Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen

Prof. Dr. Johannes Blömer
David Teusner
20. Oktober 2011
Abgabe: 31. Oktober 2011, bis 14.00 Uhr
Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale
Sprachen
WS 2011/2012
Heimübungszettel 2
AUFGABE 1 (6 Punkte):
Beantworten Sie die folgenden Fragen. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
a) Die DTM M entscheide die Sprache L. Ist L dann auch die von M akzeptierte Sprache?
b) Entscheidet jede DTM eine Sprache?
c) Akzeptiert jede DTM eine Sprache?
AUFGABE 2 (6 Punkte):
Beschreiben Sie eine 3-Band Turingmaschine, die bei Eingabe der Binärdarstellung zweier
Zahlen a, b ∈ N die Binärdarstellung der Zahl a + b auf dem dritten Band berechnet. Die
Binärdarstellung der Zahlen in der Eingabe ist dabei durch ein # getrennt. Es genügt, wenn
Sie Ihre Turingmaschine informell beschreiben. Begründen Sie aber, warum Ihre DTM das
Gewünschte leistet.
Hinweis: Zur Vereinfachung darf angenommen werden, dass die Binärdarstellung einer Zahl
n−1
X
von rechts nach links geschrieben ist. Also d0 d1 · · · dn−1 stellt die Zahl d =
di · 2i dar.
i=0
AUFGABE 3 (4 Punkte):
Die symmetrische Differenz L1 ∆L2 zweier Sprachen L1 , L2 ⊆ Σ∗ ist die Menge aller Worte
aus Σ∗ , die in genau einer der beiden Sprachen liegen. Zeigen Sie: Sind L1 , L2 entscheidbar,
so ist auch L1 ∆L2 entscheidbar.
AUFGABE 4 (6 Punkte):
Die Ackermannfunktion ack : N0 × N0 → N0 ist folgendermaßen definiert:
ack(0, m) = m + 1
ack(n, 0) = ack(n − 1, 1), falls n ≥ 1
ack(n, m) = ack(n − 1, ack(n, m − 1)), falls n, m ≥ 1
Zeigen Sie
a) ack(1, n) = n + 2,
b) ack(2, n) = 2n + 3,
c) ack(3, n) = 2n+3 − 3.