4 Der Einstieg in die FEM durch einfache - Extra Materials

4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
In diesem und dem nächsten Kapitel wollen wir alles bisher Gelernte erproben und
damit nicht nur wiederholen, sondern auch erleben. Dazu verwenden wir
möglichst einfache Modelle, an denen wir aber alles erlernen können.
4.1
Das Modell ingo
Wir wählen eine einfache Geometrie mit konstanter Dicke, die in der x-y-Ebene
liegt. Durch die untere Kerbe mit schrägen Auflageflächen ergibt sich die Form
eines sog. Hosenblechs. Da der Projektname in unserem Programm auf max. 6
Zeichen beschränkt ist, habe ich dafür, wie im Vorwort begründet, den Namen
ingo gewählt, der uns zudem mit 4 Buchstaben noch ausreichend
Variationsmöglichkeiten lässt
4.2
Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
Vor Beginn der Erstellung eines FEM-Modells steht die Überlegung, welchen
Elementtyp wir verwenden wollen. Damit legen wir Aufwand und Kosten für das
Modell fest, wenn wir einmal davon ausgehen, dass die Anzahl der Elemente stets
so gewählt wird, wie es die Ergebnisqualität erfordert. Dies werden wir Schritt für
Schritt erlernen.
Wie schon erwähnt, unterscheiden wir nach der geometrischen Form 3 Arten
von Elementtypen:
1-dimensionale Stabelemente z.B. für Profilträger,
2-dimensionale Flächenelemente z.B. für Blechflächen und
3-dimensionale Raumelemente für voluminöse Gebilde.
In gleicher Reihenfolge erfolgte auch die Entwicklung der in den Programmen
vorhandenen Elemente. Die ersten Programme Anfang der 60er Jahre dienten
ausschl. der Berechnung von Stabtragwerken, viel später wurden die
Raumelemente entwickelt. Das hat seinen natürlichen Grund in der
Leistungsfähigkeit der Computer, die erst in den 70er Jahren diesen Elementtyp
bewältigen konnten.
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4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Wie wir noch sehen werden, steigt entsprechend dieser Reihenfolge der
Aufwand, aber auch die Übereinstimmung mit der Wirklichkeit. In der Realität
sind alle Körper 3-dimensional. In der Simulation wird jedoch versucht, mit einem
Minimum an Aufwand ein Maximum an Ergebnisqualität zu erreichen. Dabei
entscheidet man sich häufig für eine einfache Lösung, um Zeit und damit Kosten
zu sparen.
Die automatische Vernetzung einer ebenen Fläche in Flächenelemente ist
leichter zu realisieren als die eines Körpers in Raumelemente, denn das reine
Tetraedernetz, wie es im Trainingsmanual gezeigt wurde, ist nicht immer das
gewünschte Ziel. Trotzdem wollen wir mit einem Modell beginnen, das keinerlei
Vereinfachungen hat, sozusagen mit einem natürlichen Modell, welches somit 3dimensional ist.
Wir wählen als Elementtyp das Raumelement. In den folgenden Beispielen
werden wir dann versuchen, mit Flächenelementen ähnlich gute Ergebnisse zu
erzielen und dabei auch den Aufwand vergleichen.
4.2.1
Starten des Preprozessors FEMAP
Vergessen wir nicht, nachdem wir im Preprozessor FEMAP sind (Wie? s.
Übungsbeispiele im Trainingsmanual des Anhangs) den Autosave einzuschalten
{ File > Timed Save > ? > alle 5 min > Notifications (mit Bemerkung)? will > ok
}. Den Filenamen legen wir fest mit { File > Save as > Arbeitsverzeichnis
(wenn TP2000 installiert ist > \WTP2000\TP2000\EXAMPLES\PROJEKTE\) >
Filename > ingo > Save } (FEMAP nennt das File (die binäre Database) dann
ingo.mod). Erst jetzt können wir loslegen
4.2.2
Die Geometriebeschreibung (ingog)
Ausgangspunkt ist unser Hosenblech. Normalerweise gehen wir von einem
vorhandenen CAD-Modell aus. Da wir keines haben, erzeugen wir zuerst mit den
CAD-Funktionen des Preprozessors eine Geometrie aus Punkten und Linien bzw.
Kurven, ein sog. ebenes Drahtmodell (Bild 4.1).
Da wir von einer konstanten Dicke und Symmetrie ausgehen, reicht dies aus.
Die Koordinaten und den Kreismittelpunkt entnehmen wir Bild 4.2.
Wir beginnen mit den Punkten, die wir in der Reihenfolge der Nummern 1-11
eingeben mit { Geometry > Point >> ID = wird fortlaufend angeboten > x- und
y-Koordinaten eingeben (wenn das Eingabefenster nicht auf Locate steht,
müssen wir dies anfordern mit > Methods > Locate ) > ok }. Mit { Cancel }
verlassen wir das Fenster, wenn wir alle Koordinaten einschl. des Nullpunkts P11
der Kreisbögen eingegeben haben. Erinnern wir uns! Grundsätzlich wird eine
Aktion immer mit { Cancel } beendet. Die Punktnummern Pi können auch etwas
anders sein, das macht nichts.
Wir prüfen die Koordinaten aller Punkte. Dazu aktivieren wir den QueryBefehl. Wir klicken ganz rechts unten auf das kleine Off-Fenster und wählen darin
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
69
Bild 4.1: Ausgangsgeometrie des Hosenblechs, vollständiges Drahtmodell
Point aus. Wenn wir jetzt in die Nähe eines Points kommen, wird dieser gelb und
die Koordinaten werden angezeigt. Wir merken uns dieses sehr nützliche
Hilfsmittel, denn bei der Ergebnisdarstellung werden zusätzlich noch die
Zahlenwerte des jeweiligen Ergebnisses angezeigt, wenn wir Node gewählt haben.
Nun erzeugen wir die beiden Viertelkreise gem. Bild 4.1, zuerst den größeren
mit { Geometry > Curve-Arc > Center-Start-End >> Enter Location at
Center of Arc > klick Nullpunkt P11 (wenn das nicht klappt, gehen wir auf >
Methods > On Point > und versuchen es noch einmal) > ok >> Enter Location
at
P1 = 0 / 300
P2 = 0 / 350
P3 = 0 / 600
P4 = 300 / 600
P5 = 320 / 500
P6 = 300 / 400
P7 = 350 / 200
P8 = 70 / 170
P9 = 50 / 250
P10 = 100 / 250
P11 = 0 / 250
Bild 4.2: Ausgangsgeometrie des Hosenblechs, Eckpunkte
70
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Start of Arc > unteren Kreispunkt P10 klicken > ok > Enter Location at End of
Arc > oberen Kreispunkt P2 klicken > ok }, wenn der Kreisbogen verkehrt herum
ist, machen wir die Befehlsfolge mit { Tools > Undo = Ctrl + Z } rückgängig und
wiederholen alles mit anderer Eckpunktreihenfolge. Auf die gleiche Weise
erzeugen wir den inneren Kreisbogen zwischen P9 und P1.
Wir merken schon, dass bei der Erzeugung von Kurven oder Linien
zusätzliche Punkte definiert werden, die uns aber nicht stören sollen. Alle übrigen
Punkte erzeugen wir als fortlaufenden Polygonzug mit { Geometry > Curve-Line
> Continuous >> Enter Starting Location for Line > P1 – P10 (jeden Punkt
bestätigen wir mit ok oder einfacher und schneller mit Return bzw. Enter) > nach
dem letzten Punkt beenden wir die Befehlsfolge mit Cancel und beantworten die
Frage 'ok to Close Continues Lines?' mit nein}. Nun sehen wir das Drahtmodell
gemäß Bild 4.1. Warum wir den größeren, innen liegenden Viertelkreis erzeugt
haben, werden wir gleich sehen.
Da bei dieser und der nachfolgenden Beschreibung der Arbeitsschritte von den
Grundkenntnissen des Preprozessors ausgegangen wird, die man bei der
Durchführung der beiden Übungsbeispiele des im Anhang befindlichen
Trainingsmanuals erworben hat, ist es jetzt höchste Zeit für diese Übungen.
(Haben wir diese schon gemacht?)
4.2.3
Material- und Property-Definition
Wir wissen inzwischen, dass man in unserem Preprozessor stets bei der Definition
der FEM-Daten mit Material und Property beginnen muss. Tun wir dies. Als
Material wollen wir DurAluminium mit nachfolgenden Werten verwenden. Die
Dicke wollen wir mit 25 mm festlegen.
E-Modul
> 72 000 N/mm² ;
Poisson'sche Konstante
> 0.25 ;
linearer Temp.Ausdehngskoeff.
> 0.000023
Bild 4.3: Materialdefinition
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
71
Wir definieren das Material wie folgt. Mit { Model > Material >> } öffnet sich
das Fenster gemäß Bild 4.3.
Als fortlaufende Nummer wird die Materialnummer { ID = 1 } angeboten, die
wir übernehmen. Wir machen dazu folgende Eintragungen: { Model > Material
>> Title = DurAluminium > Youngs Modulus, E = 72 000 > Poisson’s Ratio,
nu = 0.25 > Expansion Coeff, a = 0.000023 > ok }, wobei wir alle nicht
benötigten Werte ignorieren. Wir werden diese in anderen Beispielen verwenden.
Mit Cancel verlassen wir das Fenster, welches für die nächste Materialdefinition
angeboten wird.
Nun definieren wir die Elementeigenschaften mit { Model > Property >>
öffnet sich das Fenster gemäß Bild 4.4. Wieder wird als fortlaufende Nummer die
Property-Nummer { ID = 1 } angeboten, die wir übernehmen.
Wir machen dazu folgende Eintragungen, wobei wir als Elementtyp zunächst
das Flächenelement als Schalenelement wählen (welches leider in FEMAP Plate
heißt): { Model > Property >> Title = Flaechennetz > Material > wir wählen
DurAluminium aus > Elem/Property Type >> Plate > T1 = 25 (wir gehen von
einer konstanten Dicke aus) > ok }, wobei wir alle nicht benötigten Werte
ignorieren. Wir werden diese in anderen Beispielen teilweise verwenden. Mit
Cancel verlassen wir das Fenster, welches für die nächste Propertydefinition
angeboten wird.
4.2.4
Netzerstellung 1. Schritt, rechte Hälfte
Wir erinnern uns sicher noch! Das Ziel unserer Netzerstellung ist, nur „gute“
Elemente (keine Dreiecke, am besten Quadrate) in den kritischen Bereichen zu
ver-
Bild 4.4: Propertydefinition für konstante Dicke 25 mm
72
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
wenden. Da die Vernetzungsautomatik eines Preprozessors dies zwar versucht,
aber meist nicht erreicht, so auch hier, müssen wir dies erzwingen.
Merken wir uns:
Das Netz um einen 90°-Radius (Kerbe) sollte mind. 3 Elemente (dem Quadrat
angenährt) bilden, mit 2, noch besser 3 solcher Schichten. Bei nur 3 Elementen,
müssen wir zudem Elemente mit Zwischenknoten verwenden. Nur so erhalten wir
die tatsächlichen Werte der an solchen Kerben befindlichen Spannungsspitzen!
Wie wir an den Ergebnissen sehen werden, wird der Fehlerschätzer des FEMProgramms dies bestätigen.
Wir erhalten das im Bild 4.5 gezeigte Netz durch folgende Schritte. Als erstes
erzwingen eine festgelegte Elementanzahl für alle 4 Kurven / Linien, die unser
inneres Teilnetz bilden sollen wie folgt (Bild 4.6): { Mesh > Mesh Control > Size
along Curve >> Select Curve > die 2 Kreisbögen jeweils klicken > Number of
Elements = 4 > Equal + Parametric > die 2 Geraden jeweils klicken > Number
of Elements = 2 > Equal + Parametric > ok }.
Für die 2 Kreisbögen haben wir komfortable 4 Elemente (später wollen wir
Zwischenknoten einführen), für die beiden geraden Kanten 2 Elemente gewählt.
Dadurch werden unsere Elemente in etwa Quadrate, wie gewünscht. Im Anhang
wird gezeigt, wie es erreicht werden kann, dass die innere Polygonlinie genau auf
einem Kreisbogen liegt, dies wäre noch besser. Mit { Geometrie > Boundary
Surface } definieren wir auch gleich durch Anklicken dieser 4 Kurven den zu
vernetzenden Bereich (Boundary 1), dann können wir darin das Netz erzeugen.
Da im Preprozessor mit der Grundeinstellung die Länge der mittleren
Elementkante mit 1 Längeneinheit festgelegt ist, müssen wir diese zuvor auf 25
(unsere beiden geraden Kanten sind 50 mm lang) ändern mit { Mesh > Mesh
Control >> Default Size > Size = 25 mm > Min. Element 1 }. Jetzt kann die
automatische Vernetzung beginnen:
Bild 4.5: Automatische Teilvernetzung der 1. Boundary
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
73
Bild 4.6: Definition der Knotenanzahl an Randkurven
Zuerst müssen wir also aus den 4 Kurven eine sog. 'Boundary Surface'
machen (Bild 4.7) mit { Geometry > Boundary Surface >> Select Curves > die
2 Kreisbögen und die 2 zugehörenden Linien klicken > ok > Cancel } als
Boundary ID = 1.
Nun können wir das Netz erzeugen (Bild 4.8) mit { Mesh > Geometry >
Surface (in die Mitte der zuvor erzeugten Boundary klicken) > ok > (im Menü
Automesh Surface ist alles richtig voreingestellt, es fehlt nur) Property >
Flächennetz auswählen > ok }. Hoffentlich haben wir jetzt das Teilnetz wie in
Bild 4.5 erzeugt?
Jetzt wollen wir den Rest vernetzen. Da wir sparsam mit der Knotenanzahl
umgehen müssen, erhöhen wir die Elementkantenlänge auf 60 mm, obwohl 50
mm besser wär (s. oben). Mit { Geometrie > Boundary Surface >> From
Curves } definieren wir wie vorher durch Anklicken (Bild 4.7) der verbleibenden
9 Kurven in beliebiger Reihenfolge (beginnen wir z.B. mit dem Kreisbogen) den
zu vernetzenden Bereich (Boundary 2). Dann können wir darin das übrige Netz
mit der gleichen Befehlsfolge wie zuvor erzeugen.
Alle Kurven, die ein geschlossenes BOUNDARY
bilden sollen, nun nacheinander anklicken,
Fehlklicks können durch DELETE rückgängig
gemacht werden
Bild 4.7 : Kurvenauswahl zur Boundary-Definition
74
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.8: Automatische Vernetzung des Teilbereichs
Wir erhalten das Netz ähnlich wie in Bild 4.9. Das Netz unterhalb des
Teilnetzes gefällt uns aber nicht, wir wollen daher an der Kante darunter 2
Elemente erzwingen. Wir machen die Netzerzeugung rückgängig mit { Tools >
Undo }.
Dann verwenden wir wieder die Befehlsfolge { Mesh > Mesh Control > Size
along Curve >> Select Curve > diese Linie > ok >> Number of Elements = 2 >
ok } und wiederholen die Befehle zur Vernetzung. Jetzt müssten wir das Netz mit
78 Knoten und 56 Elementen gemäß Bild 4.9 erzeugt haben.
Wenn das Netz sich geringfügig unterscheidet, so kann das an den übernom
menen Einstellungen liegen und soll uns nicht stören. Wir sollten aber nur
geringfügig mehr Knoten und Elemente haben, denn sonst bekommen wir später
Probleme mit der Programmgrenze.
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
75
Bild 4.9: Flächenelementnetz der Hosenblechhälfte
Bevor wir daraus das Gesamtnetz erzeugen, folgt ein sehr wichtiger Schritt,
den wir nie vergessen sollten. Wir müssen die Brauchbarkeit des Netzes prüfen!
Da wir das Netz in 2 Schritten erzeugt haben, ist es nicht selbstverständlich,
dass an den Nahtstellen, z.B. des inneren Kreisbogens, gemeinsame Knoten
entstanden sind. Da man in der Praxis häufig Fügteile modellieren muss, mit
doppelten Knoten entlang der Nahtstellen, für die später Kontaktrandbedingungen
formuliert werden (das werden wir in einer erweiterten Variante machen), erzeugt
jeder Preprozessor automatisch an den Nahtstellen Knotenpärchen. Diese müssen
wir aufspüren und entfernen.
Dazu verwenden wir einen Darstellungstrick, nämlich eine Kantendarstellung
unseres Netzes. Diese zeigt uns Bild 4.10. Die Knotennummern mit Markierung
erhalten wir durch jede nur einmal vorkommende Elementkante als Linie. Wir
sehen alle nicht verbundenen Kanten. Mit { View > Select >> Free Edge }
erzeugen wir Bild 4.10 { View > Option >> Labels, Entities .... > Node > ID >
ok }. Deutlich erkennen wir die doppelten Knoten. Mit { Tools > Check >>
Coincident Nodes >> Select Node(s) to Check > All >> Additional Range >
Nein >> Maximum Distance to Merge (Fangradius) > 0.1 > Option Merge = ja
anklicken > ok } verschmelzen wir diese.
FEMAP zeigt die anhängenden Elemente. Mit {View Redraw = Ctrl D über
die Tastatur } sind die doppelten Knoten verschwunden.
Als nächstes prüfen wir die Qualität unserer Elemente. Mit { Tools > Check >>
Distortion >> Select Element(s) to Check > All } sehen wir das Fenster in Bild
4.11. Was bedeuten diese Prüffunktionen? Erinnern wir uns noch, wie wir gute
und schlechte Elemente unterscheiden (Abschn. 3.6)?
Wir unterscheiden 3 Prüfkriterien für die Elementqualität:
1. Viereck geht vor Dreieck
76
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.10: Kantendarstellung mit Knotennummern des Netzes
Bild 4.11: Prüfung der Elementqualität im
Preprozessor
2.
Das Seitenverhältnis sollte ideal 1:1 (Quadrat, gleichseitiges Dreieck) sein,
dazu stehen 4 Prüfkriterien zur Verfügung, mit folgender Bedeutung:
 Aspect Ratio, das Verhältnis der längsten zur kürzesten Elementkante,
> wir tragen 1.8 ein

Taper, das Verhältnis der gegenüberliegenden Elementkanten
> wir tragen 1.5 ein

Alternate Taper (nur in Vierecken), das Verhältnis der sich durch die
Diagonalen ergebenen Dreiecksflächen zur Elementfläche (NASTRANCheck)
> wir akzeptieren 0.5

Tet Collapse (nur in Tetraedern), das Verhältnis der kleinsten Höhe zur
größten Elementkante, in unserem Beispiel nicht von Bedeutung
> wir akzeptieren den Standardwert
3. Viereckelemente dürfen nicht zu stark verwölbt sein.
Unser FEM-Programm akzeptiert einen max. Winkel von 10° zwischen den
Senkrechten auf die Diagonaldreiecksflächen, die gleiche Prüfung macht
FEMAP mit

Warping
> wir tragen 8° ein
Anmerkung: In unserem Beispiel sind alle Elemente eben.
Um die fehlerhaften Elemente grafisch anzuzeigen, legen wir diese mit { Make
Group for Distorted Elements > ja } in eine Gruppe und schauen sie uns an.
Um die Elementnummern zu sehen, ändern wir die Anforderung { View >
Options > Node > ID } in Element. Nun können wir die Elemente sichtbar
machen
(Bild 4.12) mit { View > Show > Group > Distorted Elements > ok }.
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
77
Wir sehen ca. 15 schlechte Elemente. Wir schauen uns dazu auch noch die
Liste an, mit Doppelklicken auf das Listfenster unter dem Grafikfenster wird diese
vergrößert. Mit Doppelklick verlassen wir wieder diese Liste.
Bild 4.12: Auswahl einer Gruppe (Group) im Show-Kommando
Was wäre generell zu tun. Der einfachste Weg ist immer, in den fehlerhaften
Bereichen das Netz etwas zu verfeinern. Der Preprozessor bietet dazu immer
Möglichkeiten an, hier mit { Mesh > Remesh > Refine }.
Damit würde sich jedoch die Anzahl der Knoten erhöhen, die in der
Trainingsversion auf 300 begrenzt ist. Wir gehen einen anderen Weg. Wir
belassen das Netz wie es ist und warten die Antwort des Fehlerschätzers in
unserem FEM-Programm ab, denn, wie wir uns erinnern, sind die angezeigten
Elemente nur dann wirklich fehlerhaft, wenn dort auch hohe Spannungsgradienten
vorhanden sind.
4.2.5
Netzerstellung 2. Schritt, Spiegelung (ingof)
Nach all den Prüfungen sind wir bereit, unser Netz auf das Gesamtnetz hin um die
y-Achse (yz-Ebene) zu spiegeln. Mit { Mesh > Reflect > Element >> All > ok >
Generation Option > wir können alle Einstellungen übernehmen ok > Select
Reflection Planes > Methods > Global Plane (im Globalkoordinatensystem
Csys. = Global Rect.) > YZ-Plane x = 0; y=0; z=0 > ok } müssen wir zwar eine
längere Funktionsfolge durchlaufen, aber alles ist wohl ziemlich klar und einfach
(Bild 4.13).
78
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Jetzt haben wir unser Gesamtnetz (Bild 4.14). Prüfen wir dieses auf doppelte
Knoten { View > Select > Free Edge }. Wir sehen doppelte Knoten in der
Symmetrieebene, die wir mit { Tools > Check > Coincident Nodes ...} wie schon
einmal beseitigen. Eventuell sehen wir noch die Umrisskontur, dies können wir
schnell ändern { View > Select > Free Edge off > Draw Model on > ok }.
Bild
4.13:
Auswahl
der
Spiegelebene
Nun können wir den 3. Schritt, die Erzeugung des eigentlichen
Raumelementnetzes, realisieren. Zuvor aber noch eine letzte, wichtige Prüfung.
Grundsätzlich unterscheiden wir bei Flächenelementen zwischen Ober- und
Unterseite. Als Ergebnisse erhalten wir auch bei Platten- und Schalenelementen
die Spannungen an der Ober- und Unterseite. Erinnern wir uns noch, was wir bei
den Elementen definiert hatten? Mit der Nummerierungsreihenfolge der
Eckknoten wird auch die Richtung des sog. Normalenvektors (er zeigt in die
positive w-Richtung!) definiert. In Richtung +w ist bei einem Flächenelement
stets oben.
Auf die Nummerierungsreihenfolge des Preprozessors haben wir keinen
Einfluss, wir können jedoch die Richtung der Normalenvektoren für Gruppen oder
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
79
alBild 4.14: Geprüftes Gesamtnetz nach Schritt 2
Bild 4.15: Normalenvektoren aller Elemente, rechts Modell um 90° gedreht
le Elemente festlegen. Tun wir dies nicht, so ist z.B. eine Druckbelastung in wRichtung (normal) oder die Spannungsausgabe nicht eindeutig!
Das ist eine wichtige abschließende Prüfung unseres Netzes. Wir schauen uns
zunächst die Normalenvektoren aller Elemente an. Wir erhalten Bild 4.15.
Mit { View > Options > Labels.... > Element-Dirctions > Show Direction +
Normal Vectors } sehen wir, wie links in Bild 4.15 nur die Pfeilspitzen der
Vektoren. Wenn wir unser Modell um 90° drehen, sehen wir, dass alle Vektoren in
eine Richtung zeigen (in Bild 4.15 z.B. -z). Dann wäre alles ok. Es kann aber
durchaus sein, dass nicht alles exakt so gemacht wurde, wie angegeben, und einige
Vektoren zeigen in eine andere Richtung. Dazu gibt es folgende Funktionen:
{ Modify > Update Elements > Orientation >> Update Element
Orientation > Vector (hier können wir die Richtung festlegen) oder >
Equivalent Vector Orientation (wenn die Richtung egal ist) }.
4.2.6
Netzerstellung letzter Schritt, Raumelemente (ingor)
Bevor wir diesen Schritt realisieren, denken wir daran, dass wir in weiteren
Beispielen mit Flächenelementen rechnen wollen. Dazu speichern wir unser
momentanes Flächenelementmodell ab mit { File > Export > FEMAP-Neutral >
ingof.fmp > Geometry + Analysis Model > ok }. Jetzt können wir endlich
loslegen. Wir benutzen dazu die vom CAD bekannte Funktion „Extrudieren“, d.h.
Strecken einer Struktur.
Mit { Mesh > Extrude > Element > All >> Generation Option > Vector >
( jetzt müssen wir eine neue Property definieren, denn der neue Elementtyp wird
Raumelement ) > New Property > Elem. Type > Solid > Property Title >
80
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Raumelemente > ok > Delete Orginal Elements > ja ( die bisherigen
Flächenelemente brauchen wir nicht mehr) > Elements Along Length > 1 (hier
könnten beliebig viele Elemente gewählt werden. Wir wählen bei 25 mm Dicke 1
Element, denn das Seitenverhältnis soll möglichst 1 sein (Würfel) ) > Select
Vector to Ex-
Bild 4.16: Endgültiges Raumelementnetz des Hosenbleches; Projekt ingor
trude Along > Methods > Global AXIS > z > Base > 0./0./0. > Length > 25 (=
Dicke 25 mm) > ok } erzeugen wir die Raumelemente.
Wahrscheinlich sehen wir zunächst nichts, denn der Vorgang lief senkrecht zur
Bildschirmebene ab. Wenn wir jedoch das Modell ein wenig um x und y drehen,
sehen wir alle Kanten der gewünschten Raumelemente. Die Darstellung wird
deutlicher, wenn wir alle unsichtbaren Kanten ausblenden. Dies erfolg mit { View
> Select > Quick Hidden Line (Full Hidden Line ist nicht erforderlich) }. Jetzt
sehen wir unser Raumelementnetz nach Bild 4.16.
Noch sind wir nicht soweit, um die Berechnung starten zu können. Der
Preprozessor hat für uns bei allen durchgeführten Aktionen die Knoten- und
Elementnummern verwaltet, diese sind jedoch schon längst nicht mehr
fortlaufend. Damit man nicht zu große Nummern erhält (der Preprozessor fügt nur
immer hinzu), ist es jetzt sinnvoll, eine neue Nummerierung durchzuführen.
Dies geschieht mit { Modify > Renumber > Node > All > Starting ID > 1 >
Ascending (aufsteigend) > in x- (Richtung) } und entsprechend mit Element.
Wenn wir die neue Nummerierung sehen wollen, machen wir diese über { View >
Options > Node/Element > ID > ok } sichtbar, das kennen wir nun schon.
Jetzt fehlen noch die Randbedingungen (Festhaltungen, Einspannungen) und
die Belastung.
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
81
4.2.7
Modell abschließen, Randbedingungen und Belastung
Beginnen wir mit den Randbedingungen (Constraints). Unabhängig von der Art
der Belastung muss ein Modell grundsätzlich so gelagert sein, dass es sich in
keiner Richtung ungehindert verschieben und verdrehen kann! Wir sollten uns
angewöhnen, diese Grundbedingung einzeln für jede Richtung x, y und z zu
prüfen! Wenn diese Grundbedingung nicht eingehalten wird, so ist später unser
lineares Gleichungssystem nicht lösbar, weil es singulär ist!
Alle FEM-Programme erkennen diesen Fehler und brechen meist die
Rechnung ab. TP2000 jedoch warnt bereits am Bildschirm mit dem Hinweis >
„vermutlich fehlerhafte Randbedingungen“, kann jedoch weiterrechnen, weil es
die fehlende Randbedingung hinzufügt (Da keine Information vorliegt, an
welchem Knoten diese fehlt, wird willkürlich ein Knoten ausgewählt. Damit ist i.
d. R. das Ergebnis falsch. Wir werden das sofort ausprobieren und sehen, was
passiert).
In unserem Beispiel sind folgende Bedingungen zu formulieren:
1. Anschlag in y-Richtung unten, gegen starr. > Für alle unteren Knoten gilt somit:
Verschiebung in y ist Null, Vy = 0
2. Die gesamte untere Fläche kann sich nicht verdrehen, ist somit eingespannt.
> Für alle unteren Knoten gilt somit:
Verdrehung um x ist Null, Dx = 0
3. Erinnern wir uns an die Eigenschaften von Raumelementen, welche
Freiheitsgrade
haben
ihre
Knoten?
Raumelemente
haben
nur
Verschiebungsfreiheitsgrade!
Was machen wir nun mit Dx = 0? Wir erreichen den selben Effekt, wenn
wir von allen unteren Knoten zusätzlich die Verschiebung in
Normalenrichtung verhindern. > Für alle unteren Knoten gilt somit:
Verschiebung in z ist Null, Vz = 0
Wir prüfen, ob obige Grundbedingung in allen 3 Richtungen erfüllt ist.
x-Verschiebung? Ist möglich, wir werden sehen, was passiert
y-Verschiebung? Ist nicht möglich, Vy unten ist Null
z-Verschiebung? Ist nicht möglich, Vz unten ist Null
x-Verdrehung? Ist nicht möglich, durch Stützkräfte aus Vy = 0 verhindert
y-Verdrehung? Ist nicht möglich, durch Stützkräfte aus Vz = 0 verhindert
z-Verdrehung? Ist nicht möglich, durch Stützkräfte aus Vy = 0 verhindert
Wir formulieren nun obige Randbedingungen. Bei komplizierten Modellen
ergeben sich eine Vielzahl von Randbedingungen, insbesondere bei Fügeteilen
(später) mit Kontaktbedingungen an den Nahtstellen. Um dabei den Überblick
nicht zu verlieren, zwingt uns der Preprozessor, die Randbedingungen in sog. Sets
zu unterteilen, denen wir einen Namen geben können und sollten.
Wir beginnen mit dieser Definition { Model > Constraint > Set > ID = 1 (wir
übernehmen die als laufende Nummer angebotene 1) > Title (hier tragen wir den
Namen ein Anschlag und Einspannung; mehr geht nicht, da ein Title max. 25
Zeichen haben kann) > ok }.
82
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Set 1 ist jetzt aktiv. Wir wählen nun die Knoten aus und weisen ihnen die
Randbedingungen zu mit { Model > Constraints > Nodal > (alle unteren Knoten
klicken, oder besser, wir drehen unser Modell in die xy-Ebene und fangen mit
Shift gedrückt mit der linken Maustaste über eine Box diese Knoten. Da die beiden
Kanten schräg sind, brauchen wir dazu mehrere Boxen. Keine Angst, doppelte
Knoten werden eliminiert) > ok > DOF (Degrees Of Freedom) > TY und TZ (vy
= 0 und vz = 0) > ok }.
Bild 4.17: Projekt ingor; Randbedingungsmarkierungen 23 = Vy, Vz
Jetzt müssten wir die Randbedingungen sehen. Die Knoten sind mit einem
Dreieck markiert, darunter stehen die verhinderten Freiheitsgrade 23 = Vy, Vz.
(Bild 4.17). Prüfen wir, ob wir auch alle Knoten gefangen haben.
Wenn wir keine Randbedingungen sehen, machen wir diese mit { View >
Option > Labels.... > Constraint > Draw Entity > Degree of Freedom (bei No
Labels wird nur das Dreieck gezeichnet) > ok } sichtbar.
Nun können wir mit der Belastung unser Rechenmodell fertig stellen. Im
Gegensatz zu den klassischen, analytischen Rechenmethoden, wo man alle Lasten
zu einem Lastfall, besser noch, zu einer resultierenden Last zusammen fasst, bietet
uns die FEM den Luxus, die Belastung in viele (in unserem FEM-Programm
können dies max. 122 sein) Lastfälle zu zerlegen, sodass leicht zu erkenn ist,
welcher Lastfall kritisch ist. Zusätzlich gibt es die Möglichkeit, die Ergebnisse
beliebiger Lastfälle zusammenzufassen, d.h. aufzuaddieren.
Dies kann in TP2000 in den Optionen angefordert werden. Standardmäßig sind
diese so gesetzt, dass automatisch Lastfall 1 und 2 als Lastfallüberlagerung =
Lastfallkombination 1 ausgegeben wird. Um diese Möglichkeiten kennen zu
lernen, wollen wir mit folgenden 2 Lastfällen arbeiten: (s. Bild 4.15)
Wie bei den Randbedingungen, können und müssen wir jedem Lastfall einen
Namen geben (max. 25 Zeichen), der vom FEM-Programm übernommen wird und
zur Kennzeichnung auch der lastfallabhängigen Ergebnisse dient. Es hat sich sehr
bewährt, den Lastfall so ausführlich zu beschreiben, wie mit 25 Zeichen möglich.
Wir beginnen mit Lastfall Set = 1 { Model > Load > Set > ID (der
Preprozessor verwaltet die Lastfallnummern und bietet 1 an) > Title >
Einzellasten
oben -y > ok }. Dieser Lastfall ist jetzt gültig und wir können die
zugehörenden Knoten-Lasten beschreiben mit { Model > Load > Nodal > Select
> (wenn wir mit dem Mauscursor in die Nähe eines Knotens kommen, so wird
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
83
dieser gelb, mit klick bestätigen, zunächst die linken beiden hinteren Knoten) > ok
> Create Loads on Nodes > (aus den vielen Belastungsmöglichkeiten wählen wir
Force = Einzelkraft aus, dies wird standardmäßig angeboten) > Fy > -4 687.5 >
ok > Select > ( jetzt die rechten beiden vorderen Knoten auswählen (siehe Bild
4.15
oben) ) > Create Loads on Nodes > Force > Fy > -6 562.5 > ok >
Cancel }. In gleicher Weise definieren wir den Lastfall 2 für die 4 vorderen
Knoten in z-Richtung
84
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
2* Fy je –6 562,5 N
2 * Fy je – 4 687,5 N
Lastfall 1 > 4 unsymmetrische Einzellasten in -y-Richtung
2 * Fz je -468,75 N
2 * Fz je -656,25 N
Lastfall 2 > 2 unsymmetrische Einzellasten in -z-Richtung
Bild 4.18: Belastung an oberer Kante in 2 Lastfällen
mit Lastfall-Title = Einzellasten oben -z und Fz = -468.75 bzw, -656.25 (Abb4.18 unten).
Wundern wir uns nicht, dass wahrscheinlich die eingegebenen Lasten nicht
dargestellt werden, dies hat mehrere Uraschen. Es werden grundsätzlich nur die
Lasten des unter { Model > Load > Set } aktivierten Lastfalls dargestellt. Bei
Hiddenline verschwinden diese meist in der Struktur, d. h., wir sollten zum Prüfen
der Lasten diese Option ausschalten (s.o.).
Nachdem die Randbedingungen und die Belastung erfolgreich eingegeben
wurden, könnten wir das Eingabefile für die FEM-Berechnung ins
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
85
Arbeitsverzeichnis schreiben. Da unser FEM-Programm aber einen Text (max. 60
Zeichen) als Projektbeschreibung erwartet, wird dieser standardmäßig aus der
Property-Definition { Set/Title } von Property 1 entnommen. Da dieser nur max.
25 Zeichen hat und in der Regel nur den zugehörenden Elementtyp beschreibt, ist
für die Projektbeschreibung die Funktion { File > Notes } vorgesehen. Wir tragen
daher ein in { File > Notes.... > (die erste Zeile ist die TP2000Projektbeschreibung = Haupttext mit max. 60 Zeichen):
Zeile 1: > Hosenblech als Raumelementstruktur > (die folgenden Zeilen
werden als erweiterter Kommentar verarbeitet und finden sich in dem TP2000Eingabefile (name.fre) und in der Liste (name-x.lst) wieder)
Zeile 2: Dicke= 25 mm, Material DurAluminium > ok }.
Endlich können wir unser FEM-Eingabefile schreiben mit { File > Export
(dafür gibt es auch in der Command Toolbar links einen Button Export Model) >
FEMAP Neutral > Arbeitsverzeichnis (dafür ist das Verzeichnis \WTP2000
\TP2000\EXAMPLES\PROJKTE\ schon vorbereitet) und Filename > ingor.fmp
(der Projektname darf max. 6 Zeichen haben, die Extension fmp ist zwingend)
write (Write Output ausschalten) > ok }.
Das Eingabefile ingor.fmp (r für Raumelemente) enthält alle Geometrie- und
Analysedaten und dient uns daher von jetzt ab auch als Sicherungsfile (ingor.mod
als binäre FEMAP-Database sollten wir von jetzt ab vergessen, um nicht
durcheinander zu kommen.
Wenn es bis hierher Probleme gab, so gibt es 2 Möglichkeiten. Entweder „das
Ganze noch einmal“ oder wir verwenden das bereits vorbereitete File ingor.fmp
von der CD \Springer\Kapitel4\ingo\. Dort finden sich auch alle übrigen
Beispiele [ ingog.fmp (Geometrie); ingof.fmp (Flächenmodell); ingor.fmp
(Raumelement); ingos.fmp (Schalenelement); ingom.fmp (Membranelement);
ingomk.fmp (Membranelement mit Kontakt); ingort.fmp (rotationssym. Element
mit Reibung)].
4.2.8
Starten des FEM-Programms TP2000
Wenn man nicht viel Hauptspeicher hat, z.B. nur 32 MB, sollte man bei größeren
Modellen (ab 10 000 Knoten) FEMAP vollständig schließen (evtl. auch alle
übrigen Tasks), um dem FEM-Programm den voll verfügbaren Hauptspeicher zu
spendieren. Das kann sich deutlich in der Rechenzeit auswirken. Bei unserem
kleinen Modell spielt das keine Rolle, wir minimieren daher FEMAP nach unten
(Minimierungsbutton oben rechts) und starten jetzt das FEM-Programm, z.B. mit
Doppelklick auf das TP2000-Icon. Wir sind im Hauptfenster (Bild 4.19a) und
werden aufgefordert, den Pfad des Arbeitsverzeichnisses und den Namen des
Projekts anzugeben (Bild 4.19b). Mit klick auf { Projekt öffnen } oder einfach
bestätigen mit { Return }. Beim ersten Mal steht die Voreinstellung sicher falsch,
bei jedem Folgeaufruf hat sich TP2000 den Pfad des Arbeitsverzeichnisses (wo
das letzte Eingabefile ingor.fmp steht bzw. stand), den Projektnamen ingor sowie
den später auszuwählenden Analysetyp (z.B. lineare Statik) gemerkt, sodass wir
da-
86
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.19a: Hauptfenster von TP2000
Bild 4.19b: Öffnen des Projekts
nach über { Start mit Voreinstellungen } sofort starten können. Dabei würden
wir wie folgt vorgehen.
Wir klicken statt auf { > Projekt öffnen } auf { > Abbruch }. Das Fenster
schließt sich. Wir wählen mit klick im Startmenü { Start > Start mit
Voreinstellungen } aus. TP2000 startet wie im voraus gegangenen Lauf.
Wir gehen beim ersten Mal einen anderen Weg. Wir wählen im Open-Window
das Arbeitsverzeichnis (wo ingor.fmp steht und TP2000 alle Ausgabefiles
anlegen kann, \WTP2000\TP2000\EXAMPLES\PROJEKTE\, dazu später )
und den Projektnamen ingor aus. Dazu klicken wir z.B. auf ingor.fmp (die
Extension, hier fmp, spielt dabei keine Rolle, wir müssen nur ein vorhandenes File
ingor auswählen ), denn welches File tatsächlich das Eingabefile ist, entscheidet
TP2000 nach der Prioritäts-Regel: fmp vor fre vor fmt!
Was bedeutet das?
TP2000 verarbeitet als Eingabefile 3 unterschiedliche Formate, das FEMAPNeutralfile (fmp), das TP2000-Freiformatfile (fre) und das TP2000-Festformatfile,
unter UNIX zusätzlich das MEDINA-Bif-File (bif). Das Format wird an der
Extension erkannt.
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
87
Bild 4.20: Start-Fenster von TP2000
Man beachte, aus dem fmp-File oder dem bif-File erstellt TP2000 automatisch
das immer erforderliche fre-File. Dabei wird das alte fre-File überschrieben!
Mit { > ok } schließen wir das Open-Window, automatisch geht das TP2000Start-Window (Bild 4.20) auf. Eine sehr wichtige Funktion von TP2000 ist die
Auswahl der Optionen. In einer Mußestunde sollten wir alle Optionen einmal
anschauen. Wenn das so zu mühsam ist, schauen wir in den Anhang diese Buchs
(Abschn. 8.2), dort können wir alle Möglichkeiten von TP2000 studieren (ca. 383
Optionen), ohne dieses ganze Buch oder das Benutzerhandbuch vollständig zu
lesen.
Wir lassen die Optionen zunächst unberührt, d.h., alle Voreinstellungen des
Optionfiles sind aktiv. Da wir als Ergebnisse die Verformungen, Stützkräfte und
Spannungen aus unserer statischen Belastung erwarten, wählen wir in der
Startauswahl > Lineare Statik aus, im Untermenü ebenfalls.
Erinnern wir uns noch (Kap. 2)?
TP2000 löst Aufgaben aus den Bereichen lineare Statik (der Zusammenhang
zwischen den Kräften und den Verformungen), nichtlineare Statik (wie lineare
Statik, nur erweitert auf große Verformungen und nichtlineares Material),
Stabilität (wie lineare Statik, Versagen über Knicken und Beulen), Dynamik (wie
lineare Statik, nur zeitabhängig) und Potenzialprobleme (Temperatur,
Schalldruck, magnetisches oder elektrisches Potenzial jeweils im
Gleichgewichtszustand = stationär oder zeitabhängig = instationär) und
gekoppelte Probleme, z.B. Temperaturverteilung mit linearer Statik.
Jetzt klicken wir auf den Start-Button, TP2000 startet die Berechnung. Damit
wir den Programmablauf verfolgen können, öffnet sich ein Ausgabefenster
(manchmal auch 2), um dort Meldungen und Warnungen auszugeben (Bild 4.21).
4.2.9
Verfolgen des Rechenablaufs von TP2000 am Bildschirm
In unserem Beispiel ist nach ca. 20 s alles vorbei. Wir können den Ablauf daher
nicht direkt verfolgen, sondern müssen uns diese beiden Ausgabefenster nach Be-
88
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.21: Projekt ingor ; 1. Ausgabefenster unseres FEM-Programms TP2000
endigung der Berechnung an. (Das zweite Fenster wird nur geöffnet, wenn das
erste Fenster schwerwiegende Warnungen enthält.)
Wir gehen ins erste Ausgabefenster (Bild 4.21):
Als erstes wird das Projekt (hier ingor) und der Analysetyp (hier lineare Statik)
bestätigt. Bei der Umwandlung von ingor.fmp in das TP2000-Eingabefile
ingor.fre werden überlesene Data-Blocks (dies sind alle Geometrie-Daten, die die
FEM-Berechnung nicht benötigt, sowie unbekannte Daten) gemeldet. Eine
ausführliche Information dazu findet sich im Kurzprotokoll ingor-s.prt. Erscheint
die Meldung { Ende Datendiagnostik, kein Fehler }, so ist der erste wichtige
Programmteil, nämlich die Verarbeitung und Kontrolle der Eingabedaten
fehlerfrei abgeschlossen (es werden über 100 Fehler erkannt!) und die eigentliche
Berechnung beginnt.
Will man bei der Berechnung eines sehr großen Modells, z.B. über Nacht,
vorher wissen, ob alles fehlerfrei ist, so wählt man in der Startauswahl nicht {
lineare Statik}, sondern { Diagnose } aus. TP2000 endet nach wenigen Sekunden
mit obiger Meldung.
Nach Verarbeitung der Lastdaten und der Formulierung der Steifigkeitsmatrix
(das lineare Gleichungssystem) startet der Gleichungslöser und meldet die Anzahl
der Gleichungen. Da bei sehr großen Gleichungssystemen die Lösung längere Zeit
dauert (bis zu Stunden!), läuft ein fortschreitender Balken (progress bar).
In unserem Fall folgt danach eine wichtige Warnung:
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
89
{ Singularitaet gefunden, Ergebnisse fraglich, Stuetzgroessen pruefen (siehe
Kurzprotokoll). Vermutlich fehlende Randbedingungen oder zu grosse
Steifigkeitsunterschiede <<!!! }
Denken wir zurück an die Formulierung der Randbedingungen. Wir hatten
festgestellt, dass unser Modell nicht in x-Richtung abgestützt ist. Wir wollten
sehen, was passiert!
Wichtig:
Obwohl es keine Lasten in x-Richtung gibt, müssen wir unser Modell auch in
dieser Richtung festhalten, dies kann an einem beliebigen Knoten geschehen. Wir
erhalten dort keine Stützkraft in x-Richtung, weil keine x-Lasten vorhanden sind.
Vorsicht:
Bei Randbedingungen in x-Richtung an 2 Knoten oder mehreren verspannen wir
das Modell durch die Stützkräfte!
TP2000 prüft das Gleichungssystem auf Singularitäten (ein singuläres
Gleichungssystem ist nicht lösbar! s. Abschn. 6.3 „Wichtige Warnungen am
Bildschirm, was ist zu tun“) und führt für die entsprechende Richtung an dem
zugehörenden Knoten eine zusätzliche Randbedingung ein (zugehörende
Bewegung, z.B. vx = 0). Dadurch ist die Lösung des Gleichungssystems möglich.
Wir haben aber keinen Einfluss darauf, welcher Knoten von TP2000 festgehalten
wird, daher ist in so einem Fall das Ergebnis meist unbrauchbar!
In unserem Fall ist das Ergebnis jedoch sogar richtig, weil wir einen
beliebigen Knoten festhalten können. (Wenn wir wissen wollen, welcher Knoten
festgehalten wurde, so schauen wir in der ausführlichen Listenausgabe ingor-s.lst
nach). Unter { KNOTENNUMMERN DER UNTERDRUECKTEN FREIHEITSGRADE
> 73 100000 } finden wir die Knotennummer 73 (das kann auch eine andere sein!)
und die Richtung 1 = vx (2 = vy; 3 = vz; 4 = dx; 5 = dy; 6 = dz).
Wie gesagt, wenn alles in Ordnung ist, muss die zugehörige Stützkraft F x=0
sein! Dies prüfen wir in der selben Liste unter { REAKTIONEN AN
UNTERDRUECKTEN UEBERZAEHLIGEN KNOTENFREIHEITSGRADEN >
dort finden wir nichts! }. Alles ist ok, denn TP2000 listet dort nur Kräfte auf, die
nicht Null sind.
Am Ende gehen wir zurück ins FEMAP und führen unter { Model > Constraints ..... s.o. } eine weitere Randbedingung vx = 0 ein. Dazu wählen wir den
untersten Knoten 73 auf der y-Achse, auf der Symmetrieachse. Der Name unseres
Modellfiles bleibt weiter ingor.fmp.
