0
0,1
0,2
Ort
1.9.
Welche Grenzauflösung hat ein fehlerfreies Objektiv bei Öffnung 1:4 und einer Wellenlänge von
500nm, wenn es für eine Abbildung 1:1 eingesetzt wird ?
Die Beugungsfigur einer runden Blende wird durch die BESSEL-Funktion J1 beschrieben:
Wellenoptik II
Seite 31
8. Übungsaufgaben * 1. Beugung
Die erste Nullstelle liegt bei x = 3.83170597...
Wir können die Größe des AIRY-Scheibchens dann angeben mit:
2π DEP r
J1(k·a·sinϕ) = 0 => 3,83 = k·a·sinϕ =
· 2 ·b
λ
b
=>
r = 1,22·λ·D = 1,22·λ·keff => r = 1,22·500nm·(4·2) = 5µm
EP
1.10.
Berechnen Sie den Astigmatismus einer Zonenplatte mit f = 300mm bei λ = 500nm, wenn diese um
30° gedreht wird um eine Achse senkrecht zur optischen Achse.
Betrachten wir zunächst die Verhältnisse bei geradem Einfall:
Der Ablenkwinkel α kann dann durch
λ
sinα = g
beschrieben werden. Für schrägen Einfall:
b a λ
b-a = λ => g - g = g
λ
=> sin(β+ϕ) - sin(β) = g
mit
und
b
g = sin(β+ϕ) = sin(β+ϕ) sin(γ)
a
sin(β) = g
λ
=> sin(β)·cos(ϕ) + cos(β)·sin(ϕ) - sin(β) = g
λ
=> cos(β)·sin(ϕ) = g
=> sin(ϕ) =
32
mit
ϕ«1
λ
g·cos(β)
Wellenoptik II
=>
cos(ϕ) ≈ 1
8. Übungsaufgaben * 2. Interferenz
λ
h' h·cosβ
= tanϕ ≈ sinϕ =
f
f =
g·cosβ
=>
f(ϕ) =
h·cos²β
= f(0)·cos²ϕ
λ·g
2. Interferenz
2.1.
Ein MICHELSON-Interferometer sei so justiert, daß für ∆s = 0 gut sichtbare Streifen beobachtet werden
können. Bis zum Verschwinden des Kontrastes kann das Durchwandern von 100 Streifen gezählt
werden. Es ergibt sich dabei ein ∆s von 50µm. Wie groß ist a) die Wellenlänge ? b) der Kontrast ?
^ ∆s = 50µm => Wegunterschied ∆w = 2·∆s = 100µm = 100·λ => λ = 1000nm
a)
100 Streifen =
2·π
· ∆w
denn: I = I1 + I2 + 2 I1·I2 ·cosδ mit δ =
λ
Wenn also I maximal sein soll, muß
2·π
δ=
· ∆ω = 2·π·k
λ
sein. Zwei aufeinanderfolgende Maxima haben also den Wegunterschied λ.
λo²
= ∆w = 100µm.
b) Kohärenzlänge ∆sk =
∆λ
2.2.
Es soll durch Interferenz ein Gitter mit ν = 2000/mm erzeugt werden. Geben Sie in einer Maßskizze
den Aufbau an. Es stehe Laserlicht mit einer Wellenlänge von 500nm zur Verfügung.
Es sind grundsätzlich alle Aufbauten geeignet, in denen eine ebene Welle in zwei zueinander verkippte
ebene Wellen aufgeteilt wird. Wichtig ist, daß senkrecht zur Winkelhalbierenden der Wellen beobachtet wird,
da nur dort die Amplitude nicht von der Entfernung abhängt und so beliebig dicke Filme oder Beobachtungsschirme verwendet werden können.
In der rechten Abbildung sind die Wellenfronten der beiden Wellen k1und k2 und die Beobachtungsebene
senkrecht zur Winkelhalbierenden eingezeichnet. Für den Winkel α gilt dann:
λ
sinα = 2d = λ·½ν
=> sinα = 0,0005mm·½·2000/mm = ½
=> α = 30° .
→
Der Winkel, den die k -Vektoren einschließen, ist also 120° .
Wellenoptik II
Seite 33
8. Übungsaufgaben * 2. Interferenz
2.3.
