5.¨Ubung Riemannsche Flächen

A
Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. H. Glöckner
SS 2003
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
5. Übung Riemannsche Flächen
16. Juni 2003
Im Beweis von Satz 4.10 haben wir benutzt (mit X = I × I, K = {0} × I):
Aufgabe G31 (ε-Umgebungen kompakter Mengen).
Es sei (X, d) ein metrischer Raum, K ⊆ X ein kompakte
Teilmenge und U ⊆ X offen mit
S
K ⊆ U . Zeige, dass es ein ε > 0 gibt derart, dass x∈K Bε (x) ⊆ U .
Aufgabe G32 (Wege und Polygonzüge).
Zeige, dass jeder Weg u : [0, 1] → G in einem Gebiet G ⊆ C zu einem (endlichen) Polygonzug homotop ist. (Benutze Aufgabe G31).
Aufgabe G33 (Fundamentalgruppen homöomorpher Räume).
Zeige: Sind X und Y homöomorphe topologische Räume und X einfach zusammenhängend,
so ist auch Y einfach zusammenhängend.
Aufgabe G34 (Produkttopologie).
Es seien X1 , X2 topologische Räume und X := X1 ×X2 , versehen mit der Produkttopologie.
(a) Zeige, dass die kanonische Projektion pr1 : X → X1 , pr1 (x1 , x2 ) = x1 stetig ist (und
analog pr2 ).
(b) Es sei Z ein topologischer Raum und f : Z → X ein Abbildung. Zeige, dass f =
(f1 , f2 ) genau dann stetig ist, wenn die Koordinatenfunktionen fi := pri ◦ f : Z → Xi
stetig sind für i ∈ {1, 2}.
(c) Schließe aus (a) und (b): Sind gi : Xi → Yi stetig, so auch
g1 × g2 : X1 × X2 → Y1 × Y2 ,
(x1 , x2 ) 7→ (g1 (x1 ), g2 (x2 )) .
Aufgabe G35 (Fundamentalgruppe eines Produkts).
Es seien X1 , X2 topologische Räume und x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 . Zeige, dass
φ := ((pr1 )∗ , (pr2 )∗ )) : π1 (X1 × X2 , (x1 , x2 )) → π1 (X1 , x1 ) × π1 (X2 , x2 )
ein Isomorphismus von Gruppen ist.
Aufgabe G36 (Verzweigungspunkte).
Bestimme alle Verzweigungspunkte der holomorphen Abbildung
z + z1 falls z 6= 0;
1
f:C→P ,
f (z) :=
∞ falls z = 0.
Aufgabe G37 (Die Mutter aller Überlagerungen).
Zeige, dass p : R → S1 ⊆ C, p(t) := eit eine Überlagerung ist.
Aufgabe G38 (Beispiele lokalkompakter topologischer Räume).
Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt, wenn er Hausdorffsch ist und jeder Punkt x ∈ X eine
kompakte Umgebung besitzt.
Mache Dir klar, dass Rn , jede offene Teilmenge von Rn und jede topologische Mannigfaltigkeit lokalkompakt sind. Insbesondere ist jede Riemannsche Fläche lokalkompakt.
Das nächste Mal wird Teil (b) folgender Aufgabe gebraucht:
Aufgabe G39 (Lokalkompakte Räume sind “k-Räume.”)
Es sei X ein lokalkompakter topologischer Raum. Zeige:
(a) Eine Teilmenge U ⊆ X ist offen genau dann, wenn U ∩ K offen in K (bzgl. der
induzierten Topologie) ist, für jede kompakte Teilmenge K ⊆ X.
(b) Eine Teilmenge A ⊆ X ist abgeschlossen genau dann, wenn A∩K in K abgeschlossen
(bzgl. der induzierten Topologie) ist, für jede kompakte Teilmenge K ⊆ X.
(c)∗ Teil (a) und (b) gelten auch, wenn X ein beliebiger metrischer Raum ist. [Hinweis: Ist
(xn )n∈N eine konvergente Folge in X mit Limes x, so ist {xn : n ∈ N} ∪ {x} kompakt. ]
Weitere Aufgaben:
Aufgabe G40 (Kontrahierbare Räume). Es sei X ein “zusammenziehbarer” topologischer Raum, d.h. es gebe einen Punkt x0 ∈ X und eine stetige Abbildung R : X ×[0, 1] → X
derart, dass R(•, 0) = idX und R(•, 1) = x0 (konstant x0 ). Zeige:
(a) X ist wegzusammenhängend;
(b) Jeder geschlossene Weg in X ist frei homotop zum konstanten Weg cx0 ;
(c) X ist einfach zusammenhängend.
Mache Dir klar, dass jede sternförmige Teilmenge von Rn zusammenziehbar ist.
Aufgabe G41 (Charakterisierung Hausdorffscher Räume).
Zeige, dass ein topologischer Raum X genau dann Hausdorffsch ist, wenn die “Diagonale”
∆ := {(x, x) : x ∈ X} in X × X abgeschlossen ist.
Aufgabe G42 (Ein Kriterium für einfachen Zusammenhang).
Es sei X ein topologischer Raum und U1 , U2 ⊆ X einfach zusammenhängende, wegzusammenhängende offene Teilmengen derart, dass U1 ∩ U2 nichtleer und wegzusammenhängend
ist und X = U1 ∪ U2 . Zeige, dass X einfach zusammenhängend ist. [Beispiel: Sn , n ≥ 2. ]
Aufgabe G43 (Umgebungen in kompakten Räumen) – gebraucht für G44 !
Es sei X ein (Hausdorffscher) kompakter topologischer Raum, x ∈ X und U ⊆ X eine
offene Umgebung von x. Dann ist K := X \ U abgeschlossen in X und daher kompakt.
(a) Zeige, dass es endlich viele offene
V1 , . . . Vn ⊆ X und eine offene Umgebung
SMengen
n
W von x gibt derart, dass K ⊆ j=1 Vj und Vj ∩ W = ∅ für alle j.
(b) Zeige: es gibt eine abgeschlossene (also kompakte) Umgebung A von x mit A ⊆ U .
Aufgabe G44 (Alternative Definition lokalkompakter topologischer Räume).
Es sei X ein lokalkompakter topologischer Raum, x ∈ X und U eine Umgebung von x
in X. Zeige, dass dann eine in U enthaltene kompakte Umgebung von x existiert.