Zunächst jedoch betrachten wir weiter unser Ausgabefenster.
Mit der Meldung { Ende Ergebnisse aufbereiten} hat TP2000 den Rechenlauf
beendet und gibt einen Überblick über die wichtigsten Ergebnisse. Wir stellen
jedoch davor 2 weitere Warnungen fest:
{ Lastfall 1, Modellfehler kritisch bei Knoten 228 43.2% Fehler,
Zwischenknoten einführen oder Modell verfeinern >>!!!; Lastfall 2, Modellfehler
kritisch bei Knoten 233 18.88% Fehler, Zwischenknoten einführen oder Modell
verfeinern >>!!! }
Der Fehlerschätzer hat zugeschlagen! Unser Netz ist für beide Lastfälle zu
grob, wir werden dies gleich näher betrachten. Ein wichtiger Blick auf die
Ergebnisübersicht am Ende zeigt uns die max. Verformung von -0.91 mm. Ist der
90
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Wert plausibel? Ja! Die max. Spannung von -18.6 N/mm2 ist bei einer zulässigen
Spannung von ca. 120.0 N/mm2 bei DurAluminium sehr niedrig und damit
unkritisch. Die Formänderungsarbeit, die vom Modell aufgenommene max.
mechanische Arbeit von 1 100 Nmm = 1 100 Joule, ist ein zusätzlicher
Vergleichswert (wir merken uns diese 3 Werte, denn sie werden uns bei den
weitern Beispielen begleiten). Es soll uns nicht stören, wenn diese Werte
geringfügig anders sind.
Zurück zu dem Fehlerschätzer des FEM-Programms. Gemeint ist damit der
Modellfehler, der sich bei der Spannungsmittelung ergibt und den wir auch
grafisch darstellen können. (s. Abschn. 6.3 „Wichtige Warnungen am Bildschirm,
was ist zu tun“).
In der Praxis wird ein Modellfehler von ca. 15% als ausreichend genau
toleriert. Daher warnt TP2000 nur, wenn der gewichtete Fehler diesen Wert
überschreitet.
Wir schauen uns die Sache etwas genauer an, dabei hilft uns unser FEMProgramm, welches dazu vorsorglich ein 2. Ausgabefenster geöffnet hat, in
welchem auszugsweise das Kurzprotokoll ingor-s.prt ausgegeben wurde (Bild
4.22). Zuerst schauen wir uns die Modellbeurteilung vom Lastfall 1 an mit dem
Fehler von 43 %. Wir stellen fest, dass die Spannung dazu nur 11 N/mm 2 beträgt.
Dieser Lastfall ist unkritisch.
Daher sind die Ergebnisse der Überlagerung beider Lastfälle besonders
interessant. Betrachten wir dazu die Modellbeurteilung (die Ausgabe des
Fehlerschät-
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
91
Bild 4.22: 2. Ausgabefenster TP2000, Projekt ingor (wird nur bei Warnungen geöffnet)
zers). Eine ausführliche Beschreibung des Protokollfiles und der
Modellbeurteilung findet sich etwas weiter hinten (Abschn. 4.4).
Wir sehen sortiert nach fallenden Spannungen SIGMA MIT. max. 100 Knoten,
deren absoluter Fehler > 15% ist. An erster Stelle steht somit der kritischste
Knoten. Schauen wir uns die Zeile zum Knoten 233 an.
Der absolute Fehler fab beträgt 17%, der gewichtete Fehler fgw beträgt 13%
( fgw = fab · σm / σmax mit σm = SIGMA MIT. und σmax = max. Sigma (am Knoten
223) > fgw = 17% · 14.462/18.57 = 13.2% > TP2000 rechnet numerisch bedingt
mit leicht andern Zahlen).
Im gewichteten Fehler wird die zugehörende gemittelte Spannung σm (= ∑σ an
diesem Knoten / Elementanzahl ANZ.=5 ) im Verhältnis zur max. Spannung σ max
(findet sich im Fenster weiter oben unter MAX. WERTE) gewichtet und damit die
Wichtigkeit des Fehlers ausgedrückt. Ein hoher Fehler bei einer hohen Spannung
ist viel bedeutender als ein solcher bei einer unkritischen, niederen Spannung.
Als zusätzliche Information findet sich in der Zeile neben SIGMA MIT. =
14.462 die größte Abweichung SIGMA DIF = 2.47 und die max. und min.
Spannung an diesem Knoten SIGMA MIN. = -16.86 und SIGMA MAX. = -11.99
(beides sind Druckspannungen, minus). Der absolute Fehler fab berechnet sich
daraus mit
SIGMA DIF ·100 / SIGMA MIT = 2.47 ·100 / 14.462 = 17%.
Fazit: Der max. gewichtete Fehler mit ca. 14% liegt in der Nähe des
tolerierbaren Fehlers von 15%, unser Modell wäre brauchbar. Wir wollen jedoch
trotzdem die Empfehlung { ... Zwischenknoten einführen ... } versuchen und
wiederholen den TP2000-Rechenlauf, nachdem wir die fehlende Randbedingung
am Knoten 73 im FEMAP eingeführt haben. Dann setzen wir vor dem Start des
Rechenlaufs die entsprechende Option s. Abschn. 4.2.10 (Bild 4.23).
4.2.10
Optionen ändern; Zwischenknoten einfügen
Wie bereits empfohlen, sollte man das gesamte Optionfile einmal gelesen haben.
Nachfolgend daher noch einmal eine Übersicht:
92
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.23: Auswahlmenü Optionen ändern
Bild 4.24: Projekt ingor; Option: Zwischenknoten mit Randbedingungen einfügen










Allgemein:
Lineare Statik:
Ausgabe:
Spannungsberechnung:
Lastfallüberlagerung,
Extremwertbildung:
Nichtlineare Statik:
Potenzial:
Dynamik
Eigenwertberechnung:
Dynamik:
Kontrolldruck:
Optionen 1-18 für den gesamten Programmablauf
Optionen 51- 69 für Statik allgemein
Optionen 70- 89 Listen- und Ergebnisfileausgabe
Optionen 90-120 Spannungsausgabe
Optionen 121-160 für den Programmablauf
Optionen 170-185 Ablaufsteuerung nichtlin. Statik
Optionen 192-209 Ablaufsteuerung Potenzial
Optionen 220-297 Eigenwertberechnung und harmonische Erregung
Optionen 301-354 Erregerfunktionen, Dämpfung
Optionen 361-383 Ausgabe weiterer Daten in Liste
und Bildschirm
Die Anforderung von Zwischenknoten findet sich unter Allgemein (Bild 4.24)
Nach der Auswahl { 2 > mit Ergänzung der Randbedingungen und Lasten }
vergessen wir auch nicht, den Button { Setzen } zu aktivieren. Danach können wir
mit 2x { Schließen } die Optionen verlassen und mit { Start } den Rechenlauf
starten. TP2000 hat nun automatisch im Arbeitsverzeichnis ein File ingor.opt
angelegt mit den nun aktuellen Optionen. Bei einem erneuten Programmstart von
TP2000 für das Projekt ingor gilt dieses File.
Wir merken schon, mit den zusätzlichen Knoten läuft TP2000 deutlich
langsamer, es müssen jetzt auch 2 500 Gleichungen aufgestellt und gelöst werden.
Erfreulicher ist, dass wir nun keine Warnungen mehr bzgl. der Ergebnisqualität
erhalten (Bild 4.25).
Wir machen sofort eine wichtige Feststellung. Die max. Verformung und
entsprechend die max. Arbeit haben sich um ca. 10%, erhöht, nicht dramatisch.
Was ist aber mit den Spannungen? Diese haben sich mehr als verdoppelt! Die
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
93
Spannungsspitzen werden viel genauer ermittelt! Wir müssten schon etwa dreimal
so
Bild 4.25: Projekt ingor; Ausgabefenster Raumelementbeispiel mit Zwischenknoten
viele Elemente ohne Zwischenknoten verwenden, um die gleichen Spannungen zu
erhalten. Die Brauchbarkeit unseres Modells hängt von der Aufgabenstellung ab.
Will man nur die Verformungen wissen, so reicht unser Modell ohne
Zwischenknoten aus.
Will man aber, wie in den meisten Fällen, die Spannungen wissen, so muss
man feiner modellieren oder Zwischenknoten einführen.
Die in TP2000 eingeführten Zwischenknoten liegen jeweils in der Mitte der
geraden Elementkante, bei gekrümmter Geometrie keinesfalls an der richtigen
Stelle auf der Geometrie. Für unsere Zwecke reicht die Vorgehensweise, die
Zwischenknoten erst beim Rechnen einzuführen, völlig aus. Grundsätzlich sollte
man jedoch Zwischenknoten bereits im Preprozessor einführen durch { Modify >
Update Elements > Midsidenodes > Select All > ok } und mit { Modify >
Project > Node onto Curve/Surface > Select All > Select Curve/Surface to
Project Onto (Auswahl über Parameters) > ok } auf die Geometrie legen. Da wir
nur die Demoversion von FEMAP haben, wird die Einführung der
Zwischenknoten verweigert, da wir damit die Grenze von 300 Knoten bei weitem
sprengen.
94
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Genug der allgemeinen Ausführungen. Wir warten schon auf den nächsten
Schritt, nämlich die grafische Darstellung der Ergebnisse im Postprozessor
FEMAP. Wenn der Preprozessor mit unserem Modell ohne Zwischenknoten nicht
mehr aktiv ist, so starten wir diesen erneut und lesen über { File > Import > (oder
Bild 4.26: Ergebnisauswahl im Postprozessor
den entsprechenden Button rechts oben) ingor.fmp > } unser Modell ein. Über die
gleiche Befehlsfolge müssen wir nun dazu das von TP2000 erzeugte Ergebnisfile
ingor-s.fmp einlesen. TP2000 fügt dem Projektnamen automatisch -s an (s bei
Statikberechnung, d bei Dynamikberechnung und p bei Potenzialberechnung).
Daran erkennen wir unser Ergebnisfile.
Erinnern wir uns! Wir hatten zuletzt mit Zwischenknoten-Option in TP2000
gerechnet, unser eingelesenes Ergebnisfile gehört zu diesem Rechenlauf. Als
erstes wollen wir uns die verformte und unverformte Struktur und die Vergleichsspannungen dazu ansehen. Dazu müssen wir zuerst die darzustellenden Ergebnisse
auswählen.
Wir wählen entweder die Darstellungsart aus mit { View > Select > Deformed
Style >> Deform und Contour Style > Contour (die übrigen Möglichkeiten wer
den wir nach und nach kennen lernen) > Deformed and Contour Data > }.
Oder wir klicken in der Toolbar rechts auf das Symbol ’PostProcess’ und
danach in der erweiterten Toolbar auf {} = ’Post Data’. Dann sind wir in dem
gleichen Auswahlfenster wie zuvor (Bild 4.26).
Wir wählen nun {Output Vectors > (für die Verformungen) Deformation > 1.
Gesamtverschiebungen > (für die Spannungen) Contour > 21. Sigma_Vergl. 3D
gem. > (dazu wählen wir den Lastfall aus mit) Output Set > Lastfall 1 oder 2
oder Lastfallkombination > Lastfall 1 (klicken nacheinander alle Lastfälle an
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
95
und beobachten dabei die max. und min. Werte, damit erkennen wir schnell den
kritischen Lastfall) > ok > ok }.
Erinnern wir uns! Da die Spannungen an einem Punkt (Knoten), z.B. im
räumlichen Fall aus den richtungsabhängigen Werten σx, σy, σz und τxy, τxz, τyz
bestehen, wird nach auszuwählenden Hypothesen (im Optionfile) ein mit der
materialab- hängigen, max. zulässigen Spannung zu vergleichender Wert, die
Vergleichsspannung, gebildet.
Wir wollen uns beide Lastfälle und die Lastfallkombination anschauen, die
von TP2000 gemäß Standardeinstellung im Optionfile automatisch gebildet wird
(Bild 4.27 und 4.28). Beim Auswählen der Output Vektors erkennen wir, welche
Ergebnisdaten dazu standardmäßig ausgegeben wurden. Neben den
Verschiebungen und Stützgrößen sind dies die gemittelten Vergleichsspannungen
(der Mittelwert der an einem gemeinsamen Knoten ankommenden ElementSpannungen, diese Spannungen haben wir mit { 21. Sigma_Vergl. 3D gem. }
ausgewählt) und die max. Vergleichsspannungen (der max. Wert aus den an einem
gemeinsamen Knoten ankommenden
Element-Spannungen, den wir nicht
gewählt haben, da diese nahezu gleich sind mit den ausgewählten
Mittelspannungen) sowie der nicht gewichtete Modellfehler dazu in %.
Wie wir unter Type = Node erkennen können, sind dies alles knotenbezogene
Werte. Wir werden später noch andere Möglichkeiten der Ergebnisausgabe
erproben, z.B. elementbezogene Spannungen.
Drehen wir nun das Modell, damit wir das rote Spannungsmaximum sehen, wie
in Bild 4.27. Dabei schauen wir auf das Achsenkreuz links unten und vergessen
nicht, die unsichtbaren Elementkanten auszuschalten. Verkleinern und
verschieben wir das jeweilige Bild entsprechend. Ein neues Bild erzeugen wir mit
{ View > New > Created Layout > 1 > Title > Lastfall 1 usw. > ok }.
Vergleichen wir zunächst die 3 Ergebnisse.
Der Lastfall 1 hat die größten Spannungen (erinnern wir uns an das
Ausgabefenster mit max. Spannungen von ca. 40 !) und Verformungen.
Im Lastfall 2, der Querkraftbiegung, sind die Werte nur ca. halb so groß. Bei
der Lastfallkombination ergibt sich der interessante Effekt, dass die max.
Spannung (38) kleiner ist, als in Lastfall 1, aber das ist nichts ungewöhnliches.
Wie sieht es hier mit der Spannungsverteilung aus? Wir erkennen das
Spannungsmaximum an der Krafteinleitungsstelle! Ein unerfreuliches Ergebnis,
welches durch die Belastung mit Einzellasten an den Knoten entsteht!
Wir merken uns diesen unerfreulichen Effekt und vermeiden in Zukunft
Einzellasten, die es auch in Wirklichkeit gar nicht gibt!
Verwenden wir statt dessen die der Realität entsprechenden Flächen-, Linienoder Elementlasten! Bevor wir den Rechenlauf mit den tatsächlichen
Flächenlasten wiederholen, werfen wir noch einen Blick auf die
Modellbeurteilung der Lastfallkombination (Bild 4.28).
Erinnern wir uns!
Wir müssen bei der Beurteilung zwischen gewichtetem und ungewichtetem
Fehler unterscheiden. Was wir sehen, ist der ungewichtete Fehler. Bei der Prüfung
des Protokollfiles unseres Rechenlaufs hatten wir schon in der Modellbeurteilung
gesehen, dass der gewichtete max. Modellfehler < 15% und somit unser Ergebnis
96
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
brauchbar ist. Wenn wir den ungewichteten max. Fehler von 27.5% über die
dortige Spannung von ca. 12 N/mm2 gewichten (Wichtungsfaktor 12 / 40 = 0.3),
erhalten wir 8.2%, was unsere vorherige Prüfung bestätigt.
Bild 4.27: Projekt ingor; Verformungen und Vergleichsspannungen der Lastfälle 1 und 2
sowie der Lastfallkombination bei Einzellasten
4.2 Ein erstes Beispiel aus der linearen Statik mit Raumelementen
97
Bild 4.28: Projekt ingor ; ungewichteter Modellfehler der Lastfallkombination
darzustellenden Ergebnisse auswählen. Dazu gibt es 2 Möglichkeiten.
4.3
Wiederholung des ersten Beispiels mit realitätsgetreuer
Belastung
Gehen wir zurück in den Preprozessor. Jetzt heißt es Vorsicht!
Wir haben noch unser Ergebnisfile eingelesen. Als erstes löschen wir die
Ergebnisse, damit diese später nicht in unserem Eingabefile ingor.fmp enthalten
sind. { Delete > Output > Set > All > ok }, oder noch besser, wir beenden
FEMAP und starten neu.
Da wir in beiden Lastfällen die Knotenlasten durch Flächenlasten ersetzen
wollen, löschen wir beide Lastfälle mit { Delete > Model > Load Set > All > ok
}.
Wir definieren den Lastfall 1 neu mit { Model > Load > Set = 1 > Title =
Flaechenlast oben -y > ok } um dann die Flächenlast als Druck (Pressure) normal
zur Elementfläche einzugeben mit { Model > Load > Elemental > Enter
Elements to Select > die linken 3 Elemente der oberen Reihe (wie schon bekannt,
werden die Elemente gelb angezeigt, wenn wir in die Nähe kommen) > ok >
Create Loads on Elements > Pressure > Normal to Element Face > Constant
(alles Voreinstellungen) > Pressure Value = 2.0835 > ok > Face Selection for
Elemental Loads (Auswahl der zu belastenden Elementoberfläche, ein Element
hat 6 Oberflächen. Sehr einfach geht dies über die Koordinaten der Fläche, die
bei y=600 mm liegt) > Near Coordinates > y > Position = 600 > ok }.
Das gleiche machen wir für die rechten 3 Elemente mit einem Druck von
2.9165 , wir sehen danach die Belastung in Bild 4.29 links. In gleicher Weise
gehen wir für den Lastfall 2 vor mit dem Lastfall Title = Flaechenlast oben -z
sowie den Flächenlasten (Pressure) von .0855 und 0.121 N/mm2 und { ... > Near
Coordinates > z > Position = 25 } (Bild 4.29 rechts). Sicher sind jetzt 2 Fragen
offen! Warum müssen die Druckwerte positiv eingegeben werden und wie
kommen wir zu den Druckwerten?
Bei Flächen- bzw. Druckbelastung von Raumelementen kennt TP2000 nur 2
Richtungen, in das Element hinein (+) und aus dem Element heraus (-). Damit ist
das positive Vorzeichen klar.
Zu den Druckwerten. Wir kennen die jeweilige Summe der Einzellasten (Bild
4.18) mit Lastfall 1 > 9 375 + 13 125 = 22 500 N und Lastfall 2 > 937.5 + 1 312.5
= 2 500 N. Dies bestätigt uns auch das prt-File mit den Gleichgewichtsproben.
Diese Summe teilen wir durch die jeweils wirksame Elementfläche (die wir
mit Hilfe von { Tools > Distance > On Nodes } ermitteln. Zugegeben, ziemlich
mühsam, aber wie wir sehen werden, der Aufwand lohnt sich.
Wir erhalten somit die äquivalenten Drücke (2.0835 N/mm2; 2.9165 N/mm2
und 0.0855 N/mm2 ; 0.121 N/mm2).
98
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Da im Lastfall 2 die Belastung durch das Moment M = Fz * Abstand zur
Einspannung hervorgerufen wird, wurden die beiden Drücke noch bezogen auf
den resultierenden Angriffspunkt in der Elementfläche korrigiert.
Jetzt haben wir eine realitätsgetreue Belastung erzeugt und können unser neues
Rechenmodell als ingor1.fmp speichern und berechnen. Wir vergessen dabei
nicht, wieder die Option „mit Zwischenknoten“ zu setzen! In unserem Rechenlauf
Bild 4.29: Projekt ingor1; Einzellasten sind durch äquivalente Flächenlasten = Druckwerte
ersetzt
mit Einzellasten betrugen die max. Werte für die Verformung 1.03 mm, für die
Spannung 40.02 N/mm2 und für die Formänderungsarbeit 1 256.0 Nmm. Wir
sehen sofort, dass die Verformung und die Formänderungsarbeit sich nur um ca.
10% reduziert haben. Die Spannung hat sich jedoch halbiert (Bild 4.30)! Die
Belastung über Flächenlasten liefert realistischere Spannungen!
4.3 Wiederholung des ersten Beispiels mit realitätsgetreuer Belastung
Bild 4.30: Projekt ingor1; Ausgabefenster Raumelementbeispiel mit Flächenlasten
99
100
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.31: Projekt ingor1; Gleichgewichtsproben beider Lastfälle
Bevor wir uns diese Ergebnisse im Postprozessor anschauen, werfen wir noch
mit Hilfe des Editors den obligatorischen Blick in das Protokollfile ingor1-s.prt
unseres Rechenlaufs. Prüfen wir unsere Flächenlasten, indem wir die Summen in
den Gleichgewichtsproben vergleichen. (Bild 4.31)
Jeweils die zweite Zeile der Probe 1 stellt die Belastung dar:
Lastfall 1: Fy = -22 500 N ; Lastfall 2: Fz = -2 371 N ; Mx = -134 8261 Nmm
Die Vergleichwerte aus dem Rechenlauf mit Einzellasten sind (siehe ingor-s.prt)
Lastfall 1: Fy = -22 500 N ; Lastfall 2: Fz = -2 250 N ; Mx = -1 350 000 Nmm
Im Lastfall 1 ist es uns gelungen, die Einzellasten exakt in Flächenlasten
umzurechnen. Im Lastfall 2 ist unsere Flächenlast um 5% größer.
Erinnern wir uns!
Wir hatten bewusst den Druck so vergrößert, dass das für diesen Lastfall
entscheidende Moment Mx identisch bleibt. Mit -1 348 261 Nmm ist uns dies
genauso exakt gelungen (nur etwa 1 ‰ Abweichung). Ein Blick auf die
Modellbeurteilung der Lastfallkombination sagt uns mit der Meldung: „KEINE
ABWEICHUNG GROESSER 15% GEFUNDEN“, dass durch die nun mehr
realistische Belastung auch unser Modell bestens ist.
Wir können uns jetzt getrost die „schönen bunten Bilder“ im Postprozessor
anschauen. Wir gehen zurück ins FEMAP mit unserem Modell ingor1. Mit { File
> Import > (oder entsprechenden Button rechts) ingor1.fm > } lesen wir nun
dazu das von TP2000 erzeugte Ergebnisfile ingor1-s.fmp ein.
Wir wollen die gleichen Bilder wie in Bild 4.27 zuvor erzeugen. Als erstes
wollen wir wieder die verformte und unverformte Struktur mit den Vergleichs-
4.3 Wiederholung des ersten Beispiels mit realitätsgetreuer Belastung
101
spannungen dazu ansehen (Bild 4.32 oben links). Wir wählen dazu die
Darstellungsart aus mit { View > Select > Deformed Style > Deform und
Contour Style > Contour > Deformed and Contour Data > Output Vectors >
(für die Verformungen) Deformation > 1.Gesamtverschiebungen > (für die
Spannungen) Contour > 21. Sigma_Vergl. 3D gem. > (dazu wählen wir den
Lastfall aus) Output Set > Lastfall 1 oder 2 oder Lastfallkombination > Lastfall 1
> ok > ok }.
Damit schauen wir uns beide Lastfälle und die Lastfallkombination an (Bild
4.32 oben rechts), die von TP2000 gemäß Standardeinstellung im Optionfile
automatisch gebildet wird.
Drehen wir nun das Modell, damit wir das rote Spannungsmaximum wie in
Bild 4.32 sehen. Dabei achten wir auf das Achsenkreuz links unten und vergessen
nicht, die unsichtbaren Elementkanten auszuschalten. Verkleinern und
verschieben wir das jeweilige Bild entsprechend. Ein neues Bild erzeugen wir mit
{ View > New > Created Layout > 1 > Title > Lastfall 1 usw. > ok }.
Vergleichen wir zunächst die 3 Ergebnisse. Der vorher kritische Lastfall 1 hat
nur noch eine unbedeutend kleine Spannung von 3.6 N/mm2 gegenüber zuvor
40.02 N/mm2 bei der Belastung durch Einzellasten!
Wir erkennen somit deutlich, wie gefährlich eine falsche Art der Krafteinleitung
sein kann, unser vorheriges Ergebnis lieferte uns völlig falsche Informationen!
Auch das Spannungsbild mit dem Maximum an der schrägen Auflage unten ist
nun sinnvoll.
Beim Lastfall 2, bei welchem die Verbiegung durch Mx dominiert, ist kein
Unterschied festzustellen, die max. Spannung ist nahezu gleich (15.44 N/mm2 jetzt
gegenüber 15.98 N7mm2 vorher). Die Spannungsverteilung mit einem Maximum
Bild 4.32: Projekt ingor1; Verformungen und Vergleichsspannungen der Lastfälle 1 und 2
sowie der Lastfallkombination bei Flächenlasten
102
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.33: Projekt ingor1; ungewichteter Modellfehler der Lastfallkombination
von ca. 17.82 N/mm2 bei der Lastfallkombination entspricht weitgehend dem
Lastfall 2.
Ein Blick auf den Modellfehler (Bild 4.33) zeigt, dass das ungewichtete
Maximum von ca. 9% zwar beim Spannungsmaximum liegt, aber zu
vernachlässigen ist.
Wir haben unser gesuchtes Ergebnis gefunden!
4.4
Ausgabedaten des FEM-Programms, das Protokollfile ingor1s.prt
Neben dem Ergebnisfile ingor1-s.fmp, welches wir für die Ergebnisdarstellung im
Postprozessor benötigen, hat sich das Protokollfile unseres Rechenlaufs ingor1s.prt als äußerst wichtige Information zur Prüfung der Brauchbarkeit der
Ergebnisse erwiesen. Daher wird dieses Protokoll auch bei wichtigen Warnungen
im Ausgabefenster zusätzlich in einem zweiten Fenster zur Prüfung angeboten.
Schauen wir uns dieses (ingor1-s.prt) für unserem letzten Rechenlauf ingor1
einmal etwas näher an. Es befindet sich in unserem Arbeitsverzeichnis
......\EXAMPLES \PROJEKTE. Mit dem Editor öffnen wir dieses File.
Wir finden zur Bestätigung unseren Projektnamen ingor1 wieder und die
Verarbeitungsart „lineare Statik“, danach können wir prüfen, ob ein wichtiger
FEMAP-Data-Block überlesen wurde. Vergessen wir nicht, TP2000 verarbeitet
nur die im Benutzerhandbuch (tpmanual.doc über Hilfe) im Abschn. 4.5.2.1
aufgeführten Datenelemente. In unserem Fall sind dies nur die Geometrie und die
Einstellungen für die Darstellung.
Wir stellen fest, dass unser Modell 270 Knoten (Eckknoten) und 112 Elemente
enthält und die Projektbezeichnung „HOSENBLECH ALS RAUMELEMENT-
4.4 Ausgabedaten des FEM-Programms, das Protokollfile ingor1-s.prt
____________________________________________________________________
|
|
| TTTTTTTTT PPPPPPPP
2222222
0000000
0000000
0000000
|
| TTTTTTTTT PPPPPPPPP 222222222 000000000 000000000 000000000 |
|
TTT
PPP
PPP 222
222 000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPP
PPP
222 000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPPPPPPPP
222
000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPPPPPPP
222
000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPP
222
000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPP
222
000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPP
222
000
000 000
000 000
000 |
|
TTT
PPP
222222222 000000000 000000000 000000000 |
|
TTT
PPP
222222222
0000000
0000000
0000000
|
|
|
| FINITE ELEMENTE, V E R S I O N TP2000 6.00
|
| Copyright by IGF Pfullingen Germany, All Rights Reserved
|
| Phone/Fax : D 07121-799454/799349 or D 07123-972641/972642
|
|____________________________________________________________________|
TIME: 3584887
TP2000 startet fuer Projekt > ingor1 als:
lineare Statik
ingor1.fmp ASCII 6.000 erkannt
ingor1.fmp in ingor1.fre umwandeln
11 Data Block(s) aus FEMAP ueberlesen:
Data Block 409 Views
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 410 Variables
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 411 Report Formats
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 412 Active Data
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 413 Layer Data
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 475 Text
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 514 Geometry Att. Info
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 570 Points
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 571 Curves
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 572 Surfaces
Anzahl:
1 ueberlesen
Data Block 573 Solid/Volume
Anzahl:
1 ueberlesen
Weitere
2 unbekannte Data Block(s) ueberlesen
Modell mit
270 Knoten und
112 Elementen
HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
INGO 1005
VERWENDETE EINHEITEN : MM N
C
ELEMENTE MIT ZWISCHENKNOTEN GEWAEHLT
2 PENTAEDER-ELEMENTE VERWENDET
110 HEXAEDER-ELEMENTE VERWENDET
112 ELEMENTE.
VERARBEITETE KNOTEN
BANDBREITEN-MINIMIERUNG
KNOTENANZAHL : 897
BANDBREITE REDUZIERT AUF : 117
MITTLERE BANDBREITE :
8.973
VERBESSERUNG : 5187.09 PROZENT
BESETZUNGSGRAD :
4.03 PROZENT
2578 FREIHEITSGRADE
113 STANDARDRANDBEDINGUNGEN
0 KNOTENSONDERRANDBEDINGUNGEN
...... Ende Datendiagnostik, kein Fehler
897
103
104
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
...... Ende Lasten umwandeln
TIME:
35858
STEIFIGKEITS-MATRIX
KLEINST. DIAG.KOEFF. = 0.803392E+06
GROESST. KOEFFIZIENT = 0.414412E+08
MITTLER. DIAG.KOEFF. = 0.454230E+07
KLEINST. DIAG.KOEFF, ZEILE =
1875
GROESST. DIAG.KOEFF, ZEILE =
655
GROESSTE BANDBREITE VON
350 IN ZEILE
2578 FREIHEITSGRADE
113 STUETZGROESSEN
...... Ende Steifigkeitsmatrix erstellen
TIME:
35871
$ ****** GLEICHUNGSLOESER ******
155
TOLERANZ FUER SINGULARITAETS-CHECK
0.4542E-01
####### zuwenig Zusatzspeicher im Optionfile definiert
definiert:
0 MB, erforderlich:
12 MB
Ursache: Gleichungsloeser ELIMM
E L I M
GELOEST
(von
2578 Gleichungen)
[min]
96.8% #####################################################.. 0.4
GROESSTE BANDBREITE VON 350 IN ZEILE
155
100.0% ####################################################### 0.4
R E I N N
L A V A N
...... Ende Gleichungsloeser
TIME:
35900
AUFBEREITUNG UND AUSGABE DER ERGEBNISSE
TPS1 HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
2. DRUCKLASTEN OBEN -Y
T E X T A U S G A B E
MAX. VERFORMUNGEN
X-RICHTUNG KNOTEN
Y-RICHTUNG KNOTEN
Z-RICHTUNG KNOTEN
POSITIV
269 0.004551
0 0.000000
190 0.000225
NEGATIV
KNOTEN
2
KNOTEN
189
KNOTEN
189
-0.003855
-0.012994
-0.000225
MAX. VERDREHUNGEN
X-RICHTUNG KNOTEN
Y-RICHTUNG KNOTEN
Z-RICHTUNG KNOTEN
POSITIV
2 0.000017
2 0.000007
269 0.000024
NEGATIV
KNOTEN
0
KNOTEN
0
KNOTEN
0
0.000000
0.000000
0.000000
STRUKTUR“ ist. Die verwendeten Einheiten sind: mm, N und C. Haben wir auch
alle dimensionsabhängigen Werte in diesen Einheiten eingegeben? Hier kann eine
Fehlerquelle liegen, denn diese Festlegung kann weder vom Preprozessor noch
vom FEM-Programm erkannt werden.
Die gesetzte Option „mit Zwischenknoten“ wurde erfolgreich für 2 Pentaeder
und 110 Hexaeder gesetzt. Wir haben tatsächlich 897 Knoten. Es ist uns gelungen,
4.4 Ausgabedaten des FEM-Programms, das Protokollfile ingor1-s.prt
105
GLEICHGEWICHTSPROBEN GESAMT- STRUKTUR
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P
STUETZ- UND LASTKRAEFTE
STUETZ- UND LASTMOMENTE
R
FX
FY
FZ
MX
MY
MZ
O
0.00
22500.00
0.00 -281250.05
0.01
562275.16
B
0.00
-22500.00
0.00
281250.05
0.00
-562275.16
E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P
POS. UND NEG. KRAEFTE
POS. UND NEG. MOMENTE
R
O
0.00
35843.76 1698.97
687882.98 306740.98
5808831.64
B
0.00
-35843.76 -1698.97 -687882.98 -306740.98 -5808831.64
E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ERGEBNISSE UNTER SATZNUMMER VN =
1 GESPEICHERT
TEXT-AUFRUF NR. =
1 LASTFALL NR. =
0
SIGMAX = -4.4827
MAX.-WERTE HAUPTSPANNUNGEN/VERGL.-SPANNUNGEN
ZUG
KNOTEN
138
2.78
DRUCK KNOTEN
170
-4.48
VERGL. KNOTEN
170
3.63
TPS1
HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
2. DRUCKLASTEN OBEN -Y
M O D E L L - B E U R T E I L U N G
RICHTUNG:1=X(0),2=Y(0),3=XY(0),4=Z/T,5=XZ,6=YZ,4=X(U),5=Y(U),
6=XV(U),7= VERGLEICHSSPANNUNG
KNR FEHLER FEHLER RICH- ANZ. SIGMADIF. SIGMAMIT. SIGMAMIN SIGMAMAX
PROZ. GEW. TUNG
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - KEINE ABWEICHUNG GROESSER 15.00 PROZENT GEFUNDEN
GESAMTSUMME DER FORM-AENDERUNGS-ARBEIT :
124.011948
NETZ FORM.AEND.ARB.
N E T Z E
IN PROZENT
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 100.0000 **************************************************
TPS1 HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
2. DRUCKLASTEN OBEN -Z
MAX. VERFORMUNGEN
POSITIV
X-RICHTUNG KNOTEN
15
0.007668
KNOTEN
Y-RICHTUNG KNOTEN
222
0.041502
KNOTEN
Z-RICHTUNG KNOTEN
0
0.000000
KNOTEN
VARIANTE 0/ 2
NEGATIV
13
-0.006941
221
-0.041470
690
-0.960166
nur wenige Pentaeder zu verwenden (diese haben analog zu den Dreiecken eine
schlechtere Qualität als die analog zu den Vierecken bevorzugten Hexaeder).
Für die Rechenzeit zur Lösung des linearen Gleichungssystems spielt die
Bandbreite (hier reduziert auf 117) die entscheidende Rolle. Die hier angezeigte
halbe Bandbreite ist zunächst als Knotennummern-Differenz angegeben, sie wird
noch mit der Zahl der Freiheitsgrade pro Knoten (bei Raumelementen 3)
multipliziert. Der tatsächliche Wert findet sich weiter hinten.
106
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Unser Gleichungssystem hat 2 578 Freiheitsgrade = Unbekannte, die Zahl
unserer Randbedingungen beträgt 113. Die wichtige Meldung „ ..... Ende
Datendiagnostik, kein Fehler“ zeigt, dass unser Rechenmodell formal fehlerfrei ist
(es können etwa 150 Fehler erkannt werden!).
Hätten wir bei der Materialfestlegung in FEMAP auch die Dichte (Density) mit
0.0000785 kg/mm3 eingetragen, so würden wir an dieser Stelle das Gewicht
unseres Modells in kg finden. Danach erhalten wir Hinweise über die sog.
Konditionierung unseres linearen Gleichungssystems.
MAX. VERDREHUNGEN
X-RICHTUNG KNOTEN
Y-RICHTUNG KNOTEN
Z-RICHTUNG KNOTEN
POSITIV
NEGATIV
222
0.003043
KNOTEN
0
0.000000
221
0.001103
KNOTEN
0
0.000000
13
0.000102
KNOTEN
0
0.000000
GLEICHGEWICHTSPROBEN GESAMT- STRUKTUR
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P
STUETZ- UND LASTKRAEFTE
STUETZ- UND LASTMOMENTE
R
FX
FY
FZ
MX
MY
MZ
O
0.00
0.00
2371.34
1348261.77
-61914.22
0.00
B
0.00
0.00
-2371.34 -1348261.77
61914.59
0.00
E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
0.00
0.00
0.00
-0.01
0.37
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P
POS. UND NEG. KRAEFTE
POS. UND NEG. MOMENTE
R
O
0.00 36812.04 53542.48 11243248.06 12244019.94 7471201.84
B
0.00 -36812.04 -53542.48-11243248.06 -12244019.57 -7471201.84
E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
0.00
0.00
0.00
-0.01
0.37
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ERGEBNISSE UNTER SATZNUMMER VN =
2 GESPEICHERT
TEXT-AUFRUF NR. =
1 LASTFALL NR. =
2
SIGMAX =
18.240
MAX.-WERTE HAUPTSPANNUNGEN/VERGL.-SPANNUNGEN
ZUG
KNOTEN
224
18.24
DRUCK KNOTEN
223
-18.24
VERGL. KNOTEN
212
15.44
TPS1 HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
2. DRUCKLASTEN OBEN -Z
VARIANTE 0/ 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0
100.0000 ***********************************************
TPS1 HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
LASTFALLKOMBINATION
1001* 1.00
2* 1.00
T E X T A U S G A B E
MAX. VERFORMUNGEN
POSITIV
X-RICHTUNG KNOTEN 320
0.010129
Y-RICHTUNG KNOTEN 861
0.035124
Z-RICHTUNG KNOTEN
0
0.000000
MAX. VERDREHUNGEN
POSITIV
X-RICHTUNG KNOTEN 189
0.002198
Y-RICHTUNG KNOTEN 189
0.000318
KNOTEN
KNOTEN
KNOTEN
KNOTEN
KNOTEN
NEGATIV
319
-0.008392
765
-0.054360
189
-0.960314
NEGATIV
0
0.000000
0
0.000000
4.4 Ausgabedaten des FEM-Programms, das Protokollfile ingor1-s.prt
107
Z-RICHTUNG
P
R
O
B
E1
P
R
B
E2
KNOTEN 189
0.000034
KNOTEN
0
0.000000
GLEICHGEWICHTSPROBEN GESAMT- STRUKTUR
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - STUETZ- UND LASTKRAEFTE
STUETZ- UND LASTMOMENTE
FX
FY
FZ
MX
MY
MZ
0.00
22500.00
2371.34
1067011.71 -61914.22
562275.16
0.00 -22500.00 -2371.34 -1067011.72 61914.59
-562275.16
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.00
0.00
0.00
-0.01
0.37
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - POS. UND NEG. KRAEFTE
POS. UND NEG. MOMENTE
0.00 62418.86 53542.48 11508491.19 12244019.94 11451000.70
0.00 -62418.86 -53542.48 -11508491.20-12244019.57 -11451000.70
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.00
0.00
0.00
-0.01
0.37
0.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ERGEBNISSE UNTER SATZNUMMER VN =
3 GESPEICHERT
TEXT-AUFRUF NR. =
1 LASTFALL NR. =
SIGMAX = -20.389
MAX.-WERTE HAUPTSPANNUNGEN/VERGL.-SPANNUNGEN
ZUG
KNOTEN
240
16.53
DRUCK KNOTEN
197
-20.39
VERGL. KNOTEN
179
17.82
-2
TPS1
HOSENBLECH ALS RAUMELEMENTSTRUKTUR
LASTFALLKOMBINATION
1001* 1.00
2* 1.00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M O D E L L - B E U R T E I L U N G
RICHTUNG: 1=X(0), 2=Y(0), 3=XY(0), 4=Z/T, 5=XZ, 6=YZ, 4=X(U),
5=Y(U), 6=XY(U),7 = VERGLEICHSSPANNUNG
KNR FEHLER FEHLER RICH- ANZ. SIGMADIF. SIGMAMIT. SIGMAMIN SIGMAMAX
PROZ. GEW. TUNG
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - KEINE ABWEICHUNG GROESSER 15.00 PROZENT GEFUNDEN
GESAMTSUMME DER FORM-AENDERUNGS-ARBEIT :
1103.198364
NETZ FORM.AEND.ARB.
N E T Z E
IN PROZENT
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0
100.0000 ************************************************
TEMPERATUR-FELD UNTER SATZNUMMER VN = 99 GESPEICHERT
TEXT-AUFRUF NR. =
1
...... Ende Ergebnisse aufbereiten
Laufzeit START/STOP =
67 s
$*****************************************************************
Probleme würden von TP2000 bereits im Ausgabefenster gemeldet werden!
Der größte, kleinste und mittlere Diagonalkoeffizient sagt uns, ob wir bei der
Lösung numerische Probleme zu erwarten haben. Der Unterschied der Exponenten
des größten (E +08) und kleinsten (E +06) Werts ist 2.
TP2000 verwendet zur Darstellung der Koeffizienten des Gleichungssystems
die Wortlänge von 64 Bit. Dies ermöglicht die exakte Darstellung einer Zahl mit
13 Ziffern (Abschn. 6.3). Damit ist ein Exponentenunterschied von bis zu 8 oder 9
108
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
noch zu bewältigen. Unser Unterschied von 2 ist völlig unkritisch. Hier findet
sich auch die Information über die tatsächliche halbe Bandbreite mit:
Größte Bandbreite von 350 in Zeile 155.
Mit der Meldung „2 578 Freiheitsgrade, 113 Stützgrößen, Ende
Steifigkeitsmatrix erstellen“,
wird die Formulierung des linearen
Gleichungssystem mit 2 578 Gleichungen angezeigt. Der Gleichungslöser startet
unter Verwendung der Toleranz von 0.4542E-01 für den Singularitätsscheck
(Abschn. 6.3).
Da im Optionfile die Option 1 (unter Allgemein) standardmäßig auf 0 steht,
verwendet TP2000 6.0 max. 32 MB des Arbeitsspeichers. Für unser Beispiel in
gor1 wären zusätzlich 12 MB optimal. Die Eintragung von somit 32 +12 = 44 MB
in Option 1 würde die Rechenzeit reduzieren. Bei jedoch nur 0.4 min = 24 s lohnt
sich das wohl kaum. Bei sehr großen Modellen kann die Realisierung der
Zusatzspeicher-Empfehlung jedoch die Rechenzeit um viele Stunden verkürzen.
Die Meldung „Ende Gleichungslöser“ zeigt den Abschluss der Lösung des
Gleichungssystems an. Nachfolgend werden die Ergebnisse auszugsweise
wiedergegeben. Man erhält für jeden Lastfall und die Lastfallkombinationen
folgende, wichtige Hinweise:
 größte positive und negative Verschiebung
 größte positive und negative Verdrehung
 die Gleichgewichtsprobe
 die max. Spannungen
 die Modellbeurteilung
 die Gesamtformänderungsarbeit
 die Aufteilung der Formänderungsarbeiten in % auf die Netze
(1000er Elementnummern)
4.5
Beispiel aus der linearen Statik mit Schalenelementen (ingos)
In unserem vorigen Beispiel haben wir die natürliche Form der Elemente
verwendet, die Raumelemente. Diese haben nur einen Nachteil. Für sehr große
Modelle (> 10.000 Elemente mit Zwischenknoten) steigt die Rechenzeit mit
zunehmender Elementanzahl gewaltig an, in vielen Fällen muss daher das
Gleichungssystem nicht direkt, sondern iterativ gelöst werden. Dies wird in so
einem Fall automatisch von TP2000 angeboten.
In den ersten (60er) Jahren der FEM bedeutete dies, dass schon Modelle mit
100 solchen Elementen unlösbar waren. Man verwendete für allgemein räumliche
Probleme das Schalenelement, welches auf der schon zuvor bekannten
Schalentheorie für dünnwandige Strukturen beruhte und zunächst auch für
dickwandige Probleme eingesetzt wurde. So verwendete man diesen Elementtyp
noch Anfang der 80er Jahre für eines der ersten Motormodelle (FORD ESCORT4-Zylinder-Motor, siehe Bild 4.34). Erst gegen Ende der 80er Jahre waren die
4.5 Beispiel aus der linearen Statik mit Schalenelementen (ingos)
109
Hochleistungscomputer so schnell, dass man solche Probleme mit Raumelementen
löste (Bild 4.35). Heute reicht in vielen Fällen der PC für solche Aufgaben aus.
Bild 4.34: Ford ESCORT-Motorblock ohne Zylinderkopf, alles Schalenelementen (1981)
Das Schalenelement ist ein 3- oder viereckiges Flächenelement, das in der Lage
ist, Kräfte und Momente in der Elementebene und quer dazu, allgemein räumliche
Belastungen, aufzunehmen. In der Regel basiert der Ansatz auf der dünnwandigen
Schale (Shell > in FEMAP leider als Plate bezeichnet) ohne Schubverformung aus
Querkräften. Wenn das FEM-Programm kein dickwandiges Schalenelement hat,
wie in unserem FEM-Programm mit den Laminatelementen, so sollte bei
dickwandigen Problemen auf Raumelemente zurückgriffen werden. Für
rotationssymmetrische dicke und dünne Schalen steht zusätzlich die Familie der
rotationssymmetrischen Elemente zu Verfügung. Eine typische Anwendung von
Schalenelementen ist das Karosseriemodell (Bild 4.36).
110
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.35: Beispiel Raumelemente > Ford-Motor ohne Zylinderkopf und Getriebe (1992)
Bild 4.36: Beispiel Schalenelemente > VW Passat-Karosserie (1986)
Wir wollen nun unser Hosenblech mit Schalenelementen modellieren. Dabei
erinnern wir uns, dass wir bei der Formulierung unseres Raumelementmodells
dieses durch hochziehen (extrudieren) aus einem ebenen Flächenmodell erzeugt
haben. Dieses Modell hatten wir uns als ingof.fmp aufgehoben.
Wir starten wieder den Preprozessor und laden mit { Import} dieses Modell.
Wir sehen das FEM-Netz nach Bild 4.37 und erinnern uns, dass wir dieses Netz
bereits nach allen Regeln einschl. der Ausrichtung der Normalenvektoren geprüft
hatten. Zunächst kontrollieren wir die Property-Daten, insbesondere die Dicke
{ List > Property > }. Unser Elementtyp ist { Plate }, die Dicke muss 25 mm sein.
Alles müsste ok sein. Wir ergänzen die fehlenden Daten, die Randbedingungen,
die Belastung und die Problembeschreibung.
4.5 Beispiel aus der linearen Statik mit Schalenelementen (ingos)
111
Bild 4.37: Flächenelementmodell des Hosenblechs
Die Randbedingungen unseres Raumelementmodells entsprachen einer festen
Einspannung an den beiden unteren schrägen Flächen. Wir spannen diese Knoten
fest (fixed) ein. Dazu formulieren wir als erstes den Randbedingungs-Set mit
{ Model > Constraints >> Set = 1 > Title = Einspannung unten > ok } und
danach die Randbedingungen mit { Model > Constraint > Nodal >> Select > alle
Knoten unten an den beiden Schrägen auswählen >> DOF = Fixed > ok}.
