Lösung 9

MAE2 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 2
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2014
ZHAW Winterthur
Lösung 9
Aufgabe 1 :
a) Die Nullstellen der Sinusfunktion auf dem Intervall [0, π] sind gegeben durch
x1 = 0, x3 = π (Satz 15, 5.). Für den Extrempunkt benötigen wir eine Nullstelle
der Ableitung sin′ ≡ cos (Satz 16, 1.). Die einzige Nullstelle der Kosinusfunktion
im Intervall [0, π] liegt bei x2 = π/2 (Satz 15, 5.), und die zweite Ableitung
der Sinusfunktion an dieser Stelle ist gegeben durch sin′′ (π/2) = cos′ (π/2) =
− sin(π/2) = −1 < 0. Die Sinusfunktion hat also an der Stelle x2 ein lokales
Maximum (MAE1, Satz 20) mit Funktionswert sin(x2 ) = 1.
Wir suchen jetzt die quadratische Funktion durch die drei Punkte (0, 0), (π/2, 1)
und (π, 0). Die Koeffizienten dieses Interpolationspolynoms berechnen wir mit
dividierten Differenzen (MAE1, Kap. 3.3.2):
0 0
π
1 π2
2
π 0 − π2 − π42
(1)
Die gesuchte quadratische Funktion ist also gegeben durch
4
π
4
4
2
= − 2 x2 + x.
p(x) = 0 + (x − 0) − 2 (x − 0) x −
π
π
2
π
π
b) Wir zeichnen die Graphen der Funktionen sin und p:
1
0.9
0.8
0.7
y
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y = sin(x)
y = p(x)
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1
0.5
x/π
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(2)
c) Für die gesuchten Flächeninhalte gilt
Zπ
sin(x) dx
Satz 16
=
− cos(x)|π0 = − cos(π) + cos(0) = 2,
=
Zπ
(3)
0
Zπ
p(x) dx
0
4
4
− 2 x2 + x dx =
π
π
0
≃
2.094.
π
2
4 3 2 2 − 2 x + x = π (4)
3π
π
3
0
(5)
Aufgabe 2 :
1
a) Weil cos eine gerade Funktion ist, gilt cos(x) = 12 ⇔ cos(−x)
= 2 . Die trigono1
metrische Gleichung hat daher die Lösungen x = ± arccos 2 +2kπ = ± π3 +2kπ,
k ∈ Z.
1
0.5
y
0
−0.5
y = cos(x)
−1
−5
−4
−3
−2
−1
0
x/π
1
2
3
4
5
b) Wir verwenden das Additionstheorem für die Kosinusfunktion sowie den Trigonometrischen Pythagoras:
cos(2x) = cos(x + x) = cos(x) cos(x) − sin(x) sin(x) = cos2 (x) − sin2 (x)(6)
= cos2 (x) − 1 − cos2 (x) = 2 cos2 (x) − 1.
(7)
Die trigonometrische Gleichung wird damit zu
0 = 2 cos2 (x) − 1 − 4 cos(x) + 3 = 2 cos2 (x) − 4 cos(x) + 2
= 2 cos2 (x) − 2 cos(x) + 1 = 2 (cos(x) − 1)2 .
(8)
(9)
Wir benötigen also die Lösungen der Gleichung cos(x) = 1 ⇔ cos(−x) = 1.
Diese sind gegeben durch x = ± arccos(1) + 2kπ = 2kπ, k ∈ Z.
8
y
6
4
y = cos(2x) − 4 cos(x) + 3
2
0
−5
−4
−3
−2
−1
2
0
x/π
1
2
3
4
5
c) Wir verwenden zuerst den Trigonometrischen Pythagoras (Satz 15, 6.): cos2 (x) =
1 − sin2 (x). Damit wird die trigonometrische Gleichung zu
1
1
2
.
(10)
0 = sin (x) + sin(x) = sin(x) sin(x) +
2
2
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn sin(x) = 0 oder sin(x) = − 12 . Die Gleichung
sin(x) = 0 hat die Lösungen x = kπ, k ∈ Z (Satz 15, 5.).
=
Die 1Gleichung sin(x)
1
π
π
− 2 schreiben wir mit Satz 15, 4., um zu cos 2 − x = − 2 ⇔ cos x − 2 =
− 21 , weil cos
eine gerade Funktion ist. Die Lösungen sind gegeben durch π2 ±
+ 2kπ, k ∈ Z. Also ist die Lösungsmenge der
arccos − 12 + 2kπ = π2 ± 2π
3
Gleichung gegeben durch
n
o
7π
π
L = {kπ | k ∈ Z} ∪
+ 2kπ | k ∈ Z ∪ − + 2kπ | k ∈ Z .
(11)
6
6
1.5
y
1
0.5
y = 1/2 sin(x) + 1
2
y = cos (x)
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
x/π
1
2
3
4
5
Aufgabe 3 :
a) Mit der Produkt- und der Kettenregel erhalten wir
f ′ (x) = (2x)′ e2x arcsin (x − 1) + e2x arcsin′ (x − 1) (x − 1)′
1
·1
= 2e2x arcsin (x − 1) + e2x q
2
1 − (x − 1)


1
.
= e2x 2 arcsin (x − 1) + q
2
1 − (x − 1)
b) Mit der Produkt- und der Kettenregel erhalten wir
dg
d
d
t sin(t)
(t) =
(t sin(t)) e
= sin(t) + t sin(t) et sin(t)
dt
dt
dt
= (sin(t) + t cos(t)) et sin(t) .
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
c) Wir schreiben h(z) = (sin(z))1/2 und verwenden die Potenz- und die Kettenregel:
h′ (z) =
1
cos(z)
(sin(z))−1/2 sin′ (z) = p
.
2
2 sin(z)
3
(17)
Aufgabe 4 :
a) Wir definieren
I1 (x) :=
Z
x
10 dx und I2 (x) := −
dann gilt nach der Summenregel
Z 10x −
I(x) :=
1
2
sin (x)
Z
1
dx,
sin (x)
dx = I1 (x) + I2 (x).
Nach Satz 10 (a = 10) gilt
Z
10x
+ C1 ,
I1 (x) = 10x dx =
ln(10)
I(x) = I1 (x) + I2 (x) =
(19)
C1 ∈ R.
Zur Berechnung von I2 verwenden wir Def. 21 und Satz 18:
Z
Z
1
I2 (x) = −
dx = − csc2 (x) dx = cot(x) + C2 ,
2
sin (x)
Also gilt
(18)
2
(20)
C2 ∈ R.
10x
+ cot(x) + C,
ln(10)
(21)
(22)
mit Integrationskonstante C := C1 + C2 ∈ R.
b) Wir verwenden die Doppelwinkelformel für die Sinusfunktion, sin(2x) =
2 sin(x) cos(x) (Serie 8, Aufg. 2a), Def. 21 und Satz 18:
Z
tan(x)
dx =
sin(2x)
=
Z
sin(x)
cos(x)
1
dx =
2 sin(x) cos(x)
2
1
tan(x) + C,
2
mit Integrationskonstante C ∈ R.
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE2
4
Z
1
1
dx =
2
cos (x)
2
Z
sec2 (x) dx
(23)