Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 2

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 2
Abgabe: bis Donnerstag, 3. November um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Saubere Abgabe
(1 Punkt)
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich oben rechts auf Ihre Abgabe. Tackern Sie Ihre Abgabe links oben falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe
in den korrekten Abgabekasten im Mittelgang des 1. Stocks.
2. Ringsummennormalform
(4+3+4 Punkte)
Wir bezeichnen mit 0 eine beliebige unerfüllbare Formel und mit 1 eine beliebige gültige Formel.
Wir definieren A ⊕ B := (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B). Den Junktor ⊕ nennt man Kontravalenz oder
auch „exklusives Oder“. Zeigen Sie:
a)
• F ⊕G≡G⊕F
• F ⊕ (G ⊕ H) ≡ (F ⊕ G) ⊕ H
• F ⊕F ≡0
• F ∧ (G ⊕ H) ≡ (F ∧ G) ⊕ (F ∧ H)
• F ⊕0≡F
b) Zu jeder Formel F existiert eine äquivalente Formel G die ausschließlich die Junktoren {⊕, ∧}
und die Konstante 1 benutzt1 . Hinweis: Stellen Sie zunächst die Formeln ¬F , F ∨ G und
F ∧ G mit ⊕, ∧ und 1 dar.
c) Zu jeder Formel gibt es eine äquivalente Kontravalenz von Konjunktionen der atomaren
Formeln A1 , . . . , An und den Konstanten 0, 1. D. h. jede Formel F ist äquivalent zu einer
Formel der Form
!
M
^
aT ∧
Ai
mit aT ∈ {0, 1}.
T ⊆{1,...,n}
i∈T
Hinweis: Nehmen Sie an, dass F als disjunktive Normalform (DNF) gegeben ist und benutzen Sie eine geschickte Darstellung von F ∨ G mittels ⊕ und ∧.
3. Grundbegriffe
Gegeben seien die folgenden Formeln F1 , . . . , F6 .
(3+2+3 Punkte)
F1 = ¬A ∧ B F2 = ¬A ↔ B F3 = (A → (A ∧ B)) ∨ ¬B
F4 = ¬A ∨ B F5 = ¬A → B
F6 = ¬B ∧ ¬(B → A)
a) Stellen Sie für die Formeln F1 , . . . , F6 Verknüpfungstafeln auf. Geben Sie die atomaren Formeln in alphabetischer Reihenfolge an und zählen Sie die Belegungen in aufsteigender lexikographischer Ordnung auf.
b) Welche der Formeln Fi sind erfüllbar? Welche sind gültig?
c) Finden Sie Formeln Fi , Fj , Fk (i, j, k ∈ {1, . . . , 6}), die die folgenden Bedingungen erfüllen:
• Fi 6|= Fk ,
• Fj 6|= Fk ,
• Fi , Fj |= Fk .
Begründen Sie dies mit Hilfe der Definition von |= und den Verknüpfungstafeln der Formeln
Fi , Fj , Fk .
1
Die Menge {⊕, ∧, 1} nennt man dann eine Junktorbasis.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 2
Besprechung: In den Kalenderwochen 45 und 46.
1. Normalformen
Überführen Sie die folgenden Formeln mittels Äquivalenzumformungen in disjunktive Normalform
(DNF) und in konjunktive Normalform (KNF). Notieren Sie zu jeder Umformung die verwendeten
Gesetze.
a) (¬(A ∨ (C ∧ B)) ∨ (B ∧ C)) → A
b) ((¬(A ∧ B) → C) ∧ (C ↔ B)) ∨ ¬(A ∧ C)
2. Shannon-Zerlegung
(1+1 Votierpunkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir nur solche Formeln, die ausschließlich die Junktoren ∧,
∨ und ¬ enthalten. Mit Hilfe von Wahrheitstafeln lässt sich jeder Formel F eine boolesche
Funktion JF K : {0, 1}n → {0, 1} zuweisen. Die Shannon-Zerlegung zeigt die Umkehrung. Für jede
boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1} gibt es eine Formel F mit f = JF K. Für n = 1 benutzt
man dazu die Formeln A1 , ¬A1 , (A1 ∧ ¬A1 ), (A1 ∨ ¬A1 ). Für n > 1 existieren nach Induktion
Formeln F1 , F0 mit f1 = JF1 K und f0 = JF0 K wobei f1 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 1) und
f0 (A1 , . . . , An−1 ) := f (A1 , . . . , An−1 , 0). Wir setzen dann F = ((An ∧ F1 ) ∨ (¬An ∧ F0 )).
a) Die folgende Tabelle beschreibt eine boolesche Funktion f . Finden Sie mit obigem Verfahren
eine Formel F , so dass JF K = f gilt.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B C f
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
b) Beweisen Sie mit Hilfe der oben beschriebenen Zerlegung: Für jede boolesche Funktion f :
{0, 1}n → {0, 1} gibt es eine Formel F mit JF K = f und |F | ≤ 12(2n − 1). Dabei bezeichne
|F | die Anzahl der Symbole „(“, „)“, „¬“, „∧“, „∨“, „Ai “ in F .
3. Syntaxbäume
Zeichnen Sie zu den folgenden beiden Formeln die zugehörigen Bäume.
a) F1 = ¬(¬((A ∧ B) ∨ ¬(C ∨ B)))
b) F2 = ((A ∧ B) ∨ (¬A ∨ B))