Kontrollieren wir mit { View }, ob alle Knoten die gewählten Randbedingungen
haben.
Die Belastung besteht aus 2 Lastfällen. Lastfall 1 als Flächenlast in -y auf die 3
linken Elemente mit 2.085 N/mm2 sowie auf die 3 rechten Elemente mit 2.9165
N/mm2 und Lastfall 2 als Flächenlast in -z auf die gleichen Elemente mit links
0.0855 N/mm2 und rechts 0.121 N/mm2.
Die Werte für den Lastfall 2 können wir problemlos übernehmen, da die zu
belastende Elementfläche vorhanden ist.
Stimmt das auch für das Vorzeichen? Bei der Druckbelastung von
Flächenelementen belasten wir in TP2000 entweder in Richtung des
Normalenvektors (+w) oder entgegengesetzt (-w). Ein Blick auf Bild 4.38 links
zeigt, der Normalenvektor weist für alle Elemente in -z-Richtung.
Das passt! Beim Lastfall 1 ist es jedoch anders, denn die beim Raumelement
zu belastende Fläche ist zur Linie degradiert worden. Aus unserer Flächenlast ist
eine Linienlast (N/mm) geworden.
Als erstes formulieren wir wieder die Lastfallbeschreibung mit { Model >
Load > Set >> ID = 1 > Title = Linienlast oben -y > ok } und danach die
Linienlasten. Hier haben wir bei FEMAP Pech, denn dieser Typ Belastung ist nur
den Stabelementen vorbehalten oder auf Geometrieelemente anwendbar. Wir
erinnern uns an den Trick aus dem ersten Übungsbeispiel des Anhangs, wie über 3
Knotenlasten eine Randbelastung = Drucklast erzeugt werden kann. Der Lastwert
wird jedoch nur bei rotationssymmetrischen Elementen als Druck interpretiert, bei
allen übrigen Flächenelementen, so auch bei unseren Schalenelementen, muss der
Lastwert als Linienlast eingegeben werden!
112
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.38: Normalenvektoren aller Elemente
Wir müssen den Druck noch mit der Elementdicke von 25 mm multiplizieren.
Damit ergibt sich links eine Linienlast von -2.0835 x 25 = -52.0875 N/mm und
rechts von -2.9165 x 25 = -72.9125 N/mm.
Wir formulieren unseren Lastfall 1 als Linienlast über Randlast wie folgt:
Den Title von Load-Set 1 ergänzen wir vorne um das Wort RAND { RAND LiModel > Load >
ist zweimal zu
durchlaufen:
1. für Load-Set
2. für die Nodal
Loads
4.5 Beispiel aus der linearen Statik mit Schalenelementen (ingos)
113
Bild 4.39: Randbelastung
über 3 Knoten, zuerst Start(19) und Endknoten (58) mit
Druckwert (Fx = -52,0875),
danach Start- und Endknoteneingabe beim Richtungsknoten über „Moment“ MX = 19 und
MY = 58
nienlast oben -y > ok }. Damit werden die zu diesem Lastfall 1 gehörenden
Knotenlasten als Randlast = Linienlast über 3 Knoten erkannt. Danach formulieren
wir die Linienlast = Randlast links mit { Model > Load > Nodal >> Select Nodes
>> Startknoten = 2. Knoten von links klicken und Endknoten = 5. Knoten von links
klicken (in Bild 4.34 sind das die Knoten 19 und 58) > ok >> Force > Fx = Druck =
-52.0875 (negativ beachten) > ok > Select Nodes > Richtungsknoten = nächster
Eckknoten nach Startknoten (in Bild 4.37 Knoten 33) > Moment > MX =
Startknoten= 19 und > MY = Endknoten= 58 > ok } (Bild 4.39).
Damit haben wir den Rand von Knoten 19 bis Knoten 58 über Knoten 33 mit
einem Druck von -52.0875 N/mm belastet. Das gleiche machen wir danach für den
rechten Rand vom 5. Knoten von rechts zum 2. Knoten von rechts über
Richtungsknoten 3. Knoten von rechts mit -72.9125 N/mm.
Vergessen wollen wir dabei nicht, dass wir mit der Randrichtung - von Start- nach
Endknoten – auch das Vorzeichen des Drucks beeinflussen. Material links vom
Rand bedeutet +, rechts vom Rand bedeutet - ! Daher unser negatives Vorzeichen
für den Druck.
Wenn wir zur grafischen Kontrolle die Lastdarstellung (Forces) eingeschaltet
haben, wundern wir uns nicht über die merkwürdigen Last- und Momentenpfeile.
Denken wir daran, dass FEMAP alle Eingaben als Knotenlasten bzw. -momente
versteht.
Der Lastfall 2 wird analog zum Raumelementmodell formuliert:
Lastfallbeschreibung: { Model > Load > Set >> ID = 2 > Title = Flächenlast
oben -z > ok } mit zugehörender Last { Model > Load >Elemental >> Enter
Elements to Select > die 3 linken Elemente >> Pressure (Constant / Normal to
Element Face) = 0.0855 > Face = 1 > ok }.
Entsprechend mit 0.121 für die 3 rechten Elemente. Die grafische Darstellung
dieser Belastung mit { Elemental Pressure > an } ergibt Bild 4.40 Nachdem wir
114
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.40: Lastfall 2 , Flächenlast -z , Projekt ingos
unter { File > Notes = Schalenelemente > ok } die Projektbeschreibung
aktualisiert haben, können wir nun unser fertiges Schalenmodell mit { Export }
unter dem Namen ingos.fmp in unser Arbeitsverzeichnis speichern und danach
unser FEM-Programm zur Berechnung starten. Wir vergessen dabei nicht, wieder
die Option „mit Zwischenknoten und Randbedingungen“ zu setzen!
Als erstes vergleichen wir wieder die Maximalwerte im Ausgabefenster (Bild
4.41) mit denen unseres Raumelementmodells. Wir stellen eine sehr gute
Übereinstimmung fest. Da wir keine Warnungen zum Modell erhalten, ist auch
unser
Elementnetz in Ordnung.
Vergleichen wir die Werte im Einzelnen.
max. Verschiebung:
Schalenelement = -0.980495 mm
Raumelement = -0.960314 mm
Abweichung ca. 3%
max. Spannung:
Schalenelement = 18.257 N/mm2
Raumelement = 20.389 N/mm2
Abweichung ca. 10%
max. Arbeit:
Schalenelement = 1 124.44 Nmm
Raumelement = 1 103.20 Nmm
Abweichung ca. 2%
4.5 Beispiel aus der linearen Statik mit Schalenelementen (ingos)
115
Bild 4.41: Projekt ingos; Ausgabefenster Schalenelementbeispiel mit Zwischenknoten
Die gute Übereinstimmung überrascht nicht, wenn wir uns an die Elementtests
in Abschn. 3.6 erinnern! Eine relativ dünne Platte mit nur einer Schicht
Raumelemente mit Zwischenknoten ist auf Biegeverformung etwa 3% zu steif
während das entsprechende Schalenelement den theoretischen Wert ergibt, wie
hier wieder bestätigt. Die Spannung ist um etwa 10% niedriger als beim
Raumelement, welches bekanntlich die tatsächliche Spannung am besten abbildet.
Dieser etwas größere Unterschied von ca. 10% liegt in dem vereinfachten
Spannungsansatz (lineare Spannungsverteilung über der Dicke bzw. der Schicht)
begründet.
Schauen wir uns auch noch die Spannungsverteilung im Postprozessor an. Wir
wählen dabei für die gemittelte Vergleichsspannung die gleiche Bildaufteilung für
Lastfall 1, 2 und Lastfallkombination, wie bei dem Raumelementmodell. Wir
achten dabei auch auf die Richtungen der Koordinatensysteme, um gut vergleichen
zu können. Was stellen wir fest?
Wie wir schon wissen, sind die Spannungen um ca. 10% kleiner. Wir schauen
uns daher auch noch die max. Vergleichsspannungen an und erkennen dabei, dass
diese um ca. 10% größer als die gemittelten sind. Daher wählen wir diese aus und
erhalten die Spannungsverteilung nach Bild 4.42.
Diese weicht für die Orte der Spannungsmaxima deutlich von unserem
Raumelementmodell ab. Beim Lastfall 1 liegt das Maximum jetzt bei der
Krafteinleitung und nicht mehr unten. Das Maximum dort kann offensichtlich von
den Schalenelementen nicht abgebildet werden. Beim Lastfall 2 findet sich das
Maximum wieder unten, jedoch nicht neben, sondern direkt in der Einspannstelle.
Auch hier kann das Schalenelement die komplizierte Spannungsverteilung an
einer Einspannung nicht richtig abbilden. Es bestätigt sich, was wir schon wussten.
116
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.42: Projekt ingos; Verformungen und Vergleichsspannungen der Lastfälle 1 und 2
sowie der Lastfallkombination bei Flächen- und Linienlasten
Bild 4.43: Projekt ingos; ungewichteter Modellfehler der Lastfallkombination
Raumelemente mit dem exakten dreiachsigen Spannungsansatz liefern
realitätsgetreue Spannungen, Schalenelemente mit dem nur angenäherten
Spannungsansatz für relativ dünnwandige Körper, wie unser Modell, recht gute
Spannungsergebnisse, die in den meisten Fällen ausreichen. Die Ergebnisse werden
um so besser, je dünnwandiger die Elemente sind, z.B. für Karosserieblech.
Mit einem Blick auf den ungewichteten Modellfehler (Bild 4.43), der nach Ort
und Größe unserem Raumelementmodell entspricht, können wir das Schalenmodell
verlassen.
Da in der Praxis häufig ohne Zwischenknoten gerechnet wird, wäre die
Wiederholung der FEM-Berechnung ohne Zwischenknoten und ein Vergleich mit
unserer vorhandenen Lösung sehr aufschlussreich und lehrreich!
4.6
Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
Um nachfolgend mit wenig Zeitaufwand die weiteren Anwendungsmöglichkeiten zu
erfahren, wollen wir uns künftig auf den Lastfall 1 beschränken. Damit haben wir
nur noch eine Belastung in der xy-Ebene verbunden mit einem 2-achsigen
Spannungszustand. Wie wir bei den Elementtests in Abschn. 3.6 schon erfahren
haben, wurde auch für diesen Sonderfall ein spezieller Elementtyp entwickelt, das
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
117
Membranelement. Wir müssen in unserem Schalenmodell den Lastfall 2 löschen
und den Elementtyp in „Membran“ umwandeln. Eigentlich müssten wir auch noch
die Randbedingungen auf die verbleibenden 2 Freiheitsgrade (es gibt nur noch v x
und vy) reduzieren. Das ist aber unnötig, da unser FEM-Programm die überflüssigen
Freiheitsgrade ignoriert.
Wir lesen unser Schalenmodell ingos.fmp wieder in FEMAP ein und ändern
gleich die Projektbezeichnung unter { File > Notes = Membranelemente > ok }. Mit
{ Delete > Model > Load-Set > ID = 2 > ok > ok } löschen wir den Lastfall 2. Um
den Elementtyp zu ändern, müssen wir zunächst eine neue Property-Definition für
die Membranelemente erzeugen mit { Model > Property > Define Property >
Elem./Property Types > Title = Membrane > Material > DurAluminium >
Thickness > T1 = 25 > ok }.
Jetzt können wir diese Property unseren Elementen zuordnen mit { Modify >
Update Elements > Type > Select All > Select Property > Membranelemente >
ok }. Schon sind wir fertig und können unser neues Modell mit { Export } unter
dem Namen ingom.fmp speichern. Damit starten wir wieder unser FEMProgramm und vergessen dabei nicht, in den Optionen Zwischenknoten
anzufordern. Wir erhalten das Ausgabefenster nach Bild 4.44.
Bild 4.44: Projekt ingom; Ausgabefenster Membranelementbeispiel mit Zwischenknoten
118
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
4.6.1
Lastfall 1 ohne Kontaktanalyse; Vergleich Raum-, Schalen- und Membranelement
Bevor wir uns wieder die Spannungsverteilung im Postprozessor anschauen,
vergleichen wir noch einmal mittels prt-File die Ergebnisse vom Lastfall 1 für alle 3
Modelle.
Lastfall 1, Linienlast oben:
Max. Verschiebung:
Raumelement
= -0.012994 mm
Schalenelement
= -0.012352 mm
Membranelement
= -0.012156 mm
Abweichung Raum-/Membranelement ca. 6 %
Abweichung Schale/Membranelement ca. 1.5%
Raumelement
= 3.63 N/mm2
Schalenelement
= 2.81 N/mm2
Membranelement
= 2.99 N/mm2
Abweichung Raum-/Membranelement ca. 17 %
Abweichung Schale/Membranelement ca. 6%
Raumelement
= 124.01 Nmm
Schalenelement
= 115.39 Nmm
Membranelement
= 115.96 Nmm
Abweichung Raum-/Membranelement ca. 7 %
Abweichung Schalen-/Membranelement ca. 0.5%
Max. Vergl.Spannung:
Max. Arbeit:
Zwischen Schalen- und Membranelement hatten wir keinen Unterschied erwartet,
da in beiden Fällen ein 2-achsiger Spannungszustand herrscht, der auch dem Ansatz
zu Grunde liegt. Die Verformung und die Arbeit weichen 1.5% bzw. 0.5% ab,
vernachlässigbar, die Spannung jedoch weicht 6 % ab. Woher kommt das? Die
Ursache ist wieder in der unterschiedlichen Elementformulierung zu sehen.
Vergessen wir nicht, das Schalenelement wurde als Laminatelement für
dickwandigere Elemente definiert und liefert daher etwas niedrigere Spannungen,
als das „reinrassige“ Membranelement.
Die höheren Verformungen, Spannungen und Arbeiten beim Raumelement haben
wir schon diskutiert, die Spannungsverhältnisse an der Einspannstelle mit
verhinderter Querdehnung können nur von diesem Element richtig abgebildet
werden. Wenn wir bei einem dickwandigen Blech, wie bei unserem Hosenblech, mit
Flächenelementen arbeiten, nehmen wir etwas geringere Spannungen in Kauf. Dies
gilt aber z.B. bei Karosserieblech kaum (tatsächlich dünnwandig).
Warum verwenden wir dann überhaupt Flächenelemente?
Die etwas höhere Qualität der Raumelemente wird in vielen Fällen mit erheblich
komplizierteren Modellen verbunden mit wesentlich höheren Rechenzeiten und
Plattenplatzbedarf erkauft. Unsere 3 Modelle (Raum-, Schale- und
Membranelement) haben 2 578, 1 985 und 794 Freiheitsgrade = Gleichungen.
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
119
Die Rechenzeiten von 67, 45 und 28 s entsprechen in etwa diesem Verhältnis.
Wie sieht es mit dem Plattenplatzbedarf aus? Die prt-Files geben Antwort: 9.6, 6.2
und 2.3 MB. Selbst bei diesen relativ kleinen Modellen erkennt man schon, wie
„teuer“ die Anwendung von Raumelementen ist. Rechnen wir dies mal hoch für ein
100-mal größeres Modell (in der Praxis ist man heute bei über 1 Mi Freiheitsgrade
angekommen)! Im Extremfall benötigt man viele GB Plattenplatz verbunden mit
Rechenzeiten von vielen Stunden bei linearen Berechnungen.
Vergessen wir nicht, dies entspricht bei einer nichtlinearen Berechnung einem
Iterationsschritt. 100 und mehr Schritte sind aber nicht ungewöhnlich.
Es spricht vieles für Flächenelemente.
Mit diesen Erkenntnissen betrachten wir die Spannungsverteilung im
Postprozessor (Bild 4.45). Es zeigt sich, dass das Spannungsmaximum tatsächlich
unten an der linken Ecke des rechten Einspannteils liegt (s. Ausschnitt). Der
gewichtete Modellfehler ist überall < 15%, wie das prt-File zeigt.
Wir verwenden dieses Modell für unsere weiteren Betrachtungen. Bisher sind wir
von einfachen Lagerbedingungen ausgegangen. Die Praxis sieht aber meist anders
aus! Wir stellen uns vor, dass unser Hosenblech im Lagerbereich nur anliegt. Damit
ist die y-Verschiebung nur an solchen Knoten = Null, wo Druck übertragen wird.
Welche sind das aber?
Dieses Problem löst unser FEM-Programm, wir müssen dazu lediglich als
Analysetyp statt „Lineare Statik“ „Lineare Statik mit Kontakt anfordern“. Im
Preprozessor müssen wir jedoch unsere einfachen Randbedingungen vom Typ
Freiheitsgrad = Null in Kontaktrandbedingungen umwandeln.
Zuvor aber noch eine andere Überlegung. Wenn wir das Kontaktproblem wie
vorgeschlagen lösen, so rechnen wir Kontakt zwischen dem elastischen Hosenblech
Bild 4.45: Projekt ingom; Vergleichsspannungsverteilung mit Ausschnitt des kritischen
Bereichs (oben rechts) und dem gewichteten Modellfehler (unten rechts).
120
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
und einem starren Rand. Das ist möglich, entspricht aber kaum der Realität, denn
dieser Rand ist sicher auch elastisch.
Um dies zu realisieren, modellieren wir im Kontaktbereich ein zusätzliches
Anschlagblech bis y = 0.
4.6.2
Lastfall 1 mit Kontaktanalyse ohne Reibung (ingomk)
Unser FEM-Programm kann z.Z. nur Kontakt zwischen Knotenpärchen
realisieren. Wir müssen dafür Sorge tragen, dass die Knoten des Anschlagblechs
in der Kontaktfuge an gleicher Stelle liegen, wie die des Hosenblechs!
Dabei gehen wir wie folgt vor.
Als Ausgangsmodell lesen wir uns über { Import } unser Membranmodell
ingom.fmp ein und entfernen als erstes zunächst die Randbedingungen mit {
Delete
> Model > Constraint Set > Select All > ok > ok }. Da es sinnvoll ist, das
Modell wieder wie das Raumelementmodell an einem zentralen Knoten in xRichtung zu halten, realisieren wir dies mit { Model > Constraint > Constraint
Set >> ID = 1 > Title = Hosenblech vx > ok } und mit { Model > Constraint >
Nodal > klick Knoten 73 > ok > klick TX > ok }.Dann ändern wir noch in { File >
Notes = Hosenblech mit Kontaktfuge zum Anschlagblech (Membran) > ok } die
Projektbeschreibung.
Um für das Anschlagblech das Netz auf Geometriebasis erzeugen zu können,
definieren wir die 3 fehlenden Points. Dabei blenden wir alle Knoten und
Elemente aus, sodass wir nur die Geometriedaten sehen. Am besten verstehen wir
uns, wenn wir einen Blick auf das fertige Anschlagblech (Bild 4.46) werfen.
Wir gehen wieder wie ganz am Anfang vor und erzeugen uns zunächst nur die
rechte Hälfte. Dazu fehlen uns 3 Punkte, die den Knoten
( 160 [x 350; y 0], 185 [x 0; y 170] und 189 [x 0; y 0] )
entsprechen und die wir mit { Geometry > Points > 350/0 > 0 / 170 > 0 / 0 > ok }
erzeugen.
Bild 4.46: FEM-Netz des Anschlagblechs zum Hosenblech mit Randbedingungen
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
121
Damit wir uns besser zurechtfinden und nachher die Kontaktknoten besser
identifizieren können, verwenden wir ab jetzt eine wichtige Arbeitstechnik, die
vielleicht schon von CAD-Anwendungen bekannt ist. Nämlich die Zerlegung
einer Darstellungsstruktur in Darstellungsebenen, sog. Layer.
Dazu definieren wir 2 Layer. Layer 1, das zu erzeugende Anschlagblech und
Layer 2, das bereits erzeugte Netz des Hosenblechs. Mit { Tools > Layers > ID =
1 bzw. 2 = Title > Anschlagblech bzw. Hosenblech > ok } erhalten Layer 1 und
Layer 2 ihre Namen, Layer 2 ist gleichzeitig aktiv. Nun erfolgt die Zuordnung der
Knoten und Elemente zum Layer 2 (Hosenblech) mit { Modify > Layer > Nodes
> Select All > ok > Select Layer = Hosenblech > ok > das gleiche mit allen
Elementen }. Noch sehen wir nichts.
Die Darstellung eines oder mehrerer Layer erfolgt über { View > Layers >
Show Visible Layers Only > Show (mit Hide oder Show können wir Layers deoder aktivieren, Bild 4.47) > Hosenblech > ok }.
Unabhängig von der Darstellung können wir hier auch einen Layer aktivieren,
d.h., alle nachfolgend definierten Geometrie- und Modellelemente gehören zu
diesem aktivierten Layer. Mit { Redraw } sehen wir jetzt nur unser Hosenblech.
Um unser Anschlagblech zu vernetzen, schalten wir den Layer 1
(Anschlagblech) aktiv und den Button { Show All Layers } auf on und setzen
unsere Arbeit fort. Wenn wir jetzt nur die Geometrie auf sichtbar geschaltet haben,
müssten wir unsere zuvor erzeugten Punkte sehen (Bild 4.46).
Jetzt erzeugen wir die zur automatischen Vernetzung erforderliche Boundary
Surface mit { Geometry > Curve Line > Continuous > Method > On Points >>
wir beginnen z.B. beim Punkt, der dem Knoten 185 entspricht, und klicken mit ok
nach einander die nächsten 4 Punkte an - nicht den 5. >> Cancel > ok > To Close
Continuous Lines? > ja }.
Jetzt haben wir die gewünschte Geometrie, die wir mit { Geometry >
Boundary Surface >> alle 5 Lines anklicken > ok } zur Boundary Surface
machen.
Wichtig ist, dass unsere Linie an der Kontaktfuge die gleiche Elementanzahl
122
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.47: Aktivieren und Deaktivieren bzw. Darstellen und nicht Darstellen von Layern.
Bild 4.48: Projekt ingomk; Points und Kantenteilung im Anschlagblech rechts
und Teilung hat, wie die gegenüberliegende des Hosenblechs, 5 Elemente. Dies
erreichen wir, wobei wir auch die Teilung der übrigen Linien definieren, um ein
schönes Netz zu erhalten, mit { Mesh > Mesh Control > Default Size > Size
along Curve >> (wir beginnen mit der Kontaktlinie) klick > ok Number of
Elements = 5 > ok (mit 2, 4, 6, 4 für die übrigen Linien, Bild 4.48 ) }
Um ganz sicher zu gehen, stellen wir noch die mittlere Elementkantenlänge
von 55 mm ein mit { Mesh > Mesh Control > Default Size > Default Mesh Size
>> 55 > ok }. Wir wollen nun erproben, wie man mit 2 unterschiedlichen
Werkstoffen in einem Modell arbeitet, daher soll das Anschlagblech aus Stahl
sein. Dies definieren wir mit { Model > Material >> ID = 2 Title = Stahl-N-mmC > E = 210000 > nu = 0.3 > ok }.
Jetzt können wir die Vernetzung ausführen mit { Mesh > Geometry > Surface
> (Durch die Layer-Technik wird jetzt nur die Geometrie des Anschlagblechs
gezeigt) > ok >Automesh Surface > Property > Membranelemente auswählen
> Material > Stahl auswählen > (alles übrige kann übernommen werden) > ok }
und erhalten hoffentlich die rechte Netzhälfte von Bild 4.49, oder ist die
Darstellung der Knoten und Elemente nicht eingeschaltet?
Wir spiegeln nun diese Netzhälfte an der yz.Ebene mit { Mesh > Reflect >
Element > (alle Elemente mit der Box fangen) > ok > Generation Option >>
Match Original Entities > Method > Global Plane > yz-Plane > Basis > 0 / 0 /
0 > ok } und entfernen die doppelten Knoten in der yz-Ebene mit { Tools > Check
> Coincident Nodes > (alle 5 Knotenpärchen mit der Box fangen - Vorsicht mit
Select All, damit verschmelzen wir alle Knotenpärchen und haben dann keine
Kontaktpärchen mehr!) > ok > usw. }. Jetzt sollte unser Netz des Anschlagblechs
wie in Bild 4.49 aussehen, oder so ähnlich. Mit { View > Select > Free Edges >
ok } prüfen wir, ob wirklich alles okay ist.
Eine Spezialität von WTP2000 ist die sehr einfache Formulierung von
Kontaktrand-Bedingungen, die wir jetzt für den einfachsten Fall des
Linienkontakts anwenden wollen. Zusätzlich ist der Kontakt in beliebig
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
123
räumlichen, ebenen Flächen, Zylinder-, Konus- und Kugelflächen möglich
einschl. Freiweg oder Schrumpfmaß mit und ohne Reibung. Die Regel dabei ist
immer die gleiche.
Die nachfolgende Beschreibung hört sich trotzdem ziemlich kompliziert an,
aber was wir hier definieren ist das absolute Minimum an Information. Bei
anderen FEM-Systemen ist die Sache noch viel aufwändiger.
Wir definieren für den jeweiligen Kontaktbereich (in unserem Fall 2 Bereiche
links und rechts) jeweils 2 Knotengruppen (1. Knoten oben und 2. Knoten unten,
dabei muss man vorsichtig sein, denn zur Gruppe gehören nur die auf dem Rand
liegenden Knoten).
Die Art der Randbedingung wird dann im Title der Gruppe durch Kürzel
festgelegt, die wir gleich kennen lernen werden.
Zusätzlich muss je Kontaktbereich ein lokales Bezugskoordinatensystem
definiert werden, mit welchem die Kontaktrichtung (lokal z) festgelegt wird.
Damit wollen wir beginnen. Zur Erklärung verwenden wir die Knotennummern in
Bild 4.49, die nicht unbedingt in jedem Modell gleich sein müssen. Leider
verwendet FEMAP für ein lokales Koordinatensystem wieder die
Achsbezeichnung x, y, z, obwohl damit die 3 globalen Richtungen bezeichnet
wurden. Zur eindeutigen Unterscheidung werden die lokalen Achsen daher mit
dem Zusatz lokal, z.B. lokal z, versehen.
Wichtige Regel!
Damit die Kontaktautomatik in TP2000 funktioniert, muss die lokale z-Achse
von der 2. Knotengruppe zur 1. Knotengruppe weisen!
Bei uns schräg nach oben. Ein Weg ist die Definition des lokalen
Koordinatensystems über Nullpunkt und 3 Winkel (Drehung um global x, um y
und um z). Dazu müssen wir uns aber die Winkel ausrechnen. Dabei ist in der
Ausgangslage das lokale System achsengleich mit dem globalen System.
Die auf den Betrachter gerichtete lokale z-Achse müssen wir daher um -90° um
124
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.49: Definition des lokalen Koordinatensystems über ZX Locate mit Richtungspunkt
für die lokale z-Achse
global x drehen, dann weist die lokale y-Achse vom Betrachter weg. Diese müssen
wir dann um 6.1155036° drehen, damit die lokale z-Achse senkrecht auf der
Kontaktfuge steht.
Es gibt noch einen besseren Weg. Wir konstruieren am Knoten 199 und 148
jeweils eine senkrecht auf der Kontaktkante stehende Linie mit einem Point am
Ende, den man dann als Richtung ’on Point’ klicken kann mit { Geometry >
Curve Line > Perpendicular > ...}.
Mit { Model > Coord Sys > Title = lokal links > Ref.Csys > Global
Rectangular > Method > Angles >> Methods > On Nodes >> Define Origin >
klick Knoten 199 > ok > Rotations > x = -90 > y = 6.1155036 > z > 0 = ok } oder
ohne Winkel { .... > Method > ZX Locate >> Methods > On Nodes >> Define
Origin > klick Knoten 199 > ok > Location Z-Axis > klick Point senkrecht 199
(dazu muss Methods auf on Point stehen) > ok > Location X-Axis > klick z.B.
Knoten 201 bzw. 167 (Methods auf on Node) > ok } wie in Bild 4.49 gezeigt. Wir
sehen (wenn als sichtbar angefordert) unser lokales Koordinatensystem „lokal
links“ mit
lokal z senkrecht nach oben auf der linken Kontaktfuge gemäß Bild 4.49. In
gleicher Weise gehen wir für das lokale Koordinatensystem rechts vor, das wir
„lokal rechts“ nennen und bei dem der Drehwinkel um lokal y -6,1155036° ist.
Da nur die lokale z-Richtung benötigt wird, ist der Ort das Nullpunkts frei
wählbar, er muss nur auf der rechten Kontaktfuge liegen, z.B. bei Knoten 148.
Damit haben wir die Kontaktrichtungen für beide Fugen gemäß Bild 4.50
definiert.
Die Beschriftung in Bild 4.50 wurde mit dem Kommando { Tools > Text =
lokal links > ok Position anklicken > ok } erzeugt. Bevor wir nun die 2
Kontaktknotengruppen links und rechts definieren, müssen wir noch die Regeln
dazu kennen.
Kontakt kann immer nur zwischen 2 Segmenten definiert werden, die wir Segment
1 und Segment 2 nennen wollen. Dabei ist die Reihenfolge wichtig. Segment 2
muss immer unter Segment 1 liegen bezogen auf das lokale Koordinatensystem.
Segment 1 ist unser Hosenblech und Segment 2 ist das Anschlagblech. Die Regel
zur Definition der Richtung der Kontaktnormalen (s.a. weiter oben) besagt nun,
dass die positive Richtung (lokal +z) von Segment 2 nach Segment 1 und damit in
Segment 1 hinein weisen muss. So, wie es in Bild 4.50 definiert ist.
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
125
Bild 4.50: Projekt ingomk; lokale Koordinatensysteme „lokal links“ und „lokal rechts“
Die im Preprozessor definierten Knotengruppen werden entsprechend der
Reihenfolge der Group-ID (1, 2, 3, 4) zugeordnet, jeweils 2 aufeinander folgende
mit identischem Title bilden dabei ein Kontaktgruppe (1, 2) und (3, 4).
Jetzt können wir mit der Definition der 4 Knotengruppen beginnen. In unserem
Fall mit Gruppe 1 und 2 sowie Gruppe 3 und 4. Fangen wir links an.
Gruppe 1 sind dann die Kontaktknoten des Hosenblechs, Gruppe 2 die des
Anschlagblechs. Wir blenden daher zunächst den Layer „Hosenblech“ ein (Bild
4.51 oben) und definieren die 1. Gruppe mit { Group > Set > ID = 1 Title =
Gruppe 1 (dieser Name ist zunächst nur ein Platzhalter und wird später
umbenannt) > ok }, damit ist diese Gruppe auch aktiviert, alle folgenden Eingabe
gehören zu dieser Gruppe.
Mit { Group > Node > ID > 6 Kontaktknoten in beliebiger Reihenfolge gemäß
Bild 4.50 klicken > ok } definieren wir die 6 zu dieser Gruppe gehörenden Knoten.
Wir blenden jetzt den sichtbaren Layer aus und dafür den Layer
„Anschlagblech“ ein und verfahren mit der zugehörenden Gruppe 2 des
Anschlagblechs wie zuvor. In gleicher Reihenfolge definieren wir danach die
Gruppe 3 und 4.
Zur Kontrolle schauen wir uns die Kontaktknoten der 4 Gruppen an, mit { View
> Show > Node > Group > Gruppe 1 -4 > jeweils More > ok } sehen wir alle 24
Knoten, wobei die Nummern übereinander geschrieben werden. In Bild 4.51 sind
daher nur die Knoten des Hosenblechs eingeblendet.
Jetzt wären wir fertig? Nein, noch fehlt die Information, was mit diesen
Gruppen zu tun ist. Für diese Information ist der Group-Title vorgesehen, in
welchen wir bisher Gruppe 1-4 eingetragen hatten.
126
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.51: Projekt ingomk; Kontaktknoten des Hosenblechs links und rechts; die
entsprechenden Knoten des Anschlagblechs sind ausgeblendet
Dazu müssen wir noch eine weitere Regel erfahren.
Die für die Knoten dieser Gruppe zu erzwingenden Bedingungen werden mit
einer aus Kürzeln (im Title ist nur Platz für 25 Zeichen!) bestehenden Kennung im
Title wie folgt definiert.
1. Kennwort
GN
2. Geometrie
L=Line, P=Plane,
C=Cylinder, B=Ball,
S=Sektor
3. Gleiten oder Koppeln
/ oder ;
4. gegen Struktur oder starr
L, P, C, B, F=fix (starr)
Separator
Komma ,
5. variable mit Kontakt ja/nein oder
fixe (nicht variable) Randbedingung
1 oder 0
6. gültige Freiheitsgrade
1-6 = vx, vy, vz, dx, dy dz
7. Nr. des Koordinatensystems
1-99
Separator
Komma ,
8. Freiweg aus Opt. 8 oder Opt. 9
G1 oder G2
Separator
Komma ,
9. Reibwinkel Opt. 10 oder Opt. 11
F1 oder F2
Mit der zusätzlichen Regel, dass die Kürzel 8 und 9 nur wenn nötig anzugeben
sind bzw. wenn nur 9 gewünscht ist, der Separator davor nicht entfallen darf,
ergibt sich für Gruppe 1 und 2 der Title > GNL/L,1,12 (es gibt nur vx und vy)
,3,G1,F1 , wenn 3 die Nummer des Koordinatensystems „lokal links“ ist und für
die Gruppe 3 und 4 der Title > GNL/L,1,12,4,G1,F1 , wenn 4 die Nummer des
Koordinatensystem „lokal rechts“ ist. Dies können wir mit { List > Model >
Coord Sys > All > ok } feststellen.
Da wir in den Optionen die Standard-Werte für Freiweg und Reibung mit 0.0
nicht ändern, können wir getrost immer G1,F1 hinzufügen, damit wir später leicht
Freiwege oder Reibung einführen können.
Wir müssen die Title unserer 4 Gruppen ändern mit { Group > Set > ID = 1 >
Title = GNL/L,1,12,3,G1,F1 } für Gruppe 1 und 2, entsprechen mit GNL/L
,1,12,4,G1,F1 für Gruppe 3 und 4. Wenn wir unsicher sind, ob alles geklappt hat,
können wir uns davon mit { List > Group > Select All > All Entities >ok }
überzeugen. Erinnern wir uns, mit Doppelklick vergrößern wir das Listfenster, wir
sehen dann alle 4 Gruppen, mit Doppelklick minimieren wir das Listfenster
wieder.
Jetzt wären wir fertig. Mit der bis jetzt definierten Belastung erhalten wir
jedoch ein wenig spektakuläres Ergebnis. Um Kontakt mit Abheben links zu
erzeugen, müssen wir die Last links auf ca. die Hälfte reduzieren (25 N/mm] und
rechts auf ca. das Doppelte erhöhen (150 N/mm).
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
127
Dies realisieren wir mit { Modify > Edit > Load >> Forces/Moments > ok >
Select Nodes > oben links 19 und 58 > ok > Fx > ändern in -25 > ok > oben
rechts 85 und 123 > ok > Fx > ändern in -150 > ok }.
Endlich ist alles ok, wir können das Modell mit { Export } unter dem Namen
ingomk.fmp ins Arbeitsverzeichnis ausgeben und die Berechnung starten.
Bild 4.52: Projekt ingomk; Ausgabefenster des Rechenlaufs mit Warnung
Mit der Option { Zwischenknoten mit Randbedingungen und Lasten
einfügen > 2 } werden automatisch auch die Kontaktrandbedingungen für die
Zwischenknoten erzeugt. Unser Analysetyp ist jetzt nicht mehr „Lineare Statik“,
sondern „Lineare Statik mit Kontakt“. Nach wenigen Sekunden erhalten wir
unser Ergebnis mit Kontakt, oder nicht?
Wenn eine Fehlermeldung erscheint, lesen wir aufmerksam das prt-File und
wenn wir darin die Fehlerursache nicht finden, das lst-File und korrigieren den
Fehler im Preprozessor. Natürlich findet sich dieses Modellfile auch auf
beiliegender CD unter \Springer\Kapitel4\ingo\.
Im Ausgabefenster Bild 4.52 fällt wahrscheinlich sofort auf, dass bei der
Lösung des Gleichungssystems der Balken mehrmals läuft. Dies ist bei
Kontaktberechnungen normal. Damit während der nachfolgenden Iteration das
Gleichungssystem nicht immer neu gelöst werden muss, verbunden mit
inakzeptabel hohen Rechenzeiten bei großen Modellen, wird das gelöste
Gleichungssystem anschließend auf eine Einheitsmatrix zurückgeführt (2.
Balken). Dadurch muss während der Iteration nur das Restgleichungssystem der
Kontaktgleichungen neu gelöst werden (3. und folgende Balken), was viel Zeit
spart,
128
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Was passiert während der Kontakt-Iteration? Es läuft ein nichtlinearer Vorgang
ab, der iterativ gelöst wird. Für jedes Kontaktknotenpaar wird überprüft, ob dort
Druckkräfte übertragen werden. Wenn nicht, wird die Kontaktbedingung gelöst.
Im folgenden Iterationsschritt muss dann geprüft werden, ob die beiden Knoten
sich durchdringen, wenn ja, so wird die Kontaktbedingung wieder eingeführt. Das
FEM-Programm erkennt dabei, wenn dieses „Auf- und Zumachen“ mehrmals
nacheinander erfolgt und verhindert es. Dadurch wird eine schnellere Konvergenz
erreicht. In unserem Fall ist bereits nach 3 Schritten Konvergenz erreicht.
Wenn wir mehr Information wünschen, schauen wir in das prt-File, dort finden
wir nach der 1. Iteration den Hinweis „8 Gleichungen geändert, gelöst“ und dazu
die Knotenpaare 199/1 und 221/564 mit Reibtyp 3 (bedeutet gelöst ohne Reibung),
bei „0 Gleichungen geändert“ ist nach der 2. Iteration Konvergenz erreicht.
Übrigens, hier beim ebenen Modell hat jeweils ein Kontaktknotenpaar 4
Gleichungen, d.h. nach dem 1. Schritt wurden 2 Knoten gelöst, wie aus den
weiteren Informationen auch ersichtlich. Das Knotenpaar 221/564 suchen wir
jedoch vergeblich in unserem Rechenmodell.
Vergessen wir nicht! Wir hatten in den Optionen „Zwischenknoten mit
Randbedingungen einfügen“ angefordert. Diese Knoten müssen während der
FEM-Berechnung eingefügte Zwischenknoten sein, die in unserem Modellfile
ingomk.fmp nicht enthalten sind.
Bei Knoten 73 erhalten wir die Warnung über einen zu großen Modellfehler.
Der gewichtete Fehler beträgt dort ca. 20%. Wo ist Knoten 73? Es ist der Knoten
in der Symmetrieebene, an dem wir die x-Verschiebung durch Randbedingung
verhindert hatten (Bild 4.53). Hier erhalten wir eine Stützkraft.
Wir erinnern uns!
Eine Einzellast, hier die Stützkraft, bewirkt an der Einleitungsstelle eine
unsinnig hohe Spannung (wie wir gleich sehen, ist dort auch das Maximum) und
ist daher zu vermeiden bzw. zu ersetzten durch Flächen- oder Linienlasten. Was
tun wir aber mit unserer „einsamen“ Lagerbedingung?
Wenn uns die tatsächliche Spannung dort interessiert, verteilen wir die
Stützkraft auf den Knoten 73 und die beiden Knoten links und rechts daneben als
Einzellasten. Die Randbedingung bleibt.
Probieren wir es aus, die Spannung dort wird erheblich kleiner. Damit
verschwindet auch die Warnung mit dem Modellfehler. Bevor wir einen Blick auf
die Spannungsverteilung (Bild 4.54) werfen, interessiert uns die Druckverteilung
in den Kontaktfugen (Bild 4.53). Die Darstellung erhalten wir durch folgende
Anforderungen im FEMAP { View > Select > Deformed Style > Vector >
Deformed and Contour Data > Outputset >> INGO Lastfall Kontakt > Vectors
>> 7. Ge-
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
129
Bild 4.53: Projekt ingomk; Stützkräfte in den Kontaktfugen
Bild 4.54: Projekt ingomk; Verformung und Spannungsverteilung bei Kontakt ohne
Reibung
samtstuetzkraft > ok }. Wir sehen, dass die Kontaktkräfte senkrecht auf der Fuge
stehen (die Pfeilrichtung nach außen zeigt Druck an!) und dass der linke Knoten
und wie wir schon aus dem prt-File her wissen, auch der nicht sichtbare
Zwischenknoten daneben gelöst sind. Die Pfeillänge entspricht der Größe des
Drucks.
Vergessen wollen wir an dieser Stelle nicht, dass wir die Berechnung mit
Zwischenknoten durchgeführt haben und wir hier nur die Eckknoten sehen. Auch
die Zwischenknoten haben Stützkräfte, die sogar in der Summe größer sind, als die
der Eckknoten!
Zusätzlich sehen wir die x-Stützkraft am Knoten 73 oben im Bogen. Ein Blick
auf die Spannungsverteilung in Bild 4.54 des Lastfalls Kontakt zeigt ein Spannungsmaximum (σ = 8.77 N/mm2, wenn wir ’22. Sigma-Vergl. 2D max.obn.’ als
Spannung auswählen) am Knoten 73 sowie eine weitere Spannungskonzentration
unten rechts im Anschlagblech, die wir uns merken wollen. Mit der Kontaktlösung
haben wir uns weiter an die Realität angenähert, was fehlt noch? Gehen wir zum
nächsten Abschnitt.
4.6.3
Lastfall 1 mit Kontaktanalyse mit Reibung
Wenn sich Körper aufeinander bewegen, so hat die Natur dafür ein wichtiges
Hilfsmittel geschaffen, damit dieser Vorgang überhaupt kontrolliert möglich ist,
nämlich die Reibung. Ohne Reibung könnten wir nicht laufen und die Autos nicht
fahren. Überall ist Reibung im Spiel!
Reibung in der Simulation zu berücksichtigen, scheint zunächst ziemlich
einfach, aber dahinter verbirgt sich ein nichtlineares Problem. Die erste
Voraussetzung ist die Lösung des nichtlinearen Kontaktproblems, denn Reibung
findet nur dort statt, wo Druck übertragen wird.
130
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Die Reibbedingung lautet nun, dass die Reibkraft entgegen der
Bewegungsrichtung wirkt und sich aus der senkrecht dazu stehenden Druckkraft
mal Reibbeiwert ergibt. Zu der gefundenen Druckkraft = Kontaktkraft muss auch
noch die Richtung der Reibkraft aus der Bewegung der Knotenpärchen gefunden
werden. Damit ist das FEM-Programm in der Lage, automatisch die
Kontaktgleichungen durch Reibgleichungen zu ersetzen, die den eben
beschriebenen Vorgang beschreiben.
Fehlt noch der Reibbeiwert, der dem Tabellenbuch entnommen wird. Dabei
wird noch unterschieden zwischen Haft- und Gleitreibung, wobei der
Gleitreibwinkel etwas kleiner ist als der Haftreibwinkel.
Beide Werte sind vor Beginn des Rechenlaufs im FEM-Programm in den
Optionen als Winkel im Bogenmaß einzugeben. Dabei können 2 unterschiedliche
Werte berücksichtigt werden z.B. für die linke und die rechte Fuge mit
unterschiedlicher Schmierung. Wir wollen links und rechts gleiche Verhältnisse
voraussetzen und die Standardwerte für „Aluminium gleitet trocken auf Stahl“
verwenden. Damit geben wir ein:
für
F1 = 1. Gleitreibwinkel = 0.25 rad > ca. 14°
und für
F3 = 1. Haftreibwinkel = 0.30 rad > ca. 17°
Erinnern wir uns, die Zuordnung zu unseren Kontaktgleichungen hatten wir
schon bei der Definition der Kontaktgruppen im Preprozessor mit den GroupTitles GNL/L,1,12,3,G1,F1 bzw. GNL/L,1,12,4,G1,F1 vollzogen, wobei F3 zum
Gleitreibwinkel F1 der Haftreibung gehört.
Wir wiederholen nur den Rechenlauf. Wir vergessen dabei aber nicht, die
Reibwinkel zu setzte und als Analysetyp „lineare Statik mit Kontakt“
anzufordern. Statt wie vorher in 3, wird das Kontaktproblem jetzt bei Reibung in 8
Iterationsschritten gelöst. Am Ende der Iteration werden wir 10 Knotenpaare mit
Haft- und 2 Knotenpaare mit Gleitreibung haben. Im prt-File ingomk-s.prt
erkennen wir, dass in den Iterationen mehrmals ein Knotenpaar entkoppelt und
wieder gekoppelt wird (199/1) und bei einigen Knotenpaaren zwischen Haft- und
Gleitreibung ge-
4.6 Beispiel aus der linearen Statik mit Membranelementen (ingom)
131
Bild 4.55: Projekt ingomk; Stützkraftverteilung in den Fugen bei Kontakt mit Reibung
wechselt wird. Dies ist normal, da offensichtlich dort die Verhältnisse nicht
eindeutig sind.
Die in den Optionen festgelegte max. Anzahl Iterationen (10 + 1 = 11) wird
aber nicht erreicht. Bei komplizierteren Problemen sollte diese jedoch nur moderat
erhöht werden!
Wie sieht nun die Stützkraftverteilung in den Fugen aus (Bild 4.55)? Die
Stützkräfte stehen nicht mehr senkrecht auf den Fugen, sondern schräg dazu, weil
zusätzlich die Reibkräfte wirken, besonders in der linken Fuge. Auch die
Stützkraft am Knoten 73 im Bogen ist nun nicht mehr sichtbar, weil
vernachlässigbar klein. Die Reibung wirkt der Querverschiebung entgegen. Alles
sehr plausibel. Vergessen wollen wir auch nicht, dass wir wieder die wichtigen
Stützkräfte an den Zwischenknoten nicht sehen!
Nun schauen wir uns die Verformungen und die Spannungen (Bild 4.56) im
Vergleich zu „ohne Reibung“ an. Bei den Verformungen fällt sofort auf, dass in
der linken Fuge keine Querverschiebung mehr vorhanden ist, da wir Haftreibung
in den Kontaktfugen haben. Da sich durch die Reibung auch die Kräfte
gleichmäßiger verteilen und der Knoten 73 im Bogen nun keine x-Stützkraft mehr
überträgt, hat sich die Spannungsverteilung geringfügig geändert und auch das
Maximum (von σ = 8.77 auf 6.79 N/mm2) deutlich reduziert.
Wir stellen fest, dass die Reibung die Ergebnisse deutlich verändert, wobei es
Probleme mit den Reibbeiwerten gibt, die nicht immer bekannt sind. Sinnvoll ist
es daher, stets die beiden Extreme, ohne Reibung und mit max. Haftreibung,
zusätzlich zu rechnen.