Zwei ebene Wellen mit k1 und k2 treffen sich unter einem Winkel von 40°. Das Lot der zu belichtenden
Emulsion bildet mit der Winkelhalbierenden einen Winkel von 30°.
a) Beschreiben Sie das Interferenzfeld in der 5µm dicken Emulsion, wenn |k1| = |k2| mit λ = 600nm.
b) Nach dem chemischen Prozeß sei die Emulsion um 20% geschrumpft. Berechnen Sie daraus den
Winkel, unter dem eine einfallende Welle maximal gebeugt wird.
→ → →
Iges = 2I·(1+cosδ)
mit
δ
=
r ( k 1- k 2)
cos20°
cos20°
0

→


→
→
=
k2
=
k·-sin20°  r
k 1 = k· sin20° 
y 
î
î
î z
0 
0 
Für den Abstand zweier Maxima gilt:
δ = 2π
2π
=>
δ = 600nm ·2sin20°· ∆y
=>
∆y = 877nm
Wenn wir annehmen, daß die Schrumpfung nur in der Dicke erfolgt, heißt das:
h' = 0,8·h
Die Linien maximaler Belichtung weichen um α von der Senkrechten zur Filmebene ab:
a
h = tan α
Das heißt für den Winkel maximaler Schwärzung nach der Schrumpfung bei der Entwicklung :
tanα
a
a
α' = arctan(h') = arctan(h·0,8) = arctan( 0,8 )
2.4.
Zwei ebene Wellen fallen auf einen Schirm. Die k-Vektoren liegen 30° bzw. 60° zur Normalen des
Schirms. Welche Periode hat das Streifensystem auf dem Schirm, wenn die Wellenlänge 600nm beträgt ?
Zuerst legen wir ein Koordinatensystem fest: Die x-Achse liege parallel zur Schirm-Normalen in der Richtung
des Lichteinfalls, die y-Achse und die z-Achse liegen in der Schirmebene, sodaß die k-Vektoren in der x-y→
→
Ebene sind. Dann lassen sich k 1 und k 2 wie folgt beschreiben:
2π cos(30°) 
2π cos(-60°) 
→
→
k1 =
· sin(30°) 
· sin(-60°) 
und
k2 =
λ î
λ î


0
0
Für die Phasendifferenz folgt:
→ →
→ →
→
→
→
δ = k 1· r 1 - k 2· r 2 = ( k 1 - k 2 )· r
0
→
→
→  
da r 1 = r 2 = r = y 
î z
2π
·y · ( sin30° + sin60° )
λ
Ein Maximum befindet sich bei δ = 0 und das darauffolgende bei δ = 2π, so daß gilt:
1
δ = 2π
=>
1 = ·y · ( sin30° + sin60° )
λ
λ
=>
y = sin30° + sin60°
=> y = 439nm
2.5.
Ein MICHELSON-Interferometer wird mit zwei ebenen Wellen ( λ1;λ
λ2 mit (λ
λ1-λ
λ2) « ½·(λ
λ1+λ
λ2) ) beleuchtet.
=> δ =
Berechnen Sie die Kontrastfunktion für I(λ
λ1) = I(λ
λ2).
Iges = I1ges + I2ges
= 2I1(1+cosδ1) + 2I2(1+cosδ2)
mit I1 = I2
= 2I ( 2+cosδ1+cosδ2 )
= 2I ( 2+2cos[½(δ1+δ2)]·cos[½(δ1-δ2)] )
= 4I ( 1+cos[½∆x(k1+k2)]·cos[½∆x(k1-k2)] )
34
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * 2. Interferenz
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Wie man am Funktionsgraph erkennen kann, liegt eine Grundschwingung hoher Frequenz (k1+k2) vor, die
von einer Kosinus-Betrag-Funktion kleiner Frequenz (k1-k2) moduliert wird. Damit entspricht die Hüllkurve der
Kontrastfunktion, die ( abhängig von der Wegdifferenz ∆x )
K(∆x) = | cos[½∆x(k1-k2)] |
ist (, wenn man den Kontrast als grundsätzlich positiv definiert) .
2.6.
Ein MICHELSON-Interferometer wird mit zwei ebenen Wellen der Wellenlängen λ1 = 600nm und λ2 =
601nm beleuchtet. Geben Sie den Kontrast als Funktion der Spiegelverschiebung an, wenn I(λ
λ1) =
½·I(λ
λ2) ist.
