Randomisierte Algorithmen
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Fakultät für Informatik Professur Theoretische Informatik und Informationssicherheit Sommersemester 2008 Prof. Dr. Hanno Lefmann Randomisierte Algorithmen 1. Übung Aufgabe 1 Wie in der Vorlesung kommen n Matrosen zurück auf ihr Schiff. Sie wählen nun jedoch die Kajüte anders. Nacheinander kommen die Matrosen an, und wählen unter den freien Kajüten zufällig und gleichverteilt eine aus. Es ist also sichergestellt, dass am Ende in jeder Kajüte genau ein Matrose schläft. 1. Im Experiment aus der Vorlesung galt Unabhängigkeit bei der Wahl der Kajüten, d. h. der Ereignisse Matrose i landet in der richtigen Kajüte“ für ” i = 1, . . . , n. Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Matrose in der richtigen Kajüte landet, wenn a) der erste Matrose in der richtigen Kajüte landet bzw. b) der erste Matrose in der falschen Kajüte landet? Sind die Ereignisse für den 1. und 2. Matrosen wieder unabhängig? 2. Bestimmen Sie die erwartete Anzahl an Matrosen, die in ihrer richtigen Kajüte schlafen. Aufgabe 2 Wir betrachten unabhängige Zufallsexperimente, die mit Wahrscheinlichkeit p erfolgreich sind. Bestimmen Sie auf zur Vorlesung alternative Weise die erwartete Anzahl an Experimenten, bis zum ersten mal ein Erfolg eintritt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Wir wissen, dass für unsere Zufallsvariable X, die die Anzahl an Experimenten bis zum ersten Erfolg zählt, gilt: E[X] = ∞ X i · Pr[X = i] . i=1 Stellen Sie die Terme i · Pr[X = i] als Summe von i Summanden Pr[X = i] + . . . + Pr[X = i] dar. Tragen Sie alle Summanden geeignet in eine unendliche, zweidimensionale Tabelle ein, und summieren Sie geeignet über Spalten bzw. Zeilen. Aufgabe 3 Für ein Entscheidungsproblem (d. h. ein Problem, für dessen Eingaben es nur zwei mögliche Antworten/Lösungen Ja“ und Nein“ gibt) sei ein so” ” genannter probabilistischer Algorithmus gegeben, der folgendermaßen arbeitet: Für Ja-Eingaben liefert er mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Ja“ und ansonsten Nein“. Für ” ” Nein-Eingaben liefert er mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit 1) die Antwort Nein“. ” Wie kann man daraus einen Algorithmus konstruieren, der wiederum mit Sicherheit Nein-Eingaben korrekt erkennt, und für eine beliebig kleine vorgegebene Wahrscheinlichkeit c ∈ (0, 1) höchstens mit Wahrscheinlichkeit c für Ja-Eingaben einen Fehler macht, d. h. mit Nein“ antwortet? ”