Nachdem wir es geschafft haben, die Kontaktbedingungen zu formulieren, war
es kein Problem mehr, Reibung hinzuzufügen (nur als Option eintragen), sodass
132
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
wir in Zukunft diese Problemstellung sicher auch bei räumlichen Modellen
bewältigen werden.
Bild 4.56: Projekt ingomk; Verformung und Spannungen bei Kontakt mit Reibung
4.7
Beispiel aus der linearen Statik mit rotationssymmetrischen
Elementen (ingort)
Im Maschinen- und Fahrzeugbau sind mehr als 20% aller Bauteile
rotationssymmetrisch, wie Wellen, Achsen, Bolzen. Hebel, Stangen, Ventile usw.
Schon in den 60er Jahren wurde ein Elementtyp entwickelt, welcher auf dem
rotationssymmetrischen Spannungszustand beruht. Um diesen Elementtyp
verwenden zu können, müssen aber nicht nur die Geometrie, sondern auch
Randbedingungen und Lasten rotationssymmetrisch sein. Im Preprozessor heißt
dieser Elementtyp Axissymmetric.
Der
rotationssymmetrische
Spannungszustand
ist
ein
3-achsiger
Spannungszustand mit dem Sonderfall, dass die 3. Hauptspannung =
Umfangsspannung konstant ist. Dies kennzeichnet eine rotationssymmetrische
Belastung.
Einige Jahre später wurde dieser Elementtyp so weiterentwickelt, dass der sehr
häufig vorkommende Fall der nicht rotationssymmetrischen Belastung von
Rotationsteilen, wie z.B. Biege- oder Torsionsbelastung, ebenfalls berücksichtigt
werden konnte. Dies erreicht man durch Verwendung der Fourier-Reihen, solche
Elemente werden daher auch Fourier-Elemente genannt.
Auch unser FEM-Programm kennt diesen Elementtyp, er wird dann für
rotationssymmetrische Elemente verwendet, wenn man als Analysetyp „Lineare
Statik mit Fourierelement“ anfordert. Dieser Elementtyp ist im Abschn. 6.1
ausführlich beschrieben. Etwas mühsam ist dabei die Formulierung der Belastung,
dazu sollte man die Beschreibung ausführlich lesen.
Wir wollen aber bei dem klassischen rotationssymmetrischen Element bleiben
und verwenden dazu unser Modell ingomk. Zuvor müssen wir noch für TP2000
zwei wichtige Definitionen kennen lernen, die in allen FEM-Programmen meist
unterschiedlich sind!
1. Die Rotationsachse ist immer die x-Achse, der Radius ist immer die positive yAchse. (Bei den meisten amerikanischen Programmen ist y die Rotationsachse
und positiv x der Radius!)
2. Der Sektorwinkel, der die radiusabhängige Elementdicke definiert, beträgt  =
0.1 rad = 5.729578° (Bei den meisten amerikanischen Programmen beträgt der
Sektorwinkel 1.0 rad.)
Bei Belastung rotationssymmetrischer Modelle mit Einzellasten, die jetzt
Ringlasten sind, müssen diese gemäß Definition 2 auf den wirksamen Sektor
umgerechnet werden, mit dem
4.7 Beispiel der linearen Statik mit rot.symm. Elementen (ingort)
133
Faktor /360 = 5.729578/360 = 0.0159154
Aus unserem Anschlagblech wird durch Rotation um die x-Achse ein konischer
Bolzen, den wir zur Montage in der Mitte auseinander sägen müssten, um ihn
montiert dann wieder axial zusammen zu schrauben. Das soll uns nicht kümmern.
Aus unserem Hosenblech wird ein dickwandiges, innen konisches Rohr mit
einer Innenrille (Bild 4.57).
Bild 4.57: Aus dem ebenen Hosen-blech
mit Anschlagblech wird durch Rotation
ein Hosenrohr mit An-schlagbolzen
Um keine Missverständnisse aufkommen zu lassen, betrachten wir Bild 4.58,
welches im Preprozessor mit { Mesh > Revolve >> Element >> New Property >
Solid >> Elements along Length = 60 > um x-Achse = 270° > ok } erzeugt
wurde.
Das Raumelementmodell kann zwar erzeugt werden und nach Einschalten von
{ View > Select > Quick Hidden Line > ok } erhalten wir auch nach einigem
Drehen das Bild. Wir bekommen jedoch alsbald die Warnung, dass die
Programmgrenze mit 300 Knoten überschritten ist (Das Modell hat jetzt ca. 12
000 Knoten und 10 000 Elemente!) Die Warnung macht nichts. Nachdem wir das
Raumelementmodell betrachtet haben, verlassen wir den Preprozessor und starten
ihn neu.
134
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.58: Projekt ingomk als 270°-Solid-Modell
Wir können unser rotationssymmetrisches Problem trotzdem lösen, denn wir
haben
als
Flächenelement
den
Elementtyp
„axissymmetric
=
rotationssymmetrisch“. Dieses Modell wollen wir jetzt erzeugen.
Wir lesen ingomk.fmp ein und ändern zunächst die Projektbeschreibung mit
{ File > Note > Zeile 1 = dickwandiges Rohr mit Bolzen (rot.symmetrisch) >
Zeile 2 = mit Reibung und eingeschrumpftem Bolzen > ok }.
Wir wollen jetzt davon ausgehen, dass unsere Bolzen-Rohrverbindung ein
Übermaß von 0.1 mm hat und sich damit nach Montage (wie auch immer), eine
zusätzliche Schrumpfverbindung zwischen Bolzen und Rohr ergibt. Da diese
Verbindungstechnik in der Praxis sehr häufig gewählt wird, erhalten wir damit
interessante zusätzliche Informationen. Wir werden gleich sehen, dass das mit
unserem FEM-Programm sehr einfach geht.
Als nächstes müssen wir unseren Elementtyp von „Membran“ in
„axissymmetric“ ändern. Dazu definieren wir wieder 2 neue Properties, wir haben
immer noch die 2 unterschiedlichen Materialen.
Property 4 ergibt sich dann mit { Model > Property > ID > 4 > Title =
Hosenrohr Alu > Material > DurAluminium > Element Type >>
axissymmetric > ok } und Property 5 entsprechend mit { Title = Anschlagbolzen
Stahl > Material > Stahl }.
Die Layer-Technik hilft uns wieder zum einfacheren Identifizieren der
Elemente, dazu schalten wir das „Hosenblech“, das jetzt ein Rohr ist, auf sichtbar.
Mit { Modify > Update Elements > Type > alle Elemente des Hosenblechs
mit der Box fangen (Warnung: nicht Select All verwenden, das würde alle
Elemente einschl. Anschlagblech bedeuten!) > ok > Select Property > Hosenrohr
Alu > ok }.
Jetzt schalten wir nur das Anschlagblech sichtbar und ordnen in gleicher Weise
allen zugehörenden Elementen die Property Anschlagbolzen Stahl zu.
Durch diese Typ-Änderung werden bei der FEM-Berechnung jetzt Elemente
mit rotationssymmetrischem Spannungsansatz verwendet. Wird ein solches
Element in radialer Richtung (y) verschoben, entstehen Umfangsspannungen, wie
bei einem Rotationskörper. Trotzdem haben wir immer noch die gleiche Anzahl
Flächenelemente
und
Knoten,
wie
beim
Membranmodell.
Das
rotationssymmetrische Flächenelement ist somit ein sehr kostensparender Trick,
denn selbst ein 90°-Raumelement mit 2 Symmetrieebenen hätte mit der Aufteilung
nach Bild 4.58 noch 4 000 Knoten!
Kommen wir zu den Randbedingungen. Da wir weiterhin mit Kontakt und
Reibung rechnen wollen - jetzt ergänzt durch die Schrumpfbedingung - lassen wir
unsere Kontaktrandbedingungen unberührt. Auch die Bedingung, vx = 0 am
Knoten 73 können wir als Constraint Set 2 = Hosenblech vx übernehmen. Was ist
aber mit der Festhaltung aller Knoten in x- und y-Richtung unten auf der
Drehachse bei y=0 ?. Bei einem rotationssymmetrischen Modell muss auch unter
Belastung die Drehachse = x-Achse unverrückbar und gerade bleiben. Die ist bei
diesem Elementtyp als feste Randbedingung bereits im Ansatz berücksichtigt. Es
schadet
aber nichts, grundsätzlich alle Knoten auf der x-Achse in radialer
4.7 Beispiel der linearen Statik mit rot.symm. Elementen (ingort)
135
Richtung festzuhalten (vy = 0). Die Bedingung mit vx = 0 aber müssen wir
löschen.
Bild 4.59: Projekt ingort; Randbedingungen auf der Rotationsachse = x-Achse
Grundsätzlich sollte man bei einem rotationssymmetrischen Modell jedes
Bauteil in axialer Richtung fixieren. Unser Rohr haben wir am Knoten 73
festgehalten, unser Bolzen ist durch die konischen Kontaktflächen ebenfalls in xRichtung festgehalten.
Die Preprozessor-Funktion { Modify > Edit > Constraints > } ist gedacht um
einzelne Knoten zu ändern, in unserem Fall wäre das sehr mühsam. Wir löschen
daher unseren Constraint-Set 1: „Anschlagblech unten XY“ mit { Delete > Model
> Constraint Set } und definieren die Randbedingungen neu mit { Model >
Constraint Set > ID > 1 > Title = Drehachse Bolzen > ok } und mit { Model >
Constraint > Nodal > alle Knoten auf der x-Achse mit Box fangen > TY > ok >
ok }.
Damit ergeben sich die Randbedingungen für den Bolzen gemäß Bild 4.59.
Was ist mit dem Schrumpfmaß? Das Schrumpfmaß setzt die Definition von
Kontakt-Randbedingungen voraus und wird als Option im FEM-Programm
gesetzt.
Wir müssen nur noch unsere Belastung am oberen Rand prüfen. Diese ist durch
den geänderten Elementtyp zur ringförmigen Druckbelastung geworden. Wir
erinnern uns daran, dass wir im Membranmodell diese als Linienlast (N/mm)
definiert haben. Bei rotationssymmetrischen Elementen muss der Lastwert Druck
sein, wie
bei Raumelementen. Wollen wir die gleiche Belastung übernehmen, so müssen
wir unsere Lastwerte durch die Membrandicke 25 mm teilen. Unsere Druckwerte
ergeben sich dann links zu 25/25 = 1,0 N/mm2 und rechts zu 150/25 = 6.0 N/mm2.
Wir ändern unsere Belastung mit { Modify > Edit > Load >> Forces
/Moments >> Select Nodes > klick 4x jeweils Start- und Endknoten unserer
Randlasten links und rechts (siehe Bild 4.60 und 4.61) , wie im Membranmodell
definiert > Force > FX = -1.0 bzw. -6.0 > ok }. In Fx wird die Druckbelastung für
die jeweils zu klickenden Knoten nacheinander mit dem entsprechenden Wert von
136
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
-1.0 bzw. -6.0 eingetragen. Dabei öffnet sich die Maske nach jeder mit okay
quittierten Eingabe für den nächsten Knoten neu.
Bild 4.60: Ändern der Drücke durch Editieren der Last
Bild 4.61: Knoten picken zum Ändern der Druckwerte
Erinnern wir uns an die Vorzeichendefinition! (Bild 4.62) Bei Druckbelastung
über Randbelastung mit 3 Knoten wirkt der Druck auf die linke Seite in
Randrichtung (vom Start- zum Endknoten) gesehen. Die Struktur ist bei uns aber
rechts davon. Unser Vorzeichen für den Druckwert ist negativ, wie eingetragen
4.7 Beispiel der linearen Statik mit rot.symm. Elementen (ingort)
137
(Bild 4.62 unten). Wir könnten auch die Randrichtung umdrehen, dann müssten
wir den Druckwert positiv eintagen (Bild 4.62 oben).
Unser rotationssymmetrisches Modell ist damit fertig und wir speichern es mit
{ Export > Arbeitsverzeichnis > ingort.fmp > ok } ab. Wir starten das FEMProgramm mit dem Projekt ingort.fmp und setzen dazu folgende Optionen:
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Druck+
linksorientiert
Letzter Knoten
Richtungsknoten (2.)
Unterdruck-
Erster Knoten
138
rechtsorientiert
Letzter Knoten
Erster Knoten
Richtungsknoten (2.)
Bild 4.62: Vorzeichen des Drucks bei Randbelastung über 3 Knoten
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen > 2 > setzen
> 1. Gleitreibwinkel > 0.25 > setzen
> 1. Haftreibwinkel > 0.30 > setzen
> Schrumpfmaß
> -0.1 > setzen (negativ!)
4.7 Beispiel der linearen Statik mit rot.symm. Elementen (ingort)
139
Bild 4.63: Projekt ingort; Ausgabefenster des Rechenlaufs
Wir beachten dabei das negative Vorzeichen für das Schrumpfmaß, ein
positives Vorzeichen entspräche der Definition eines entsprechenden Spalts, eines
Freiwegs!
Wir wählen den Analysetyp > „Lineare Statik mit Kontakt“ und starten. Die
Berücksichtigung eines Übermaßes = Schrumpfmaß ist bei Vorhandensein von
Kontaktrandbedingungen sehr einfach. Das Übermaß muss lediglich als
zusätzliche Option gesetzt werden.
Betrachten wir die Ergebnisse.
Im Ausgabefenster Bild 4.63 stellen wir fest, dass die Kontaktiteration mit
Reibung und Schrumpfmaß nach den standardmäßig möglichen 11 Iterationen
nicht konvergiert. Ein Blick ins prt-File zeigt, dass dort mehrere Knotenpaare
ständig zwischen Haft- und Gleitreibung wechseln und damit nicht eindeutig sind.
Da bei weiteren Iterationen sich hier nichts mehr ändern wird, nehmen wir das so
hin. Am Ende haben wir 19 Knotenpaare mit Haftreibung und 3 Knotenpaare mit
Gleitreibung.
Die Stützkraftverteilung in Bild 4.64 zeigt, dass durch das Schrumpfmaß
überall Kontakt vorhanden ist, wie sicher vom Konstrukteur gewünscht. Die max.
Verformung liegt mit 0.0927 mm in der erwarteten Größenordnung des
Schrumpfmaßes von 0.1 mm.
Dadurch bedingt, steigen die Spannungen nun auf ca. 64 N/mm2. Bild 4.65
zeigt uns, dass dieses Maximum im dickwandigen Alu-Rohr liegt und damit noch
zulässig ist. Mit einem Blick ins Protokollfile ingort-s.prt erkennen wir, dass es
140
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
keine Probleme mit unserem Modell gibt, da der gewichtete max. Fehler im
Lastfall Kontakt ca. 12% beträgt und damit unkritisch ist.
Mit { View > Options >> PostProcessing > Animated Style > Shape > 7.
Sine Half Abs (Animation läuft von Null bis zum pos. Maximum = Half (Full
wäre von minus nach plus Maximum), der zeitliche Verlauf entspricht einer
Sinuswelle) > Frames = 20 (Bilder) > Delay = 100 (Verzögerungsfaktor 0 =
ohne;
Bild 4.64: Projekt ingort; Stützkraftverteilung in der Kontaktzone bei Schrumpfmaß mit
Reibung (linkes und rechtes Knotenpaar haben Gleitreibung)
4.7 Beispiel der linearen Statik mit rot.symm. Elementen (ingort)
141
Spalt 0.1
Bild 4.65: Projekt ingort; Ausschnitt: Verformung und Spannungsverteilung bei Schrumpfmaß mit Reibung
> 0 > mehr) > ok } bereiten wir die Animation vor.
Jetzt können wir mit { View > Select > Deformed Style > Animate > Contour
Style > Contour > Deformed and Contour Data >> Outputset > Lastfall Kontakt > Deformation = 1. Gesamtverschiebungen > Contour > 21. Sigma Vergl.
max. > ok > ok } die Animation starten. Wir sehen, wie zunächst die 20 Bilder
aufgebaut werden, dann läuft die Animation (zu langsam oder zu schnell
bestimmen wir mit Delay s.o.).
Wir sehen die Spannungen und wie unser Spalt und die Last oben langsam
aufgebracht werden. Sehr eindrucksvoll und lehrreich! Wir sehen sogar, wie sich
beiBild 4.66: Projekt ingort; Verformungen und Spannungsverteilung bei Schrumpfmaß mit
Reibung
142
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
de Bauteile ausbauchen. Noch realistischer wird alles, wenn wir dafür sorgen, dass
auch mit den Verformungen die Spannungen anwachsen. Dies erreichen wir mit {
View > Options >> PostProcessing > Contour/Criteria Levels > Animate = an
> ok }.
Wie schon gesagt, die Verformung ist in der Animation sehr stark überhöht
dargestellt. Wenn wir die reale Verformung sehen wollen, müssen wir den
Verformungsfaktor auf Null setzen. Das geht so: { View > Options >> Postprocessing > Deformed Style > % of Model (Actual) > on > Scale % > 0.1 (da wir
unsere max. Verformung von 0,09 mm mit bloßem Auge nicht sehen, macht die
Eintragung von 0. keinen Sinn).
Wir erkennen, dass der automatisch eingestellte Verformungsfaktor (5%) sehr
sinnvoll ist, gleichzeitig wundern wir uns auch nicht mehr über den sichtbaren
Spalt.
Ein Blick auf die Spannungsverteilung in Bild 4.65 und 4.66 zeigt den geringen
Einfluss unserer äußeren Druckbelastung auf das Alu-Rohr, denn die Spannungen
sind nahezu symmetrisch. Es zeigt uns jedoch das Spannungsmaximum am linken
Rand der rechten Kontaktfläche. Wenn wir mal davon ausgehen, dass unser
Aluminiummaterial eine Fließgrenze von 50 N/mm2 hat, so liefert uns die
durchgeführte Berechnung als lineare Statik mit ca. 64 N/mm2 eine falsche, weil
zu hohe max. Spannung. Um die richtigen Werte zu erhalten, müssen wir die
Berechnung als nichtlineare Statik mit Fließen wiederholen. Dies werden wir im
nächsten Beispiel machen.
Mit den Beispielen ingor, ingor1, ingos, ingom, ingomk und ingort, die sich
als fmp-Files alle auf der beiliegenden CD unter \Springer\Kapitel4\ingo\
befinden, haben wir nun einen guten Einblick in die wesentlichen
Anwendungsmöglichkeiten der linearen Statik erhalten.
Erst wenn alle diese Beispiele so abgelaufen sind wie beschrieben, sollte man
sich den nächsten Abschnitten zuwenden.
4.8
Beispiel aus der nichtlinearen Statik mit rot.symm. Elementen
mit Fließgesetz und großen Verformungen (ingorn)
Bei dem rotationssymmetrischen Modell ingort aus Abschn. 4.7 haben wir
erkannt, dass bei einer angenommenen Fließgrenze unseres Aluminiummaterials
von 50 N/mm2 die max. Spannungen durch das hohe Schrumpfmaß auf über
60 N/mm2 ansteigen und somit falsch sind. Wir wollen daher nun die Berechnung
statt als „lineare Statik“ als „nichtlineare Statik“ wiederholen. Dazu müssen
wir an unserem Eingabemodell folgende Änderungen durchführen:
1.
2.
3.
4.
Das lineare Material durch nichtlineares Material mit Fließen ersetzen.
Die Belastung durch die Anzahl der gewünschten Lastschritte dividieren.
Das Schrumpfmaß durch die gewünschte Anzahl von Lastschritten dividieren.
Setzen der Optionen für nichtlineare Berechnung
4.8 Beispiel der nichtlinearen Statik, rot.symm. Elemente mit Fließgesetz
143
Zuvor jedoch noch einige wichtige Überlegungen zur nichtlinearen StatikBerechnung.
Eine nichtlineare Berechnung besteht aus einer Aneinanderreihung von
Berechnungsschritten der linearen Statik, sog. Lastschritte (s. Abschn. 2.2, den
man an dieser Stelle noch einmal lesen sollte!). Für jeden Lastschritt müssen dabei
die Regeln der linearen Statik beachtet werden. Grundsätzlich wird bei einer
nichtlinearen Statikberechnung die Belastung schrittweise aufgebracht.
Dabei ist darauf zu achten, dass für jeden Lastschritt die max. Verdrehung
nicht > 0.1 rad wird. Für eine Schwenkbewegung von z.B. 90° benötigt man mind.
30 Lastschritte, wenn man von 3° (0.05 rad) pro Lastschritt ausgeht.
Wir erinnern uns!
In einem linearen Schritt müssen die Verformungen und damit die
Verdrehungen klein sein, wobei 0.1 rad = 5,73° schon zu groß ist!
In unserem Fall sind die Verformungen pro Lastschritt klein. Sie werden
geprägt durch das Schrumpfmaß. Wir wählen daher 5 Iterationsschritte =
Lastschritte. Zur Belastung gehört in unserem Beispiel auch das Schrumpfmaß.
Wir müssen alle Lastwerte und das Schrumpfmaß durch die Anzahl Lastschritte
= 5 dividieren!
In jedem Lastschritt werden bei nichtlinearem Material die Materialwerte an
die Vorgabe iterativ angepasst. Dazu muss die max. Anzahl der Schritte festgelegt
werden (in unserem Fall die max. Anzahl Verzerrungsschritte beim Fließen, wir
wählen 3 Verzerrungsschritte). Gleichzeitig wird das Gleichgewicht der Kräfte
für das verformte Modell geprüft, denn die Gleichgewichtsbedingungen in dem
jeweiligen linearen Gleichungssystem können nur für den unverformten Zustand i
formuliert werden, während die jeweilige Lösung für den Zustand i + Δi gilt. Dies
geschieht in unserem FEM-Programm über die Euklid'sche Norm der
Verschiebungsänderung in Verbindung mit einer Toleranzschranke (wir wählen
1%). Mit dieser Schranke und der max. Anzahl Verzerrungsschritte für die
Materialkurve kann gesteuert werden, somit die Genauigkeit der Berechnung.
Zusätzlich wird i.d.R. die max. Anzahl von Iterationen begrenzt (wir wählen 10
Iterationen).
Anmerkung:
In unserem FEM-Programm muss der Iterationsverlauf durch feste Lastschritte
(die unterschiedlich sein können) vom Anwender vorgegeben werden. Eine
Schrittanpassung, wie sie in speziell für nichtlineare Probleme entwickelte FEMProgrammen vorhanden ist, wie das bereits erwähnte ABAQUS, steht als
automatische Lastschrittsteuerung nicht zur Verfügung. Diese würde Rechenzeit
sparen und für noch bessere Ergebnisse sorgen.
In der Regel werden in einem FEM-Programm mehrere Iterationsmethoden
angeboten, die auszuwählen sind. In unserem FEM-Programm stehen nur die
beiden Standardmethoden (Full Newton Raphson = FNR und Modified Newton
Raphson = MNR) zur Auswahl in Verbindung mit der Methode der geometrischen
Steifigkeitsmatrix.
Anmerkung:
In TP2000 wird neben der modernen Methode mit geometrischer
Steifigkeitsmatrix, die den jeweiligen Spannungszustand des Modells für den
144
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Lastschritt i repräsentiert noch ein altes, ingenieurmäßiges Verfahren angeboten,
welches zwar sehr robust ist, jedoch nicht allen Problemen gerecht wird.
Da für nichtlineares Material die MNR-Methode zwingend vorgeschrieben ist,
wählen wir diese in Verbindung mit der geometrischen Steifigkeitsmatrix.
Alle diese Bedingungen wählen wir in den Optionen beim Start des FEMProgramms. Als erstes wollen wir jedoch im Preprozessor unser Eingabemodell
abändern. Wir starten den Preprozessor und laden unser bewährtes
rotationssymmetrisches Modell ingort.fmp und führen die bereits erwähnten
Arbeitsschritte 1 und 2 aus.
1. Das lineare Material durch nichtlineares Material mit Fließen ersetzen:
Dazu bietet unser FEM-Programm 2 Fließgesetze an, nach von Mises und nach
Drucker-Prager. Wir wollen das im Maschinenbau übliche Gesetz nach von
Mises wählen. Drucker-Prager wird meist für Probleme aus dem Bauwesen
verwendet.
Beim Gesetz nach von Mises ist entweder nur die Fließspannung
anzugeben (die Verfestigung ist dann isotrop) oder ergänzt durch eine
kinematische Verfestigung mit zugehörender plastischer Vergleichsdehnung
und der 2. Fließspannung für Verfestigung (Abschn. 2.2.2).
{ Modify > Edit > Material >> ID = 1 auswählen (wir wollen nur das
Materialgesetz für Dur Aluminium ändern, die Werte für lineares Material
bleiben unverändert) > Nonlinear >> Nonlinear Type > Plastic = an >
Nonlinear Properties > Hardening Rule > 0.Isotrop (auf die mögliche
kinematische Verfestigung wollen wir verzichten) > Yield Criterion (FließKriterium) = 0. von Mises > Initial Yield Stress (Fließspannung) = 50
(N/mm2) > ok }.
2. Die Belastung durch die Anzahl der gewünschten Lastschritte dividieren:
Wir haben uns schon für 5 Lastschritte mit konstanten Werten entschieden bei unterschiedlichen Lastschritten müssen wir diese wie Lastfälle definieren,
die Lastfallnummer entspricht dabei der Lastschrittnummer. Das
Schrumpfmaß kann jedoch nur in konstanten Schritten aufgebracht werden.
Wir haben unser Modell mit Load Set 1 nur am oberen Umfang mit 2
unterschiedlichen Drucklasten belastet. Diese ändern wir wie folgt. { Modify >
Edit > Load >> Forces/Moments auswählen für alle Knoten > ok > Select
All > ok > es werden die beiden linken Knoten mit dem Lastwert FX = -1
angeboten. Da FEMAP auch Rechenoperationen versteht, hängen wir an
diesen Zahlenwert lediglich /5 (geteilt durch 5 an. Wichtig: keine Leerspalte
dazwischen!). Dann folgt der Knoten mit den Knotennummern unter Moments,
den lassen wir unverändert. Den Lastwert Fx = -6 für die dann angebotenen
beiden rechten Knoten teilen wir ebenfalls durch Anhängen von /5 durch 5.
Den Knoten mit den Knotennummern unter Moments lassen wir wieder
unverändert. Wir bestätigen jeweils alles mit ok }.
Unser rotationssymmetrisches Modell mit nichtlinearem Material ist damit
fertig und wir speichern es mit { Export > Arbeitsverzeichnis > ingorn.fmp > ok }
ab. Zuvor ändern wir jedoch die erste Zeile in der Projektbeschreibung in { File >
4.8 Beispiel der nichtlinearen Statik, rot.symm. Elemente mit Fließgesetz
145
Notes > dickw. Rohr mit Bolzen (rot.sym.), nichtlin. > ok }. Wir starten das FEMProgramm mit dem Projekt ingorn.fmp und setzen dazu folgende Optionen:
Für Kontakt mit Reibung und Schrumpfmaß
> Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen
>2
> setzen
> 1. Gleitreibwinkel
> 0.25 > setzen
> 1. Haftreibwinkel
> 0.30 > setzen
> Schrumpfmaß (negativ) >-0.02 > setzen
Für nichtlineare Berechnung mit Fließmaterial
> Optionen > nichtlin. Statik > max. Anzahl Iterationen = Lastschritte
>5
> setzen
> Iterationsmethode
> MNR > setzen
= Modified Newton Raphson
> mit geom. Steifigkeitsmatrix > 1 > setzen
> Anzahl Iterationen pro Lastschritt
> 10
> setzen
> Toleranzschranke Euklid'sche Norm in %
>1
> setzen
> Anzahl Verzerrungsschritte beim Fließen
>3
> setzen
Wir wählen den Analysetyp > „nichtlineare Statik mit Kontakt“.
Unser FEM-Programm wird somit das rotationssymmetrische Rechenmodell mit
Kontakt mit Reibung und Fließmaterial berechnen. Im Ausgabefenster sehen wir
sofort an den laufenden Balken, dass das Gleichungssystem 5 mal (entsprechend
unseren 5 Lastschritten) gelöst wird, mit entsprechend vielen Kontaktiterationen
gefolgt von den Iterationen zur Materialanpassung. Nach wenigen Sekunden ist
trotzdem alles erledigt.
Wir stellen fest, dass sich die max. Verformung geringfügig von 0.092748 auf
0.091 reduziert hat und die max. Spannung mit ca. 48 N/mm2 unter der
Fließgrenze von 50 N/mm2 liegt. In der grafischen Auswertung werden wir gleich
erkennen, dass tatsächlich die max. Spannung ca. 49 N/mm2 beträgt. Die max.
Spannung in der linearen Berechnung war mit ca. 70 N/mm2 deutlich zu hoch.
Wir haben mit relativ wenig Aufwand ein realitätsgetreues Ergebnis erhalten.
Bevor wir uns die Ergebnisse im Postprozessor anschauen, werfen wir jedoch
noch einen Blick ins Protokollfile ingorn-s.prt. Im Ausgabefenster bekamen wir
eine Warnung zum Modellfehler. Betrachten wir zuerst den Iterationsverlauf. Das
Ende eines Lastschritts erkennen wir an der Meldung: „ENDE LASTSCHRITT i“
Lastschritt 1
Kontaktiterationen 11
14 Knotenpaare mit Haftreibung, 8 mit Gleitreibung
2 MNR-Iterationen, Euklid'sche Norm der Verschiebungsänderung 0.95% < 1%
Ende Lastschritt 1
Lastschritt 2
Kontaktiterationen 8
21 Knotenpaare mit Haftreibung, 1 mit Gleitreibung
3 MNR-Iterationen, Euklid'sche Norm der Verschiebungsänderung 0.38% < 1%
146
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Ende Lastschritt 2
Lastschritt 3
Kontaktiterationen 6
21 Knotenpaare mit Haftreibung, 1 mit Gleitreibung
2 MNR-Iterationen, Euklid'sche Norm der Verschiebungsänderung 0.97% < 1%
Ende Lastschritt 3
Lastschritt 4
Kontaktiterationen 6
21 Knotenpaare mit Haftreibung, 1 mit Gleitreibung
3 MNR-Iterationen, Euklid'sche Norm der Verschiebungsänderung 0.38% < 1%
Ende Lastschritt 4
Lastschritt 5
Kontaktiterationen 6
21 Knotenpaare mit Haftreibung, 1 mit Gleitreibung
3 MNR-Iterationen, Euklid'sche Norm der Verschiebungsänderung 0.33% < 1%
Ende Lastschritt 5
5 LASTSCHRITTE AUFGEBRACHT
Für die Lösung dieses Problems waren insgesamt 37 Kontaktiterationen und
13 Gleichgewichtsiterationen erforderlich. Die Toleranzschranke von 1% wurde
jeweils nach 2 oder 3 MNR-Iterationen erreicht. Am Ende haben wir 21
Knotenpaare mit Haftreibung und 1 mit Gleitreibung (die beiden äußeren
Knotenpaare).
Wir erinnern uns!
Unser FEM-Programm kann Kontaktiteration mit Reibung nur an
Knotenpaaren mit identischen Koordinaten realisieren. Bei einer nichtlinearen
Berechnung mit großen Verformungen bewegen sich die Knotenpaare
auseinander. Damit ist streng genommen eine Kontaktberechnung mit Reibung
nicht möglich! Unser Ergebnis sieht jedoch sehr plausibel aus. Warum? Durch die
Reibung in der Kontaktzone mit überwiegender Haftreibung an allen
Knotenpaaren können sich diese gar nicht entfernen.
Wir merken uns!
Kontakt mit Reibung ist auch bei nichtlinearer Berechnung mit großen
Verformungen möglich, wenn wir vorwiegend Haftreibung haben!
Weiter im Protokollfile: Bei der nichtlinearen Statik erhalten wir in der
„TEXTAUSGABE“ mehrere Ergebnisse, obwohl wir am Ende der Iteration nur
die Lösung für einen Lastfall erwarten.
Als erstes erhalten wir unter „LINIENLAST OBEN“ diese Lösung am Ende
des 5. Lastschritts. Die Verformungen dazu sind überraschend klein. Kein
Wunder, es sind keine realen Verformungen, sondern die Verformungsänderung
aus der letzten MNR-Iteration, die nur noch eine Änderung von 0.33%, nahezu
Null ergab. Warum wird diese Lösung ausgegeben? Sie liefert uns die
tatsächlichen Kräfte, Spannungen und Formänderungsarbeiten am Ende der
Iteration, das gesuchte Ergebnis.
4.8 Beispiel der nichtlinearen Statik, rot.symm. Elemente mit Fließgesetz
147
Wo wir die Gesamtverformung finden, werden wir gleich sehen. Die Differenz
der Gleichgewichtsprobe ist zwar nicht Null aber < 0,1 % der Summe der FXKräfte und damit problemlos. Die max. Spannung = Vergleichsspannung = ca.
Bild 4.67: Projekt ingorn; Verformungen bei Schrumpfmaß mit Reibung und Fließen
48 N/mm2 kennen wir schon aus dem Ausgabefenster. Die Modellbeurteilung
zeigt 2 Fehler an, die jedoch unproblematisch sind, weil der gewichtete Fehler ca.
16% beträgt.
Die Ausgabe der Verformungen nach jedem Lastschritt ist sinnvoll, weil diese
im Postprozessor in der Animation verwendet werden, um bei unterschiedlichen
Lastschritten den realistischen Bewegungsablauf zu zeigen. In unserem Fall ist nur
der letzte Lastschritt interessant. Wir sehen die Gesamtverformung in Bild 4.67.
Unter „1. LASTSCHRITT ..... VARIANTE 0/ 2“ finden wir dann die
Verformungen nach dem ersten Lastschritt, unter „2. LASTSCHRITT .....
VARIANTE 0/ 3“ die Verformungen nach dem 2. Lastschritt usw. Am Ende
erhalten wir dann die gesuchte Gesamtverformung unter „5. LASTSCHRITT .....
VARIANTE 0/ 6“, dort finden wir auch den schon vom Ausgabefenster her
bekannten max. Verformungswert von 0,091 mm am Knoten 1 in y-Richtung.
Deutlich ist die Wirkung der Haftreibung sichtbar - keine Querverschiebung!
Wir erkennen auch die örtliche Verformung am oberen Umfang durch die
Druckbelastung, insgesamt ist kein Unterschied gegenüber Bild 4.65 der linearen
Berechnung erkennbar. Wie sieht es nun mit dem Kraftverlauf in der Kontaktfuge
aus? In Bild 4.68 erkennen wir bedingt durch das Fließen des Materials in der
Kontaktfuge eine gleichmäßigere Druckverteilung.
148
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Die Spannungsverteilung in Bild 4.69 zeigt deutlich eine schmale Zone
konstanter Fließspannung von ca. 50 N/mm2 in den jeweils inneren 2 Elementen
links und rechts in der Kontaktfuge. Dies wird in Bild 4.70 durch die
Ausschnittsdar-
Bild 4.68: Projekt ingorn; Stützkraftverteilung bei Schrumpfmaß mit Reibung und Fließen
stellung noch deutlicher.
Da wir mit diesem Beispiel alle denkbaren Vorgänge der Realität
berücksichtigt haben, liegt uns nun das tatsächliche Ergebnis vor.
Wir merken uns!
Die lineare Berechnung reicht in vielen Fällen zur Beurteilung der Situation
aus. Ein genaues Ergebnis liefert bei Überschreiten der Streckgrenze des Material
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
149
Bild 4.69: Projekt ingorn; Spannungsverteilung bei Schrumpfmaß mit Reibung und Fließen
Bild 4.70: Projekt ingorn; Fließspannungen in der Kontaktfuge
aber nur die nichtlineare Berechnung.
Wer Probleme hatte, unser Eingabemodell ingorn.fmp findet sich auf
beiliegender CD unter \Springer\Kapitel4\ingo\.
150
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
4.9
Beispiel aus der nichtlinearen Statik mit rot.symm. Elementen,
Gummimaterial und Kontakt gegen starren Rand (ingorg)
Nun wollen wir i0m vorausgegangene Beispiel ingorn das Material Aluminium in
Gummi ändern. Damit wird unser Hosenrohr zur Gummidichtung. Um ein etwas
spektakuläreres Ergebnis zu erzielen, wollen wir auf die Reibung verzichten.
Dadurch erhalten wir zwar die gewünschte große Querbewegung in der
Kontaktfuge, aber eine nichtlineare Kontaktberechnung ist nicht mehr möglich,
weil sich die Knotenpaare auseinander bewegen.
Mit einem kleinen Trick können wir diese Aufgabe trotzdem lösen. Da Gummi
im Verhältnis zu Stahl viel weicher ist, erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn
wir unser Anschlagblech/Bolzen aus Stahl als starr definieren. Unser FEMProgramm ist nämlich in der Lage, das Kontaktproblem zwischen einer beliebigen
Knotenkette mit einer beliebigen Randkontur zu lösen. Das wollen wir
ausprobieren! Dazu müssen wir lediglich die nicht zu durchdringende Randkontur
und die Knotenkette definieren.
Wir wollen die Verschiebungen aller Knoten unseres Hosenrohrs im
bogenförmigen Hohlraum festhalten, um damit eine feste Verbindung zwischen
dem Gummi und dem starren Bolzen simulieren, wie dies bei den wichtigen
Gummi-Metall-Elementen (z.B. Gummilager im Auto) realisiert ist. Der Bolzen
hat dadurch eine andere Form als bisher. Damit haben wir gewollt einen Bereich
kritischer Spannungen mit hohen Gardienten erzeugt. Da unser Modell nach dem
Löschen des Anschlagblechs nur noch 147 Knoten hat, können wir es uns leisten,
diesen Bereich zu verfeinern. Das geht mit dem Preprozessor sehr einfach und
muss auch einmal erprobt werden.
An unserem Eingabemodell ingorn.fmp müssen wir folgende Änderungen
durchführen:
1. Das Fließmaterial durch Gummimaterial ersetzen.
2. Das Anschlagblech (das jetzt ein Bolzen ist) entfernen und dafür die gleiche
Kontur als starren Rand definieren.
3. Das Netz im Bereich um die Bogenkontur verfeinern.
4. Die Kontaktrandbedingungen durch Löschen der 4 Kontakt-Knotengruppen
entfernen und dafür sog. Dummy-Randbedingungen zur Festlegung der
Knotenkette einführen. Zusätzlich wollen wir alle Knoten der Bogenkontur
festhalten.
5. Die Optionen für die Gummiberechnung setzen.
Zuvor jedoch noch einige wichtige Überlegungen zur nichtlinearen
Statikberechnung mit Gummimaterial
Wie im Abschn. 2.2.2 erläutert, gehört Gummi als hyperelastisches Material zu
den möglichen Materialgesetzen in der nichtlinearen Statik eines FEMProgramms. Es wird, wie auch in unserem FEM-Programm, mit dem Gesetz von
Mooney-Rivlin angenähert. Dazu müssen die Mooney-Konstanten C1 und C2
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
151
bekannt sein. Diese werden durch Messungen festgestellt.
Die Besonderheit von Gummimaterial ist seine Inkompressibilität und die
Querdehnzahl ν = 0.5, welche durch 0.495 ausreichend genau angenähert wird
(0.5 ist in einem FEM-Programm nicht zulässig!). Durch beides bedingt, entstehen
bei Druckbelastung deutlich sichtbare Ausbauchungen. Dadurch und durch die
hohe Elastizität des Gummis erhalten wir relativ große Verformungen verbunden
mit bereichsweise großen Verzerrungen der Elemente. Dies bedingt eine feinere
Aufteilung des Modells, wie wir es auch vorhaben.
Trotzdem kann es bei großen Verformungen generell vorkommen, dass
Elemente so verzerrt werden, dass eine Weiterrechnung nicht möglich ist. Um dies
zu verhindern, wird in manchen nichtlinearen FEM-Programmen das Netz
während der Lastschritte bereichsweise verfeinert. Durch diese sog. adaptive
Vernetzung erhält man in jedem Fall ein brauchbares Ergebnis. In unserem FEMProgramm wird diese Erweiterung leider erst Anfang 2002 zur Verfügung stehen.
Wie bei der nichtlinearen Berechnung üblich, sollte auch bei Gummi die
Gesamtlast wieder in mehreren Lastschritten aufgebracht werden. Wie beim
Beispiel zuvor wählen wir daher wieder 5 Lastschritte. Als Iterationsmethode ist
in unserem FEM-Programm Full Newton Raphson zwingend vorgeschrieben.
Wenn wir unsere Druckbelastung der oberen Randkontur unverändert lassen,
erhalten wir so eine max. Spannung, die den zulässigen Wert knapp überschreitet.
Gummi hat bekanntlich eine max. zulässige Druckspannung von ca. 30-50
N/mm2..
Bisher sind wir mit der gewählten Vergleichsspannungshypothese als
Gestaltänderungsenergie-Hypothese nach von Mises gut gefahren. Bei Gummi
bekommen wir aber ein Problem, denn durch die große Volumenänderung
bekommen wir bereichsweise Hauptspannungen mit gleichen Vorzeichen, dafür
funktioniert diese Hypothese nicht. Wir müssen an solchen Knoten auf die
Normalspannungs-Hypothese umschalten. Dies macht unser FEM-Progarmm
automatisch, wenn wir die Vergleichsspannungsoption von 3 in -3 ändern.
Wir beginnen nun mit den Modelländerungen. Dazu starten wir wieder den
Preprozessor und laden unser altes Modell ingorn.fmp. Dann führen wir die
Schritte 1-3 durch. Mit { Modify > Edit > Material >> ID = 1 > ok > Nonlinear
>> Nonlinearity Type > None = an > ok > Type >> Hyperelastic = an > ok >>
Title = M.R.Gummi-N-mm-C > A(ij): A(0,1) = 45. > A(0,2) = 2. > ok } haben
wir Schritt 1 und damit das Fließmaterial in Gummimaterial nach Moony-Rivlin
geändert. Unser Material Stahl mit der ID = 2 lassen wir wie es ist. Wir
verwenden es zwar nicht, aber es stört auch nicht.
Wir erinnern uns!
Bei der Definition von Gummimaterial im Preprozessor wird automatisch auch
der Anfangs-E-Modul mit E = 6 (C1 + C2) für ν = 0.5 und die Querdehnzahl mit ν
= 0.495 gesetzt!
Nun wollen wir alles löschen, was wir nicht mehr benötigen. Als erstes
löschen wir die 4 Gruppen und alle Randbedingungen mit { Delete > Group >>
Select All > ok > ja } und { Delete > Model > Constraint Set > Select All > ok >
ja } und auch gleich das Anschlagblech.
152
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Mit { View > Layers >> Show Visible Layers Only > Visible Layers =
Anschlagblech > ok } schalten wir das Anschlagblech auf sichtbar und löschen es
mit
{ Delete > Model > Element >> alle sichtbaren Elemente des Anschlagblechs mit
der Box fangen > ok > ja } und { Delete > Model > Node >> Select All > ok > ja
} löschen wir die Knoten.
Wir müssten jetzt ca. 147 Knoten und 126 Elemente haben. Da wir gerade beim
Löschen sind, löschen wir auch alle Linien mit { Delete > Geometry > Curve >>
Select All > ok > ja }, um nachher nur die starre Randkontur zu sehen. Damit wir
alle Linien löschen können, die zu unserer zu vernetzenden Surface gehören,
müssen wir jedoch zuvor auch alle Surfaces löschen mit { Delete > Geometry >
Sur face >> Select All > ok > ja }.
Bild 4.71: Projekt ingorg; ausgewählte Elemente und Knoten zur Netzverfeinerung
Bild 4.72: Projekt ingorg; Auswahl im Generate-Fenster zur Netzverfeinerung
Nun können wir mit der Netzverfeinerung nach Schritt 3 beginnen. Dazu
verwenden wir in 2 Schritten folgende Befehlsfolge: { Mesh > Remesh >> Refine
>> Select Elements > alle Elemente wie in Bild 4.71 markieren >> Refinement
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
153
Options > übernehmen (voreingestellt müsste sein: Refine = an ; Refinement
Ratio = 2 (verdoppeln) ; Delete Original Nodes and Elements = ja) > ok >>
Select Boundary Nodes > alle Knoten wie in Bild 4.71 markieren > ok >
Generate Boundary Mesh > Einstellungen wie in Bild 4.72 übernehmen (unsere
Property heißt immer noch rot.sym. Alu, das soll uns nicht stören) > ok }. Jetzt
müsste unser Netz so ähnlich wie in Bild 4.73 aussehen und ca. 197 Knoten und
170 Elemente haben. Wenn das Ergebnis unsymmetrisch oder anders ist, haben
wir sicher nicht exakt die Elemente und Knoten nach Bild 4.71 markiert und
wiederholen alles.
Mit dem Ergebnis der Netzverfeinerung sind wir nicht ganz zufrieden, uns
stören die vielen Dreiecke und das ungünstige Seitenverhältnis der Elemente (kein
Bild 4.73: Projekt ingorg; verfeinerter Netzbereich nach der Remesh-Aktion
Bild 4.74: Projekt ingorg; markierte Elemente des mit Remesh zu verbessernden Bereichs
Wunder, denn im Auswahlfenster gemäß Bild 4.72 hatten wir unter Aspect Ratio
2:1 zugelassen). Wir wollen daher die schlechten Bereiche erneut verbessern mit
{ Mesh > Remesh > Refine >> die Elemente wie in Bild 4.74 auswählen > ok >
Refinement and Remeshing Options > Remesh (anders als zuvor wollen wir
nicht mehr verfeinern, sondern nur verbessern) > ok > Generate Boundary
Mesh > Einstellungen wie in Bild 4.72 übernehmen > ok }.
154
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Hier sollte man ohnehin ein wenig rumprobieren! Mit dem Befehl { Mesh >
Smooth > alle Elemente > ok > ok} können wir noch eine zusätzliche
Netzverbesserung erreichen. Jetzt müsste der verbesserte Bereich wie in Bild 4.75
links aussehen. Dann wiederholen wir alles für den rechten Bereich und erhalten
unser endgültiges Modell wie in Bild 4.75. Ein wichtiger Tipp ist, dass wir mit der
Markierung der Elemente mit dem gleichen Element beginnt, z.B. mit dem
obersten Dreieck. Nur so erhält man wieder ein symmetrisches Netz.
