Klausur zur Vorlesung Diskrete Mathematik für Informatiker

Klausur zur Vorlesung Diskrete Mathematik für Informatiker
Vorname
Name
07.03.2007, 09.00 ‐ 11.00 Uhr
Nur für Diplom‐Erstsemester
und Bachelor
Matrikel‐Nr.
Wichtige Hinweise! Bitte vor Beginn der Arbeit lesen:
2.
1 Außer Schreibzeug dürfen Sie nur einen nicht
programmierbaren Taschenrechner benutzen.
2 Tragen Sie alle Lösungen auf diesem Blatt ein. Achten
Sie auf die Hinweise in unterstrichener Kursivschrift.
3 Am Ende geben Sie nur dieses Blatt ab!
4 Falsch angekreuzte Ja/Nein‐Fragen werden doppelt
negativ gewertet. Wenn Sie sich nicht sicher sind,
lassen Sie die Kästchen also lieber leer. Ergibt sich für
eine Aufgabe eine negative Punktsumme, so wird die
Aufgabe mit 0 bewertet.
5 Skizzieren Sie Ihre Aufgabenlösungen zunächst auf
Konzeptpapier. Verwenden Sie beim Übertragen einen
Bleistift, um noch korrigieren zu können!
Ergebnisse: www.math.uni‐siegen.de/ring.
Stellen Sie die Dezimalzahl 7531 in den Stellenwert‐
systemen zu den Basen 7 und 49 dar. Schreiben Sie alle
Ziffern über 9 als Dezimalzahlen in Klammern (oder mit
einem Kreis umrandet), z. B. (17) 3 (12) (24).
1. Siehe Hinweis 5
Füllen Sie die Kästen aus:
7531 zur Basis 49:
3.
1
Entwickeln Sie Ihren Beweis zunächst auf
Konzeptpapier und tragen Sie ihn dann hier ein:
Induktionsanfang:
[10 Punkte]
(a) Es sei A = {n ∈ | n ist durch 7 teilbar}
Geben Sie eine bijektive Abbildung f: → A an:
f(n) =
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle
n ∈ gilt:
1 !
ÁÍ Í Í Í Í Í Í É
ÁÍ Í Í Í Í Í Í É.
7531 zur Basis 7:
15 Punkte
· !
[10 Punkte]
(b) Die Relation R auf sei definiert durch:
(a, b) ∈ R ⇔ a + b ∈ .
Kreuzen Sie jeweils links (Ja) oder rechts (Nein) an:
Ja Nein
Ja Nein
…… R ist reflexiv
…… R ist symmetrisch
…… R ist transitiv
…… R ist antisymmetrisch
…… R ist Äquivalenzrel. …… R ist Halbordnung
4.
[10 Punkte]
Induktionsschritt
‐ Voraussetzung:
Die Schritte im Euklidischen Algorithmus sollen so gezählt
werden, dass er z. B. zwei Schritte für die Zahlen 10 und 5
benötigt.
Füllen Sie die Kästen aus:
Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen
‐ Behauptung:
144 und 89 ist ÁÍ
Í Í Í É.
Der Algorithmus braucht dafür ÁÍ Í Í É Schritte.
Hinweis: 144 und 89 sind Fibonacci‐Zahlen
‐ Beweis:
5. Siehe Hinweis 4
[10 Punkte]
p und q seien Primzahlen.
Welche Aussagen gelten in jedem Fall:
Ja Nein
……
……
……
……
p q − 1 ist eine Primzahl.
p q + 1 hat weder p noch q als Primfaktor.
p q + 1 ist eine Primzahl.
p q + 2 hat weder p noch q als Primfaktor.
Bitte wenden
6.
[10 Punkte]
Ermitteln Sie die erzeugende Funktion f(x) der Rekurrenz:
a0 = 4, a1 = 3, an = 2 an‐1 − 5 an‐2 für n ≥ 2
Tragen Sie das Ergebnis ein:
f (x ) =
7.
10 Punkte
Füllen Sie die Kästen aus:
Von den natürlichen Zahlen bis einschließlich 759
... sind ÁÍ Í Í Í É durch 3 oder 11 teilbar,
... sind ÁÍ
Í Í Í
... sind ÁÍ Í Í Í
... sind ÁÍ Í Í Í
... sind ÁÍ Í Í Í
É durch 3 oder 23 teilbar,
É durch 11 oder 23 teilbar,
É durch 3 oder 11 oder 23 teilbar,
É weder durch 2 noch durch 7 teilbar.
Hinweis: 759 = 3·11·23
8.
10 Punkte
Füllen Sie die Kästen aus:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen
von 4 Würfeln (mit den Zahlen 1 bis 6) ...
die Summe 4
herauskommt
die Summe 5
herauskommt
mindestens
eine 6 fällt
genau eine 6
fällt
9. Siehe Hinweis 4
10 Punkte
Gegeben sei die Klauselmenge M = {K1, K2, K3, K4} mit
K1 = {A, ¬B, C}, K2 = {A, B, ¬C}, K3 = {A, B, C},
K4 = { ¬A }, K5 = { ¬C }
Kreuzen Sie die Wahrheitswerte der Aussagen an:
Ja Nein
…… K1 und K2 haben die Klausel {A } als Resolvente
…… K1 und K2 haben zwei Resolventen.
…… K1 und K2 haben mindestens eine Tautologie
als Resolvente.
…… M ist erfüllbar.
…… Die leere Klausel lässt sich aus M mit dem
Resolventenverfahren ableiten.