Wir betrachten den Intensitätsverlauf beider Wellen als DIRAC-Impulse und setzen
I(k) = δ(k-a) + ½·δ(k+a)
mit a = ½·∆k = 0,5nm und k̄= 600,5nm. Dann folgt:
∞
Iges(∆s)
= 2· ⌠I(k) 1 + cos(2·∆s·k) dk
(siehe unten)
[
⌡
mit I(k) → I(x)
Iges(∆s)
]
−∞
mit x = k-k̄ <=> k = x + k̄ ergibt sich für Iges(∆s) :
∞
= 2· ⌠I(x) 1 + cos(2·∆s·(x + k̄)) dx
[
⌡
]
−∞
∞
= 2· ⌠ δ(x-a) + ½·δ(x+a)
⌡
[
] · [ 1 + cos(2·∆s·(x + k̄)) ]dx
−∞
∞
∞
= 2· ⌠ δ(x-a) + ½·δ(x+a) dk + 2· ⌠ δ(x-a) + ½·δ(x+a) cos(2·∆s·(x + k̄))dk
⌡
∞
[
]
⌡
−∞
[
[
]
−∞
][
= 2·1,5 +2· ⌠ δ(x-a)+½·δ(x+a) · cos(2·∆s·x)cos(2·∆s·k̄) + sin(2·∆s·x)sin(2·∆s·k̄)
⌡
] dx
−∞
[
]
= 2·1,5 +2· cos(2·∆s·a)+½·cos(2·∆s·(-a)) cos(2·∆s·k̄) +
[
Mit
]
2· sin(2·∆s·a)+½·sin(2·∆s·(-a)) sin(2·∆s·k̄)
= 2· ( 1,5 + 1,5·cos(2·∆s·a)cos(2·∆s·k̄) + 0,5·sin(2·∆s·a) )sin(2·∆s·k̄) )
= 3 + 3·cos(2·∆s·a)cos(2·∆s·k̄) + sin(2·∆s·a) )sin(2·∆s·k̄)
= 3 + 2·cos(2·∆s·a)cos(2·∆s·k̄) + cos( (k̄-a)2·∆s)
7
= 3 + cos( (k̄+a)2·∆s) + 2·cos( (k̄-a)2·∆s)
C(∆s) = 3·cos(2·∆s·a) und S(∆s) = sin(2·∆s·a) ist dann der Kontrast:
7
Dieses Ergebnis war natürlich zu erwarten. Von diesem ausgehend kann wesentlich schneller auf C(∆s)
und S(∆s) geschlossen werden.
Wellenoptik II
Seite 35
8. Übungsaufgaben * 2. Interferenz
K(∆s)
36
=
C²(∆s) + S²(∆s)
P
=
3²·cos²(2·∆s·a) + sin²(2·∆s·a)
3
=
8·cos²(2·∆s·a) + cos²(2·∆s·a) + sin²(2·∆s·a)
3
=
8·cos²(2·∆s·a) + 1
3
=
8·(½+½·cos(4·∆s·a) ) + 1
3
=
5 + 4·cos(4·∆s·a)
3
=
5 + 4·cos(2·∆s·∆k)
3
mit a = ½·∆k
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * Hinweis zu spektraler Bandbreite und Kohärenzlänge
Hinweis zu spektraler Bandbreite und Kohärenzlänge
Streng monochromatische Wellen sind Idealisierungen, die in der Realität nicht vorkommen. Es wird immer
einen Zeitpunkt gegeben haben, zu dem der Sender, wie perfekt auch immer, eingeschaltet wurde und ausgeschaltet wurde bzw. wird. Wir haben es also mit Wellen zu tun, die nur innerhalb eines begrenzten
Zeitintervalles harmonisch sind und außerhalb gleich null:
1,0
0,0
f(t)
0,5
-0,5
-1,0
t
t-to 3

A(t)  cosωt für 0|t-to| < ½·∆t
1
2
4
5
6
=
rect(
=


)·cosωt
Ao î
½·∆t

0
sonst
Wenn wir das Frequenzspektrum dieses Signals betrachten wollen, müssen wir die FOURIER-Transformierte