Bild 4.75: Projekt ingorg; mit Remesh links und rechts verbesserte Bereiche
●Innenpunkt
Bild 4.76: Projekt ingorg; Randbedingungen und starre Randkontur der Gummidichtung
Wir haben gelernt, dass man nach Hinzufügen von Knoten und Elementen das
Ergebnis mit der Kantendarstellung prüfen sollte und die Knoten und Elemente
möglichst neu nummeriert. Wir prüfen mit { View Select (aus der waagerechten
Tool-Bar). > Free Edge = an > ok > wenn nur die Randkontur sichtbar ist,
schalten wir zurück auf Draw Model > ok }. Die Elemente können wir jetzt
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
155
problemlos neu nummerieren. Bei den Knoten sollte man lieber darauf verzichten,
denn sonst müssen wir die Richtungsknoten bei der Druckbelastung über 3
Randknoten mit { Modify > Edit > Load > Select All > ok > Anfangs- und
Endknoten unter Moments ändern > ok } der neuen Nummerierung anpassen!
Dann definieren wir zunächst die Randbedingungen neu. Wir beginnen mit den
Knoten in der Bogenkontur um damit eine feste Verbindung zwischen dem
Gummi und dem starren Bolzen zu simulieren. { Model > Constraint > Set > ID
= 1 > Title = Bogenkontur fix > ok } und { Model > Constraint > Nodal >> alle
25 Knoten der Bogenkontur picken > Create DOF > Pinned (wählen, d.h. TX, TY
und TZ = an, denn es gibt nur die Verschiebungen in x- und y-Richtung als
Freiheitsgrade) > ok }. Unser Modell mit diesen Randbedingungen sieht dann wie
in Bild 4.76 aus.
Unser FEM-Programm verlangt für alle Knoten, die nicht die starre Randkontur
durchdringen sollen, sog. Dummy-Randbedingungen zu formulieren. Dies
geschieht, indem man für diese Knoten in den freien Bewegungsrichtungen, in
unserem Fall x und y, normale Randbedingungen als Constraints formuliert,
jedoch mit eigener Set-ID und Set-Title mit dem Wort DUMMY in den ersten 5
Spalten. Mit { Model > Constraint > Set > ID = 2 (Constraint Set 1 ist unsere
Festhaltung in der Bogenkontur) > Title = DUMMY Randbedingungen > ok }
und { Model > Constraint > Nodal >> die 5 linken und rechten Knoten des
unteren freien Rands picken) > Create DOF > TX und TY = an > ok }
definieren wir die Dummyrandbedingungen.
Da man im Preprozessor immer nur einen Constraint Set sichtbar machen
kann und wir Set 1 mit den Randbedingungen in der Bogenkontur sehen, sind in
Bild 4.76 die 12 Knoten mit Dummy-Randbedingungen als fett markierte Knoten
mit Nummern zu sehen, die mit Show angezeigt wurden.
Damit wir uns wieder an unsere Druckbelastung erinnern, sind in Bild 4.76
auch die Forces angezeigt.
Zu den Randbedingungen gehört auch die starre Randkontur nach Schritt 2, die
wir im Preprozessor als { Function } definieren müssen, das Anschlagblech haben
wir schon entfernt. Da wir eine { Function } nicht darstellen können, definieren
wir uns zusätzlich die Kontur mit 3 Linien, die wir über das Hosenrohr hinaus
verlängern wollen. Dazu müssen wir 2 zusätzliche Punkte definieren mit {
Geometry > Point >> Locate -500. / 216.07 und +500. / 216.07 > ok }. Mit {
Geometry > Curve-Line >> Project Points > linken Point und zugehörenden
Knoten klicken, entsprechend rechten Point und zugehörenden Knoten, zuletzt die
Linie in der Mitte zwischen den 2 Knoten > jeweils ok } erzeugen wir die
zugehörenden Linien. Jetzt müssten wir die 3 Linien der Randkontur wie in Bild
4.76 sehen.
Für diese Kontur wollen wir nun die für unser FEM-Programm
vorgeschriebene { Function } als starre Randkontur definieren mit { Model >
Function >>Single Value = an > Type > 11. vs Curve Length wählen > .X = 560. > Y = 5.0 (als erstes wird die Fangtoleranz für die Randdurchdringung
eingegeben, dabei muss der X-Wert kleiner als der tatsächlich kleinste X-Wert (500) sein, um für Y die Fangtoleranz 5.0 einzugeben. Diese sollte in der
Größenordnung der max. Verschiebung liegen, um den Rand nicht zu
156
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
durchdringen!) > More > X = -500. > Y = 216.07 > More > (auf die gleiche
Weise die übrigen 3 Punkte -70. / 170. ; 70. / 170. ; 500. / 216.07 eingeben) >
More > X = 550. > Y = 400. (legt als letztes den Innenpunkt (siehe Bild 4.76) fest,
damit das FEM-Programm weiß. wo innerhalb und außerhalb des Rands ist,
dabei muss der x-Wert größer als der größte x-Wert (500.) der Randpunkte sein) >
ok }. Die Randkontur als Geometrie hatten wir nur der Optik wegen erzeugt.
Die Schritte 1 bis 4 sind nun erledigt und wir können unser neues
Rechenmodell als ingorg.fmp ins Arbeitsverzeichnis abspeichern. Vorher
vergessen wir aber nicht, unsere Projektbezeichnung zu ändern mit { File > Notes
> rot.symm. Gummidichtung mit M.R.-Material (die Folgezeile löschen wir) >
ok }.
Wir speichern unser rotationssymmetrisches Modell mit Gummimaterial mit
{ Export > Arbeitsverzeichnis > ingorg.fmp > ok } ab und starten das FEMProgramm mit dem Projekt ingorg.fmp und setzen dazu folgende Optionen:
Optionen > lineare Statik
> Verarbeitungsart Knotensonderrandbedin
gung, RAND-Kontakt-Algorithmus starrer
Rand
> 3 > setzen
Optionen > Spannungsberechnung >Vergleichsspannungs/Dehnungshypothese
von
Mises
mit
Umschalten
auf
Normalspannungshypothese (negativ)
> -3 > setzen
Optionen > nichtlineare Statik
> max. Anzahl Iterationen = Lastschritte
> 5 > setzen
> Iterationsmethode Standardmethode
Full Newton Raphson
> FNR > setzen
> Anzahl Iterationen pro Lastschritt
> 10 > setzen
> Toleranzschranke Euklidische Norm in
%
> 1 (%) > setzen
> Anzahl Verzerrungsschritte bei Fließen
= 1; für Gummi zwingend vorgeschrieben
> 1 > setzen
Auf das Setzen von Zwischenknoten wollen wir verzichten, denn dann erhalten
wir bei diesem Modell die max. Spannungen leider an Zwischenknoten, die wir in
der Ergebnisdarstellung nicht sehen können. Wir müssten die Zwischenknoten
schon im Preprozessor anwählen. Das geht nicht, weil wir dann die Grenze von
300 Knoten überschreiten. Leider steht damit in unserem FEM-Programm für den
damit ausgewählten Elementtyp ohne Zwischenknoten die Methode der
geometrischen Steifigkeitsmatrix nicht zur Verfügung. Darauf müssen wir bis
Anfang 2002 warten. Schade!
Mit { Start > nichtlineare Statik mit Kontakt } führen wir die FEMBerechnung durch. Im Ausgabefenster sollte die max. Verformung bei ca. 5 mm
liegen, die max. Spannung bei ca. -34 N/mm2. Wenn nicht, überprüfen wir noch
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
157
einmal die gesetzten Optionen oder wir verwenden das Eingabemodell ingorg.fmp
von der beiliegenden CD (\Springer\Kapitel4\ingo\ingorg.fmp).
Wir schauen uns die Ergebnisse im Postprozessor an. Dabei gelten bei der
Lastfallauswahl die schon genannten Regeln für eine nichtlineare Berechnung.
Unter Lastschritt 6 finden wir für unsere 5 Lastschritte die max.
Verformungen, unter Lastfall 1 die Spannungen und Stützkräfte.
In der Animation der Verformungen von Lastschritt 6 erkennen wir die durch
unsere unsymmetrische Druckbelastung (der Druck rechts ist 5 mal größer als
links) hervorgerufene deutlich größere Verformung rechts verbunden mit einer
Ausbauchung (siehe auch Bild 4.77). Unten bewegt sich der Gummi auf der star-
Bild 4.77: Projekt ingorg; max. Verformung unter unsymmetrischer Ringlast
158
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.78: Projekt ingorg; Vergleichsspannungsverteilung unter unsymmetrischer Ringlast,
Maximum in der Bogenkontur
ren Randkontur, die nicht durchdrungen wurde, wie wir gleich bei den
Stützkräften sehen werden. Dies bestätigt auch ein Blick in das Protokollfile
ingorg-s.prt, in dem alle Vorgänge der Randprüfung aufgezeigt sind.
Schauen wir uns noch die Spannungen und Stützkräfte an. Bild 4.78 zeigt die
gemittelten Vergleichsspannungen 21.Sigma_Vergl.3D gem. im Gummi. Der
Fachmann wundert sich sicher über die positiven und negativen
Vergleichsspannungen, die nach den Regeln der Festigkeitslehre immer positiv
sind! Hier macht es aber sehr viel Sinn, die vorwiegend aus Zugspannungen
entstandenen Vergleichsspannungen positiv und die aus Druckspannungen
entstandenen negativ zu markieren. Eine wichtige zusätzliche Information.
Bild 4.79: Projekt ingorg; Vergleichsspannungs-Verteilung in der Bogenkontur
4.9 Beispiel nichtlineare Statik, rot.symm. Elemente mit Gummi
159
Bild 4.80: Projekt ingorg; Stützkraft-Verteilung am starren Rand und in der Bogenkontur
Die Darstellung der max. Spannungen 22.Sigma_Vergl.3D max. zeigt auf den
ersten Blick ein merkwürdiges Ergebnis, aber wenn wir es genauer betrachten,
erkennen wir, dass hier nur die Absolutwerte der max. Spannungen dargestellt
sind. Die höchste Spannung von ca. 60 N/mm2 gegenüber ca. 34 N/mm2 zeigt uns
jedoch, dass unser Netz im Bodenbereich immer noch zu grob ist. Probieren wir es
doch einfach aus, noch einmal zu verfeinern. Wir haben noch ca. 100 Knoten in
Reserve.
Zurück zu unserem Ergebnis. Im Ausschnittsbild der Bogenkontur (Bild 4.79),
wo Knoten festgehalten sind, erkennen wir, dass die Zug- und
Druckspannungsmaxima nahe beieinander liegen.
Um mehr Information dazu zu bekommen, wollen wir uns auch die Stützkräfte
dazu ansehen (Bild 4.80). Die Stützkräfte zeigen uns, dass überall am starren Rand
Druck herrscht, nicht jedoch an den beiden festgehaltenen, mittleren Knoten der
unteren Bogenkontur. Auch erkennen wir die Vorzeichenwechsel der Stützkräfte
im Bogen, die zu den nahe beieinander liegenden Zug- und Druckmaxima der
Spannungen führen. Sicher ein kritischer Bereich!
Genug mit Gummimaterial, gehen wir zum nächsten Beispiel.
4.10
Beispiel aus der Stabilität mit Schalenelementen, Berechnung
der kritischen Beullasten und -formen (ingoss)
Ein wichtiger Festigkeitsnachweis in der Statik ist die Berechnung der kritischen
Knick- oder Beulformen druckbelasteter, schlanker oder dünnwandiger Bauteile
mit zugehörendem, kritischem Lastvielfachen. Wie in Abschn. 2.3 beschrieben,
wird in den FEM-Programmen diese Aufgabe als Eigenwertproblem gelöst. In
unserem FEM-Programm ist diese Programmfunktion zum Zeitpunkt der
Drucklegung noch in Entwicklung. Über die im Vorwort genannte Homepage
wird TP2000 mit dieser Funktion ab ca. Ende 2001 zur Verfügung stehen.
160
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.81: Projekt ingord; geänderte Randbedingung für Stabilitätsberechnung
Dort findet sich dann auch die Berechnung dieses Beispiels mit zugehörenden
Bildern auf der Basis des Schalenmodells ingos.fmp mit den gleichen Randbedin
anschauen. Da unsere Struktur auch in x-Richtung schwingt, erweist sich das eingungen, wie in der nachfolgenden Dynamikberechnung. Wie in der linearen
Dynamik ist eine Kontaktberechnung mit variablen Randbedingungen auch bei
der Stabilitätsberechnung nicht möglich.
Wir starten den Preprozessor, lesen unser Modell ingos.fmp ein und ändern
unsere Randbedingungen nach Bild 4.81. Zuerst aktivieren wir mit { Model >
Constraint > Set >> activate Hosenblech VX > ok } den zugehörenden
Randbedingungs-Set, löschen mit { Delete > Model > Constraint Individual >>
Nodal Constraints > ok > x-Lager am Symmetrieknoten (73) des Bogens klicken
> ok >} und führen stattdessen in den oberen und unteren Symmetrieknoten (185
und 189) des Anschlagbolzens (der aus Stahl ist) mit { Model > Constraint >
Nodal >> beide Knoten klicken > ok > TX = an > ok } jeweils ein x-Lager ein.
Wir vergessen nicht, die Projektbeschreibung zu ändern und speichern unser
Modell als ingoss.fmp ins Arbeitsverzeichnis. Nun können wir die
Stabilitätsberechnung starten.
4.11
Beispiel aus der linearen Dynamik mit rot.symm. Elementen,
Berechnung der unteren Eigenfrequenzen und -formen (ingord)
Die einfachste aber auch häufigste Anwendung der Dynamik in der FEM ist die
Berechnung der unteren Eigenfrequenzen und Schwingungsformen des
ungedämpften, elastischen Systems. Wenn die nachfolgend beschriebenen
Bedingungen erfüllt sind, muss in unserem FEM-Programm nur die
Standarddynamik angefordert werden. Dann erhält man die ersten 5 unteren
Eigenfrequenzen und -formen des Modells. Was fängt man damit an?
Zunächst einmal wollen wir festhalten, dass die Eigenfrequenzen bei einem
FEM-Programm in der Regel immer von unten nach oben berechnet werden.
Verlangt man 5 Eigenwerte, so erhält man beginnend mit der niedrigsten
Frequenz, die untersten 5 Frequenzen und Eigenformen. Glücklicherweise sind die
4.11 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente, Eigenfrequenzen
161
unteren Frequenzen einer Struktur auch meist die interessanten. Daher schadet es
auch nicht, wenn wir mit unserem FEM-Programm nur maximal die unteren 122
Frequenzen ermitteln können, denn ein Modell müsste schon extrem fein vernetzt
sein, um theoretisch weitere, sinnvolle Frequenzen berechnen zu können.
Kennt man nun mögliche Erregungen und stimmen bei einer Erregung, z.B.
durch ein Erdbeben, die Erregerfrequenz und eine der Eigenfrequenzen des
Modells überein, so schwingt das Modell in der Resonanzschwingung mit und
kann im ungünstigen Fall dadurch zerstört werden. Da man zu jeder berechneten
Frequenz die zugehörige Eigenform erhält, kann das FEM-Programm dazu auch
die Spannungsverteilung berechnen. Leider sind die Verschiebungen der
Eigenformen und damit die Spannungen unbestimmt. Sie müssen normiert
werden.
Dazu gibt es verschiedene Normierungsmethoden – Amplituden-, Energieoder Massennormierung – wobei die Amplitudennormierung standardmäßig
angefordert ist. Da der Standardwert dafür in den Optionen auf 0.1 steht, sehen wir
in unserem Ausgabefenster des FEM-Programms dies als max. Verformung
Man erhält nicht die tatsächliche Größe der Spannung, weiß jedoch durch die
Verteilung, wo die Zerstörung der Struktur beginnt. Dadurch sind die kritischen
Stellen des Modells bekannt.
Eine zusätzliche Information ergibt sich über den Vergleich der
Formänderungsenergien der einzelnen Eigenformen. Je größer die zur Eigenform
berechnete Formänderungsarbeit ist, um so wichtiger ist die zugehörige Frequenz.
Die Darstellung der Eigenformen in der Animation im Postprozessor zeigt uns des
weiteren, welcher Bereich und welche Massen dabei jeweils aktiv sind.
Stellt man z.B. bei der Analyse eines Motors im Postprozessor die senkrechten
Verformungen einer Eigenform an den Wänden dar, so erkennt man die Bereiche
großer Geräuschabstrahlung und kann Abhilfe schaffen.
Mit einer einfachen Eigenwertanalyse zur Bestimmung der Frequenzen und
Schwingungsformen erhält man viele wichtige Informationen über das dynamische
Verhalten einer Struktur!
Am Beispiel unseres Hosenblechs mit Kontakt am Anschlagblech ingomk.fmp
wollen wir dies einmal ausprobieren. Bevor wir die Eigenwertanalyse starten,
prüfen wir unser Modell, ob alle Bedingungen für eine erfolgreiche
Dynamikberechnung erfüllt sind:
1. Für die Eigenwertanalyse wird die Massenmatrix benötigt, die unser FEMProgramm aus den Eigengewichtskräften mit Lastfall 1 und den Zusatzmassen
aus Lastfall 99 erstellt. Alle weiteren Lasten werden ignoriert. Der Lastfall 1
aus Druckbelastung am oberen Rand muss daher gelöscht werden. Zusätzlich
müssen wir die Belastung aus den Eigengewichtskräften, z.B. in x-Richtung,
einführen. Da wir keine weiteren Zusatzmassen über Lastfall 99 definieren
wollen, sind damit die Voraussetzungen zur Erzeugung der Massenmatrix
erfüllt Da die Massen in allen 3 Richtungen schwingen, spielt die
Belastungsrichtung keine Rolle. Es muss lediglich eine Richtung x, y, z
angefordert sein.
2. Die Randbedingungen müssen realitätsgerecht und erprobt sein. Dies ist bei
den Auflagerbedingungen des Anschlagblechs der Fall. Ob die Festhaltung in
162
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
x-Richtung im Symmetrieknoten des Bogens sinnvoll ist, werden wir sehen.
Was ist aber mit den Bedingungen in der Kontaktfuge? Das Kontaktproblem
entspräche in der Dynamik dem Aneinanderschlagen und Abheben beider
Teile, somit einem nichtlinearen Problem. Wir können aber mit der linearen
Dynamik nur lineare Probleme lösen. In der Kontaktfuge müssen wir daher die
Bedingungen ändern.
Wir starten wieder den Preprozessor und lesen als Ausgangsmodell unser
rotationssymmetrisches Modell ingort.fmp ein. Mit { Delete > Model > Load Set
> Select All > ok } löschen wir alle alten Lasten. Die erforderliche
Eigengewichtsbelastung erzeugen wir mit { Model > Load > Set >> ID = 1 >
Title = Eigengewichtslast > ok } und { Model > Load > Body >> Acceleration >
Activ = an > Translation/Gravity > X = 1. / Y = 0. (g = 9.81 bewirkt das
Gleiche, denn sind die Eintragungen für 2 Richtungen [hier X und Z] = 0 und für
eine [hier Y] = 1, so wird vom FEM-Programm Eigengewichtsbelastung mit g =
9.81 m/s2 in y-Richtung angenommen) / Z = 0. > ok } für Lastfall 1 für alle
Elemente.
Nun müssen wir in der Kontaktfuge die Kontaktbedingungen linearisieren, d.h.
unserer Bedingungen sind nun nicht mehr variabel und abhängig davon, ob Zug
oder Druck übertragen wird, sondern fix. Das bedeutet, dass jeweils die Knoten
eines Knotenpaars in Kontaktrichtung aufeinander gleiten und nicht abheben
können. Dazu müssen wir den Gleichungstyp von variabel in nicht variabel
ändern. Dies ist sehr einfach, wir müssen lediglich den Title unserer 4 Gruppen
ändern. Der Group Title der ersten Gruppe mit ID = 1 lautet:
GNL/L,1,12,3,G1,F1 und muss in GNL/L,0,12,3,G1,F1 geändert werden mit {
Group > Set > GNL/L,1 in GNL/L,0 ändern > ok }. Die gleiche Änderung
machen wir für die Group Title der Gruppen 2 - 4.
Wir erinnern uns!
Mit der Ziffer 0 oder 1 nach den Kennbuchstaben GNL/L, im Title der
Kontaktgruppen wird der Typ der Kontaktbedingungen definiert mit 0 = nicht
variabel und 1 = variabel, kraftabhängig.
Wir speichern unser rotationssymmetrisches Modell mit { Export >
Arbeitsverzeichnis > ingord.fmp > ok } ab. Vorher vergessen wir aber nicht,
unsere Projektbezeichnung zu ändern mit { File > Notes = dickwandiges Rohr mit
Bolzen (rot.symm.) (in die Folgezeile tragen wir ein) > Eigenfrequenzen und formen > ok }.
Nun starten wir das FEM-Programm mit dem Projekt ingord.fmp mit
Analysetyp {Dynamik > Standard-Dynamik-Methode} und setzen dazu
folgende Optionen:
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen
einführen
> 2 > setzen
Optionen > Dynamik
> Anzahl Eigenwerte
Voreinstellung > 5 (oder mehr) > setzen
Anmerkung: Die speziellen Eingaben der Dynamik werden in unserem FEMProgramm über Optionen gesetzt. Die entsprechenden Eingabemöglichkeiten im
Preprozessor sind daher nicht aktiv!
4.11 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente, Eigenfrequenzen
163
Die Berechnung wird sofort mit einem Fehler abgebrochen, denn es sind keine
Massen vorhanden. Wir haben etwas sehr wichtiges im Preprozessor vergessen!
Für den Lastfall Eigengewicht müssen die Elementgewichte bekannt sein. Dies
setzt voraus, dass wir in der Materialdefinition die Materialdichte eingegeben
haben. Dies müssen wir für beide Materialien nachholen. Also zurück in den
Preprozessor. Mit { Modify > Edit > Material > ID = 1 > ok >> Mass Density =
0.0000028 (das spezifische Gewicht von Dur-Aluminium in kg/mm3) > ok } und
entsprechend für das Material Stahl mit ID = 2 und Mass Density = 0.00000785
kg/mm3 ergänzen wir unsere Materialdefinition. Wir speichern wieder ab und
können erneut rechnen. Jetzt müssten wir ein Ergebnis erhalten.
Die max. Verschiebung müsste ca. 0,1 mm sein, denn standardmäßig wird
jeweils die max. Verschiebung einer Schwingform = max. Amplitude der
Eigenform auf 0,1 normiert. Dieser Wert kann in den Optionen verändert werden.
Er sollte in der Größenordnung einer sinnvollen Verschiebung aus der linearen
Statik sein. Dies ist bei uns mit 0,1 mm der Fall, denn wir erhalten damit auch eine
sinnvolle Größenordnung der ebenfalls normierten Spannung.
Da bei einer Dynamikberechnung die Ergebnisse nur richtig werden können,
wenn auch die Massen der Realität entsprechen, prüfen wir als nächstes das
Gewicht unserer Struktur. Aus den Elementgewichten werden die Elementmassen
und damit die Knotenmassen berechnet. Wir gehen daher mit dem Editor in das
Protokollfile ingord-d.prt unseres Rechenlaufs. Wie im Abschn. 8.3.5 ausführlich
beschrieben, werden den Ausgabefiles einer Dynamikberechnung an den
Projektnamen zur Kennzeichnung anstelle von -s bei der Statik, -d angehängt, hier
ingord-d.prt. Da wir diesem Protokollfile noch mehr Informationen entnehmen
wollen, wird es nachfolgend dargestellt.
Protokollfile ingord-d.prt :
TP2000 startet fuer Projekt > ingord als:
Standard-Dynamik-Methode
GNL/L,0,12,3,G1,F1
: Generierung von Sonder-Randbedingungen
Kontaktrandbedingungen fuer
6 Knotenpaare definiert
GNL/L,0,12,4,G1,F1
: Generierung von Sonder-Randbedingungen
Kontaktrandbedingungen fuer
6 Knotenpaare definiert
Modell mit
212 Knoten und
174 Elementen
DICKWANDIGES ROHR MIT BOLZEN (ROT.SYMMETRISCH)
INGO 2007
VERWENDETE EINHEITEN : MM N
C
ELEMENTE MIT ZWISCHENKNOTEN GEWAEHLT
ROTATIONSSYMM. ELEMENTE GEWAEHLT,
VERWENDETER SEKTORWINKEL IST 0.1 = 5.73 GRAD
8 DREIECKS-ELEMENTE VERWENDET
166 VIERECKS-ELEMENTE VERWENDET
174 ELEMENTE.
VERARBEITETE KNOTEN
596
1143
27
22
......
......
Netz:
FREIHEITSGRADE
STANDARDRANDBEDINGUNGEN
KNOTENSONDERRANDBEDINGUNGEN
Ende Datendiagnostik, kein Fehler
Ende Rand/Oberflaechen-Lasten
Gewichtskraefte und Gewicht der Struktur
[N ]
[Kg]
0 0.364241E+03 0.371296E+02
164
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Summen:
0.364241E+03 0.371296E+02
...... Ende Lasten umwandeln
DIAGONALE MASSENMATRIX FUER
1165 DYNAMISCHE
schwingende Massen:
MSx =
37.16563416 [Kg]
MSy =
37.20256805 [Kg]
MSz =
0.00000000 [Kg]
118.8421.1629.0537.2442.09
2 0.05 0.96 4.81 5.59 6.97
3 0.00 0.10 0.16 0.26 0.34
4 0.00 0.03 0.07 0.11 0.17
5 0.00 0.01 0.03 0.05 0.10
6 0.00 0.00 0.01 0.02 0.07
7 0.00 0.00 0.01 0.01 0.05
8 0.00 0.00 0.00 0.01 0.03
9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02
10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02
PROGRAMM NACH 10 ITERATIONSZYKLEN BEENDET
1.EW LAMB .109+07 FREQ .166+03 KNMAX 502 NFAK
2.EW LAMB .182+09 FREQ .215+04 KNMAX 164 NFAK
3.EW LAMB .249+09 FREQ .251+04 KNMAX 134 NFAK
4.EW LAMB .263+09 FREQ .258+04 KNMAX 220 NFAK
5.EW LAMB .372+09 FREQ .307+04 KNMAX 500 NFAK
...... Ende Standard-Dynamik
FG BEREITGESTELLT
.595-01
.810-02
.636-02
.575-02
.481-02
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.259-03
.836-04
.993-04
.115-03
.116-03
Unter „Gewichtskraefte und Gewicht der Struktur“ finden wir das
Gesamtgewicht von 37,129 kg. Überraschend wenig für ein dickwandiges AluRohr mit Stahlbolzen bei einem Außendurchmesser von 1.400 mm. Bei einem
anderen Wert müssen wir die Density beider Materialien im Preprozessor
überprüfen!
Wir erinnern uns!
Bei den verwendeten rotationssymmetrischen Elementen rechnen die FEMProgramme nicht mit dem gesamten Modell von 360°, sondern mit einem
Sektorwinkel. Ein Blick an den Anfang unseres Protokollfiles zeigt uns, dass
unser FEM-Programm mit 5.73° rechnet. Dies sehen wir an der Meldung:
„VERWENDETER SEKTORWINKEL IST 0.1 = 5.73 GRAD“.
Unser Gewicht von ca. 37 kg ist richtig, denn wenn wir es mit 360/5.73
multiplizieren, erhalten wir 2 332.7 kg. Ein realistischer Wert.
Nach diesen Prüfungen könnten wir unser Dynamikergebnis im Postprozessor
anschauen. Da unsere Struktur auch in x-Richtung schwingt, erweist sich das ein-
4.11 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente, Eigenfrequenzen
165
Bild 4.82: Projekt ingord; geänderte Randbedingung für x-Verschiebung
zige x-Lager am Symmetrieknoten des Bogens im Aluteil als wenig sinnvoll. Wir
ändern daher noch einmal im Preprozessor unsere Randbedingungen nach Bild
4.82.
Zuerst aktivieren wir mit { Model > Constraint > Set >> activate Hosenblech
VX > ok } den zugehörenden Randbedingungs-Set, löschen mit { Deletet >
Model > Constraint Individual >> Nodal Constraints > ok > x-Lager am
Symmetrieknoten (73) des Bogens klicken > ok > } und führen stattdessen in den
oberen und unteren Symmetrieknoten (185 und 189) des Anschlagbolzens (der aus
Stahl ist) mit { Model > Constraint > Nodal >> beide Knoten klicken > ok > TX
= an > ok } jeweils ein x-Lager ein.
Wenn wir jetzt erneut das Modell berechnen, müsste alles mit obigem
Protokollfile ingord-d.prt übereinstimmen. Wir können mit dessen Betrachtung
und Prüfung fortfahren und prüfen die Daten der Eigenwertberechnung.
Wir sehen im Protokollfile unter „schwingende Massen“ mit MSx = 37.54 kg
und MSy = 37.14 kg unterschiedliche und auch, numerisch bedingt, leicht höhere
Werte. Die unterschiedlichen Werte in x- und y-Richtung resultieren aus den
verschiedenen Randbedingungen, denn ein abgestützer Freiheitsgrad hat keine
Masse. Auch das sieht plausibel aus.
Die folgenden 10 Zeilen, abgeschlossen mit der Meldung „PROGRAMM NACH
10 ITERATIONSZYKLEN BEENDET“, zeigen das Konvergenzverhalten unseres
Modells. Dabei wird die Orthogonalität jedes Eigenvektors geprüft. Wenn die
kleinste Winkelabweichung kleiner als der Toleranzwert (standardmäßig 0.2°) ist,
wird die Iteration abgebrochen. Bei uns nach 10 Schritten. Danach erhalten wir für
unsere 5 Eigenwerte folgende Informationen:
Die Eigenwerte LAMBda, die Frequenzen FREQ von 166 – 3 070 Hz, die
Knotennummern KNMAX mit der jeweils max. Amplitude, die
Normierungsfaktoren NFAK und die generalisierten Massen GMAS. Die Größe
des Wertes für GMAS zeigt die Wichtigkeit des jeweiligen Eigenwertes, mit
GMAS = 0.00026 ist der 1. Eigenwert der kritischste. Schauen wir ihn an:
1. EW: LAMB
= Eigenwert  = i 2 = (2 * fi)2 = .109E+07
mit i = Kreisfrequenz und fi = Eigenfrequenz
FREQ
= fi = Eigenfrequenz = 166 Hz
KNMAX = Knotennummer mit max. Amplitude = 502
NFAK
= Normierungsfaktor des Eigenvektors für größten
Amplitudenwert = 0.0595
GMAS
= generalisierte Masse bei Amplitudennormierung
= 2* Ei /  * NFAKT2 = 0.000259 ; mit Ei =
Formänderungsenergie des Eigenvektors
Noch ein Hinweis zum Verfahren. Bei Strukturen mit großen Steifigkeits- und
Massenunterschieden sollte man stets einen Eigenwert mehr verlangen als man
auswerten will. Durch die Eigenart des verwendeten Eigenwertalgorithmus kann
in solchen Fällen der letzte Eigenvektor nicht richtig ausiteriert sein.
Schauen wir uns zunächst die Verformungen, die Eigenformen der 5
Eigenwerte im Postprozessor an. Wir laden dazu unser Ergebnisfile ingord-
166
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
d.fmp. Mit { View Select >> Deformed Style > Deform > Contour Style >
Contour > Deformed and Contour Data >> Output Set = 1. INGO 1 -5.
Eigenvektor anschauen, dabei erhält man rechts daneben die jeweiligen
Frequenzen > Output Vectors > 1.Gesamtverschiebung > Contour Vectors >
21.Sigma_Vergl.3D gem. (zum Vergleich schauen wir auch die
Maximalspannungen und den Modellfehler an und erkennen, dass unser Netz trotz
Zwischenknoten etwas zu grob ist) > ok > ok } schauen wir uns zunächst
Spannungen und Verformungen aller 5 Eigenwerte an.
Besonders interessant sind der 4. und 5. Eigenwert, denn bei 1. - 3. Eigenwert
schwingen Rohr und Bolzen nur gegeneinander (Bild 4.83 und 4.84). Wir wollen
uns daher noch den 4. und 5. Eigenwert in der Animation anschauen. Im
Gegensatz zur den bisherigen Statikberechnungen, schwing eine Struktur immer in
beide Richtungen. Daher müssen wir dies mit { View > Options > Postprocessing
> Animated Style > Shape > 4.Sine-Full > ok } anfordern.
Nun sehen wir den 4. Eigenwert und erkennen das Gleiten im Kontaktbereich
zwischen Rohr und Bolzen aber auch die max. Spannung im Bogen des Rohrs. Da
wir im Postprozessor die Animation auch als Video-Clip abspeichern können,
probieren wir das einmal aus mit { File > Picture > Save > ingord4E > Datei
Typ > Video for Windows (*.AVI) > Video-Komprimierung > Microsoft
Video 1 > Komprimierungsqualität 75% (unkomprimiert wird das AVI-File
riesengroß! > ok }.
Auf beiliegender CD finden wir diesen Video-Clip unter \Springe\Kapitel4
\ingo\ingord4E.avi . Mit Doppelklick können wir diesen Clip starten,
vorausgesetzt wir haben den Windows-Media-Player oder ähnliches auf unserem
PC. Eine eindrucksvolle Sache!
Bemerkenswert ist aber auch der 2. Eigenwert, denn dieser hat mit 618 N/mm 2
mit Abstand die höchsten Spannungen bei gleicher Verformungsnormierung auf
0.1 mm.
4.11 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente, Eigenfrequenzen
Bild 4.83: Projekt ingord; 1.Eigenwert 166 Hz., Verformungen und Spannungen
Bild 4.84: Projekt ingord; 2., 3. und 4. Eigenwert, Verformungen und Spannungen
167
168
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.85: Projekt ingord; 5. Eigenwert, Verformungen und Spannungen
4.12
Der Einfluss der Vorspannung in der Dynamik
Allgemein ist bekannt, dass sich durch eine Vorspannung das
Schwingungsverhalten einer Struktur ändert. Erinnern wir uns an die Klaviersaite.
Mit dem Grad der Vorspannung einer Saite ändert sich der Ton und damit das
Schwingungsverhalten der Saite. Diesen Effekt müssen wir daher auch bei
Resonanzuntersuchungen berücksichtigen.
In einem FEM-Programm, so auch bei unserem wie in Abschn. 2.4
beschrieben, wird die Vorspannung in 2 Schritten, ähnlich wie bei nichtlinearen
Problemen gelöst. Im einem ersten Schritt, der identisch mit einer linearen
Statikberechnung ist, werden die Spannungen ermittelt. In der dann folgenden,
eigentlichen dynamischen Berechnung wird dann dieser Spannungszustand im
linearen Gleichungssystem durch Addition der geometrischen Steifigkeitsmatrix
auf die Steifigkeitsmatrix berücksichtigt. Damit ändert sich das Steifigkeits- und
damit auch das Schwingungsverhalten der Struktur.
Wir erinnern uns!
Bei der Berechnung des Schwingungsverhaltens einer Struktur zur Ermittlung
der Eigenfrequenzen und -formen bleibt standardmäßig die Belastung (dazu
gehört auch das Schrumpfmaß) unberücksichtigt (Lastfall 1 dient hier nur zur
Vorspannung). Die entscheidende Rolle spielt die aus den Gewichtskräften
ermittelte Massenmatrix.
Wir wollen nun an diesem Modell ingord.fmp den Einfluss der Vorspannung
einschl. Schrumpfmaß überprüfen. Die Druckbelastung am äußeren Umfang muß
4.12 Der Einfluss der Vorspannung in der Dynamik
169
dazu wieder eingeführt werden. Auch das Schrumpfmaß müssen wir wieder in den
Optionen setzen. Wie bei den nichtlinearen Berechnungen, vergessen wir auch
nicht, die geometrische Steifigkeitsmatrix anzufordern.
Wir wiederholen die FEM-Berechnung mit dem Projekt ingord.fmp, wählen
aber jetzt als Analysetyp { Dynamik > Dynamik mit Vorspannung } und setzen
dazu folgende Optionen:
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen
einführen
> 2 (schon gesetzt)
> Schrumpfmaß (neg.) > -0.1 > setzen
Optionen > Dynamik
> Anzahl Eigenwerte
Voreinstellung
>5
> setzen
Optionen > nichtlineare Statik > mit geometrischer Steifigkeitsmatrix
für Dynamik mit Vorspannung
>2
> setzen
Wenn wir uns noch an die vorherige Dynamikberechnung erinnern, stellen wir
schon im Ausgabefenster fest, dass sich an den Ergebnissen offensichtlich nichts
geändert hat. Der Einfluss der Druckbelastung und des Schrumpfmaßes ist zu
gering.
Aus dem Maschinenbau ist bekannt, dass schnell rotierende Strukturen andere
Eigenfrequenzen haben als ruhende. Da unser Modell ein Rotationskörper ist,
wollen wir diesen Effekt ansehen und wiederholen die FEM-Berechnung mit der
Ergänzung folgender Option:
Optionen > lineare Statik
> Drehzahl U/s bei Fliehkraftbelastung
um x-Achse > 500. > setzen
Wir beachten, dass wir mit 500 U/s eine sehr hohe Drehzahl eingegeben haben,
dies entspricht in der gewohnten Einheit 30 000 U/min!
Jetzt erkennen wir im Ausgabefenster, dass sich die max. Spannung erhöht hat.
Wir wollen uns daher die Ergebnisse im Postprozessor anschauen. Vergleichen
wir aber zunächst die Eigenfrequenzen aus dem Protokollfile ingord-d.prt mit
denen ohne Vorspannung.
5 Eigenwerte mit Vorspannung aus Druck, Schrumpfmaß und Fliehkraft:
1.EW
2.EW
3.EW
4.EW
5.EW
LAMB
LAMB
LAMB
LAMB
LAMB
.117+07
.185+09
.275+09
.283+09
.396+09
FREQ
FREQ
FREQ
FREQ
FREQ
.172+03
.216+04
.264+04
.268+04
.317+04
KNMAX
KNMAX
KNMAX
KNMAX
KNMAX
502
164
134
218
500
NFAK
NFAK
NFAK
NFAK
NFAK
.573-01
.830-02
.642-02
.482-02
.470-02
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.261-03
.785-04
.881-04
.152-03
.115-03
KNMAX
KNMAX
KNMAX
KNMAX
KNMAX
502
164
134
220
500
NFAK
NFAK
NFAK
NFAK
NFAK
.595-01
.810-02
.636-02
.575-02
.481-02
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.259-03
.836-04
.993-04
.115-03
.116-03
5 Eigenwerte ohne Vorspannung:
1.EW
2.EW
3.EW
4.EW
5.EW
LAMB
LAMB
LAMB
LAMB
LAMB
.109+07
.182+09
.249+09
.263+09
.372+09
FREQ
FREQ
FREQ
FREQ
FREQ
.166+03
.215+04
.251+04
.258+04
.307+04
Die 1. Eigenfrequenz erhöht sich von 166 auf 172 Hz (4%), die 2. von 2150 auf
2160 Hz (1%), die 3. von 2510 auf 2640 Hz (5%), die 4. von 2580 auf 2680 Hz
(4%) und die 5. von 3070 auf 3170 Hz (3%), um max. 5% beim 3. Eigenwert. Wie
170
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.86: Projekt ingord; 4. Eigenwert, Verformungen und Spannungen ohne
Vorspannung
wir an den Maximalausschlägen bei KNMAX schon erkennen, scheinen die
Eigenformen kaum verändert, denn die Knotennummern sind mit Ausnahme des
4. Eigenwerts (218 statt 220) gleich. Wir wollen uns die Werte im Postprozessor
ansehen und wählen dazu diesen 4. Eigenwert mit der spektakulärsten Eigenform.
Sinnvoll ist der Vergleich dieser Werte mit den Ergebnissen ohne Vorspannung,
wie wir diese in Bild 4.86 sehen. Bild 4.87 zeigt durch die Vorspannung eine nur
geringfügig höhere Spannung (75,9 gegenüber 74,3 N/mm 2) mit den Maxima in
der Bogenkontur an den gleichen Stellen.
4.12 Der Einfluss der Vorspannung in der Dynamik
171
Bild 4.87: Projekt ingord; 4. Eigenwert, Verformungen und Spannungen mit Vorspannung
Wir stellen fest, dass wir eine beachtliche Vorspannung benötigen, um
unterschiedliche Ergebnisse zu erhalten. In den meisten Fällen wird daher in der
Praxis auf diesen Effekt verzichtet.
4.13
Beispiel aus der linearen Dynamik mit rot.symm. Elementen,
Vergleich statische Last mit Stoßbelastung (ingors)
Wir wollen nun im Rahmen der dynamischen Berechnungen den Unterschied
zwischen einer statischen Last und einer Stoßbelastung untersuchen. Aus der
Erfahrung heraus kennen wir diesen Unterschied. Wir wissen, wenn wir einen
faustgroßen Stein auf unseren Fuß sanft auflegen, spüren wir kaum etwas. Lassen
wir jedoch den selben Stein aus 1 m Höhe darauf fallen, so wird er ähnlich wie ein
Ball abprallen und alles ist schon ziemlich schmerzhaft. Die Kraft ist durch die
Beschleunigung der Masse größer geworden. Wir haben einen Vorgang ähnlich
wie beim Anschlagen einer Stimmgabel. Jeder Schlag auf einen elastischen
Körper erzeugt eine Schwingung. Wie sieht das nun bei einer FEM-Berechnung
aus?
In der Dynamik unterscheidet man eine Vielzahl dynamischer
Belastungsmöglichkeiten in Form verschiedenartiger Erregungen. Die Erregung
kann dabei von allgemeiner Form, z.B. Kraftverlauf F über der Zeit t
(Stoßbelastung) oder sinusförmig sein. Im 2. Fall spricht man von harmonischer
Erregung. Wir wollen mit diesem und dem folgenden Beispiel beide
Erregungsarten erproben.
Beginnen wir mit der Stoßbelastung. Der Stoß als zeitabhängige Kraft wird bei
einem elastischen Körper in potenzielle Energie (Federungsarbeit) umgewandelt
und durchläuft diesen in abklingenden Wellen. Damit erhalten wir im Gegensatz
172
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
zur statischen Belastung mit nur einer Lösung eine Vielzahl von Lösungen zu
unterschiedlichen Zeitpunkten mit unterschiedlichen Verformungen und
Spannungen. Da uns immer die größte Verformung mit der größten Spannung
interessiert, die eventuell zum Versagen führen könnte, müssen wir dieses
Maximum suchen!
Als Modell wählen wir unseren Rotationskörper aus Dur-Aluminium mit
Stahlbolzen unter Eigengewichtslast ingord.fmp. Auf die Schrumpfbelastung als
Vorspannung wollen wir verzichten. In der Dynamik ist die Formulierung einer
Druckbelastung als Stoß recht umfangreich. Da es uns nur ums Prinzip geht,
wollen wir daher diese durch eine Einzellast bzw. eine Ringlast ersetzen. Wir
vergessen aber nicht, dass wir Einzellasten vermeiden sollen!
Wir starten wieder den Preprozessor und lesen als Ausgangsmodell
ingord.fmp ein. Dieses Modell haben wir zuvor erfolgreich in der Dynamik
verwendet. Es hat die um die Dichte ergänzten Materialbeschreibungen und die
richtigen Randbedingungen. Wir müssen nur eine Ringlast einfügen.
Unser Modell enthält nur noch die Eigengewichtsbelastung { Boday-Load }.
Wir ändern die Lastfallbezeichnung mit { Model > Load > Set >> ID = 1 > Title
= Einzellast als Ringlast > ok } und führen mit { Model > Load > Nodal >>
Knoten 100 wählen (Bild 4.88) > ok >> Force FY = -60 000 (wir müssen eine
große Last wählen, damit auch etwas passiert) > ok } die Ringlast ein.
Bild 4.88: Projekt ingors; Verformungen uns Spannungen unter statischer Last
Wir speichern unser rotationssymmetrisches Modell mit { Export >
Arbeitsverzeichnis > ingors.fmp > ok } ab. Vorher vergessen wir nicht, unsere
Projektbezeichnung zu ändern mit { File > Notes > dickwandiges Rohr mit
Bolzen (rot.symm.) (in die Folgezeile tragen wir ein) > mit Stossbelastung > ok }.
Bevor wir uns an den schwierigeren Teil, nämlich die Definition der
Druckbelastung
4.13 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente mit Stoßbelastung
173
machen, wollen wir zum Vergleich unseren Lastfall als statische Last untersuchen.
Wir starten dazu unser FEM-Programm. Als Option müssen wir nur setzen:
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen
einführen
> 2 > setzen
und wählen als Analysetyp { lineare Statik }. Wir erhalten die Spannungen (max.
gem. Vergleichsspannung 16.26 N/mm2) und Verformungen (max. 0.058 mm am
Krafteinleitungsknoten) gemäß Bild 4.88. Die verbotene Einzellast führt zu einem
großen Modellfehler im Bereich der Krafteinleitung, den wir ausnahmsweise
ignorieren wollen. Zurück zur Stoßbelastung. Da die Möglichkeiten in den
Optionen dazu nicht ausreichen, müssen wir wieder einmal ein Zusatzfile
ingors.zus mit dem Editor erzeugen, dessen Inhalt mit zugehörenden Erklärungen
nun folgt:
Zusatzfile ingors.zus
$**************** Zusatzeingabe zu INGORS (Stossbelastung) *********
SIMI NART 'MS' ANZE 10 MODA 1
MOTR KENN 1 ARTE 10 KN1 100 Y1 0 Y2 1. $
Kraftangriff in y-Richtung
MOER KENN 1 ARTE 10 $
Modalerregung
HARM WE4 .05 $
konstante Daempfung fuer alle Frequenzen
SMIS 'SIMI' 10 VSIM 1 $
Responseberechnung mit Stossbelastung
ERFU IANZ 5 ANZY 301 EXPO -2 XINT .0001 $$
Stoss-Funktion
X1 0 Y1 0 X2 0 Y2 60000. X3 .00015 Y3 60000. X4 .00015 Y4 0
ERFU X1 .0040 Y1 0 $
Fortsetzung der Funktion
RESP INTV 10 ARTA -2 DAMP 0.05 EXPI -2 INTI .0001 $ RESPONSE-Anfordrg
$
Ergebnisausgabe
TEXT LAFA 3 LFNR 2 $
1. SUPHA mit Time-History
SUPH 'TIME-HISTORY'KEN1 1 KEN2 30 OUTP 1 FORM 7 FAKT 1 KNR 100 LFNR 1
TEXT LAFA 3 LFNR 3 $
2. SUPHA Antwort nach .00001 s
SUPH 'ANTWORT NACH .00001 S' KEN1 1 OUTP 1
LFNR 2
TEXT LAFA 3 LFNR 4 $
3. SUPHA Antwort nach .0001 s
SUPH 'ANTWORT NACH .0001 S' KEN1 10 OUTP 1
LFNR 3
TEXT LAFA 3 LFNR 5 $
4. SUPHA Antwort nach .0003 s
SUPH 'ANTWORT NACH .0003 S' KEN1 30 OUTP 1
LFNR 4
ENDE
Diese Eingabe hat folgende Bedeutung:
Zeile SIMI: Datenart SIMIT zur Festlegung von Eigenfrequenzen und -formen
des gesamten Gleichungssystems
NART 'MS' > Normierungsart ist Massennormierung, um das auch einmal
auszuprobieren;
ANZE 10
> Die ersten 10 Eigenwerte ermitteln
MODA 1
> mit Modaltransformation
Zeile MOTR: Datenart zur Modaltransformation
KENN 1
> Nummer der Erregungsvariante
ARTE 10
> harmonische Krafterregung
KN1 100
> am Knoten 100
Y1 0 Y2 1. > Erregungsrichtung (in y-Richtung)
Zeile MOER: Datenart zur Modalerregung
KENN 1
> Nummer der Erregung
ARTE 10
> harmonische Krafterregung
Zeile HARM: Datenart zur Festlegung der Dämpfung und Erregung
174
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
WE4 0.05
> konstante Dämpfung mit 5% Materialdämpfung. Es gilt jedoch
die später in der Datenart RESP definierte Dämpfung!
