Befreundete, vollkommene und Fermat

WS 2005/06
Aufgabenblatt 4 – Lösungen
Elementare Zahlentheorie
C. Mohr
Befreundete, vollkommene und
Fermat-Zahlen
Hinweis zu den Aufgaben 25 und 26:
Auf http://www.mohr.lehrer.belwue.de/cgi-bin/teiler können Sie die Teiler einer natürlichen Zahl ermitteln und damit prüfen, ob sie prim ist.
24. Sei σ die Teilersummenfunktion. Folgendes sind Primfaktorzerlegungen:
2 −1
6 −1
· 37
= 2394
1184 = 25 · 37 ⇒ σ(1184) = 22−1
37−1
22 −1 52 −1 113 −1
2
1210 = 2 · 5 · 11 ⇒ σ(1210) = 2−1 · 5−1 · 11−1 = 2394 = σ(1184).
4 −1
2 −1
2 −1
6232 = 23 · 19 · 41 ⇒ σ(6232) = 22−1
· 19
· 41
= 12600
19−1
41−1
6 −1
2 −1
2
199
6368 = 25 · 199 ⇒ σ(6368) = 2−1 · 199−1 = 12600 = σ(6232).
25.
a) a = 2n xy und b = 2n z sind Primfaktorzerlegungen (da x, y und z größer als 2
sind). Daher gilt für die Teilersummenfunktion σ:
2 −1
2 −1
n+1
· yy−1
= (2n+1 − 1)(x + 1)(y + 1)
σ(a) = σ(2n xy) = 2 2−1−1 · xx−1
= (2n+1 − 1)(3 · 2n )(3 · 2n−1 ) = 9 · 22n−1 (2n+1 − 1) sowie
n+1
2 −1
σ(b) = σ(2n z) = 2 2−1−1 · zz−1
= (2n+1 − 1)(z + 1)
2n−1 n+1
=9·2
(2
− 1) = σ(a).
b) Für n = 1 ist y = 2, für n = 3 ist z = 287 = 7 · 41, für n = 5 ist x = 95 = 5 · 19
und für n = 6 ist y = 95 = 5·19. In diesen Fällen erhält mein keine befreundeten
Zahlen.
n = 2 liefert das Paar (220; 284), n = 4 das Paar (17296; 18416) und n = 7 das
Paar (9363584; 9437056). Man weiß, dass dieser Satz für weitere n ≤ 191600
keine weiteren befreundeten Zahlenpaare liefert.
26. A = 220 = 22 · 55 und B = 284 = 22 · 71 sind befreundet. Also sind a = 4, u = 55
und s = 71, wobei s prim ist. p = 127 ist prim und nicht Teiler von a = 4.
n = 1: q1 = 56 · 127 − 1 = 7111 = 13 · 547 ist nicht prim. Für n = 1 erhält man
deshalb keine neuen befreundeten Zahlen.
n = 2: q1 = 903223 und q2 = 65032127 sind beide prim. Daraus folgt:
A1 = 220 · 1272 · 903223 und B1 = 4 · 1272 · 65032127 sind befreundete Zahlen.
Mit Hilfe dieses Satzes fand Borho weitere 10455 befreundete Zahlen.
27. n habe genau die l Teiler t1 < t2 < t3 < . . . < tl−1 < tl . Hierbei sind (t1 ; tl ), (t2 ; tl−1 )
usw. jeweils Paare von Komplementärteilern, etwa z. B. t1 tl = n. Es gilt:
X1
k|n
k
=
1
1
1
tl tl−1
t2 t1
σ(n)
2n
+ ... + =
=
= 2,
+ + ... + = +
t1 t2
tl
n
n
n
n
n
n
wobei σ(n) = 2n (Teilersummenfunktion) für vollkommene Zahlen verwendet wurde.
28. 1. Induktionsanfang: n = 1: F1 = F0 + 2 = 5 ist in Ordnung.
2. Induktionsschluss: Angenommen, es gilt für ein n ∈ N:
Fn
⇔ Fn − 2
⇔ (Fn − 2)Fn
⇔ (Fn − 2)Fn + 2
=
=
=
=
F0 F1 . . . Fn−1 + 2
F0 F1 . . . Fn−1
F0 F1 . . . Fn−1 Fn
F0 F1 . . . Fn−1 Fn + 2
Die rechte Seite stimmt mit der Rekursionsformel für n + 1 überein. Zu zeigen ist
noch, dass links Fn+1 steht:
n
n
n+1
(Fn −2)Fn +2 = Fn2 −2Fn +2 = (Fn −1)2 +1 = (22 )2 +1 = 22·2 +1 = 22 +1 = Fn+1 .