bilden:
∞
t-to
-2π·i·ν·t
F(ν) =
)·cosωt·e
dt
und mit ω = 2π·νo
rect(
⌠
½·∆t
⌡
−∞
to+½·∆t
⌠
⌡
=
-2π·i·ν·t
cosωt·e
dt
Wenn wir t0 = 0 setzen, vereinfacht sich
to-½·∆t
to+½·∆t i·ω·t
-i·ω·t
e
+e
-2π·i·ν·t
·e
dt
⌠
2
⌡
=
diese Berechnung enorm (siehe unten)
to-½·∆t
to+½·∆t
i·(ω-2π·ν)·t
-i·(ω+2π·ν)·t
½· ⌠ e
+e
dt
=
⌡
to-½·∆t
= ½·
1
1
i·(ω-2π·ν)·t
i·(ω+2π·ν)·t to+½·∆t
·e
·e
[ i·(ω-2π·ν)
]| t=t -½·∆t
i·(ω+2π·ν)
o
i·(ω-2π·ν)·(to+½·∆t) i·(ω-2π·ν)·(to-½·∆t)
i·(ω+2π·ν)·(to+½·∆t) i·(ω+2π·ν)·(to-½·∆t)
e
-e
e
-e
ω-2π·ν
ω+2π·ν
i·(ω-2π·ν)·½·∆t -i·(ω-2π·ν)½·∆t
i·(ω+2π·ν)·½·∆t -i·(ω+2π·ν)½·∆t
-e
-e
i·(ω-2π·ν)·to e
i·(ω+2π·ν)·to e
·
·
e
-e
ω-2π·ν
ω+2π·ν
[
1
= 2i·
]
[
1
= 2i·
]
[
i·2π·ν·to
i·ω
-i·2π·ν·to
·½·∆t·sinc{ (νo+ν)∆t }
·½·∆t·sinc{ (νo-ν)∆t } - e
=e · e
Vereinfachung t0 = 0:
+½·∆t
-2π·i·ν·t
dt
⌠ cos(2π·νo·t)·e
]
mit ω = 2π·νo
⌡
-½·∆t
+½·∆t
=
⌠
⌡
cos(2π·νo·t)·[ cos(2π·ν·t)−i·sin(2π·ν·t) ] dt
-½·∆t
Beim Integrieren fällt der ungerade Imaginärteil weg und für den geraden Anteil muß nur von null an integriert
werden, wenn man das Integral verdoppelt:
Wellenoptik II
Seite 37
8. Übungsaufgaben * Weißlicht-Zweistrahl-Interferenz
+½·∆t
=
⌠
⌡
2·
cos(2π·νo·t)·cos(2π·ν·t) dt
0
+½·∆t
=
=
⌠
⌡
cos[2π(νo-ν)·t] + cos[2π(νo+ν)·t] dt
0
sin[2π(νo-ν)·½·∆t]
2π(νo-ν)
+
sin[2π(νo+ν)·½·∆t]
2π(νo+ν)
=
½·∆t·{ sinc[(ν-νo)·∆t] + sinc[(ν+νo)·∆t] }
Schon durch den Ein- und Ausschaltvorgang ist aus der eigentlich monochromatischen Welle ein Wellenpaket geworden, das aus einer kontinuierlichen, unendlichen Reihe von Frequenzen besteht. Je größer ∆t ist,
desto höher und schmaler gruppiert sich das Frequenzspektrum um νo herum. Für ∆t→∞ entsteht schließlich
an der Stelle νo ein DIRAC-Impuls8. Wir sehen also, daß nur unendlich lang andauernde Wellenzüge wirklich
monochromatisch sein können. Diese sind also nur ein Idealbild, das nicht real vorkommt.
Der Verlauf der sinc-Funktion legt nahe, daß die Breite des Frequenzspektrums als der Bereich innerhalb der
±1.Nullstelle ( d.h. bei ν = νo ± 1/∆t ) angegeben wird, da die darüber hinaus bis ins unendliche gehenden
Anteile sehr viel kleiner sind.