Zeile SMIS: Datenart SMIS zur Festlegung von Eigenfrequenzen und -formen
über Matrixkondensation oder Modaltransformation
'SIMI'
> Übernahme der Eigenfrequenzen und -formen aus SIMIT
VSIM 1
> Erregungsvariante aus SIMIT (die Einflussfaktoren)
Zeile ERFU: Datenart zur Festlegung der Erregerfunktion (Bild 4.89)
IANZ 5
> Anzahl der Punkte der Erregerfunktion
ANZY 301 > Anzahl der zu untersuchenden y-Ordinaten der Erregung, legt
die Schrittanzahl fest
XINT 0.0001 > x-Intervall dazu (Gesamtzeit 301*0,000001 = 0,0003 s)
EXPO -2
> Exponent dazu ( XINT = 0,000001 s)
X1 0 Y1 0
>
1. Punkt der Erregerfunktion
X2 0 Y2 60000
>
2. Punkt der Erregerfunktion
X3 0.00015 Y3 60000 >
3. Punkt der Erregerfunktion
X4 0.00015 Y4 0
>
4. Punkt der Erregerfunktion
ERFU X1 0.004 Y1 0 >
5. Punkt der Erregerfunktion
Zeile RESP: Datenart zur Festlegung der Response und Dämpfung
INTV 10
> Ausgabeintervall der Ergebniswerte, bei 301 Intervallen
30 Ergebnisse von 0,0001 bis 0,00030 s
ARTA -2
> Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsantwort
DAMP 0.05 > 5% Materialdämpfung
EXPI -2
> Exponent zum nachfolgenden Integrationsintervall INTI
F
[N] Stoßkraft
100 000
60 000
50 000
0.1
0.2
0.3
4.0
Zeit t [ms]
Bild 4.89: Stoßfunktion der Erregung 60000 N in 0.00015 s
INTI .0001 > Integrationsintervall entsprechend XINT in ERFU
Zeile TEXT: Datenart zur Festlegung der Ergebnisausgabe
LAFA 3
> Rücktransformation (SUPH) der modalen Ergebnisse aus der
Dynamik
LFNR 2
> laufende Nummer der Variante, bei Rücktransformation > 1
Zeile SUPH: Datenart zur Festlegung der Daten zur Rücktransformation
4.13 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente mit Stoßbelastung
175
'TIME-HISTORY' > Lastfallüberschrift (max. 44 Zeichen) in Hochkomma
KEN1 1
> Ergebnisauswahl von Ergebnis 1
KEN2 30
> bis Ergebnis 30 (alle ausgegebenen Ergebnisse)
OUTP 1
> max. Weg (Amplitude) je Zeitpunkt
FORM 7
> Überlagerungsart der Ausschläge, hier geometrische Addition
der Verschiebungen vx, vx, vx
KNR 100
> für Knoten Nummer 100 (jeweils nur 1 Knoten möglich)
LFNR 1
> laufende Nummer der SUPH-Eingabe
Zeile SUPH: Datenart zur Festlegung der Daten zur Rücktransformation
'ANTWORT NACH .00001 S'
> Lastfallüberschrift (max. 44 Zeichen) in Hochkomma
KEN1 1
> Ergebnisauswahl, hier Ergebnis 1
OUTP 1
> Weg (Amplitude) je Zeitpunkt für alle Knoten
LFNR 2
> laufende Nummer der SUPH-Eingabe
Zeile SUPH: Datenart zur Festlegung der Daten zur Rücktransformation
'ANTWORT NACH .0001 S'
> Lastfallüberschrift (max. 44 Zeichen) in Hochkomma
KEN1 10
> Ergebnisauswahl, hier Ergebnis 10
OUTP 1
> Weg (Amplitude) je Zeitpunkt für alle Knoten
LFNR 3
> laufende Nummer der SUPH-Eingabe
Zeile SUPH: Datenart zur Festlegung der Daten zur Rücktransformation
'ANTWORT NACH .0003 S'
> Lastfallüberschrift (max. 44 Zeichen) in Hochkomma
KEN1 30
> Ergebnisauswahl, hier Ergebnis 30
OUTP 1
> Weg (Amplitude) je Zeitpunkt für alle Knoten
LFNR 4
> laufende Nummer der SUPH-Eingabe
Zeile ENDE: Eingabe-Ende; nie vergessen
Dazu sind einige Erklärungen erforderlich. Wie in Abschn. 2.4 ausführlich
erläutert (vielleicht sollte man diesen noch einmal lesen?), stehen in unserem
FEM-Programm 2 Verfahren zur Lösung von Dynamikproblemen zur Verfügung.
Zum einen das bisher in den Dynamikbeispielen verwendete SIMIT-Verfahren, bei dem das Eigenwertproblem mit dem vollen Gleichungssystem gelöst
wird und zum anderen das SMIS-Verfahren, bei dem das Eigenwertproblem über
Matrixkondensation gelöst wird. Das SIMIT-Verfahren entspricht den heute
üblichen Verfahren in der FEM, denn seine Anwendung zur Berechnung der
Eigenfrequenzen und -formen setzt beim Anwender keine speziellen Kenntnisse
der Dynamik voraus. Bei der Matrixkondensation jedoch müssen vom Anwender
die Master-Knoten definiert werden, auf welche die Massen und Steifigkeiten
kondensiert werden. Die Anzahl der so festzulegenden dynamischen
Freiheitsgrade ist zudem auf 500 begrenzt. Hier hat nur ein erfahrener Anwender
Erfolg.
Das SMIS-Verfahren dient daher, wie in diesem Beispiel, heute nur noch zur
Responseberechnung bei allgemeiner Erregung als Kraft über der Zeit, unserer
Stoßbelastung. Die schon erwähnte harmonische Erregung ist dagegen nur mit
176
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
dem SIMIT-Verfahren möglich. Wir werden dies im nachfolgenden Beispiel
ausführlich beschreiben und auch anwenden.
Unsere Aufgabe wird vom FEM-Programm bei Auswahl der Mixed-Methode
(SIMIT- und SMIS-Verfahren zusammen einsetzen) wie folgt gelöst:
Zunächst werden mit dem SIMIT-Verfahren die Eigenwerte bestehend aus
Eigenfrequenzen und -formen gelöst. Dann erfolgt im gleichen Verfahren die
Modaltransformation auf die ausgewählten Eigenwerte, in unserem Fall 10, die
wir für die dann folgende Modalanalyse benötigen.
Was verstehen wir unter Modaltransformation bzw. Modalanalyse?
Ein einfache Erklärung finden wir bei Robert Gasch und Klaus Knothe [17].
Man weiß, das bei der Analyse der freien Schwingungen des ungedämpften
Systems, sich die Schwingungsantwort unabhängig von den Anfangsbedingungen
stets aus den reellen Eigenvektoren zusammensetzt, die mit ihren zugeordneten
Eigenfrequenzen harmonische Schwingungen ausführen. Es liegt daher der
Verdacht nahe, dass auch bei erzwungenen Schwingungen ein Ansatz erfolgreich
ist, der die Systemantwort nur aus den Beiträgen der einzelnen Eigenformen
aufbaut. Dies ist in der Tat möglich.
Ein System mit Tausenden von Freiheitsgraden (unser kleines Beispiel hat
1 134) lässt sich somit auf die ausgewählte Anzahl Eigenwerte (bei uns 10)
reduzieren. Damit hat sich diese modale Betrachtungsweise (englisch: mode =
Eigenform) in den letzten Jahrzehnten im Ingenieurwesen durchgesetzt..
Voraussetzungen für die Modalanalyse mit Erregung an ausgewählten Knoten
sind neben den ausgewählten Eigenfrequenzen und -formen die Einflussfaktoren
(in unserem Fall jeweils 10). Mit den Einflussfaktoren, die bei der
Modaltransformation im SIMIT-Verfahren entstehen, ist der Anteil der Erregung
an den Freiheitsgraden festgelegt.
Mit diesen Daten kann das SMIS-Verfahren die Erregungsberechnung für
unsere Stoßfunktion bei 5% Materialdämpfung durchführen. Dazu muss lediglich
noch vom Anwender der zu untersuchende Zeitraum definiert werden.
Auf eine Schwierigkeit bei der Modalanalyse muss unbedingt noch
hingewiesen werden. Der Anwender muss die für die Untersuchung geltende
Anzahl Eigenwerte festlegen. Je mehr man auswählt, um so genauer wird das
Ergebnis in Verbindung mit steigenden Rechenzeiten. Werden zu wenig
Eigenwerte ausgewählt, so kann es vorkommen, dass die für die entsprechende
Erregung maßgeblichen Eigenwerte noch gar nicht enthalten sind. Damit erhält
man u.U. ein falsches Ergebnis! Es macht Sinn, bei unserer Untersuchung die
Anzahl Eigenwerte von 10 auf 15 z.B. zu erhöhen, um zu sehen, was passiert und
um Erfahrungen zu sammeln. Natürlich sollte man auch mit der Dämpfung ein
wenig herumprobieren um auch für deren Einfluss mehr Gefühl zu bekommen.
Vergessen wir bei dieser Überlegung auch nicht, dass bei einer
Dynamikberechnung mit unserem FEM-Programm die statische Belastung aus
Lastfall 1 noch wirksam ist, wie im Abschn. 4.11 erläutert. Mit der Stoßfunktion
im Zusatzfile haben wir deren Größe und zeitlichen Verlauf neu definieren
müssen. Wir müssen noch im Preprozessor die statische Ringlast mit { Delete >
4.13 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente mit Stoßbelastung
177
Model > Laod Individual > Knoten mit Ringlast klicken > ok > ja } löschen und
das Modell erneut ins Arbeitsverzeichnis speichern.
Mit diesen Vorüberlegungen können wir endlich unser FEM-Programm starten.
Die Option { Zwischenknoten mit Randbedingungen einführen > 2 } haben wir
schon im Statiklauf gesetzt. Für die Dynamikberechnung müssen wir daher keine
weiteren Optionen setzen, denn wir haben alles schon im Zusatzfile ingors.zus
festgelegt (dieses findet sich, wie auch unser Eingabefile ingors.fmp auf der
beiliegenden CD unter \Springer\Kapitel4\ingo\ ).
Wir starten mit Analysetyp { Dynamik > mixed Methode > Start }.
Was erwarten wir für Ergebnisse? Da wir gegenüber der linearen Statik mit der
gleich großen Ringkraft F gerechnet haben, sollten die Verformungen und
Spannungen in etwa gleich groß sein.
Wie schon festgestellt, besteht der Unterschied gegenüber der statischen
Belastung darin, dass bei der dynamischen Belastung eine Stoßwelle erzeugt wird,
die über die Dämpfung abklingt. Damit sind Spannungen und Verformungen der
Struktur zeitabhängig. In unserem Zusatzfile haben wir mit ANZY 301
Zeitschritte verlangt, so dass wir 301 Lösungen bekommen. Davon haben wir mit
INTV = 10 jeden 10. ausgegeben. Von diesen 30 Lösungen haben wir dann 3
Lösungen ausgewählt (zu den Zeitpunkten .00001, .0001 und .003 s), für die wir
die Rücktransformation der Verschiebungen verlangt haben. Unser Ziel ist es, den
Zeitpunkt mit den Maximalwerten zu finden und diese Ergebnisse auszuwerten.
Dazu betrachten wir mit Zeitpunkt .00001 s die Lösung am Beginn der
Schwingung und mit Zeitpunkt .003 s am Ende. Den Zeitpunkt mit der max.
Amplitude entnehmen wir dem Protokollfile ingors-d.prt.
Im Zusatzfile haben wir in der Festlegung der Ergebnisausgabe mit der 1.
SUPH-Zeile mit der Auswahl alle Ergebnisse (KEN1 = 1; KEN2 = 30) für Knoten
(KNR = 100, der Knoten mit der Kraft) angezeigt, dass wir einen Überblick über
den zeitlichen Verlauf der Verschiebungsamplituden wünschen, wie wir diesen
auszugsweise nachfolgend sehen.
Auszug aus ingors-d.prt:
TIME-HISTORY AM KNOTEN 100
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ZEIT
0.00008 0.00009 0.00010 0.00011 0.00012 0.00013 0.00014
X-RICHTG 0.00064 0.00023 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
Y-RICHTG 0.01465 0.01675 0.01854 0.01998 0.02106 0.02180 0.02225
Z-RICHTG 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
TIME-HISTORY AM KNOTEN 100
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ZEIT
0.00015 0.00016 0.00017 0.00018 0.00019 0.00020 0.00021
X-RICHTG 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
Y-RICHTG 0.02244 0.02213 0.02100 0.01919 0.01684 0.01411 0.01116
Z-RICHTG 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
Wir erkennen das Amplitudenmaximum beim Zeitpunkt 0.00015 s mit v y. =
0.02244 mm. Leider ist damit nicht garantiert, dass sich zum gleichen Zeitpunkt
auch das Spannungsmaximum einstellt. Weil der Autor schon ein wenig mehr
178
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Information hat, wählen wir zunächst als weiteren Ausgabezeitpunkt 0.0001 s
(Bild 4.90). Wir werden sehen, dass wir dann die max. Spannungen erhalten.
Die Ausgabe zum Zeitpunkt 0.00015 s können wir hinterher noch
ausprobieren. Der Vergleich der max. Amplitude von 0.0224 mm zu diesem
Zeitpunkt mit der max. Verschiebung von 0.0585 mm aus der linearen Statik zeigt
einen deutlichen Unterschied, der auch in den Verformungsfiguren zu den 3
ausgewerteten Zeitpunkten sichtbar wird.
Bild 4.90: Projekt ingors; Verformungen und Spannungen bei Stoßbelastung nach .00001 s
Bild 4.91: Projekt ingors; Verformungen und Spannungen bei Stoßbelastung nach .0001 s
4.13 Beispiel lineare Dynamik, rot.symm. Elemente mit Stoßbelastung
179
Bild 4.92: Projekt ingors; Verformungen und Spannungen bei Stoßbelastung, t= .0003 s
Schauen wir uns die Ergebnisse der 3 Zeitpunkte im Postprozessor an.
Beachten wir dabei, dass unser Zeitpunkt 1 zur Zeit t = 0.000001s ist und nicht
identisch mit unserem 1. Ergebniszeitpunkt mit t = 0.00001 s ist.
Daher sehen wir in Bild 4.90 zwar noch eine erwartete Verformungsfigur mit
der großen Verformung am Lastangriff, jedoch befindet sich die max. Spannung
am x-Lager im Bolzen und ist mit 0.6 N/mm2 sehr klein. Die Stoßwelle schwingt
gerade wieder zurück.
Um die max. Spannung am Lastangriff wie bei der statischen Belastung Bild
4.88 zu sehen, müssten wir ein anderes Zeitintervall wählen, z.B. INTV = 2. Bei
der Stoßbelastung finden wir die max. Spannung jedoch zum Zeitpunkt t = 0.0001
s, die mit ca. 20 N/mm2 sogar etwas größer als bei der statischen Belastung mit
16.26 N/mm2 ist. Nach unseren Vorüberlegungen hatten wir so etwas erwartet.
Auch die Verformungen und Spannungen zu unserem letzten Ergebniszeitpunkt
von 0.0003 s sind bemerkenswert (Bild 4.92). In den Verformungen erkennen wir
deutlich eine Gegenschwingung am Stoßangriffspunkt, während mit ca. 18 N/mm 2
die Spannung im Bolzen fast so groß ist, wie nach 0.0001 s.
Eine kritische Bemerkung zur Modalanalyse muss noch gemacht werden.
Dieses in den FEM-Programmen meist genutzte Verfahren hat durchaus
Nachteile. Zum einen muss der richtige Frequenzbereich ausgewählt werden, dies
ist fehlerträchtig und zum anderen haben wir es hier mit einem
Näherungsverfahren zu tun. Daher sollte man die Ergebnisse nicht ohne Vorbehalt
verwenden!
Wir fassen zusammen. Eine Stoßbelastung verlagert gegenüber der statischen
Last den Ort der max. Spannung, wobei zu beachten ist, dass diese größer als im
statischen Fall werden kann. Eine wichtige Erkenntnis.
4.14
Beispiel aus der linearen Dynamik mit Schalenelementen, mit
Fußpunkterregung = Erdbeben (ingoeb)
Wir wollen nun weitere Möglichkeiten dynamischer Belastungen und damit
Erregungen betrachten und erproben. Wir hatten schon festgestellt, dass es neben
der zuvor erprobten allgemeinen Erregung noch die wichtige harmonische
Erregung gibt. Diese Aufgaben löst in unserem FEM-Programm das SIMITVerfahren. Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen harmonischer Krafterregung
und harmonischer Fußpunkterregung.
Die Krafterregung erfolgt dabei an auszuwählenden Knoten unter Festlegung
von Größe und Richtung der Kraft (oder des Moments) sowie der Phase. Die
Erregung kann auch phasenverschoben sein.
Unter Fußpunkterregung versteht man hingegen die Erregung an allen Knoten
mit Randbedingungen, den Lagerbedingungen, somit an allen Fußpunkten. Dies
entspricht in der Realität einer Erregung durch Erdbeben, wobei der Verlauf aus
Messungen von schweren Beben gewonnen wurde. Erregt werden die Fußpunkte
180
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
über ein Antwortspektrum, in welchem die Erregungsrichtung R als das Vielfache
der Erdbeschleunigung g über der Frequenz F aufgetragen ist.
In beiden Erregungsfällen entspricht der Verlauf der Erregung einer
Sinuswelle, daher die Bezeichnung harmonisch.
Wir wollen uns auf eine Erregungsart beschränken. Obwohl die harmonische
Krafterregung mit Frequenzgang (s. dazu die Beispiele bstuev.fre und bsgang.fre
im Verzeichnis \Wtp2000\Tp2000\Examples\Dynam\) für jeden Knoten im
Maschinen-, Fahrzeug- und Schiffbau von großer Bedeutung ist, wählen wir die
etwas spektakulärere Erdbebenerregung aus. Als Ausgangsmodell wollen wir
unser Schalenmodell ingos.fmp verwenden.
Um eine realistische Erdbebenuntersuchung zu machen, ändern wir dieses in
eine ca. 20 m hohe Betonwandscheibe mit 3 Durchbrüchen und 0,5 m Dicke um.
Das könnte dann z.B. die Wand eines Kraftwerkblocks sein.
Im Preprozessor müssen wir dazu wieder unser Ausgangsmodell ingos.fmp
laden und folgende Schritte erledigen.
1. Die Modellgeometrie durch Skalieren mit 0.05 von ca. 600 x 400 mm in 30 x
20 m (die Wand wird damit ca. 20 m hoch) und die Elementdicke auf 0.5 m
verändern. Dazu die Einheiten und die Werte des Materials von mm in m und
von N in kN ändern und die Dichte einführen..
2. Durch Löschen von Elementen 3 Durchbrüche schaffen.
3. Die ursprüngliche Last löschen und die Eigengewichtsbelastung zur
Erzeugung der Massenmatrix einführen.
Wir beginnen mit der Geometrieänderung. Aus 100 mm wollen wir 5 m machen.
Dazu skalieren wir die Knotenkoordinaten in alle Richtungen um dem Faktor 0.05
mit { Modify > Scale > Node >> Select All > ok > Select Coordinates to Scale
About = 0 / 0 / 0 (Nullpunkt) > ok > Scale Factor > X = .05 ; Y = .05 ; Z = .05 >
ok }.
Um danach unser Modell zu sehen, müssen wir es stark vergrößern. Die
Elementdicke ändern wir mit { Modify > Edit > Property >> ID = 1 (müsste
angeboten werden) > ok >> T1 = 0.5 > ok }.
Die Materialdaten wollen wir wie folgt ändern mit { Modify > Edit >
Material >> ID = 1 müsste angeboten werden) > ok >> Title = Stahlbeton-kNM-C ; E = 200 000 000 kN/m2 ; nu = 0.3 ; Density = 2.4 Mg/m3 (für Stahbeton) >
ok }.
Nun können wir die Durchbrüche mit { Delete > Model > Element > Select
Elements > die 6 Elemente gemäß Bild 4.93 klicken – die sind zwar schon
gelöscht, aber wir wissen, was gemeint ist > ok > ja } erzeugen. Damit der obere
Durchbruch unten waagerecht wird, verschieben wir die Koordinaten von Knoten
70 mit
{ Modify > Edit > Node > X = 0 ; Y = 21.1897 > ok }. Die
Randbedingungen können wir so lassen, wie sie sind. Der untere Rand ist fest
4.14 Beispiel lineare Dynamik, Schalenelemente mit Erdbeben
181
eingespannt, Bild 4.93: Projekt ingoeb; unser Hosenblech als Stahlbetonwandscheibe mit
Randbedingungen unten
wie gewünscht. Unser Modell müsste nun aussehen wie in Bild 4.93.
Mit { Tools > Mass Properties > Mesh Properties >Select Elements > All >
ok > ok } prüfen wir sicherheitshalber die Gesamtfläche (Total Area = 578.48 m2),
das Gesamtvolumen (Total Volume = 289.24 m3) und das Gesamtgewicht (Total
Mass = 694 Mg [früher Tonnen] ), denn die richtige Masse ist die Voraussetzung
für eine dynamische Berechnung.
Fehlt nur noch die Eigengewichtsbelastung. Da wir die vorhandene statische
Belastung nicht benötigen, löschen wir diese mit { Delete > Model > Load Set >>
Select All > ok } und erzeugen eine neue Lastfallüberschrift mit { Model > Load
> Set > ID = 1 > Title = Eigengewichtslast in y > ok }. Nun können wir die
Eigengewichtslast einführen mit { Model > Load > Body >Acceleration > Active
= an > Translation/Gravity Y = 1.0 > ok }. Wir ändern die Projektbezeichnung
unter { File > Notes > Hosenrohr als Wandscheibe unter Erdbeben / Dicke .5 m
> ok } und speichern unser neues Modell als ingoeb.fmp ins Arbeitsverzeichnis.
Bevor wir die Eingabe für die Erdbebenberechnung definieren wollen,
berechnen wir uns zunächst die ersten 10 Eigenwerte und -formen. Damit erhalten
wir einen wichtigen Einblick in das Schwingverhalten unseres Modells. Wir
starten des FEM-Programm und setzen folgende Optionen:
Vorsicht! Wenn das später beschriebene Zusatzfile ingoeb.zus schon im
Arbeitsverzeichnis vorhanden ist, wird damit die Modalanalyse angefordert. Wir
müssen dieses File zunächst umbenennen!
Optionen > Allgemein > Zwischenknoten mit Randbedingungen einführen
> 2 > setzen
Optionen > Dynamik > Anzahl Eigenwerte festlegen
> 10 > setzen
Wir starten die Berechnung mit { Dynamik > Standard-Dynamik-Methode >
Start } und erhalten im Ausgabefenster für die max. Spannung 598 000 kN/m2.
Die Standardnormierung mit 0.1 m führt zu unsinnig hohen Spannungen. Wir
wiederholen daher die Berechnung mit der zusätzlichen Option
Optionen > Dynamik > Normierungsfaktor N für Eigenwertnormierung
> 0.05 > setzen
Damit wird die max. Verformung 50 mm und wir erhalten eine sinnvolle
Spannung von 294 501.0 N/m2. Dem Bauingenieur wohl vertraut. Wer aber
gewohnt ist, in N und mm zu rechnen, wird hier sicher stolpern. Die zulässige
Spannung von Baustahl St37 beträgt 200 000 kN/m2, wir können beruhigt sein.
Schauen wir uns im Protokollfile ingoeb-d.prt die Ergebnisse der
Eigenwertberechnung an.
Protokollfile ingoeb-d.prt: (auszugsweise)
HOSENBLECH ALS WANDSCHEIBE UNTER ERDBEBEN
INGO
VERWENDETE EINHEITEN : M
KN C
Gewichtskraefte und Gewicht der Struktur
[KN]
[Mg]
Netz:
0 0.680992E+04 0.694182E+03
Summen:
0.680992E+04 0.694182E+03
908
182
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
schwingende Massen:
MSx =
651.98913574 [Mg]
MSy =
651.98913574 [Mg]
MSz =
651.98913574 [Mg]
1 11.4521.3417.4632.6038.5918.7920.1742.7849.5143.29
2 0.34 1.34 1.22 3.22 1.98 4.58 3.96 3.53 7.26 7.22
3 0.03 0.10 0.20 0.22 0.33 0.19 0.48 0.55 0.47 0.61
.
14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.02 0.01
PROGRAMM NACH 14 ITERATIONSZYKLEN BEENDET
1.EW LAMB .108+03 FREQ .165+01 KNMAX 69 NFAK .963-01
2.EW LAMB .400+03 FREQ .318+01 KNMAX 134 NFAK .500-01
3.EW LAMB .201+04 FREQ .714+01 KNMAX 134 NFAK .223-01
4.EW LAMB .402+04 FREQ .101+02 KNMAX 69 NFAK .158-01
5.EW LAMB .696+04 FREQ .133+02 KNMAX 33 NFAK .120-01
6.EW LAMB .879+04 FREQ .149+02 KNMAX
7 NFAK .107-01
7.EW LAMB .141+05 FREQ .189+02 KNMAX 134 NFAK .842-02
8.EW LAMB .303+05 FREQ .277+02 KNMAX
7 NFAK .575-02
9.EW LAMB .308+05 FREQ .279+02 KNMAX 69 NFAK .569-02
10.EW LAMB .351+05 FREQ .298+02 KNMAX 109 NFAK .534-02
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
.100+01
Wir finden unsere neuen Einheiten kN und m bestätigt und auch das
Gesamtgewicht von 694 Mg. Da in allen 3 Richtungen die Randbedingungen
gleich sind, gilt dies auch für die schwingenden Massen von 652 Mg. Das
Eigenwertproblem konvergiert nach 11 Iterationen. Die ersten 10 Eigenfrequenzen
liegen zwischen 1.65 und 29 Hz. Wir wollen uns die 1., 4., 5. und 6. (14.9 Hz)
Eigenform im Postprozessor ansehen (Bild 4.94 und 4.95), denn die
generalisierten Massen sind dort hoch und unser Erregerspektrum in Bild 4.96 ist
bei 18 Hz nahezu abgeklungen. Der 7. - 10. Eigenwert mit 18,9 bis 29 Hz und alle
4.14 Beispiel lineare Dynamik, Schalenelemente mit Erdbeben
183
höheren Eigenwerte sind bei Bild 4.94: Projekt ingoeb; 1. Eigenform 1.65 Hz und 4.
Eigenform 10 Hz
Bild 4.95: Projekt ingoeb; 5. Eigenform 13 Hz und 6. Eigenform 15 Hz
dem gewählten Erregerspektrum geringfügig oder gar nicht beteiligt.
Bemerkenswert ist auch noch, dass wir die höchsten normierten Spannungen im 5.
Eigenwert haben.
Nun aber zu unserer eigentlichen Erdbebenberechnung. Dazu benötigen wir
zuerst ein Antwortspektrum. Im Bauwesen und im Stahlbau finden sich diese in
den DIN-Normen. Ein einfaches und spektakuläres Spektrum, das wir verwenden
wolR
m/s2
Response
3
1.5
184
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 F
Hz
Bild 4.96: Angenommenes Erregerspektrum, Rmax = 2.8 g
len, zeigt Bild 4.96.Die Beschleunigung mit max. 2.8 g ist dabei ziemlich hoch,
der Frequenzbereich bis ca. 18 Hz liegt im Bereich von Bauwerken und großen
Stahlbaustrukturen, wie z.B. Krane (siehe dazu Kap. 5)
Da wir in den Optionen nur ein Spektrum mit 4 Punkten definieren können,
müssen wir wieder ein Zusatzfile ingoeb.zus erstellen, wie wir dieses nachfolgend
sehen. Bei dieser Gelegenheit werden wir die vollständige Dynamikeingabe
definieren. Wir bedenken dabei, dass die Eingabewerte in den Optionen vorrangig
vor denen im Zusatzfile sind Widersprüchliche Eintragungen sind gefährlich.
Zusatzfile ingoeb.zus:
SIMI NFAK .05 NART 'AM' ANZE 10 MODA 1
$ Normierungsfaktor/Art
MOTR KENN 1 ARTE 1 Z1 0 Z2 1.0 $ Art und Richtung der Modalerregung
MOER KENN 1 ARTE 1 ARTI 3
$ Fusspunkterregung Beschl./Freq.
$ Erregerspektrum
$ Frequenzen mit zugehoerenden Beschleunigungen (ARTI 3)
HARM WE1 WE2
WE3
WE4
WE5
WE6
WE7
WE8
0. 1.5
3.0
3.9
5.7
9.0
18.0 30.0 $ (Hz)
0. 1.7
2.8
1.9
1.0
.7
.2
.10 $ (m/s2)
TEXT LAFA 5 LFNR 2 $ Ergebnisausgabe mit Ruecktransformation
SUPV 'Erdbeben-Antwort' KEN1 1 OUTP 1 FAKT 1.0
ENDE
Diese Eingabe hat folgende Bedeutung:
Zeile SIMI: Datenart SIMIT zur Festlegung von Eigenfrequenzen und -formen
des gesamten Gleichungssystems
NFAK .05
> Normierungsfaktor 0.05 m, wie in der vorausgegangenen
Eigenwertanalyse (in den Optionen schon gesetzt),
NART 'AM' > Normierungsart ist Amplitudennormierung, wie in der
vorausgegangenen Eigenwertanalyse (in den Optionen schon
gesetzt),
ANZE 10
> Die ersten 10 Eigenwerte ermitteln, wie in der
vorausgegangenen Eigenwertanalyse (in den Optionen schon
gesetzt),
MODA 1 > mit Modaltransformation
Zeile MOTR: Datenart zur Festlegung der Modaltransformation
KENN 1
> Nummer der Erregungsvariante
ARTE 1
> Fußpunkterregung (Erdbeben) über Responsspektrum
Z1 0 Z2 1. > Erregungsrichtung (in z-Richtung = transversal)
Zeile MOER: Datenart zur Festlegung der Modalerregung
KENN 1
> Nummer der Erregung
ARTE 1
> Fußpunkterregung (Erdbeben) über Responsspektrum,
Wiederholung gegenüber Datenart MOTR zur Kontrolle
ARTI 3
> Erregungsform Beschleunigung (über der Frequenz)
Zeile HARM: Datenart zur Festlegung der Erregerfunktion
WE1- WE8 > 1. Zeile Frequenzverlauf in Hz
4.14 Beispiel lineare Dynamik, Schalenelemente mit Erdbeben
185
> 2. Zeile Beschleunigungsverlauf in m/s2
(max. 10 Kurvenpunkte möglich!)
Zeile TEXT: Datenart zur Festlegung der Ergebnisausgabe
LAFA 5
> Rücktransformation der Verschiebungen auf alle Knoten bei
Erregung über Antwortspektrum
LFNR 2
> laufende Nummer der Ergebnisausgabe (muss bei
Rücktransformation immer 2 sein)
Zeile SUPV: Datenart zur Festlegung der Rücktransformation
'Erdbeben-Antwort' > Lastfallüberschrift im Ergebnisfile (max. 44 Zeichen) in
Hochkomma
KENN 1
> Nummer der Erregung
OUTP 1
> Ausgabewerte sind Wege = Verschiebungen
FAKT 1.0
> Überhöhungsfaktor der Verschiebungen
Zeile ENDE: Eingabe-Ende; nie vergessen
Diese gesamte Eingabe stellt die Minimalform bei Erdbebenerregung dar. Mit
der SIMI-Zeile wird die Eigenwertberechnung festgelegt, gefolgt von der MOTRZeile für die Modaltransformation, die im vorherigen Abschnitt ausführlich
beschrieben wurde. Wichtig ist dabei die Erregungsart Erdbeben (wir können auch
noch harmonische Fußpunkt- oder Krafterregung auswählen) und die
Erregungsrichtung. Bei einem Erdbeben ist es entscheidend, ob die Erregung
longitudinal (Längserregung = x- oder z-Richtung in unserem Fall) oder
transversal (Querrichtung = y-Richtung in unserem Fall) verläuft. Wir wählen mit
der z-Richtung die sicher kritischste Form aus, die unsere Wand möglicherweise
umwirft. Die anderen beiden Richtungen sollte man ausprobieren. Dabei wird sich
zeigen, dass in x-Richtung wenig und in y-Richtung gar nichts passiert. Natürlich
kann auch eine Mischung der Erregungsrichtungen eingegeben werden.
Mit der Datenart MOER muss die Ordinate der Erregerfunktion festgelegt
werden. Bei Erdbebenberechnung ist als Ordinate die Beschleunigung zwingend
vorgeschrieben (ARTI = 3). Bei harmonischer Erregung sind zusätzlich Weg und
Geschwindigkeit möglich. Die Abszisse ist in jedem Fall der Frequenzverlauf. Mit
Datenart HARM wird dann die Erregerfunktion definiert, wobei max. 10 Punkte
möglich sind. Bei Erdbebenberechnung ist die Berücksichtigung einer
Materialdämpfung in unserem FEM-Programm leider nicht möglich. Nicht so
schlimm, denn ohne Dämpfung liegen wir auf der sicheren, weil kritischeren
Seite.
Mit den Datenarten TEXT und SUPV müssen wir letztlich die Form der
Ergebnisse mit der Rücktransformation auf alle Knoten festlegen, denn wir haben
alles nur modal gerechnet.
Nun können wir endlich unsere Erdbebenberechnung starten, wobei die
richtigen Optionen schon bei der Eigenwertanalyse zuvor gesetzt wurden und auch
nicht im Widerspruch zu den Eingaben im Zusatzfile sind. Doch halt! Da wir uns
bei Stahlbeton besonders für die Druckspannungen interessieren, die vom Beton
aufgenommen werden müssen (die Zug- und Schubspannungen müssen vom
Bewehrungseisen
aufgenommen
werden),
wollen
wir
in
der
Vergleichsspannungshypothese bei dominierenden Druckhauptspannungen auf die
186
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Normalspannungshypothese umschalten. In solch einem Fall erhalten dann die
Vergleichs-spannungen ein negatives Vorzeichen. Wir setzen zusätzlich die
Option:
Optionen > Spannungsberechnung > Vergleichsspannungs /DehnungsHypothese (neg.) > -3 > setzen
(von Mises Umschalten auf Normalspg.Hyp.)
Mit { Dynamik > Standard-Dynamik-Methode > Start } werden dann
zunächst, wie im vorigen Lauf, die angeforderten 10 Eigenfrequenzen und formen berechnet. Mit diesen wird dann die Modaltransformation und damit die
Erregungsrechnung durchgeführt. So erhalten wir im Ergebnisfall nur ein
Ergebnis, nämlich die Verschiebungsantwort mit zugehörenden Spannungen. Wir
beachten dabei, dass diese Verschiebungen und Spannungen nun nicht mehr
normierte, sondern reale Werte sind.
Schauen wir uns das Ergebnis im Postprozessor an. Wir laden unser
Ergebnisfile ingoeb-d.fmp und schauen uns zunächst die sehr aufschlussreiche
Animation an, von der wir auch ein Videoclip auf beiliegender CD unter
\Springer\Kapitel4\ ergbeb.avi finden.Nachdem wir die Darstellungs-Optionen
für die Animation wie in Abschn. 4.11, gesetzt und als Contour-Vektor { 21.
Sigma_Vergl. 2D gem.
Bild 4.97: Projekt ingoeb; Erdbebenantwort bei Longitudinalerregung
Bild 4.98: Projekt ingoeb; Erregerkräfte an den Fußpunkten mit Verformungen in Isofarben
oben
}
ausgewählt
haben,
erkennen
wir
sofort
das
hohe
Schubspannungsmaximum am linken Rand mit ca. 60 000 kN/m2 (Bild 4.97). Zu
hoch, denn ab einer Schubspannung von 30 000 kN/m2 wird es bei hochfestem
Beton kritisch.
Unsere Wand wird nach dem Erdbeben Risse aufweisen, aber bei einem max.
Ausschlag von ca. 27 mm wohl stehen bleiben. Bedenken wir jedoch, dass die
Wand in Wirklichkeit durch Querwände und Decken abgestützt wird, und daher
4.14 Beispiel lineare Dynamik, Schalenelemente mit Erdbeben
187
die Ausschläge viel geringer sein werden. Wir können das mal ausprobieren,
indem wir jeweils oben links und rechts ein Lager in z-Richtung einführen.
Interessant sind sicher auch die Stützkräfte und die Verteilung an den erregten
Fußpunkten. Diese sehen wir in Bild 4.98. Vergessen wir dabei wieder nicht, dass
wir mit Zwischenknoten gerechnet haben und nur die Stützkräfte an den
Eckknoten sehen. Der Verlauf wird aber deutlich sichtbar.
4.15
Beispiel aus der linearen Dynamik mit Membranelementen,
Beispiel ingom als Akustikproblem (ingoak)
Zur Lösung von Akustikproblemen wir die FEM vorwiegend im Bauwesen
(Raumakustik,
Schallschluckwände
usw.)
und
im
Fahrzeugbau
(Geräuschoptimierung) eingesetzt. In der Beispielsammlung des FEM-Programms
findet sich unter Wtp2000\Tp2000\Examples\Dynam\bsakus.fmp ein einfaches
Modell zur Unter suchung der Innenraumakustik eines Pkws. Dabei werden die
Eigenfrequenzen und -formen des Fahrgastraums, das Schwingverhalten der
Luftsäule untersucht. Durch Dämmmatten an den als starr angenommenen
Rändern bzw. Oberflächen
Bild 4.99: Beispiel bsakus; 1. bis 4. Eigenform (83 bis 205 Hz) der Luftsäule in einem
Pkw-Fahrgastraum
werden die Eigenformen so verändert, dass die max. Amplituden nicht mehr in der
Höhe der Fahrgastköpfe liegen. Bild 4.99 zeigt von diesem Beispiel die ersten 4
Eigenformen der Luftsäule mit den Maximalamplituden in der Hutablage und vor
der Rückbank.
188
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Mit unserem ingo-Modell wollen wir jetzt ein ähnliches Problem lösen. Als
Ausgangsmodell verwenden wir unser Membranmodell ingom.fmp, dabei
erhöhen wir die Elementdicke analog zum Fahrgastraum, um ein sinnvolles
Volumen zu erhalten.
Wir wollen das Schwingungsverhalten einer Luftsäule untersuchen, das durch
die Modellfläche mal Elementdicke gebildet wird. Dazu müssen wir diese
Luftsäule in Elemente zerlegen. Dies ist schon erledigt. Sinnvoll wäre es , unser
Raumelementmodell ingor.fmp zu verwenden und die Anzahl Elementschichten
auf die Elementdicke erhöhen. Leider geht das nicht, denn wir sprengen damit mit
Sicherheit die max. zulässige Anzahl von 300 Knoten in unserem Preprozessor.
Wir müssen uns mit einem Membranmodell bescheiden. In der Praxis wird
man meist mit Raumelementen rechnen, insbesondere bei einer beliebigen Form
der Luftsäule, wie dies z.B. der Fahrgastraum eines Pkws ist. Die Problemlösung
ist aber gleich.
Ein wesentlicher Unterschied zu den bisherigen Modellen liegt darin, dass wir
das Verhalten der Luftsäule nicht mit den Gleichungen der Statik beschreiben
können, denn nun liegt ein Potenzialproblem vor.
Wie wir gleich sehen werden kein Problem, denn solche Modelle sehen wie in
der Statik aus. Wir haben sogar einen großen Vorteil, denn in unserem
Akustikproblem sind die Unbekannten die Verteilung und Größe des
Schalldrucks.
Solch ein Rechenmodell hat also nur einen Freiheitsgrad pro Knoten
gegenüber den 3 Verschiebungen und 3 Verdrehungen in der Statik. Das reduziert
die Rechenzeiten ganz erheblich und gilt für alle Potenzialprobleme. Jetzt wäre es
an der Zeit, Abschn. 2.4 und 2.5.1 noch einmal zu lesen.
Für ein Potenzialproblem müssen wir nur die Materialeigenschaften ergänzen,
die Randbedingungen und Lasten anders definieren und beim Start des FEMProgramms einen anderen Analysetyp wählen. Dies wollen wir an unserem
Akustikbeispiel realisieren. Wir starten wieder unseren Preprozessor und lesen als
Ausgangsmodell ingom.fmp ein. Folgende Änderungen sind erforderlich:
1. Material auf Luft ändern mit spezieller Dichte zur Erstellung der
Massenmatrix.
2. Elementdicke auf 300 mm ändern, um ein sinnvolles Luftvolumen zu erhalten.
3. Die ursprüngliche Belastung löschen und dafür die Eigengewichtslast in xRichtung einführen zur Erzeugung der Massenmatrix.
4. Über Randbedingungen die Freiheitsgrade für alle Knoten auf vx beschränken.
Wie schon im Abschn. 2.4.1 beschrieben (vielleicht ist es an der Zeit, alles
noch einmal nach zu lesen) ist bei Akustikproblemen als Werkstoffkonstante des
Potenzialproblems (im Temperaturfall die Wärmeleitfähigkeit) der Wert für Luft
( = 1) einzutragen. Zur Berechnung der Massenmatrix benötigen wir eine QuasiDichte . Diese ergibt sich zu:
 = g/c2 = 0.00000008486 1/mm
4.15 Beispiel lineare Dynamik, Membranelemente als Akustikproblem
mit
c =
g =
189
340 000 mm/s Schallgeschwindigkeit
9 810 mm/s2 Erdbeschleunigung
Die bei Eingabe über Preprozessor einzugebende Dichte wird für die Krafteinheit
N automatisch mit g = 9.81 multipliziert, sodass dort eine Pseudo-Dichte mit
1000/c2 = 0.86505*10-8 s2/mm2
einzugeben ist. Der Elastizitätsmodul E und die Poisson'sche Konstante ν sind die
Materialwerte für die Statik und werden nicht benötigt. Wir setzen daher E = 1.0
und ν = 0.
Mit diesen Vorüberlegungen können wir unser Material ändern mit { Modify >
Edit > Material >> ID = 1 (müsste angeboten werden) > Title = Luft > E = 1.0 ;
nu = 0. ; Conductivity = 1.0 ; Density = 8.6505E-8 > ok }. Die Property ändern
wir mit { Modify > Edit > Property >> ID = 2 (müsste angeboten werden) >
Title = Membranelemente > T1 = 300 > ok }. Mit { Delete > Model > Load-Set
>> Select All > ok > ja } löschen wir die ursprüngliche Beastung und führen mit
{ Model > Load > Set > ID = 1 > Title = Eigengewichtslast in x (bei Akustik ist
die x-Richtung zwingend vorgeschrieben, da wir nur diesen einen Freiheitsgrad
pro Knoten haben) > ok } und { Model > Load > Body >> Acceleration >
Translation/Gravity > X = 1.0 > Active = an > ok } die Eigengewichtsbelastung
ein.
Mit { Delete > Model > Constraint-Set >> Select All > ok > ja } sowie mit
{ Model > Constraint > Set >> ID = 1 > Title = Eigengewichtslast in x > ok }
und { Model > Constraint > Nodal >> Select All > ok > TY = an (FX bleibt frei,
die übrigen Freiheitsgrade gibt es bei einem Membranmodell nicht) > ok } sorgen
wir dafür, dass alle Knoten nur den Freiheitsgrad vx haben. Nachdem wir noch
unsere Projektbezeichnung geändert haben in { File > Notes > Hosenblech als
Membranmodell, Luftsaeule fuer Akustik / Dicke = 300 mm > ok }, können wir
unser Akustikmodell als ingoak.fmp ins Arbeitsverzeichnis schreiben und das
FEM-Programm starten. Dazu setzen wir folgende Optionen:
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingungen einfügen
> 2 > setzen
Optionen > Spannungsberechnung
> keine Flächenelement-Spannungen
> 1 > setzen
Optionen > Dynamik
> Auswahl bzw. Unterdrückung von
Freiheitsgraden > 100000 > setzen
und wählen als Analysetyp { Dynamik > Akustik > Start }. Mit dem Ergebnis
erhalten wir die ersten 5 Eigenfrequenzen und -formen der Luftsäule unseres
Modells. Im Protokollfile finden wir folgende Werte.
Protokollfile ingoak-d.prt (Auszug):
PROGRAMM NACH 10 ITERATIONSZYKLEN BEENDET
1.EW LAMB .000+00 FREQ .000+00 KNMAX
8
2.EW LAMB .220+07 FREQ .236+03 KNMAX 141
3.EW LAMB .654+07 FREQ .407+03 KNMAX
1
4.EW LAMB .835+07 FREQ .460+03 KNMAX 134
NFAK
NFAK
NFAK
NFAK
.124+01
.381+00
.247+00
.277+00
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.657-05
.298-05
.246-05
.155-05
190
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
5.EW LAMB .123+08 FREQ .559+03 KNMAX 385 NFAK .201+00 GMAS .200-05
...... Ende Standard-Dynamik
Eine Überraschung ist sicher die 1. Eigenfrequenz mit 0 Hz. Die Ursache liegt
jedoch in der Eigenart von Akustikproblemen. Analog zur Statik, wo wir mit den
Randbedingungen die Verschiebungen oder Verdrehungen eingeschränkt haben
(z.B. vz = 0), müssen wir auch bei Potenzialproblemen Randbedingungen
festlegen. Wie in der Statik wird sonst das lineare Gleichungssystem singulär und
unser FEM-Programm führt selbstständig die fehlenden Randbedingungen ein.
