Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Wächter/Walter/Weiÿ
Wintersemester 2014/15
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 2
Abgabe: bis Mo 10.11. 12:50 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 46 und 47.
1.
Normalformen (schriftlich)
(4
Punkte )
Überführen Sie die folgende Formel mittels Äquivalenzumformungen in disjunktive Normalform (DNF) und in konjunktive Normalform (KNF). Notieren Sie zu jeder Umformung die
verwendeten Gesetze.
¬A → ¬(C ∨ ¬B) ∧ (A ∨ B) → C
2.
Normalformen II
Wiederholen Sie Aufgabe 1 mit
3.
F = (¬(A ∨ (C ∧ B)) ∨ (A ∧ C)) → A.
Ringsummen (schriftlich)
Wir bezeichnen mit
0
Formel. Wir denieren
(11
eine beliebige unerfüllbare Formel und mit
A ⊕ B := (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).
1
Den Junktor
Punkte )
eine beliebige gültige
⊕
nennt man Kontra-
valenz oder auch exklusives Oder . Zeigen Sie:
• F ⊕G≡G⊕F
• F ⊕F ≡0
• F ⊕0≡F
a)
b) Zu jeder Formel
{1, ⊕, ∧}1
F
• F ⊕ (G ⊕ H) ≡ (F ⊕ G) ⊕ H
• F ∧ (G ⊕ H) ≡ (F ∧ G) ⊕ (F ∧ H)
existiert eine äquivalente Formel
verwendet. Die Konstanten
0
und
1
c) Zählen Sie, wie viele inäquivalente Formeln es in
⊕
benutzen. Warum ist
{⊕}
G, die ausschlieÿlich die Junktoren
sehen wir hier als 0-stellige Junktoren.
n Variablen gibt, die nur den Junktor
keine Junktorbasis? Geben Sie konkret eine Formel an,
die sich nicht äquivalent nur mit dem Junktor
⊕
darstellen lässt.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabenteil a).
d) Zu jeder Formel gibt es eine äquivalente Kontravalenz von Konjunktionen der atomaren
Formeln
A1 , . . . , An
und den Konstanten
0 und 1. D. h. jede Formel F
ist äquivalent zu
einer Formel der Form
!
M
aT ∧
Ai
mit
aT ∈ {0, 1}.
i∈T
T ⊆{1,...,n}
Hinweis: Nehmen Sie an, dass
^
F
als disjunktive Normalform (DNF) gegeben ist und
benutzen Sie eine geschickte Darstellung von
F ∨G
mittels
⊕
und
e) Berechnen Sie die Darstellung aus Aufgabenteil d) für die Formel
F = (A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ C).
1 Die
Menge
{⊕, ∧, 1}
nennt man dann eine Junktorbasis.
∧.
4.
DNF und KNF aus Wahrheitstafeln
Gegeben sei die folgende Wahrheitstafel für
F
und
fahrens aus der Vorlesung äquivalente Formeln zu
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B C
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
G.
F
Konstruieren Sie mit Hilfe des Ver-
bzw.
G
in DNF und KNF.
F G
1 1
0 1
1 0
1 0
1 0
1 1
0 1
1 0
Vergleichen Sie die Gröÿe der entstehenden Formeln mit der Gröÿe der Formeln aus der
Shannon-Zerlegung (Aufgabe 6). Welche Darstellung ist im Allgemeinen länger?
5.
Hornformeln
Gegeben seien die folgenden Hornformeln:
a)
F = (¬A ∨ ¬D ∨ B) ∧ D ∧ ¬B ∧ E ∧ (¬D ∨ ¬E ∨ C)
b)
G = (A ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬C ∨ ¬B) ∧ C ∧ (¬C ∨ B)
Führen Sie den Markierungsalgorithmus für jede der Hornformeln durch. Welche der Formeln
sind erfüllbar? Geben Sie für jede erfüllbare Formel eine erfüllende Belegung an.
6.
Shannon-Zerlegung
In dieser Aufgabe betrachten wir nur solche Formeln, die ausschlieÿlich die Junktoren
∨
∧,
¬
enthalten. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln lässt sich jeder Formel F eine booJF K : {0, 1}n → {0, 1} zuweisen. Die Shannon-Zerlegung zeigt die Umn
kehrung. Für jede boolesche Funktion f : {0, 1}
→ {0, 1} gibt es eine Formel F mit
und
lesche Funktion
f = JF K. Für n = 1 benutzt man dazu die Formeln A1 , ¬A1 , (A1 ∧ ¬A1 ) und (A1 ∨ ¬A1 ).
n > 1 existieren nach Induktion Formeln F1 , F0 mit f1 = JF1 K und f0 = JF0 K wobei f1 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 1) und f0 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 0). Wir
setzen dann F = ((An ∧ F1 ) ∨ (¬An ∧ F0 )).
Für
a) Die folgende Tabelle beschreibt eine boolesche Funktion
Verfahren eine Formel
F,
so dass
JF K = f
f.
Finden Sie mit obigem
gilt.
A3 A2 A1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
f
1
0
0
1
0
1
0
1
b) Beweisen Sie mit Hilfe der oben beschriebenen Zerlegung: Für jede boolesche Funktion
f : {0, 1}n → {0, 1} gibt es eine Formel F mit JF K = f und |F | ≤ 12(2n − 1). Dabei
bezeichne
|F |
die Anzahl der Symbole ( , ) , ¬ , ∧ , ∨ , Ai in
F.