∆ν
ν 0 -1 / ∆ t
ν0
ν 0 +1 /∆ t
Wir haben jetzt die zeitliche Ausdehnung der Welle betrachtet. Eine ebensolche Betrachtung der räumlichen
Ausdehnung zeigt, daß die Breite des Frequenzspektrums eines ∆s langen Wellenzuges sich mit der
Festlegung über die ersten Nullstellen ebenso durch ko ± 2π/∆s beschreiben läßt. ( Es liegt nun nahe, die
Länge ∆s eines Wellenzuges mit bekannter spektraler Breite nun folgendermaßen zu bestimmen:
4π
∆k =k2-k1 =
∆s
λ
-λ
1 1
2
1 2
=>
=
=
λ2 λ1 λ1·λ2 ∆s
=> ∆λ = λ1-λ2 = 2·
λ1·λ2
∆s
≈ 2·
λ²
∆s
)
Weißlicht-Zweistrahl-Interferenz
Wir gehen von einem Aufbau aus, bei dem jeder Wellenzug mit sich selbst interferiert (zB MICHELSON-Interferometer):
Iges = I1 + I2 + 2· I1·I2·cos(2k·∆s)
I(k) beschreibt den Intensitätsverlauf gegenüber k, zB in Art der folgenden Abbildung:
8
38
x
1
siehe Skript zur FOURIER-Vorlesung: δ (x) = lim |b| sinc( b )
b→0
Wellenoptik II
8. Übungsaufgaben * Weißlicht-Zweistrahl-Interferenz
1,0
0,8
0,6
I(k)
0,4
0,2
0,0
k
-0,2
k
Für jede im betrachteten Licht vorkommende Wellenlänge (bzw. für jedes vorhandene k) ergibt sich so eine
Intensität Iges(k):
1
2
3
4
5
6
Iges(k) = I1(k) + I2(k) + 2· I1(k)·I02(k)·cos(2k·∆s)
Da Wellenzüge unterschiedlicher Frequenz nicht miteinander interferieren, ergibt sich die resultierende Gesamtintensität als Aufsummierung aller Einzelintensitäten für jedes ∆s:
∞
I (k) + I2(k) + 2· I1(k)·I2(k)·cos(2k·∆s)dk
⌠
⌡1
=>
Iges(∆s) =
=>
−∞
∞
Iges(∆s) = 2· ⌠I(k)
⌡
[ 1 + cos(2k·∆s) ]dk
falls I1(k) = I2(k) = I(k)
−∞
Zur Rechenvereinfachung verschieben wir nun den Koordinatenursprung so, daß die Schwerpunktswellenlänge k̄ auf den Nullpunkt des neuen Koordinatensystems fällt:
I(k) → I(x)
mit x = k-k̄ <=> k = x + k̄
Dann ergibt sich für Iges(∆s) :
∞
=>
Iges(∆s) = 2· ⌠I(x) 1 + cos(2·∆s·(x + k̄)) dx
⌡
[
]
=>
−∞
∞
∞
Iges(∆s) = 2· ⌠I(x)dx + 2· ⌠I(x) · cos(2·∆s·(x + k̄)) dx
=>
−∞
−∞
∞
∞
∞
Iges(∆s) = 2· ⌠I(x)dx + 2· ⌠I(x) · cos(2·∆s·x)·cos(2·∆s·k̄)) dx - 2· ⌠I(x) · sin(2·∆s·x)·sin(2·∆s·k̄)) dx
⌡
⌡
⌡
⌡
⌡
−∞
−∞
−∞
Den Gleichanteil nennen wir nun P, das erste Integral C(∆s) und das zweite S(∆s):
∞
P = ⌠I(x)dx
⌡
−∞
C(∆s) =
∞
I(x) · cos(2·∆s·x)) dx
⌠
⌡
−∞
∞
S(∆s) = ⌠I(x) · sin(2·∆s·x)) dx
⌡
−∞
Iges(∆s) = P + C(∆s)·cos(2·∆s·k̄) + S(∆s)·sin(2·∆s·k̄)
Der Kontrast ist dann definiert als
Wellenoptik II
Seite 39
8. Übungsaufgaben * Weißlicht-Zweistrahl-Interferenz
C²(∆s) + S²(∆s)
.
P
Für ein gerades I(x) ist I(x)·sin(2·∆s·x) eine ungerade Funktion und das Integral wird daher null. Der Kontrast
vereinfacht sich also zu:
| C(∆s) |
K(∆s) =
.
P
C(∆s) entspricht in diesem Falle dem Fourierintegral. Falls I(x) eine Rechteckfunktion ist, ist also C(∆s) eine
sinc-Funktion:
λ1-λ2
sin( 2·∆k·∆s)
∆λ
C(∆s) =
= sinc(4·∆s·
) = sinc(4·∆s· 2)
für ∆λ « λ1bzw.2
2·∆k·∆s
λ1·λ2
λo
Definieren wir die Kohärenzlänge als die Wegdifferenz, bis zum ersten Mal Kontrast null auftritt, so folgt:
λo2
∆λ
∆λ
sinc(4·∆s· 2) = 0 => 4·∆s· 2 = 1 => sKohärenz = 2·∆s =
∆λ
λo
λo
K(∆s) =
40
Wellenoptik II
Anhang * Näherung der Bessel-Funktionen
Anhang
Näherung der Bessel-Funktionen
Für x-Werte größer als etwa 4 können die Bessel-Funktionen null-ter und erster Ordnung genähert werden
durch:
cos( x-¼·π)
sin( x-¼·π)
J0(x) =
J1(x) =
½·π·x
½·π·x
Die entsprechenden Funktionen höherer Ordnung lassen sich dann durch die Rekursionsformel
2n
Jn+1(x) = x · Jn(x) - Jn-1(x)
mit der Näherung für J0 und J1 ermitteln.