Wir haben in der Statik erprobt, erfahren und festgestellt, dass die vom Programm
eingeführten Randbedingungen fast nie den Bedürfnissen entsprechen.
Für unser Akustikmodell gibt es zunächst keine sinnvollen Randbedingungen.
Wir müssten an auszuwählenden Knoten den Schalldruck z.B. = 0 setzen.
Was ist zu tun?
Unser FEM-Programm löst das Problem selbstständig. Wenn bei
Akustikproblemen die Standardoptionen gelten, so wird die Aufgabe automatisch
als Frei/Frei-Schwingung gerechnet (dazu sollte man den entsprechenden
Abschnitt 2.4 noch einmal lesen). Wir werden jedoch im 2. Berechnungsschritt
erkennen, dass auch eine Lösung ohne Frei/Frei möglich ist.
Bei
Frei/Frei-Schwingungen
sind
die
ersten
Eigenwerte
Starrkörperschwingungen, die wir ignorieren müssen. In unserem Modell beginnt
die sinnvolle Lösung mit der 2. Eigenfrequenz von 236 Hz und geht bis 559 Hz im
5. Eigenwert. Unsere Luftsäule wird bei diesen Frequenzen in Resonanz geraten
mit den max.
Bild 4.100: Projekt ingoak; 2. - 5.
Eigenform (236; 407; 460; 559 Hz) als Schalldruckverteilung der Luftsäule
4.15 Beispiel lineare Dynamik, Membranelemente als Akustikproblem
191
Amplituden und damit dem größten Schalldruck = Lautstärke, wie in Bild 4.100
gezeigt. Wir schauen uns die 2. bis 5. Eigenform im Postprozessor an. Was wir
sehen, ist die auf 0.1 normierte Verteilung des Schalldrucks in N/mm2.
Nun wollen wir erproben, was passiert, wenn wir die obere Modellkante, die
unsere Deckfläche der Luftsäule ist, als mit einer Dämmschicht versehen
definieren. Wir müssen an dieser Kante dafür sorgen, dass dort Schall absorbiert
wird. Dies erreichen wir durch einen Randabfluss, analog zu dem im nächsten
Beispiel
ausführlich
beschriebenen
Wärmeübergang
bei
einem
Temperaturproblem an Rändern oder Oberflächen.
Wir definieren diese Bedingung auf die gleiche Weise, wie eine
Druckbelastung am Rand über 3 Knoten in der Statik. Die Kennung dazu im
Lastfall-Title ist anstelle von RAND zur Erkennung der Potenzialflussbedingung
POTI. Anstelle des Drucks werden die Quasi-Wärmeübergangszahl in 1/mm2 und
der Schalldruck an der Randumgebung eingegeben. Wir lesen unser Modell
ingoak.fmp in den Preprozessor ein und machen folgende Ergänzung:
Mit { Model > Load > Set >> ID = 1 > Title = POTI Eigengewichtslast > ok
} ändern wir als erstes die Lastfallbezeichnung in die mit POTI (unbedingt in
großen Buchstaben beginnend in Spalte 1) beginnende Bezeichnung, wobei wir
den vorhandenen Text entsprechend kürzen müssen. Der Preprozessor kennt nur
25 Zeichen. Unsere Eigengewichtsbelastung lassen wir wie sie ist, denn ohne diese
Anforderung kann unser FEM-Programm keine Massenmatrix erstellen.
Nun können wir die Abflussbedingung am Rand über 3 Knoten definieren mit
{ Model > Load > Nodal >> Anfangs- und Endkoten oben links (7) und rechts
(134) klicken > ok >> Force > FX = 0.01 (Quasi-Wärmeübergangszahl in 1/mm2)
> FY = 1.0 (Schalldruck am oberen Rand, jedoch ohne Bedeutung) > ok >>
Select Nodes > rechten Nachbarknoten zum Startknoten klicken > Moment > MX
= 7 > MY = 134 > ok > Cancel }.
Über den Nachbarknoten wird die Richtung eindeutig definiert als vom
Startknoten 7 über den Nachbarknoten zum Endknoten 134. Es könnte auch der
Rand unten herum definiert werden. Wenn alles ein wenig unklar ist, so sollten
wir Abschn. 4.7 noch einmal lesen. Dort wurde die Randeingabe für
Druckbelastung ausführlich beschrieben.
Wir nehmen es hin, dass auch bei Potenzialproblemen die gleiche Logik wie in
der Statik verwendet wird, jedoch statt RAND mit der Kennung POTI. Mit der
Quasi-Wärmeübergangszahl in unserer Randeingabe können wir den Grad der
Schalldämmung am Rand beliebig beeinflussen. Wir können z.B. FX = 0,01 auf
0,05 1/mm2 erhöhen und beobachten, was passiert. Der mit 1.0 N/mm2
eingetragene Schalldruck ist ohne Bedeutung. Er dient der Form halber zur
Berechnung der Belastung.
Wir wollen die neue Berechnung starten und speichern dazu unser Modellfile
wieder als ingoak.fmp ins Arbeitsverzeichnis. Wir vergessen dabei nicht, dass
dieses jetzt die Schalldämmung am oberen Rand enthält. Damit haben wir
zusätzlich an diesem Rand Randbedingungen eingeführt, was wir im 1. Schritt als
Problem angesehen haben. Wir müssen daher über Option die Berechnung als
Frei/Frei abschalten. Wir ändern dazu folgende Option:
192
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Optionen > Dynamik > bei Frei/Frei-Schwingung, 1. Eigenwert = 0 = ohne
frei/frei
> 0. > setzen
Nun starten wir wieder die Berechnung mit { Dynamik > Akustik > Start }
und erhalten unser Ergebnis mit Schalldämmung an der Deckfläche. Schauen wir
wieder ins Protokollfile ingoak-d.prt.
Protokollfile ingoak-d.prt (Auszug):
PROGRAMM F R E I
>>>>>>> Frei/Frei nicht aktiv!
...... Ende Matrixoperation fuer frei/frei
PROGRAMM NACH 15 ITERATIONSZYKLEN BEENDET
1.EW LAMB .109+07 FREQ .167+03 KNMAX 141 NFAK
2.EW LAMB .287+07 FREQ .270+03 KNMAX 141 NFAK
3.EW LAMB .995+07 FREQ .502+03 KNMAX 141 NFAK
4.EW LAMB .121+08 FREQ .555+03 KNMAX 139 NFAK
5.EW LAMB .140+08 FREQ .596+03 KNMAX 67 NFAK
.485+00
.397+00
.221+00
.227+00
.191+00
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
GMAS
.388-05
.221-05
.206-05
.159-05
.196-05
Wir stellen an der Bemerkung „>>>>>>> Frei/Frei nicht aktiv! “ fest, dass
die Berechnung als Frei/Frei-Schwingung nicht aktiv ist und die 1. Eigenfrequenz
mit 167 Hz daher ein realistischer Wert ist. Ein Vergleich der übrigen Frequenzen
zeigt, dass sich diese deutlich gegenüber unserer Berechnung ohne
Schalldämmung verändert haben. Wie wir im Postprozessor gleich sehen werden,
gilt dies auch für die Schalldruckverteilung. Unsere Schalldämmung an der
„Decke“ hat gewirkt.
Wir sind mit einem FEM-Programm in der Lage, durch Anordnung von
Dämmung an den Wänden und Ändern der Dämmbeiwerte das Akustikverhalten
eines beliebigen Innenraums zu gestalten. Wie zu Beginn dieses Beispiels schon
gezeigt, wird dies z.B. systematisch im Automobilbau zur optimalen Gestaltung
des Fahrgastraums eingesetzt. Wenn wir uns dann noch daran erinnern, dass wir
zusätzlich noch allgemeine oder harmonische Erregung durch Schallquellen
berücksichtigen können, erkennen wir die weiten Einssatzmöglichkeiten der FEM
in der Akustik.
Bevor wir dieses Beispiel verlassen, vergleichen wir noch die
Schalldruckverteilung in Bild 4.100 vor (236 - 559 Hz) und in Bild 4.101 nach der
Dämmung (270 - 596 Hz) mit den 4 vergleichbaren Eigenwerten 2 bis 5.
Der 5. Eigenwert mit seiner Eigenform ist besonders bemerkenswert. Er sieht
im Postprozessor sicher nicht so aus, wie in Bild 4.101 rechts unten Die Ursache
sollte uns klar sein? Bei unserem 1. Dynamikbeispiel hatten wir festgestellt, dass
mit unserem FEM-Programm, aber auch vielen anderen, die letzte berechnete
Eigenform unsauber ist. Wir hatten uns gemerkt, stets einen Eigenwert mehr zu
verlangen, als wir auswerten wollen. Bisher haben wir offensichtlich Glück
gehabet. Wir wollen dies schnell nachholen und wiederholen unseren Rechenlauf,
indem wir die Anzahl zu berechnender Eigenwerte auf 6 erhöhen. Der
Standardwert ist 5. Jetzt müsste alles aussehen, wie in Bild 4.101.
Da der 1. Eigenwert neu hinzugekommen ist, schauen wir uns diesen gesondert
mit Bild 4.102 an.
4.15 Beispiel lineare Dynamik, Membranelemente als Akustikproblem
193
Bild 4.101: Projekt ingoak; 2. bis 5. Eigenform (270; 502; 555; 596 Hz) als Schalldruckverteilung der Luftsäule mit Dämmung am oberen Rand
Vergessen wollen wir nicht, dass unser verwendetes FEM-Programm die
Ränder und Oberflächen nur als starr annehmen kann. Es gibt spezielle
Akustikprogramme, bei denen auch die Elastizität der Ränder berücksichtigt
werden kann.
Auf beiliegender CD finden wir unter \Springer\Kapitel4\ingo\ unser
Eingabemodell ingoak.fmp, welches bereits die Dämmung am oberen Rand
enthält.
Bild 4.102 Projekt ingoak; 1 Eigenform (167 Hz) als Schalldruckverteilung; war vor der
Dämmung nicht vorhanden
194
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
4.16
Beispiel aus stationären Potenzialproblemen mit rot.symm.
Elementen, Temperaturverteilung mit Statik (ingorp)
Anhand des vorherigen Beispiels haben wir schon Bekanntschaft mit den
Potenzialproblemen gemacht. In der Statik haben wir uns mit den Kräften,
Verformungen und Spannungen beliebiger Körper befasst, nun wollen wir dies
mit dem weiten Feld der Potenzialprobleme tun. Es ist daher sicher erforderlich,
noch einmal Abschn. 2.5 zu lesen, insbesondere Abschn. 2.5.1, wo über die
Analogie der Poten-zialprobleme die wichtigsten Möglichkeiten aufgezeigt sind,
der Wärmefluss (dazu gehört auch der Phasenübergang bei der Erstarrung einer
Schmelze), die drehungsfreie (laminare) Strömung, die schon behandelte Akustik
und das magnetische und elektrische Feld.
Eine wichtige Erkenntnis gleich vorweg. Wenn wir in der Lage sind, mit
diesem Beispiel das Temperaturproblem zu lösen, so können wir über diese
Analogie auch alle übrigen Probleme lösen. Wir müssen dazu nur die analogen
Werte benutzen und die Einheiten beachten.
In vielen Fällen haben wir es mit Problemen zu tun, bei denen wir die Lösung
des Potenzialproblems mit der Statik koppeln müssen. Bei der Berechnung von
Temperaturfeldern interessiert meist auch die statische Verformung mit
zugehörenden Kräften und Spannungen. Wir wollen daher mit diesem Problem
beginnen, wobei wir zusätzlich noch die Temperaturabhängigkeit der
Materialeigenschaften berücksichtigen. Dies ist bei vielen Materialien, wie auch
Aluminiumlegierungen, erforderlich. Die Vorgehensweise im FEM-Programm
kennen wir schon von der nichtlinearen Statik her. Wir lösen alle nichtlinearen
Probleme schrittweise!
Beginnen wir mit der Modellierung im Preprozessor. Ausgangsmodell soll
unser rot.symm. Modell als aufgeschrumpftes Hosenrohr aus DurAluminium mit
Anschlagbolzen aus Stahl ingort.fmp sein. Dieses lesen wir im Preprozessor ein
und ergänzen die Materialeigenschaften und die Randbedingungen. Dazu müssen
wir folgende Schritte für eine Wärmeflussberechnung erledigen:
1. In beiden Materialien die Wärmeleitfähigkeit (damit die Energieeinheit J
festlegen) und den linearen Temperaturausdehnungskoeffizienten einführen.
2. Die Belastung aus der Statik löschen und mit 2 Wärmequellen die thermische
Belastung einführen.
3. Mit den Umgebungsbedingungen an den Rändern die Randbedingungen als
Wärmeübergang definieren.
4. Die thermischen Kontaktbedingungen in den Kontaktfugen definieren.
5. In einem 2. Schritt die Temperaturabhängigkeit der Materialien festlegen.
Beginnen wir mit Schritt 1 mit { Modify > Edit > Material >> Select All > ID =
1 > Title = Duraluminium (müsste angeboten werden) > Conductivity k = 274
(in J/mmsC) > Expansion Coeff. a = 2.3E-5 (1/C müsste schon eingetragen sein)
> ok > ID = 2 > Title = Stahl (müsste angeboten werden) > Conductivity k =
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
195
167 (in J/mmsC) > Expansion Coeff. a = 1E-5 (1/C müsste schon eingetragen
sein) > ok }.
Mit der Wärmeleitfähigkeit, der Conductivity k in J/mmsC legen wir stets die
Energieeinheit fest! Wir wollen in J (Joule) rechnen und müssen damit alle
übrigen Werte, wie Wärmequellen oder Wärmübergangszahlen, von dieser Einheit
ableiten.
Bevor wir mit der Belastung fortfahren, müssen wir noch eine wichtige Regel
kennen lernen, die für unser FEM-Programm, aber auch für viele andere gilt. Alle
thermischen Belastungen, dazu zählen auch die Übergangsbedingungen, gehören
zum Lastfall 1. Auch beim Weiterrechnen in der Statik ist das zuvor berechnete
Temperaturfeld per Definition Lastfall 1.
Wir löschen als erstes die statische Belastung mit { Delete > Model > Load
Set > Select All > ok > ja } und definieren mit { Model > Load > Set > ID = 1 >
Title = POTI thermische Lasten > ok } den Lastfall 1 für die Wärmequellen und
Umgebungsbedingungen. Um die Umgebungsbedingungen an den Rändern über
jeweils 3 Knoten definieren zu können, muss die Lastfallbeschreibung zum
Lastfall 1 mit der Kennung POTI (in großen Buchstaben ab Spalte 1) beginnen.
Wollten wir weitere statische Lasten einführen, so könnten wir dies ab Lastfall
2 ohne Einschränkungen tun, wie in den Statikbeispielen beschrieben. In unserem
Fall müssen wir jedoch bedenken, dass wir für die Statik ein Schrumpfmaß in den
Kontaktfugen formulieren und damit eine Kontaktberechnung durchführen wollen.
Daher haben wir nur einen Lastfall, nämlich Lastfall 1!
Nun können wir die beiden Wärmequellen für Element 32 mit 4 J/mm3h und
Element 89 mit 3 J/mm3h gemäß Bild 4.103 definieren mit { Model > Load >
Elemental >> Enter Element(s) > klick Element 32 und 89 > ok >> Heat
Generation auswählen (klicken) > Generation Value = 4 > ok > Cancel }.
Bild 4.103: Projekt ingorp;
Wärmeübergangsbedingungen
Wärmequellen
(Element
32
und
89)
und
196
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Noch ein kleiner Ausflug in die Wärmelehre.
Wärme kann zum einen in einem Medium durch Wärmeleitung übertragen
werden, wie wir dies in unseren beiden Metallteilen erproben wollen, und zum
anderen durch Wärmestrahlung zwischen Oberflächen (Körperstrahlung) oder
einer Strahlungsquelle und einer Oberfläche.
In den FEM-Programmen, so auch in unserem, kann auch die Strahlung
brücksichtigt werden. Die Eingaben dazu sind insbesondere für die
Körperstrahlung sehr mühsam, wir wollen daher auf ein entsprechendes Beispiel
verzichten. Grundsätzlich wird Körperstrahlung zwischen 2 Elementflächen durch
auf die Elementknoten bezogene lineare Gleichungen formuliert, für die wir den
Sichtbarkeitsfaktor (bei senkrecht gegenüberliegenden, deckungsgleichen Flächen
= 1) benötigen. Solche View Factors lassen sich nur mühsam ermitteln.
Was passiert mit dem Wärmefluss an den Berührstellen von 2 Medien? Sind
dies 2 feste Körper, wie in unserem Fall an den Kontaktfugen, so haben wir
zwischen den Kontaktknotenpaaren eine Grenzschichtbedingung zu formulieren,
die von der Oberflächenbeschaffenheit abhängt. Solche Bedingungen können z.B.
in unserem FEM-Progarmm als lineare Gleichung der Form
Ti + Tk * x = C.
mit
(4.1)
Ti = Temperatur am Knoten i
Tk = Temperatur am Knoten i
x = beliebiger Faktor
C = beliebige Temperaturdifferenz
verarbeitet werden. Damit ist auch möglich, eine Kette von Knoten auf gleiche
Temperatur zu setzen. Da wir den idealen Fall des totalen thermischen Kontakts
annehmen wollen, setzen wir x = 1 und C = 0 und erhalten für alle Kontaktpaare
Ti + Tk = 0.
Wenn die sich berührenden Medien aber ein fester Körper und ein strömendes
Gas oder eine Flüssigkeit sind, so spricht man von Wärmeübergang,
gekennzeichnet durch die Wärmeübergangszahl zwischen den beiden Medien und
der Umgebungstemperatur des Gases oder der Flüssigkeit. Je nach
Temperaturunterschied fließt Wärme von einem zum anderen Medium.
Bevor wir nun wieder in den Preprozessor gehen und mit dem 3. Schritt die
Wärmeübergangsbedingungen festlegen wollen, betrachten wir noch einmal Bild
4.103. Wir wollen für gesamten oberen Rand (1-2-141) des Hosenrohrs, der wie
alle Ränder unseres rotationssymmetrischen Modells in Wirklichkeit eine
Oberfläche ist, Wärmeübergang zur umgebenen Luft mit Raumtemperatur
festlegen. Für die beiden Ränder (195-196-199) und (160-161-164) des
Anschlagbolzens wollen wir Wärmeübergang zu einer Flüssigkeit mit 100°C bzw.
150°C festlegen. Die nicht vorhandene Trennung zwischen Luft und Flüssigkeit
stört uns dabei nicht.
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
197
Da wir für alle Ränder in der Bogenkontur und der Drehachse des Bolzens
keine Aussage machen, gelten diese Ränder als vollständig isoliert. Eine sehr
wichtige Feststellung. Bei allen FEM-Programmen sind per Ansatz die freien
Ränder oder Oberflächen stets ohne Zu- oder Abflüsse, vollständig isoliert. Eine
Spezialität, die wir in der Realität nie erreichen. Es gibt leider keine 100%ige
Isolation!
Noch eine Bemerkung zum Wärmeübergang. In den Beispielen der Statik
hatten wir bisher nichts Vergleichbares kennen gelernt. Trotzdem gibt es auch
dazu eine Analogie, die Lagerbedingung gegen elastische Feder. Vom Bauwesen
her auch als elastische Bettung bekannt. Damit ist auch klar, warum eine
Wärmeübergangsbedingung eine vollwertige Randbedingung darstellt.
Gemäß Bild 4.103 wollen wir folgende Wärmeübergangsbedingungen mit
Wärmeleitzahl β und Umgebungstemperatur T definieren für
Rand 1 > von Knoten 1 über 2 nach Knoten141
β = 0.05 J/mm2sC (Luft/Alu)
T = 20 °C
Rand 2 > von Knoten 195 über 196 nach Knoten199
β = 0.8 J/mm2sC (Luft/Alu)
T = 100 °C
Rand 3 > von Knoten 160 über 161 nach Knoten164
β = 0.8 J/mm2sC (Luft/Alu)
T = 150 °C
Bei den Wärmeübergangsbedingungen stoßen wir auf ein Problem der
Wärmelehre. Umgebungstemperaturen sind meist bekannt oder lassen sich
messen. Schwierig wird es mit den Wärmeübergangszahlen, denn diese hängen
stark von der Strömungsgeschwindigkeit des umgebenden Mediums (Gas oder
Flüssigkeit) ab. In der Literatur findet man daher wenig Zahlenwerte dazu. Wir
haben es uns leicht gemacht und einfach sinnvolle Werte angenommen.
Beginnen wir mit den Übergangsbedingungen an den Rändern über die von der
Statik her schon bekannte Druckbelastung über 3 Knoten, wie wir diese schon im
Akustikbeispiel verwendet haben. Die Lastfallbeschreibung mit dem Kennwort
POTI hatten wir schon vorbereitet.
Mit { Model > Load > Nodal >> Anfangs und Endknoten mit Übergangswerten
für 1. Rand definieren > klicken Knoten 1 und 141 >>Force auswählen (kli cken)
> FX = β = 0.05 > FY =T = 20 (FZ ist reserviert für einen zusätzlichen
Wärmefluss an diesem Rand, da dieser 0 ist, entfällt die Eintragung) > ok >
Richtungsknoten = Nachbarknoten des Anfangsknotens 1 > Knoten 2 klicken >>
Moment auswählen (klicken) > MX = 1 (Anfangsknoten) > MY = 141
(Endknoten)> ok > alles wiederholen für den 2. Rand und für den 3. Rand >
Cancel } definieren wir diese.
Nach dieser umfangreichen Befehlsfolge ist es an der Zeit, alles zu
kontrollieren mit { List > Model > Load >> Select All > ok > ok } erhalten wir
im Listfenster durch Doppelklick in dieses Fenster folgende Liste der Belastung,
die unseren Wünschen entspricht (Bild 4.104).
Wir sehen unsere Kennung POTI und die 6 Zeilen der Anfangs- und
Endknoten der 3 Ränder mit den unter Force eingegebenen Werten für β und T.
Dann folgen die 3 Zeilen mit den Richtungsknoten und den zur Kontrolle unter
Moments eingegebenen Anfangs- und Endknoten. Am Schluss folgen die beiden
Wärmequellen für Element 32 und 89.
198
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Mit dem 4. Schritt wären nun die thermischen Kontaktbedingungen zu
definieren. Wir haben Glück, denn unser Modell enthält noch die
Kontaktrandbedingungen der Statik über die 4 Knotengruppen. Mit { Group > Set
>> ok } sehen wir
Bild 4.104: Projekt ingorp; Kontroll-Liste der thermischen Belastung
die 4 Gruppen. Sind in unserer FEM-Berechnung mit Analysetyp { Potentialprobleme } Kontaktrandbedingungen der Statik vorhanden, so werden die
entsprechenden, eingangs beschriebenen thermischen Kontaktrandbedingungen
automatisch erzeugt. Schritt 4 ist somit schon erledigt. Da wir die
Temperaturabhängigkeit des Materials erst in einer weiteren Berechnung
untersuchen wollen, sind wir fertig.
Nachdem wir unter { File > Notes >> die 2. Zeile in Temperaturfeld mit
nachfolgender Statik > ok } geändert haben, speichern wir unser Potenzialmodell
als ingorp.fmp ins Arbeitsverzeichnis und starten unsere FEM-Berechnung.
Um die Möglichkeiten der Temperaturfeldberechnung vollständig zu
beschreiben, wollen wir jedoch zuvor noch kennen lernen, wie die entsprechende
Belastung an der Oberfläche eines Raumelementmodells aussehen würde. Dazu
gilt die Standardeingabe des Preprozessors wie folgt. Unter { Model > Load >>
Elemental >> Elemente auswählen > ok > Heat Flux auswählen (klicken) > Flux
Value = xx > Face Selection > Near Coordinates > an > in die Nähe der zu
belastenden Elementfläche klicken > ok > Cancel } definieren wir Wärmezu- und
-ab-flüsse und auf die gleiche Weise Wärmeübergang an dieser Fläche, wobei wir
statt Heat Flux nun Convection mit den Werten Coefficient Value für die
Wärmeübergangszahl und Temperature Value für die Umgebungstemperatur
auswählen.
Zurück zur FEM-Berechnung. Wir wollen wieder mit Zwischenknoten rechnen
und müssen nur diese eine Option setzen, denn das Schrumpfmaß lassen wir
zunächst weg, um zu sehen, was passiert.
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
199
Wir setzen folgende Option:
Optionen > Allgemein
> Zwischenknoten mit Randbedingung
einführen
> 2 > setzen
starten die Berechnung mit { Potential > Temp.Feld + lin. Statik mit Kontakt >
Start } und erhalten im Ausgabefenster folgende Fehlermeldung:
Kontaktiteration 1 von 11 > erzwungener Programmabbruch usw.
Der Blick ins Protokollfile ingorp-p.prt zeigt uns am Ende die Meldung, dass
alle Kontakte gelöst wurden. Unsere 2 Teile würden auseinander fallen, denn das
Alu-Rohr dehnt sich durch die Temperatur stärker aus als der Stahlbolzen. Dass
unsere Kontaktfugen schräg sind und ein Auseinanderfallen verhindern, weiß
unser FEM-Programm nicht. Wir müssen schnell unser fehlendes Schrumpfmaß
wieder einführen. Dieses war im Statikbeispiel -0.1 mm. Wir erhöhen den Wert
auf -0.5 mm, um ganz sicher Druck zu erzeugen.
Wir setzen zusätzlich die Option:
Optionen > Allgemein
> Schrumpfmaß zu Kontaktrandbedingung
> -0.5 > setzen
Wir wiederholen den Rechenlauf. Wie wir im Ausgabefenster sehen, konvergiert
die Kontaktiteration nach 2 Schritten und wir erhalten folgende Ergebnisse:
max. Verformung = ca. 2.49 mm
max. Potential = ca.
190 °C
max. Spannung = ca. 85.50 N/mm2 max. Arbeit = ca. 31 924 Nmm
Wenn nicht, sollten wir unsere Eingaben überprüfen oder einfach das
Rechenmodell ingorp.fmp von der beiliegenden CD verwenden. Wir finden es
unter \Springer\Kapitel4\ingo\.
Da wir in unserem FEM-Programm das Temperaturproblem als eines von
vielen möglichen Potenzialproblemen gelöst haben, finden wir unter max.
Potential unsere max. Temperatur mit ca. 190 °C.
Wie lief diese gekoppelte Berechnung ab? Ein Blick in den Auszug des
Protokollfiles ingorp-p.prt zeigt folgendes:
Unter Wärmerandbedingungen finden wir die Eingabewerte für unsere 3
Ränder und die dazu vom Programm gefundenen Randknoten mit ihren Werten.
Protokollfile ingorp-p.prt (Auszug)
WAERMERANDBEDINGUNGEN
---------------------------------------------------------------RND 1.KNOTEN PHI BETA KLEIN-Q END-KNOTEN PHI
BETA KLEIN-Q
1
1
20.0 0.05
0.0
141
20.0
0.05
0.0
2
195
100.0 0.80
0.0
199
100.0
0.80
0.0
3
160
150.0 0.80
0.0
164
150.0
0.80
0.0
RND KNOTEN
PHI BETA KLEIN-Q KNOTEN
PHI
BETA KLEIN-Q
---------------------------------------------------------------1
1
20.0 0.05
0.0
218
20.0
0.05
0.0
1
2
20.0 0.05
0.0
222
20.0
0.05
0.0
:
1
140
20.0 0.05
0.0
483
20.0
0.05
0.0
2
195
100.0 0.80
0.0
571
100.0
0.80
0.0
2
196
100.0 0.80
0.0
567
100.0
0.80
0.0
2
197
100.0 0.80
0.0
565
100.0
0.80
0.0
2
198
100.0 0.80
0.0
562
100.0
0.80
0.0
200
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
3
160
150.0 0.80
0.0
512
150.0
0.80
0.0
3
161
150.0 0.80
0.0
509
150.0
0.80
0.0
3
162
150.0 0.80
0.0
507
150.0
0.80
0.0
3
163
150.0 0.80
0.0
420
150.0
0.80
0.0
...... Ende Rand/Oberflaechen-Lasten
ERGEBNISFELD UNTER SATZNUMMER 99 GESPEICHERT (FORMATIERT)
TMIN = 0.14689E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.19061E+03 BEI KNOTEN
405
I------------------------------------------------I
I
GLEICHGEWICHT
I
I
- - - - - - - - - - - - - - - - - - I
I
P
I
I
2913647.50000
I
WAERMELASTEN
I
I
R
I
I
I
0.00000
I
ABGEGEB. WAERMEMENGENI
I
O
I
I
I
= = = = = = = = = = = = = = = = = = =
I
I
B
I
I
I
2913647.50000
I
DIFFERENZ
I
I
E
I
I------------------------------------------------I
FLUSSMENGEN - BERECHNUNG
maxFluss = 0.55228E+02 BEI KNOTEN
35
*****WARNUNG: Modellfehler kritisch
bei Knoten
105 28.02% Fehler
Zwischenknoten einfuegen oder Modell verfeinern <<!!!
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M O D E L L - B E U R T E I L U N G
RICHTUNG: 1=X(0), 2=Y(0), 3=XY(0)
KNR FEHLER FEHLER RICH- ANZ. FLUMA FLU MIT. FLU MIN FLU MAX
PROZ.
WI
TUNG
DIF.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105 28.02 24.83
2
5
15.408
54.983
41.270
70.390
37 29.33 24.82
2
5
15.421
52.573
38.865
67.994
43 16.66 12.69
2
4
7.011
-42.073 -49.084 -35.660
...... Ende Potential Ergebnisse aufbereiten
KONTAKT STRUKTUR / STRUKTUR
0 GLEICHUNGEN GEAENDERT
Ende Kontaktiteration
1
...... Ende Kontaktpruefung
AUFBEREITUNG UND AUSGABE DER ERGEBNISSE
TPS1 DICKWANDIGES ROHR MIT BOLZEN (ROT.SYMMETRISCH)
THERMISCHE LAST
T E X T A U S G A B E
MAX. VERFORMUNGEN POSITIV
NEGATIV
X-RICHG KNOTEN 141
1.435625
KNOTEN
1
-1.384843
Y-RICHG KNOTEN 134
2.489294
KNOTEN
0
0.000000
Z-RICHG KNOTEN
0
0.000000
KNOTEN
0
0.000000
MAX.-WERTE HAUPTSPANNUNGEN/VERGL.-SPANNUNGEN
ZUG
KNOTEN
1
51.34
DRUCK KNOTEN
90
-71.37
VERGL. KNOTEN
52
85.52
GESAMTSUMME DER FORM-AENDERUNGS-ARBEIT :
31924.060547
Dann folgt die Temperaturfeldberechnung und liefert mit TMIN = 146.89 °C
und TMAX = 190.61 °C für einen schnellen Überblick die Knoten mit der
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
201
kleinsten und größten Temperatur. Danach finden wir eine Probe der zu- und
abgeführten Wärmemengen, die offensichtlich nicht aufgeht. Da wir alle
Wärmemengen über Wärmeübergang abgeführt haben, entspricht die Differenz
exakt der abgeführten Wärmemenge. Wir können beruhigt sein.
Der Fehlerschätzer meldet trotz eingeführter Zwischenknoten 2 gewichtete
Modellfehler > 15% am Knoten 105 und 37. Wie wir gleich im Postprozessor
sehen werden, ist dies in der Nähe der beiden Wärmequellen. Hier müssten wir
unser Netz verfeinern, obwohl bei der nachfolgenden Spannungsberechnung kein
gewichteter Fehler > 15% auftritt. Wir stoßen auf eine typische
Modellierungsschwierigkeit bei gekoppelten Problemen. Es ist nicht ganz einfach,
für beide Aufgaben korrekt zu modellieren. Wir merken uns, dass wir für
gekoppelte Probleme immer etwas feinere Netze benötigen.
Es folgt die lineare Statik, deren Ausgabewerte mit den Knoten der max.
Verformung und Spannung wir schon kennen. Die zuvor berechneten
Temperaturen wurden automatisch als Lastfall 1 in der Statik berücksichtigt,
überlagert mit den Verformungen aus dem Schrumpfmaß. Die Meldung zur
Kontaktberechnung Struktur gegen Struktur mit 0 Gleichungen geändert zeigt uns,
dass offen sichtlich alle Kontaktknoten Druck übertragen. Alles ist plausibel und
wir können unsere Ergebnisse im Postprozessor anschauen.
Was interessiert uns davon? Zuerst die Temperaturverteilung in Bild 4.105 und
der Wärmefluss als Pfeilchendarstellung in Bild 4.106. Für beides müssen wir den
Lastfall 99. Potential-Feld 98 auswählen. Mit Contour = 20. Potential-Feld
sehen wir dann die Temperaturverteilung. An der linken Seite des Bolzens, wo die
Umgebungstemperatur nur 100°C beträgt, ist die Temperatur geringer als an der
rechten Seite. Deutlich erkennt man auch die beiden Wärmequellen und den
totalen thermischen Kontakt in den Fugen.
Wie steht es mit dem Wärmefluss. Dazu bietet sich eine Pfeilchendarstellung
wie in Bild 4.106 an, wobei die Pfeile die Größe und Richtung des Knotenflusses
anzeigen. Um diese Darstellung zu erhalten, gehen wir wie folgt vor. { View > Se-
202
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.105: Projekt ingorp; Temperaturverteilung bei linearen Material
Bild 4.106: Projekt ingorp; Wärmefluss bei linearem Material
lect >> Contour Style > Vector > Contour Data >> Schalter Contour Vector
unten rechts aktivieren (klicken) >> Contour Vector Options > Elemental
Output Vectors > Vector 1 = 25. Gesamtknotenfluss auswählen und alle
übrigen Einstellungen übernehmen > ok > ok > ok }. Mit { View > Options >
PostProcessing >> Contour Vector Style >> Vector Style = 1. Center, Single
Arrow > (definiert die Pfeilchenform) > Color Mode > 0. Contour Colors stellt
die Pfeilchen in Farbe dar) > ok } können wir die Darstellung einstellen.
Wir erkennen, dass an den isolierten Rändern in der Drehachse und in der
Bogenkontur kein Zu- oder Abfluss stattfindet, wie zuvor erklärt. Wir sehen
deutlich wieder unsere beiden Wärmequellen mit ca. 57 J/h an den zugehörenden
Elementknoten – der eingegebene Wert war in J/mm3h und wurde daher mit dem
Elementvolumen multipliziert. Wären beide Elemente unterschiedlich groß, so
hätten wir unterschiedliche Wärmquellen definiert!
Im Lastfall 1 finden wir dann die Lösung der Statik, die wir mit
Output/Vectors = 1. Gesamtverschiebungen und Contour = 21.Sigma_Vergl.
3D gem. wie in Bild 4.107 darstellen. Das kennen wir nun schon.
Wir sehen unser Schrumpfmaß und deutlich die Temperaturverformung sowie
das Spannungsmaximum an den Kontaktfugen im Alu-Rohr.
Als krönenden Abschluss dieses Beispiels wollen wir die Berechnung
wiederholen und dabei temperaturabhängiges Material definieren. Dies gilt dann
für die Temperaturberechnung, die dadurch nichtlinear wird und für die
nachfolgende Statik, bei der E-Modul und Temperaturausdehnungskoeffizient
abhängig
von
der
Temperatur
je
Element
verschieden
sind.
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
203
Aluminiumlegierungen, wie diese heute z.B. im Fahrzeug- und Flugzeugbau
selbstverständlich sind, haben bei hohen Temperaturen (> 100°C) ein stark
temperaturabhängiges Materialverhalten.
Bild 4.107: Projekt ingorp; Verformungen und Spannungen aus Schrumpfmaß und
Temperatur
Dieses Verhalten können wir nicht im Preprozessor definieren, wir müssen
wieder einmal eine Zusatzeingabe ingorp.zus mit dem Editor erstellen, wie
nachfolgend gezeigt.
Zusatzeingabe ingorp.zus:
WTXT WERK 'WERK' $
$ Eingabe fuer Temp.Abhaengigkt. von LAMBDA, E und ALPHA
MATI WNR LAM1
LAM2
LAM3
E1
E2
E3 ALF1 ALF2 ALF3
1 274 .055245 -.0001281 72000 -29.35 -.000608 $$
.0000230 .2299*10**(-7) 2.1*10**(-11)
ENDE
Die vorstehenden Eingabezeilen haben folgende Bedeutung ($ =
Kommentarbeginn):
Zeile WTXT: Datenart WTXT zur Festlegung der Ergebnisausgabe von Potenzialproblemen
WERK .'WERK'
> Kennung WERK zeigt an, dass Konstante zur Berechnung von temperaturabhängigen Materialdaten folgen
Zeile MATI: Datenart MATI zur Eingabe der Konstanten bei Temperaturabhängigkeit
WNR 1
> Material-ID des zu ändernden Materials
LAM1/2/3
> 3 Konstante a,b,c gemäß Gl. 4.2 für Wärmeleitwert
(Conductivity)
E1/2/3
> 3 Konstante a,b,c gemäß Gl. 4.2 für Elastizitätsmomodul E, E2/3 sind negativ, der E-Modul reduziert
204
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
sich mit steigender Temperatur
> 3 Konstante a,b,c gemäß Gl. 4.2 für Temperaturausdehnungskoeffizient, Zeilenende mit $$ zeigt Forsetzung in nächster Zeile an
Zeile ENDE: Datenart ENDE zur Kennzeichnung des Eingabeendes.
ALF1/2/3
Die in der Zusatzeingabe definierten Konstanten zur Festlegung der
Abhängigkeit der Materialwerte von der Temperatur werden in den meisten FEMProgrammen, so auch in unserem, nach folgender Gesetzmäßigkeit (4.2)
verarbeitet.
W = a + b*T + c*T2
mit
(4.2)
W = temperaturabhängiger Materialwert
T = mittlere Elementtemperatur
a,b,c = Konstante aus Messungen
Mit der Festlegung von LFNR = 3 in der 2. WTXT-Zeile wird davon
ausgegangen, dass über die Temperaturabhängigkeit des Wärmeleitwerts die
berechneten Temperaturen nach 2 Iterationen, insgesamt nach 3 Schritten,
ausreichend genau konvergieren. Bei der Auswertung der FEM-Berechnung
werden wir dies nachher sofort prüfen. Wichtig ist, dass wir die Anzahl
Iterationsschritte als Option festlegen!
Wenn wir unsere Zusatzeingabe ingorp.zus wie beschrieben im
Arbeitsverzeichnis erstellt haben oder von beiliegender CD aus
\Springer\Kapitel4\ingo\ ingorp.zas dorthin kopiert haben und die Extension von
.zas in .zus umgenannt haben, so können wir unsere FEM-Berechnung erneut
starten. Wir vergessen dabei nicht, die Option für die Anzahl Iterationsschritte für
das temperaturabhängige Material zu setzen mit
Optionen > Potential
> bei station. Potential mit nichtlin. Material,
Anzahl Iterationsschritte > 2 > setzen
Wir starten dann die Berechnung wieder mit { Potential > Temp.Feld + lin.
Statik mit Kontakt > Start } und erkennen schon im Ausgabefenster an den max.
Werten deutlich den Einfluss der Temperaturabhängigkeit des Materials. Wir
erhalten folgende Ergebnisse:
max. Verformung = ca. 2.95 mm
max. Spannung = ca. 42.3 N/mm2
max. Potential = ca. 190.9 °C
max. Arbeit = ca. 20 509 Nmm.
Die Verformung erhöhte sich um ca. 0.5 mm, die Temperatur blieb unverändert
und die Spannung reduzierte sich fast auf die Hälfte. Wir werden gleich erkennen,
warum. Die Anzahl Kontaktiterationen erhöhte sich, sodass wir nun mit Klaffen
an den Fugen rechnen müssen. Schauen wir zunächst wieder in das Protokollfile
ingorp-p.prt.
4.16 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, mit Statik
205
Protokollfile ingorp-p.prt (Auszug)
******* ERGEBNISSE POTENTIAL *****
TMIN = 0.14689E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.19061E+03 BEI KNOTEN
405
TEMP.ABHAENGIGE MATERIALDATEN UEBERTRAGEN
neue max. Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .279864+3 .280850-4 0.670804+5
TMIN = 0.14687E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.19022E+03 BEI KNOTEN
405
TEMP.ABHAENGIGE MATERIALDATEN UEBERTRAGEN
neue max. Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .279862+3 .280742-4 0.670782+5
TMIN = 0.14687E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.19022E+03 BEI KNOTEN
405
TEMP.ABHAENGIGE MATERIALDATEN UEBERTRAGEN
neue max. Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .279864+3 .280742-4 .670782+05
KONTAKT STRUKTUR / STRUKTUR
0 GLEICHUNGEN GEAENDERT
Ende Kontaktiteration
4
...... Ende Kontaktpruefung
Wir erkennen an der Entwicklung von TMIN und TMAX, wie sich die
Temperatur fast nicht verändert und sehr schnell konvergiert. Die 2
Iterationsschritte sind ausreichend. Zur Kontrolle erhalten wir zusätzlich die
Maximalwerte zuerst für den Wärmeleitwert mit 279 J/mmhC (der ursprüngliche
Eingabewert war 274 J/mmhC, eine geringe Änderung) und dann für den
Temperaturausdehnungskoeffizienten (aus 0.000023 wird 0.000028) und den EModul (aus 72 000 wird 67 078 N/mm2). Diese deutliche Reduzierung des
Temperaturausdehnungskoeffizienten und des E-Moduls sind wohl die
Hauptursache für unsere Spannungsreduzierung. Im Postprozessor werden wir
gleich mehr sehen.
Auf die Auswertung der Temperaturen im Postprozessor können wir
verzichten, denn hier werden wir kaum einen Unterschied feststellen. Betrachten
wir abschließend die veränderte Spannungsverteilung in Bild 4.108. An den
Kontaktkräften erkennen wir, dass unser Modell in den Kontaktfugen abhebt. Nur
die beiden inneren Knoten überragen noch Druck.
Woher kommt dieser Unterschied? Durch den von 0.000023 auf 0.000028
erhöhten Temperaturausdehnungskoeffizienten dehnt sich das Alu-Rohr
206
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
gegenüber
Bild 4.108: Projekt ingorp; Verformungen, Spannungen und Kontaktkräfte aus
Schrumpfmaß und Temperaturfeld mit temperaturabhängigem Material
dem Stahlbolzen nun mehr aus. Dadurch reduziert sich der Druck aus dem
Schrumpfmaß und es kommt zum Klaffen. Daraus ergibt sich eine geänderte
Spannungsverteilung mit auf ca. die Hälfte reduzierten Spannungen.
Bedingt durch die zusammengefügten Teile mit unterschiedlichem Material ist
der Einfluss der Temperaturabhängigkeit beachtlich. Eine Erkenntnis, die wir auf
alle Fügeteile aus Leichtmetall übertragen können.
Abschließend müssen wir noch ein wichtiges Problem diskutieren. Durch das
Klaffen in den Kontaktfugen wird es sehr fraglich, ob der dort angesetzte totale
Wärmekontakt noch vorhanden ist. Er wird sich sicher reduzieren. Wir liegen auf
der sicheren Seite, wenn wir den thermischen Kontakt an diesen Knoten
vollständig lösen und den Rechenlauf wiederholen. Wir können mal ausprobieren,
wie sich das dann deutlich andere Temperaturfeld auf die Spannungen auswirkt.
Ab Version 7 unseres FEM-Programms kann dieser Effekt über eine Option
automatisch berücksichtigt werden.
Mit diesem Beispiel haben wir die Möglichkeiten der Temperaturberechnung
und der Auswirkung auf Verformungen und Spannungen untersucht. Dabei bleibt
die Zeit unberücksichtigt. Wir haben zeitunabhängig den Gleichgewichtszustand
aller Wärmemengen gesucht, also stationär gerechnet. Im nächsten Beispiel
wollen wir sehen, wie die gleiche Berechnung zeitabhängig, instationär abläuft.
4.17
Beispiel aus instationären Potenzialproblemen mit rot.-symm.
Elementen, zeitabhängige Erwärmung; mit Statik (ingori)
Bevor wir uns den instationären Temperaturfeldproblemen zuwenden, sollten wir
Abschn. 2.5.5 noch einmal gründlich lesen. Neu ist jetzt, dass alles zeitabhängig
verläuft. Ein Aufheizvorgang führt bei konstanter Wärmezufuhr, wartet man lange
genug ab, immer zur stationären Lösung, zu dem Zustand, wenn zu- und
abgeführte Wärmemengen im Gleichgewicht sind.
Wir erhalten mit der instationären Berechnung zu verschiedenen Zeitpunkten
Temperaturfelder und zugehörende Verformungen und Spannungen. Dabei ist
keinesfalls gesagt, dass sich die max. Spannungen am Ende der Berechnung, im
stationären Betriebszustand ergeben. Aufheizvorgänge sind meist kritischer als der
Betriebszustand. Das wollen wir auch überprüfen.
Da wir unser vorheriges Eingabemodell ingorp.fmp ohne Änderungen
übernehmen können, machen wir davon eine Kopie und nennen diese ingori.fmp
und starten damit den Preprozessor. Für die instationäre Berechnung müssen wir
jedoch die Materialdaten um das zeitabhängige Flussverhalten ergänzen. Dieser
Wert ergibt sich aus der Dichte multipliziert mit der spezifischen Wärme des
Materials. Er wird häufig als ein Wert eingegeben. In unserem Preprozessor
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
207
müssen wir jedoch beide Faktoren eingeben. Wir starten den Preprozessor und
lesen unser Potenzialmodell ein.
Mit { Modify > Edit > Material >> ID = 1 > ok >> Specific Heat = 435.292
J/kgC > Density = .00000270 kg/mm3 für DurAluminium > ok >> und für ID = 2
> ok >> Specific Heat = 895.697 J/kgC > Density = .00000785 kg/mm3 für Stahl
> ok }. Damit können wir das Modell wieder unter gleichem Namen ins
Arbeitsverzeichnis abspeichern.
Für die FEM-Berechnung können wir ebenfalls das gleiche Zusatzfile
ingorp.zus wie im vorherigen Beispiel verwenden. Auch dieses kopieren wir nach
ingori.zus.
