Anwesenheitsübung zur Vorlesung ” Algebra und

Anwesenheitsübung zur Vorlesung
Algebra und Zahlentheorie“
”
WS 2015/2016
A. Rincón, A. Schmitt
15. Dezember 2015
Aufgabe 1 (10+10 Punkte).
a) Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegungen der Zahlen 15015 und 12600 und geben
Sie damit den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache
dieser beiden Zahlen an. (Die Ergebnisse sind als Dezimalzahlen anzugeben.)
b) Bestimmen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Zahlen x, y ∈ Z mit
x · 15015 + y · 12600 = ggT(15015, 12600).
Aufgabe 2 (10+6 Punkte).
Es sei n ≥ 1. Auf dem Vektorraum (Qn , +, ·) ist durch
⋆ : Qn × Qn −→ Qn
1
· (x + y)
(x, y) 7−→
2
eine Verknüpfung gegeben.
a) Ist ⋆ assoziativ? (Sie müssen Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel begründen.)
b) Beweisen Sie, dass es zu Vektoren b, c ∈ Qn einen eindeutig bestimmten Vektor a
mit
a⋆b = c
gibt.
Aufgabe 3 (16 Punkte).
Es seien n, s und n1 , ..., ns positive natürliche Zahlen, so dass
n1 + · · · + ns ≤ n.
Beweisen Sie, dass die symmetrische Gruppe Sn eine Untergruppe H enthält, die isomorph zu Zn1 × · · · × Zns ist.
Aufgabe 4 (6+3+7 Punkte).
Es sei
3
τ
: R2 ×R3 −→ R



y1
x1 + y1
 x1 ,  y2  7−→  x2 + y2  .
x2
y3
y3
a) Beweisen Sie, dass τ eine Linkswirkung von R2 auf R3 ist.1
1 Wir
fassen R2 als Gruppe bzgl. komponentenweiser Addition von Vektoren auf.
b) Beschreiben Sie die Bahnen geometrisch.
c) Geben Sie eine explizite Bijektion zwischen der Menge der Bahnen und R an.
Aufgabe 5 (16 Punkte).
Eine quadratische Pappkarte ist beidseitig mit einem (3 × 3)-Raster bedruckt (s. Abbildung 1).
Wieviele wesentlich verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus zweien der Kästchen ein
Loch auszustanzen?
Dabei werden zwei Möglichkeiten als wesentlich verschieden angesehen, wenn sie
sich nicht durch Drehen und/oder Umdrehen der Karte ineinander überführen lassen.
•
•
Abbildung 1: Eine Lochkarte mit zwei ausgestanzten Kästchen
Wichtig. Es ist ein vollständiger Lösungsweg anzugeben. Für die richtige Anzahl der
Lochkarten gibt es nur zwei Punkte.
Aufgabe 6 (16 Punkte).
Es seien k ein Körper, n ≥ 1 eine natürliche Zahl,
o
n
B :=
A = (ai, j )i, j=1,...,n ∈ GLn (k) ∀n ≥ i > j ≥ 1 : ai j = 0



a1,1 a1,2 · · · a1,n






..  ..
..


.
.
. 
 0
∗
=
a
∈
k
,
i
=
1,
...,
n,
a
∈
k,
1
≤
i
<
j
≤
n
 .
 i,i
i, j
..
..


 ..
.
. an−1,n  





0 ··· 0
an,n
⊂ GLn (k)
die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen und
n
o
U :=
A = (ai, j )i, j=1,...,n ∈ GLn (k) ∀n ≥ i > j ≥ 1 : ai j = 0, ∀1 ≤ i ≤ n : ai,i = 1



1 a1,2 · · · a1,n






..  ..
..


.
.
. 
0
=
. .
 ai, j ∈ k, 1 ≤ i < j ≤ n


. . . . . an−1,n   ..






0 ··· 0
1
die Untergruppe die unipotenten oberen Dreiecksmatrizen. Beweisen Sie, dass U eine
normale Untergruppe von B ist. Zeigen Sie weiter, dass
· · × k}∗
B/U ∼
= T := |k∗ × ·{z
n Faktoren
gilt.