2.2 Mannigfaltigkeiten

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Differentialgeometrie in der Physik
Vorlesung 2
Andererseits gilt aber folgendes Lemma
Lemma 2.7 Ist(M, T ) wegzusammenhängend, so auch zusammenhängend.
Beweis. Sei (M, T ) zusammenhängend. Angenommen m ist nicht zusammenhängend. Dann existieren zwei nichtleere Teilmengen A, B ∈ T mit
A ∪ B = M und A ∩ B = ∅. Sei jetzt a ∈ A und b ∈ B. Dann existiert
ein stetiger Weg γ : [0, 1] → M mit γ(0) = a und γ(1) = b. Da γ stetig
ist müssen à = γ −1 (A) und B̃ = γ −1 (B) offen in [0, 1] sein (und nichtleer)
und da [0, 1] zusammenhängend ist, ist [0, 1] 6= Ã ∪ B̃. Andererseits ist aber
à ∪ B̃ = γ −1 (A) ∪ γ −1 (B) = γ −1 (A ∪ B) = γ −1 (M ) = [0, 1]. Widerspruch.
Die Annahme war also falsch und M muss zusammenhängend sein.
Bemerkung. Achtung: zusammenhängend ist nicht dasselbe wie einfach zusammenhängend. Der zweite Begriff besagt anschaulich, das die Menge kein
“Loch” hat. 2 ist einfach zusammenhängend 2 \ {0} ist es nicht.2
R
2.2
R
Mannigfaltigkeiten
Wir werden jetzt differenzierbare Mannigfaltigkeiten einführen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten dafür – beispielsweise als bestimmte Teilmengen eines hinreichend hochdimensionalen n . In diesem Fall kann man die differenzierbare Struktur des umgebenden Raumes auf die Mannigfaltigkeiten
“vererben”. Allerdings verschleiert diese Herangehensweise die Tatsache, das
der umgebende Raum in der eigentlichen Theorie überhaupt keine Rolle
spielt. Wir werden Mannigfaltigkeiten abstrakt einführen. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeiten ist dann ein Hausdorff’scher topologischer Raum M
zusammen mit einem maximalen Atlas von Karten auf M . Diese Begriffe
werden wir jetzt der Reihe nach einführen.
Soweit nicht anders gesagt wird für uns “glatt” oder “differenzierbar” C ∞
– also beliebig oft stetig differenzierbar – bedeuten. Einen Großteil der Theorie kann man auch mit niedrigerer Differenzierbarkeitsordnung formulieren,
allerdings ist es bisweilen mühsam (und nicht besonders instruktiv) die für
die diversen Aussagen minimal nötige Differenzierbarkeitsordnug abzuzählen.
R
Definition 2.8 Sei (M, T ) topologischer Raum und U ⊂ M offen.
R
• φ : U → n heißt Karte (oder Koordinatensystem), falls φ(U ) offen
und φ Homöomorphismus ist. n heißt dann die Dimension der Karte.
2
R
R
R
Allerdings ist 3 \{0} jedoch wieder einfach zusammenhängend - 3 \{(x, 0, 0) | x ∈ }
wiederum nicht. Etwas präziser ist ein topologischer Raum einfach zusammenhängend,
falls sich jeder geschlossene stetige Weg stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wir
werden vermutlich später genauer darauf eingehen.
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R
• Man sagt zwei Karten (derselben Dimension) φ : U → n und η : V →
n
sind verträglich oder überlappen glatt, falls φ◦η −1 und η ◦φ−1 glatt
sind (wo definiert). (Ist U ∩V = ∅ so möge das als trivial erfüllt gelten,
andernfalls gibt es Ũ = φ(U ∩ V ) und Ṽ = η(U ∩ V ) und Abbildungen
φ◦η −1 : Ṽ → Ũ bzw. η◦φ−1 : Ũ → Ṽ , von denen wir Differenzierbarkeit
verlangen).
R
• Ein Atlas auf M ist eine Menge von verträglichen Karten derart, dass
jeder Punkt p ∈ M in mindestens einem Definitionsbereich U einer
Karte liegt (diese werden dann auch Koordinatenumgebung von p genannt).