1,0
cos(x-¼π )
J0 (x)
0,8
(½π ·x)½
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
0
2
4
6
8
10
12
14
10
12
14
x
0,6
sin(x-¼π )
J1 (x)
(½π ·x)½
0,4
0,2
0,0
-0,2
0
2
4
6
8
x
Wellenoptik II
Seite 41
Anhang * Index
Index
4
4-f-Aufbau, 2
A
absolut- contouring, 21
Airy-Scheibchen, 15
Astigmatismus, 8
B
Bessel, 17
Bessel-Funktion, 31
Beugung, 6
D
Dirac-Impuls, 35
E
Empfindlichkeitsvektor, 16
ESPI, 16
F
Faltung, 3
Filterung, 2
Fourier, 13;18
Fourierebene, 2
Fraunhofer, 7
Fresnel, 6
G
42
Gitterkonstante, 2
H
Hologramm, 8
Holographie, 8;16
I
In-line-Holographie, 8
Interferogramm, 8
Interferometrie, 10
K
Kollimator, 4
L
l/4-Plättchen, 5
M
Michelson Interferometer, 10
Michelson-Interferometer, 9
Moiré, 18
O
Oberflächenmessung, 10
optische Filterung, 2
P
Phasenshiftverfahren, 10;16;21
Polarisationsfilter, 5
R
Wellenoptik II
relativ- contouring, 20
S
Schwebung, 11
Shearing-Platte, 4
Shearographie, 17
sinc-Funktion, 8
Speckles, 13
Spektrum, 13
T
Tiefpaßfilter, 2
time-average-Verfahren, 16
Triangulationsverfahren, 21
V
Verschiebungsmessung, 15
W
Wellenvektor, 3
Z
Zeit- Mittelungs- Verfahren, 16
zirkular polarisiert, 5
Zonenplatte, 8
Zweistrahlinterferenz, 3;8
Literatur
BERGMANN-SCHÄFER: Lehrbuch der Experimentalphysik, Hrsg. H. Gobrecht, Verlag Walter de
Gruyter, Berlin
HECHT, EUGENE: Optik
HARIKARAN: Optical Holography
OSTROWSKI, JU. I.: Dreidimensionale Bilder durch Holografie
OSTROWSKI, JU. I.: Holografie - Grundlagen, Experimente und Anwendungen, ISBN 3-322-00390-6
FRANÇON, M: Holographie
PLATZER + ETSCHBERGER (TU München): Fouriertransformation zweidimensionaler Signale
Laser + Elektro-Optik, 1/39-45 + 2/43-49 (1972)
Skript zu Holographie
Skript zu Fouriertransformation
Verwendete Symbole und ihre Einheiten
α
d
DEP
δ
f
g
h
H
i
I
ϕ
Ji
→
k, k
→
kE
λ
m
n
ν
N
P
R
s
t
ω
x, x0
(Beugungs-) Winkel
mechanische Weglänge, Abstand
Durchmesser Eintrittspupille
Phase, Phasendifferenz
Brennweite
Gitterkonstante
(Einfalls-) Höhe
Bestrahlung bzw. Belichtung
imaginäre Einheit: i² = -1
Intensität bzw. Beleuchtungsstärke
Phase
Besselfunktion i-ter Ordnung
[rad]
[mm], [m]
[mm]
[rad]
[mm], [m]
[µm], [m]
[mm], [m]
[kg·s-1] bzw. [lx·s], [cd·s·m-2]
[W·m-2], [kg·s-2] bzw. [lx], [cd·m-2]
[rad]
Wellenzahl, -vektor
[rad·nm-1], [rad·m-1]
Empfindlichkeitsvektor
Wellenlänge
natürliche Zahl
Brechzahl
Frequenz
natürliche Zahl
Punkt
Abstand
Strecke
Zeit
Kreisfrequenz
Strecke, Amplitude
[rad·nm-1], [rad·m-1]
[nm], [m]
[Hz od. s-1]
[mm], [m]
[µm], [m]
[s]
[rad·s-1]
[µm], [m]