Zusatzeingabe ingori.zus:
WTXT WERK 'WERK'
$ Eingabe fuer Temp.Abhaengigkt. von LAMBDA, E und ALPHA
MATI WNR LAM1
LAM2
LAM3
E1
E2
E3 ALF1 ALF2 ALF3
1 274 .055245 -.0001281 72000 -29.35 -.000608 $$
.0000230 .2299*10**(-7) 2.1*10**(-11)
$ Temperatufeld-Ausgabe als Printplot und nach Statik
TEM1 PRIP 1 AUSW 1 IANZ 15 LSTA 0
$ Printplot aktuelle Temperaturen an den Knoten
TEM2 105 162 189 197
ENDE
In der Datenart WTEX ist über das Kennwort WERK = 'WERK' die
Temperaturabhängigkeit des Materials aus dem Beispiel zuvor schon definiert.
Wir können daher die Datenart MATI so lassen, wie sie ist. Für die Ausgabe der
Ergebnisse wollen wir jedoch zusätzliche Möglichkeiten ausprobieren.
Dazu benötigen wir die Datenart TEM1 und TEM2, die wir ergänzen. Was
bewirkt nun diese Eingabe in der instationären Berechnung?
Zeile TEM1: Datenart TEM1 zur Ergebnisauswertung instationärer Potenzialprobleme
PRIP 1 > Printplot-Ausgabe des Temperaturverlaufs der ausgewählten Knoten im Protokollfile
AUSW 1 > darzustellende Werte sind Temperaturen nach jedem Schritt
IANZ 15 > für 15 (alle) Iterationen
LSTA 0 > nicht aktiv, hier kann zur Weiterrechnung in der linearen Statik
ein beliebiges Temperaturfeld (1-14) ausgewählt werden. Das
letzte Temperaturfeld 15 wird in der Statik automatisch verwendet.
Zeile TEM2: Datenart TEM2 zur Ergebnisauswertung instationärer
Potenzialprobleme, nachfolgende Nummern sind die im Printplot
auszuwertenden Knoten.
Zeile ENDE: markiert das Eingabeende
Wie schon gewohnt, befindet sich dieses Zusatzfile ingori.zus auf beiliegender
CD, es muss lediglich ins Arbeitsverzeichnis kopiert werden.
Bevor wir nun die Berechnung starten, fehlt noch die Festlegung des zeitlichen
Ablaufs, als wichtigstes der Zeitschritt in s und die Anfangstemperatur unseres
208
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Modells. Dies können wir nicht im Preprozessor definieren, wir werden gleich
sehen, warum.
Wir benötigen eine weitere Zusatzeingabe ingori.pot zur Festlegung des
zeitlichen Ablaufs und der Anfangstemperaturen an den Knoten, wie nachfolgend
gezeigt.
Zusatzeingabe ingori.pot:
POTI ITE1 1 ITE2 15 TIM2 20 DELT 1 TSTA 20.
Diese Eingabe besteht nur aus einer Zeile, weil wir für alle Knoten die gleiche
Anfangstemperatur wie die Umgebungstemperatur mit 20 °C festlegen wollen.
Dies ist die schnellste Lösung. Die andere Alternative wäre, für alle Knoten einen
Anfangswert aus einer vorausgegangenen stationären Temperaturfeldberechnung
festzulegen. Das ist viel aufwendiger.
Die Eingabe bedeutet:
Zeile POTI: Datenart POTI zur Festlegung des zeitlichen Ablaufs einer
instationären Berechnung
ITE1 1 > Anfangswert der Iterationsschritte, sinnvoll als 1
ITE2 15 > Endwert der Iterationsschritte, max. Schrittanzahl
ITE2-ITE1+1 = 15
TIM2 20 > max. Beobachtungszeit 20 s (bei Zeitschrittsteuerung wird die
Iteration abgebrochen, wenn TIM2 erreicht ist).
DELT 1 > der Zeitschritt = 1 s
TSTA 20 > die konstante Anfangstemperatur für alle Knoten (anstelle eines
aufwendigen Temperaturfeldes)
Vorsicht!! Zwingt man ein FEM-Progarmm nach Erreichen des stationären
Zeitpunkts weiter zu rechnen, d.h. ITE2 oder TIM2 sind zu groß, so kann es zu
numerischen Problemen und damit zu einem Programmabbruch kommen.
Auch diese Zusatzeingabe befindet sich auf beiliegender CD unter
\Springer\Kapitel4\ingo\ingori.pot und muss nur noch ins Arbeitsverzeichnis
kopiert werden.
Nun können wir unsere instationäre FEM-Berechnung starten. Wir wollen 15
konstante Zeitschritte rechnen und sehen, ob wir schon den stationären
Gleichgewichtszustand erreicht haben. Mit dem Temperaturfeld nach 15 Schritten
= 15 s wollen wir wieder eine Statikberechnung mit Kontakt machen. Alles mit
temperaturabhängigem Material wie im Beispiel zuvor. Hoffentlich kommt auch
das gleiche Ergebnis heraus.
Weitere Optionen gegenüber dem stationären Beispiel müssen wir zunächst
nicht setzen, erst in einem 2. Rechenlauf wollen wir die Zeitschrittsteuerung
aktivieren, die uns genauere Ergebnisse liefern wird. Wir starten mit dem
Analysetyp { instationäres Potential > inst.Pot. + Statik mit Kontakt > Start }
unser FEM-Programm und setzten dabei die gleichen 3 Optionen, wie im Beispiel
ingorp zuvor. Im Ausgabefenster finden wir folgende max. Werte:
max. Verformung = ca. 2.92 mm
max. Potential = ca. 188.3 °C
max. Spannung = ca. 41,6 N/mm2 max. Arbeit = ca. 20 091 Nmm.
Dazu zum Vergleich die Werte der stationären Berechnung.
max. Verformung = ca. 2.95 mm
max. Potential = ca. 190.9 °C
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
max. Spannung
= ca. 42.3 N/mm2
max. Arbeit
209
= ca. 20 509 Nmm.
Wir wollen zunächst die Temperatur diskutieren, da diese die Basis für die
übrigen Werte ist. Der Unterschied gegenüber der stationären Temperatur von
190°C beträgt nur 2.6°C. Die gewählte Anzahl Schritte, die bei konstantem
Zeitschritt zu einer Beobachtungszeit von 15 s führt, reicht offensichtlich aus, um
den stationären Zustand nahezu zu erreichen. Die dadurch bedingten geringeren
übrigen Werte, sind erklärlich.
Wie wir aus der Erfahrung wissen, benötigt man bei einer instationären
Berechnung durch die asymptotische Annäherung der Temperatur an den
stationären Wert, sehr viele Schritte gegen Ende der Iteration, wenn der Zeitschritt
konstant bleibt, wie bei uns. Wir werden später sehen, was passiert, wenn wir mit
automatischer Zeitschrittanpassung den Rechenlauf wiederholen.
Wir wollen zunächst mit einem Blick ins Protokollfile ingori-p.prt das
Ergebnis mit konstantem Zeitschritt etwas näher anschauen.
Protokollfile ingori-p.prt (Auszug der instationären Berechnung)
******* ERGEBNISSE POTENTIAL *****
aktueller Zeitpunkt 0.10000E+01 [s]
TMIN = 0.43704E+02 BEI KNOTEN
586
TMAX = 0.79369E+02 BEI KNOTEN
160
TEMP.ABHAENGIGE MATERIALDATEN UEBERTRAGEN
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27709+03
...... Ende Potential Ergebnisse aufbereiten
aktueller Zeitpunkt 0.20000E+01 [s]
TMIN = 0.71910E+02 BEI KNOTEN
586
TMAX = 0.10477E+03 BEI KNOTEN
160
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27813+03
aktueller Zeitpunkt 0.30000E+01 [s]
TMIN = 0.98035E+02 BEI KNOTEN
190
TMAX = 0.12113E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27877+03
aktueller Zeitpunkt 0.40000E+01 [s]
TMIN = 0.11084E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.13866E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27916+03
aktueller Zeitpunkt 0.50000E+01 [s]
TMIN = 0.12006E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.15185E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27940+03
aktueller Zeitpunkt 0.60000E+01 [s]
TMIN = 0.12698E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.16170E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27955+03
aktueller Zeitpunkt 0.70000E+01 [s]
TMIN = 0.13211E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.16905E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27965+03
aktueller Zeitpunkt 0.80000E+01 [s]
TMIN = 0.13592E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.17451E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27972+03
aktueller Zeitpunkt 0.90000E+01 [s]
TMIN = 0.13875E+03 BEI KNOTEN
195
.24610-04 .70489+05
.25412-04 .69659+05
.26046-04 .69011+05
.26542-04 .68520+05
.26923-04 .68151+05
.27213-04 .67875+05
.27431-04 .67670+05
.27595-04 .67517+05
210
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
TMAX = 0.17857E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27976+03 .27718-04 .67404+05
aktueller Zeitpunkt 0.10000E+02 [s]
TMIN = 0.14085E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18158E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27979+03 .27809-04 .67320+05
aktueller Zeitpunkt 0.11000E+02 [s]
TMIN = 0.14240E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18381E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27981+03 .27877-04 .67257+05
aktueller Zeitpunkt 0.12000E+02 [s]
TMIN = 0.14356E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18547E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27982+03 .27928-04 .67211+05
aktueller Zeitpunkt 0.13000E+02 [s]
TMIN = 0.14441E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18670E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27983+03 .27965-04 .67176+05
aktueller Zeitpunkt 0.14000E+02 [s]
TMIN = 0.14505E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18761E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27984+03 .27993-04 .67151+05
Temperaturfeld fuer Statiklauf bereitgestellt <<<<<<<<<<
aktueller Zeitpunkt 0.15000E+02 [s]
TMIN = 0.14552E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18828E+03 BEI KNOTEN
405
neue max Werte fuer LAMBDA,ALFA,E: .27984+03 .28014-04 .67132+05
...... Ende TP2000, instat. Potentialprobleme
TEMPERATURFELDER AUSWERTEN
TPS1 DICKWANDIGES ROHR MIT BOLZEN (ROT.SYMMETRISCH)
THERMISCHE LAST
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ZEITLICHER VERLAUF DER TEMPERATUR
I
0
1
2
3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ITER TEMPERATURAMPLITUDEN -NORMIERT- MAX.
1 I
2
*
1
2 I
2
3
0
1
3 I
*
*
4 I
*
5 I
3
6 I
7 I
8 I
9 I
10 I
11 I
12 I
13 I
14 I
15 I
...... Ende Potential Ergebnisse auswerten
INGO2308
C
N MM
- - - - - - - - - - NR. ENTSPRICHT KNR I
105
162
189
197
- - - - - - - - - - TEMP. = 188.28
*
*
3
3
0
*
0
*
0
3
*
0
3
1 2
0
3
1 2 0
3
1 2 0
3
1 2 0
3
1 2 0
3
1 2 0
3
1 2 0
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
211
Wenn wir das Protokollfile wie vorstehend aufbereiten, erkennen wir sehr
schön, wie sauber das in unserem FEM-Programm verwendete voll implizite
Verfahren arbeitet und wie sich die min. (43.7°C - 145°C) und max. (79.4°C 188.28°C) Temperaturen und darauf aufbauend die temperaturabhängigen
Materialwerte entwickeln. Wir erkennen auch sofort, dass mit 183.8°C schon nach
11 s die asymptotische Annäherung an den stationären Wert beginnt und wie
geringfügig sich die Werte dann noch ändern.
Für eine weitere Statikberechnung der Verformungen und Spannungen wollen
wir anhand dieser Zahlen den Zeitschritt 5 zum Zeitpunkt 5 s mit 120°C min. und
152°C max. Temperatur auswählen.
Über die Zusatzeingabe ingori.zus hatten wir mit der Datenart TEM1/2 für 4
Knoten den zeitlichen Verlauf der Temperaturen als Printplot angefordert. Das
Ergebnis finden wir ebenfalls in unserem Protokollfile. Mit wenig Aufwand erhält
man so einen schnellen Überblick über die Ergebnisse. Das Zeichen * bedeutet
dabei, dass hier mehrere Kurvenpunkte zusammenfallen.
Jetzt können wir uns den Ergebnissen im Postprozessor zuwenden. Unser
Ergebnisfile hat den Namen ingori-p.fmp. Betrachten wir zunächst die
Temperaturfelder nach 1, 5, 11 und 15 s gemäß Bild 4.109, dazu wählen wir die
Lastfälle x.INGO Iter-Schritt x, mit x= 1, 5, 11 und 15 aus.
Zu Beginn dominiert der Wärmefluss aus dem Wärmeübergang der 100°C
bzw. 150°C heißen Umgebungstemperatur des Stahlbolzens und erzeugt dort die
höchsten Temperaturen. Bereits nach ca. 5 s beginnt die Dominanz der beiden
Wärmequellen und die höchsten Temperaturen verlagern sich ins Alu-Rohr.
Besonders interessant sind auch die Änderungen im Wärmefluss dazu, wie
diese in Bild 4.110 gezeigt sind. Zu Beginn nach 1 s fließt Wärme an den Rändern
des Bolzens zu, die Wärme aus den beiden Wärmequellen ist noch nicht im BolBild 4.109: Projekt ingori; TemperaturFelder der instatinären Berechnung nach 1,
5, 11 und 15 s.
212
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.110: Projekt ingori; Wärmefluss der instat. Berechnung nach 1, 5, 11 und 15 s.
zen angekommen. Wie wir an den Bolzenenden deutlich sehen, fließt sogar
Wärme ins Alu-Rohr.Bereits nach 5 s und schon etwas früher ändert sich die
Flussrichtung, jetzt fließt die Wärme von den Wärmequellen in den Stahlbolzen
und über alle Ränder ab. Zwischen den Flusszuständen nach 11 s und am Ende
nach 15 s ist nur noch ein geringer Unterschied, wie wir schon an den
Temperaturen erkannt haben.
Bild 4.111: Projekt ingori; Verformungen und Spannungen der instationären Berechnung
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
213
nach 15 s (Endzustand, fast identisch mit stationärem Zustand)
Im Protokollfile ist uns sicher am Ende der Temperaturiteration die Meldung
„Temperaturfeld fuer Statiklauf bereitgestellt“ aufgefallen. Wie wir schon an der
Ergebnisübersicht im Ausgabefenster erkannt haben, basieren die Ergebnisse der
Statik auf dem letzten Temperaturfeld nach 15 s. Schauen wir uns auch diese
Ergebnisse im Postprozessor an (Bild 4.111). Wir wissen schon, dass alle Werte
vom Ergebnis des stationären Temperaturfelds aus dem Beispiel zuvor nur
geringfügig abweichen. Wir erkennen, dass dies auch für die Verteilung gilt. Wie
sieht aber die Statik zu einem anderen Zeitpunkt aus?
Wir wollten uns dazu noch das Ergebnis nach 5 s anschauen
In unserem Zusatzfile ingorri.zus hatten wir dies schon vorbereitet in der
Datenart TEM1. Wir ändern dort die Eintragung zum Kennwort LSTA von 0 in 5
und wiederholen den Rechenlauf. Im Ausgabefenster erhalten wir folgende
Ergebnisinformation:
max. Verformung = ca. 2.36 mm
max. Spannung = ca. 67.8 N/mm2
max. Potential = ca. 188.3 °C
max. Arbeit = ca. 27 037 Nmm.
Die max. Temperatur zum Zeitpunkt 5 s beträgt nur 152°C, wie wir uns erinnern.
Daher sind die Verformungen zu diesem Zeitpunkt um 0.6 mm kleiner. Da sich
aber unser Alu-Rohr aus dem gleichen Grund geringer ausdehnt, wird der
Kontaktdruck aus dem Schrumpfmaß größer. Offensichtlich sind daher auch die
Spannungen größer. Schauen wir uns das neue Statikergebnis nach 5 s im
Postprozessor an (Bild 4.112). Unsere Vermutung bestätigt sich. Wie wir an den
Kontaktkräften erkennen, haben wir wieder überall in den Kontaktfugen Kontakt,
daher die Spannungsspitzen am unteren Ende der Bogenkontur.
Bild 4.112: Projekt ingori; Spannungen und Kontaktkräfte der instationären Berechnung
214
nach 5 s.
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
215
Wie eingangs schon gesagt, können sich die max. Spannungen insbesondere
bei Fügeteilen während des Aufheizens zu einem unbekannten Zeitpunkt ergeben.
Streng genommen müssten wir dieses Maximum suchen, indem wir die Statik für
alle Zeitschritte anfordern. Ziemlich mühsam, aber notwendig. Wir können das
einmal ausprobieren.
Am Schluss bleibt uns noch die Erprobung der automatischen
Zeitschrittsteuerung. In den Optionen sind dazu folgende Standardwerte in der
Zeiteinheit (z.B. s) gesetzt, die an das jeweilige Problem angepasst werden
müssen.
Wert der Zeitschrittänderung A. Um diesen Wert wird der Zeitschritt
vergrößert oder verkleinert. Der Wert darf nicht größer 0.2 sein, sonst wird er
0.2 gesetzt. Standardwert > 0.2, Empfehlung > 0.2.
Unterster Wert für den Zeitschritt B. Standardwert > 0.5, Empfehlung > ½ *
Anfangswert des Zeitschritts.
Oberster Wert für den Zeitschritt C. Standardwert > 1.0, Empfehlung > 3 *
Anfangswert des Zeitschritts.
Unterster Wert für den Betrag der Temperaturänderung. Unterschreitet der
Betrag der Temperaturänderung an allen Knoten diesen Wert, so wird der
Zeitschritt um A vergrößert, wenn dieser kleiner C ist. Standardwert > 2.0,
Empfehlung > 5 * Anfangswert des Zeitschritts.
Oberster Wert für den Betrag der Temperaturänderung. Überschreitet der
Betrag der Temperaturänderung an allen Knoten diesen Wert, so wird der
Zeitschritt um A verkleinert, wenn dieser größer B ist. Standardwert > 10.0,
Empfehlung > 10 * Anfangswert des Zeitschritts.
In unserer Zusatzeingabe ingorp.pot hatten wir schon die Beobachtungszeit auf
max. 20 s gesetzt. Wir wissen inzwischen, dass dies ausreichend ist, da schon nach
15 s nahezu der stationäre Zustand erreicht ist. Bei Verwendung der
automatischen Zeitschrittsteuerung sollte man aber mit der max. Anzahl
Iterationsschritte nicht geizen, denn der Abbruch der Iteration ist mit der max.
Beobachtungszeit gewährleistet.
Auch haben wir sicher schon gemerkt, dass ein Iterationsschritt als
Potenzialproblem erheblich weniger Rechenzeit als ein vergleichbarer in der
Statik kostet. Die Ursache ist klar. Wir haben bei einem Potenzialproblem nur
einen Freiheitsgrad pro Knoten und damit gegenüber der Statik ein kleineres
Gleichungssystem (in unserem Beispiel halb so groß) mit kleinerer Bandbreite (in
unserem Beispiel halb so groß) zu lösen.
Die Bandbreite geht bekanntlich mit dem Quadrat in die Rechenzeit ein. Die
Rechenzeit reduziert sich mindestens auf 1/8, wie in unserem Fall. Bei
Raumelementmodellen sogar auf 1/27!
Da die Rechenzeit kein Problem ist, erhöhen wir die max. Schrittanzahl in
ingori.pot von ITE2 = 15 auf 25. In ingori.zus steht LSTA immer noch auf 5!
Wir starten wieder unser FEM-Programm und wollen folgende Optionen setzen,
wobei für die nicht geänderten die obigen Standardwerte gelten.
Optionen > Potential
> Automatische Zeitschrittsteuerung, nachfolgende Werte sind aktiv > 2 > setzen
> Oberster Wert für den Zeitschritt C. Wir fol-
216
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
gen der Empfehlung mit 3 * Anfangswert
> 3 > setzen
> Unterster Wert für den Betrag der Temperaturänderung. Wir folgen der Empfehlung mit
5 * Anfangswert
> 5 > setzen
> Oberster Wert für den Betrag der Temperaturänderung. Entgegen der Empfehlung
wählen wir 30 * Anfangswert > 30 > setzen
Wir wählen als Analysetyp wieder { instationäres Potential > inst.Pot. +
Statik mit Kontakt > Start }. Im Ausgabefenster erhalten wir folgende
Ergebnisinformationen.
max. Verformung = ca. 1.9 mm
max. Spannung = ca. 118.2 N/mm2
max. Potential = ca. 189.98 °C
max. Arbeit = ca. 55 263 Nmm.
Die max. Temperatur von 189.98° hat dank der Zeitschrittsteuerung den
stationären Wert von 190° erreicht. Die Spannungen und Verformungen jedoch,
die wir nach dem 5. Schritt verlangt haben, sind deutlich anders. Kein Wunder,
denn ein Blick ins nachfolgende Protokollfile zeigt uns, dass der 5. Schritt schon
beim Zeitpunkt 3.5 s (vorher 5 s) liegt mit einer max. Temperatur von nur ca.
129°C (vorher 152°). Er zeigt uns auch die zu diesem Zeitpunkt temperaturbedingt
angepassten Materialdaten. Somit ist der Unterschied klar. Auch die max.
Spannung mit ca. 118 N/mm2 überrascht nicht, obwohl sie deutlich größer als
zuvor nach 5 s ist.
Der nachfolgende Auszug aus dem Protokollfile zeigt die Entwicklung des
Zeitschritts. Dieser wird zu Beginn von 1 s schnell auf den untersten Wert mit 0.5
s gesetzt. Dadurch erhöht sich die Genauigkeit. Er bleibt dann 10 Schritte lang
konstant und steigt danach wie erwartet kontinuierlich bis auf 2.5 s an. Nach 22
Schritten haben wir die max. Beobachtungszeit von 20 s mit 21.2 s überschritten
und die Iteration wird beendet.
Protokollfile ingori-p.prt (Auszug der instationären Berechnung)
******* ERGEBNISSE POTENTIAL *****
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.80 A1,A2,A3
aktueller Zeitpunkt 0.10000E+01 [s]
TMIN = 0.43704E+02 BEI KNOTEN
586
TMAX = 0.79369E+02 BEI KNOTEN
160
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.70 A1,A2,A3
aktueller Zeitpunkt 0.18000E+01 [s]
TMIN = 0.66424E+02 BEI KNOTEN
586
TMAX = 0.10074E+03 BEI KNOTEN
160
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.50 A1,A2,A3
aktueller Zeitpunkt 0.25000E+01 [s]
TMIN = 0.86051E+02 BEI KNOTEN
586
TMAX = 0.11325E+03 BEI KNOTEN
160
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.50 A1,A2,A3
aktueller Zeitpunkt 0.30000E+01 [s]
TMIN = 0.98561E+02 BEI KNOTEN
190
TMAX = 0.12119E+03 BEI KNOTEN
405
= 2.8125
5.0625
4.0625
= 2.4490
4.5918
3.5918
= 3.3600
5.7600
4.7600
= 3.3600
5.7600
4.7600
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.50 A1,A2,A3 = 3.3600 5.7600
aktueller Zeitpunkt 0.35000E+01 [s]
TMIN = 0.10457E+03 BEI KNOTEN
195
:
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.50 A1,A2,A3 = 3.3600 5.7600
aktueller Zeitpunkt 0.60000E+01 [s]
TMIN = 0.12428E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.15781E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.70 A1,A2,A3 = 1.2245 2.9388
aktueller Zeitpunkt 0.65000E+01 [s]
TMIN = 0.12694E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.16162E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.50 A1,A2,A3 = 3.3600 5.7600
aktueller Zeitpunkt 0.72000E+01 [s]
TMIN = 0.13040E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.16659E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.70 A1,A2,A3 = 1.2245 2.9388
aktueller Zeitpunkt 0.77000E+01 [s]
TMIN = 0.13258E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.16972E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 0.90 A1,A2,A3 = 1.3827 3.1605
aktueller Zeitpunkt 0.84000E+01 [s]
TMIN = 0.13519E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.17346E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 1.10 A1,A2,A3 = 1.4876 3.3058
aktueller Zeitpunkt 0.93000E+01 [s]
TMIN = 0.13789E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.17733E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 1.30 A1,A2,A3 = 1.5621 3.4083
aktueller Zeitpunkt 0.10400E+02 [s]
TMIN = 0.14038E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18091E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 1.50 A1,A2,A3 = 1.6178 3.4844
aktueller Zeitpunkt 0.11700E+02 [s]
TMIN = 0.14248E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18392E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 1.70 A1,A2,A3 = 1.6609 3.5433
aktueller Zeitpunkt 0.13200E+02 [s]
TMIN = 0.14410E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18625E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 1.90 A1,A2,A3 = 1.6953 3.5900
aktueller Zeitpunkt 0.14900E+02 [s]
TMIN = 0.14526E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18791E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 2.10 A1,A2,A3 = 1.7234 3.6281
aktueller Zeitpunkt 0.16800E+02 [s]
TMIN = 0.14601E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18899E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 2.30 A1,A2,A3 = 1.7467 3.6597
aktueller Zeitpunkt 0.18900E+02 [s]
TMIN = 0.14646E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18963E+03 BEI KNOTEN
405
NEUER ZEITSCHRITT DELT = 2.50 A1,A2,A3 = 1.7664 3.6864
aktueller Zeitpunkt 0.21200E+02 [s]
TMIN = 0.14670E+03 BEI KNOTEN
195
TMAX = 0.18998E+03 BEI KNOTEN
405
TEMPERATURFELD NR.
5 FUER STATIK BEREITGESTELLT
TEMP.ABHAENGIGE MATERIALDATEN UEBERTRAGEN
4.7600
4.7600
1.9388
4.7600
1.9388
2.1605
2.3058
2.4083
2.4844
2.5433
2.5900
2.6281
2.6597
2.6864
217
218
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
neue max. Werte fuer LAMBDA,ALFA,E :0.278971+3 0.262843-4 0.687733+5
Bild 4.113: Projekt ingori; Temperaturfeld nach 3,5 s bei Zeitschrittsteuerung
Wir stellen fest, dass wir mit den Informationen aus der stationären Berechnung
im Beispiel zuvor und ein wenig Erfahrung durch das Setzen sinnvoller Schranken
mit der automatischen Zeitschrittsteuerung ein genaueres Ergebnis erhalten. Man
sollte daher immer mit Zeitschrittsteuerung rechnen, sofern das FEM-Programm
diese Funktion besitzt.
In unserem Beispiel ist der Unterschied nicht so spektakulär. Bei extremer
Belastung jedoch, wie dies in der Praxis häufig vorkommt, z.B. bei
zeitabhängigem An oder Ausschalten von Wärmequellen (an einer Bremsscheibe,
bei Temperaturschock usw.), ist eine Zeitschrittsteuerung unerlässlich.
Bild 4.114: Projekt ingori; Spannungen und Verformungen nach 3,5 s
bei
4.17 Beispiel instation. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Erwärmung
219
Zeitschrittsteuerung
Als Ergebnis unserer Berechnung mit Zeitschrittsteuerung wollen wir uns noch
das Temperaturfeld (Bild 4.113) und die Spannungen und Verformungen (Bild
4.114) jeweils nach 5 Schritten = 3,5 s anschauen. Wir erkennen am
Temperaturfeld, dass die Wärme aus den beiden Wärmequellen schon langsam in
den Stahlbolzen einfließt bei einer max. Temperatur von 129°C. Die
Spannungsverteilung zum selben Zeitschritt zeigt deutlich die Dominanz der
Druckkräfte aus dem Schrumpfmaß, die mit zunehmender Temperatur abgebaut
werden, wie wir schon wissen. Daher verwundert uns die hohe Spannung mit ca.
118 N/mm2 auch nicht mehr.
Bevor wir unser instationäres Problem abschließen, wollen wir festhalten, dass
alle in der Analogie der Potenzialprobleme genannten Aufgabenbereiche in
gleicher Weise als instationäres Problem gelöst werden können. Im Bereich der
Temperaturprobleme gehört neben der Strahlung (mit unserem FEM-Programm
können wir jedoch keine Körperstrahlung berücksichtigen) auch das wichtige
Problem des Phasenübergangs dazu, z.B. das Erstarren einer Schmelze in einer
Gussform in Verbindung mit einer optimalen Kühlung zur Vermeidung von
Lunkerbildung.
Für solche und alle nichtlinearen, instationären Probleme steht in unserem
FEM-Programm eine Benutzerschnittstelle (Fortran oder C) zur Verfügung, über
die der erfahrene Anwender beliebige Abhängigkeiten aller denkbaren Werte
formulieren kann (Phasenübergang ist darin bereits realisiert, mit einem Beispiel
bsphas.fmp im Beispielverzeichnis der Potenzialprobleme des FEM-Programms).
Dies ist im Benutzerhandbuch von TP2000 in Kap. 9.4.4 ausführlich beschrieben.
4.18
Beispiel aus stationären Potenzialproblemen mit rot.symm.
Elementen, Magnetfeldberechnung (ingorm)
Zum Abschluss der Potenzialprobleme wollen wir noch ein Beispiel aus einem
wichtigen anderen Bereich betrachten, nämlich ein Magnetfeldproblem. Damit
haben wir aus den 5 Aufgabengebieten der Analogie der Potenzialprobleme
(Abschn. 2.5.1) drei Möglichkeiten kennen gelernt.
Wir sollten dabei noch einmal festhalten, dass wir mit der Lösung des
stationären und instationären Temperaturfeldproblems über die Analogie sicher in
der Lage sind, auch alle übrigen Probleme zu lösen. Voraussetzung dazu ist jedoch
die richtige Verwendung der Einheiten. Von anderen Einheiten als in den
Beispielen beschrieben, wird daher abgeraten.
Es bleibt dem Anwender überlassen, in welchem Problemkreis er denkt. Die
meisten Ingenieure werden das Temperaturproblem bevorzugen und dieses auf die
übrigen Probleme übertragen.
Als Ausgangsmodell dient wieder unser Hosenrohr mit Anschlagbolzen als
Potenzialproblem ingorp.fmp, welches wir in einen Hubmagneten mit 1200 mm
220
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Außendurchmesser ändern wollen. Ziemlich groß und sicher mit schlechtem
Wirkungsgrad, aber das müssen wir hinnehmen!
Die wichtigsten zwei Änderung dabei sind die Einführung eines 6 mm breiten
Luftspalts zwischen dem Magneten und der Last. Da die Oberfläche der Hublast
Bild 4.115: Projekt ingorm; Modell ingo als Hubmagnet
unregelmäßig sein kann, wird man vorsichtshalber immer von einem Spalt
ausgehen. Zum anderen muss der Innenraum der Bogenkontur, der mit Luft gefüllt
ist, jetzt mit Material Luft vernetzt werden. Die übrigen Änderungen betreffen die
Property-Zuordnung und die Materialeigenschaften. Betrachten wir Bild 4.115.
Etwas mühsam ist immer die Erzeugung eines schmalen Spalts in einem
bestehenden Modell. Daher soll hier nur der Weg aufgezeigt werden. Da es nicht
sicher ist, dass jeder so zum Erfolg kommt, wollen wir es bei einer Beschreibung
insgesamt belassen und einfach das Modell ingorm.fmp von beiliegender CD
verwenden unter \Springer\Kapitel4\ingo. Wer Lust hat, sollte versuchen, das
Modell neu zu erzeugen.
Der erste Schritt zum Luftspalt ist die Erzeugung von Doppelknoten in der
Symmetrieebene mit { Model > Node >> Locate > Methods > On Node > alle
7 Knoten der Symmetrieebene klicken > ok }. Dann bleibt nichts anderes übrig, als
die angrenzenden Elemente der rechten Seite manuell zu ändern mit { Modify >
Edit > Element >> Select Elements > die 8 angrenzenden Elemente klicken und
die Knotennummern ändern > ok }.
Damit haben wir unser Hosenrohr geteilt und können die rechte Hälfte um
6 mm in +x verschieben mit { Modify > Move By >> Element >> Select
Elements > über die Layer-Technik nur das Hosenrohr sichtbar machen und alle
4.18 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Magnetfeld
221
Elemente der rechten Hälfte klicken >> Vector Locate = 0/ 0/ 0 > 6/ 0/ 0 > ok }.
Nach Redraw (Ctr-D) müsste der 6 mm Spalt sichtbar sein.
Da unsere gesamte rechte Hälfte einschließlich Bolzenanteil zu Hublast wird,
müssen wir die Doppelknoten in der rechten Kontaktfuge entfernen mit { Tools >
Check > Coincident Nodes > Select Nodes > die Knoten der rechten Kontaktfuge
großzügig mit der Box fangen > Specify Additional Range of Nodes to Merge >
Nein >> Merge Coincident Entities > an > einen Fangradius von größer 6 mm
wählen, z.B. 6.1 > ok }. Die angrenzenden Elemente werden sich ein wenig
verzerren, aber das stört in der Hublast nicht.
Um den Spalt zu vernetzen, erzeugen wir oben und unten jeweils einen Knoten
in der Mitte, um dann über alle Randknoten einen Polygonzug zu legen, den wir
dann als Boundary Surface mit { Mesh > Geometry > Surface > ....... } vernetzen.
Mit ein wenig Nacharbeit erhalten wir so die Elemente des Luftspalts.
Unser Modell besteht gemäß Bild 4.115 aus 4 Teilmodellen mit 4 Properties
und Materialien, die wir am einfachsten alle neu definieren. Dann könnte die Liste
der Properties und des Materials wie in Bild 4.116 aussehen, mit folgender
Zuordnung:
Property
Material
4. rot.symm. Luft
3. Luft-N-mm-C
5. Magneteisen
2. Magneteisen-N-mm-C
6. Spule
1. Kupfer-N-mm-C
7. Hublast
4. Stahl-N-mm-C
Da wir immer davon ausgehen sollten, dass eine Weiterrechnung des
Potenzialproblems in der Statik notwendig werden kann, sollten die Materialdaten
immer auch die Werte für E-Modul, Poisson'sche Konstante und
Temperaturausdehnungskoeffizienten sowie die Dichte enthalten, wir wollen z.B.
auch das Gewicht der Hublast wissen. Unsere 4 Materialien sehen dann wie folgt
aus, mit zugeordneten Farben wie in Bild 4.115 (s. CD \Springer\Kapitel4\ingo\).
Material
1. Kupfer-N-mm-C
E = 1.25E+5; nu= .25; a = 1.7E-5; Density = 8.9E-6.; Conductivity k = 1.
2. Magneteisen-N-mm-C
E = 2.1E+5; nu = .3; a = 1.0E-5; Density = 7.85E-6; Conductivity k = 11.
3. Luft-N-mm-C
E = 1.0;
nu = .0; a = .0;
Density = 0.;
Conductivity k = 1.
4. Stahl-N-mm-C
E = 2.1E+5; nu = .3; a = 1.0E-5; Density = 7.85E-6; Conductivity k = 2.
222
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.116: Projekt ingorm; neue Property- und Materialliste des Hubmagneten
In unserem und den meisten FEM-Programmen sind die Einheiten des
magnetischen Felds zwingend vorgeschrieben, mit dem magnetischen Potential Φ
in
A (mpere) , der magnetischen Erregung H in A/mm, der
Induktionskonstante μ in H (enry) /mm = Vs/Amm) und der magnetischen
Induktion B in T(esla) = Vs/m2 (programmintern automatisch bei uns auf mm
umgerechnet!).
Dabei gilt μ = μR * μ0, mit μ0 als Permeambilität des Vakuums = 0.00012566
H/mm und μR als Permeambilitätszahl. Der Faktor μ0 wird im Programm
berücksichtigt und muss daher in der Eingabe entfallen!
Mit { Modify >> Update Elements > Property-ID > Select Elements >
jeweilige Elemente der Teilmodelle klicken > Select Property for Update >
Property auswählen gemäß Bild 4.116 > ok } erzeugen wir die neuen Teilmodelle.
Nachdem wir noch die freien Knoten gelöscht haben, sollte unser Modell dann
aussehen, wie in Bild 4.115 gezeigt. Wenn nicht, es war nur ein Versuch und wir
arbeiten mit ingorm.fmp von der beiliegenden CD.
Zuvor müssen wir uns aber noch mit den Randbedingungen und Lasten des
magnetischen
Felds
befassen.
Dabei
unterscheiden
wir
folgende
Randbedingungen:
a) Dirichlet'sche Randbedingung zur Erzwingung eines konstanten, magnetischen
Potenzials an einem Knoten entsprechend der erzwungenen konstanten
Temperatur beim Temperaturproblem. Im Preprozessor mit { Model > Load
>> Select Nodes >> Temperature > Value > ok }.
b) Neumann'sche Randbedingung, die magnetischen Feldlinien stehen normal zur
Berandung. Diese Bedingung ist bei einem FEM-Programm analog der totalen
Isolierung beim Temperaturproblem an allen freien Rändern immer erfüllt.
c) Periodizitätsbedingung, das magnetische Potenzial an ausgewählten Knoten ist
vom Wert her gleich, aber im Vorzeichen verschieden, z.B. Plus- und
Minuspol. Im Preprozessor mit { Model > Constraint >> Equations > Value
> ok }.
Die Kennzeichnung als Potenzialrandbedingung erfolgt dabei im
Randbedingungs-Title unter { Model > Constraint > Set > Title = POTI (als
erste 4 Zei-chen in großen Buchstaben) mit nachfolgendem, beliebigem Text >
ok }. Die Randbedingungen nach a) und c) verwenden wir in unserem
Magnetfeldmodell.
Mit Typ a) erzwingen wir in der Rotationsachse unseres Modells das
magnetische Potenzial zu 0 mit { Model > Load >> Select Nodes > alle Knoten
auf der Rotationsachse klicken >> Temperature > Value = 0.0 > ok }. Diese
Bedingung ist zwar beim Elementansatz berücksichtigt, schadet aber nichts und
wir haben sie einmal ausprobiert.
4.18 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Magnetfeld
223
Mit Typ b) erzwingen wir in unserer Kontaktfuge mit den noch vorhandenen
Kontaktbedingungen gleiches magnetisches Potential an den Knotenpärchen. Wir
müssen für die linke Fuge nichts ändern. Da wir die Kontaktrandbedingungen der
beiden Knotengruppen 3 und 4 der rechten Fuge nicht mehr benötigen, löschen
wir diese mit { Delete > Group > Select Groups > ID 3 to 4 > ok }.
Nun fehlt nur noch die Belastung, die sich im Falle des Magnetfelds als
Erregerstrom in der Spule darstellt. Wie wir mit { Tools > Mass Properties >
Mesh Properties >> Methods > Property = 7 (Stahl mit Density 7.85E-6) > ok >
ok } feststellen können, wiegt unsere Hublast ca. 1 600 kg. Unser Hubmagnet soll
max. 5 000 kg heben. Aus einer überschlägigen Berechnung ergibt sich damit der
Erregerstrom zu 20 A/mm2.
Zuvor löschen wir unsere bisherige Belastung mit { Delete > Model > LoadSet > Select All > ok > ja } und erzeugen mit { Model > Load > Elemental >
alle Elemente der Kupferspule klicken > Heat Generation > Generation Value =
2o A/mm2 > ok }. Wenn wir in den Quick Optiones 'Heat Generation'
einschalten, sehen wir die Markierung in den ausgewählten Elementen
Nachdem wir noch in { File > Notes > in der 2.Zeile „als Hubmagnet“ > ok }
ergänzt haben, können wir unser Modell ins Arbeitsverzeichnis als ingorm.fmp
abspeichern.
Natürlich wollen wir für das Magneteisen die vorhandene Nichtlinearität des
über die Conductivity definierten relativen magnetischen Widerstands ν
berücksichtigen. Diese, dem Wärmeleitwert des Temperaturproblems
entsprechende Induktionskonstante, ist als ν = 1/μ in H/mm einzugeben. Sie ist für
Luft und Kupfer = 1.0 und für unseren Stahl der Hublast = 2 und für das
Magneteisen = 11 H/mm. Wie im Beispiel zuvor benötigen wir wieder eine
Zusatzeingabe ingorm.pot, in der wir die nichtlineare B/H-Kurve (B = μR * μ0 *
H) wiederum ohne μ0 als Wertepaare definieren.
Zusatzeingabe ingorm.pot:
POTI ITE1 1 ITAB 42 IKOR 25 TAM1 0.00001
$
nichtlineare Materialkennlinie des Magneteisens
TAB TAB1 TAB2 TAB3 TAB4 TAB5 TAB6 TAB7 TAB8
11.000 19.000 0.0083 0.0100 0.1660 0.2000 0.3320 0.4000
0.4980 0.6000 0.6640 0.8000 0.8300 1.0000 1.0500 1.5000
1.1900 2.0000 1.2800 2.5000 1.3600 3.0000 1.4700 4.0000
1.5400 5.0000 1.6000 6.0000 1.6300 7.0000 1.6700 8.0000
1.7000 9.0000 1.7200 10.000 1.8200 15.000 1.8800 20.000
0.0000 0.0000
Bild
4.117:
ProjektHingorm;
magn.
Feldstärke
[A/mm]Kontrollkurve nichtlineare Materialkurve des Magneteisens
magn. Induktion B [T]
224
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Diese Zusatzeingabe hat folgende Bedeutung.
Zeile POTI: Datenart POTI zur Festlegung einer Magnetfeldberechnung mit
nichtlinearer Kennlinie
ITE1 1 > Anfangswert der Iterationsschritte, sinnvoll als 1
ITAB 42 > Anzahl Tabellenpunkte in nachfolgender Datenart TAB
IKOR 25 > max. Anzahl Korrektorschritte zur Anpassung an Materialkurve
TAM1.00001 > Konvergenzkriterium der Euklid'schen Norm des magnetischen Potenzials dazu
Zeile TAB: Datenart POTI zur Festlegung des Ablaufs einer stationären
Berechnung mit Magnetfeld und nichtlinearer Kennlinie
TAB1-8 > Tabelle der B-H-Charakteristik des nichtlinearen Materials
> 11 = Materialnummer = zugehörige Material-ID im Preprozessor
> 19 = Anzahl Tabellenpunkte = 38 Werte
> Werte 3, 5, 7.. 39 = magnetische Induktion B in T
> Werte 4, 6, 8.. 40 = magnetische Feldstärke H in A/mm
Zur Kontrolle steht nach erfolgter Datendiagnostik mit unserem FEMProgramm die B-H-Tabelle im Excel-Format als magnkurv.txt im
Arbeitsverzeichnis zur Verfügung. Falls man kein Excel hat, so kann die Kurve
auch mit einem Trick im Preprozessor dargestellt werden, wie in Bild 4.117. Dies
geschieht über die Funktion { View Select > XY Style > XY vs Position > XY
Data >> Output Vector = Werte 1-19 der Feldstärke als Spannungsvektor
(*.fmp) > Position > X = an > ok > ok } mit der magnetischen Induktion als xOrdinaten der Knoten 1 - 19.
Da wir als Ergebnis unserer Magnetfeldberechnung nicht nur das magnetische
Potenzial und den magnetischen Fluss im Postprozessor anschauen wollen,
sondern auch aus den Normalenkomponenten der magnetischen Induktion B x im
Luftspalt die max. Hublast berechnen wollen, müssen wir diese Ergebnisart über
eine Zusatzeingabe ingorm.zus im Arbeitsverzeichnis anfordern (auf beiliegender
CD unter \Springer\Kapitel4\ingo\.
Zusatzfile ingorm.zus:
$****************** ZUSATZEINGABE **************
TEM1 IANZ 2 MAGN 'MAGN'
TEM2 P1 0.00 P2 3.00 P3 300.0 P4 3.0 P5 600.0
TEM2 P1 0.00 P2 -3.00 P3 300.0 P4 -3.0 P5 600.0
ENDE
Diese Zusatzeingabe hat folgende Bedeutung.
Zeile TEM1: Datenart TEM1 zur Festlegung der zusätzlichen Ergebnisausgabe
beim Magnetfeld
IANZ 2
> Anzahl Schnittlinien = 2
MAGN 'MAGN' > Kennzeichnung für Magnetfeldausgabe
Zeile TEM2: Datenart TEM2 zur Festlegung der Schnittlinien
P1
0
> Linien sind Gerade (bei Kreis ≠ 0 = r)
P2; P4
> x-Ordinate für Anfangs- und Endpunkt
P3; P5
> y-Ordinate für Anfangs- und Endpunkt
Zeile ENDE: Datenart ENDE zeigt Fileende an, nie vergessen!
4.18 Beispiel station. Potenzialprobleme, rot.symm. Elemente, Magnetfeld
225
Bild 4.118: Projekt ingorm; Magnetfeldlinien des Hubmagneten
Nun können wir endlich unsere Magnetfeldberechnung starten mit der Option
{ Zwischenknoten einfügen mit Randbedingungen > 2 > setzen } und
Analysetyp { Potential > Magnetostatik > Start }.
Als Ergebnis erhalten wir die bekannten Magnetfeldlinien nach Bild 4.118,
wenn wir bei { View > Option >> Contour /Criteria Style > Filled (or Line) =
aus (Linie gilt) > ok } aktivieren. Nur schwarze Linien wie in Bild 4.118,
erreichen wir über eine User Palette mit 16 x schwarz. Bild 4.119 zeigt das
gleiche als Isofarben, wie gewohnt.
Den zugehörenden Fluss als Pfeilchendarstellung sehen wir dann in Bild 4.120.
Es Fehlt noch die Überprüfung der max. Hublast. Wie in ingorm.zus angefordert,
finden wir die gesuchten Werte für die Normalkomponenten der magnetischen In
duktion Bx in magdiag.txt (Excel-Format) im Arbeitsverzeichnis mit einem
Mittelwert von 0.7 T (Vs/m2). Daraus können wir über die Teilkreisflächen (Pfeile
in
Bild 4.119: Projekt ingorm; Magnetfeldverteilung des Hubmagneten als Isofarben
226
4 Der Einstieg in die FEM durch einfache Beispiele
Bild 4.115) die gesuchte Kraft errechnen (genauer wird es, wenn wir die Teilwerte
addieren) nach der bekannten Formel:
F = Bn2 * A / 2 μ0
(4.3)
F = (0.7 Vs/m2)2* 0.254 m2 / (2*1.256-8 Am/Vs) = 49 546 Ws/m
= 49 546 N entspricht ca. 4 900 kg max. Hublast.
Die seltsame Form unseres Hubmagneten ist sicher Schuld an diesem schlechten
Ergebnis, aber es kam uns ja nur auf die Vorgehensweise an.
Bild 4.120: Projekt ingorm; magn. Fluss = magn. Induktion als Pfeilchendarstellung