• Ein Atlas A heißt maximaler Atlas, falls jede mit jeder Karte aus A
verträgliche Karte schon in A enthalten ist.
Der Begriff des maximalen Atlas ist eher technischer Natur und es genügt
für gewöhnlich um seine Existenz zu wissen. Bevor wir Beispiele von Mannigfaltigkeiten betrachten, formulieren wir noch ein kleines Lemma, das uns
die Existenz maximale Atlanten garantiert:
Lemma 2.9 Jeder Atlas ist in einem eindeutigen maximalen Atlas enthalten.
Beweis. Sei der Atlas A gegeben. à bezeichne die Menge aller mit allen Karten aus A verträglichen Karten. Ist à Atlas, so ist à eindeutiger maximaler
Atlas, der A enthält: Wäre  ein weiterer, so wäre jede Karte aus  mit
jeder Karte aus A ⊂  verträglich, also in à enthalten. Genauso umgekehrt,
d.h. Â = Ã. Die Maximalität ist dann per Definition gegeben. Bleibt also
z. Z., das à Atlas ist, dass also je zwei Karten φ : U → n und η : V → n
verträglich sind (das jeder Punkt erreicht wird ist schon mit den Karten aus
A sichergestellt): Ist U ∩ V = ∅, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es
für jedes p ∈ U ∩ V eine Karte ν : W → n in A mit p ∈ W . Nach Definition
R
R
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R
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Differentialgeometrie in der Physik
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von à ist ν mit φ und η verträglich, also sind φ ◦ ν −1 und ν ◦ η −1 glatt. Damit
ist aber φ ◦ η = φ ◦ ν −1 ◦ ν ◦ η −1 zumindest in η(p) differenzierbar und da
wir p beliebig in U ∩ V wählen konnten, ist φ ◦ η −1 glatt, wo definiert. Das
gleiche Argument funktioniert auch für η ◦ φ−1 .
Auch wenn wir also in unserer Definition einer Mannigfaltigkeit einen
maximalen Atlas verlangen, genügt es in der Praxis einen einfachen Atlas
anzugeben, da er einen eindeutigen maximalen impliziert.
Definition 2.10 eine glatte Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff ’scher topologischer Raum mit einem maximalen Atlas. Die Dimension der Mannigfaltigkeit sei die der Karten in ihrem Atlas.
Bemerkung. Für topologische Mannigfaltigkeiten muss man in obigen Definitionen glatt/differenzierbar durch stetig ersetzen.
Beispiel 2.3
R
R
• Die Menge, die nur die Identität enthält {id : n → n } bildet einen
Atlas auf n . n ist also eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit.
R R
R
• Sei S n = {x ∈ n+1 | kxk = 1} die n-dimensionale Einheitssphäre.
Sie wird mit folgenden Abbildungen zu einer n-dim. Mannigfaltigkeit:
Bezeichne πk : n+1 → n die Projektionen
R
R
(x1 , . . . , xn+1 ) 7→ (x1 , . . . , x̂k , . . . , xn−1 ).
−
Dann sind φ+
i = πi |S n ∩{(x1 ,...,xn+1 ) | xi >0} und φi = πi |S n ∩{(x1 ,...,xn+1 ) | xi <0}
mit i ∈ {1, . . . , n + 1} Karten auf S n . Man sieht leicht, das sie zusammen einen Atlas ergeben. Das sind recht viele Karten und es geht mit
weniger: Setzt man σ± : S n \ {(0, . . . , 0, ±1},
x − (0, . . . , 0, ±1)
+ (0, . . . , 0, ±1) ,
σ± (x) = πn+1 4
kx − (0, . . . , 0, ±1)k2
so bildet {σ+ , σ− } einen Atlas auf S n .3 Er hat den selben maximalen
Atlas, wie der zuerst angegebene.
3
Das Argument von π hier ist die Inversion an einer n-dimensionalen Sphäre mit Mittelpunkt (0, . . . , 0, ±1) und Radius 2.
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