Lineare Algebra II

Lineare Algebra II
Übungsbetrieb
Euklidischer Algorithmus
Erweiterter euklidischer Algorithmus
Ein euklidischer Ring ist ein Ring R zusammen mit einer Gradabbildung δ : R −→
N ∪ {−∞} in dem ein „Teilen mit Rest“ existiert. Das heißt: Für alle x, y ∈ R existieren
q, r ∈ R mit x = qy + r und δ(r) < δ(y).
Beispiele sind:
• Z ist euklidisch mit der Gradabbildung δ(z) = |z| für alle z 6= 0 und δ(0) = −∞
• Sei k ein Körper, dann ist k[X] euklidisch mit δ(f ) = deg(f ) für alle 0 6= f und
δ(0) = −∞
• Auch der Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] ist euklidisch mit δ(z) = zz für z 6= 0 und
δ(0) = −∞
Finde den ggT
Der euklidische Algorithmus findet für x, y ∈ R (wobei R euklidischer Ring) den ggT(x, y)
wie folgt:
(i) Finde q1 , r1 ∈ R mit x = q1 y + r1 und δ(r1 ) < δ(y). Dies ist möglich, da R euklidischer Ring.
(ii) Ist r1 = 0, so gilt y | x und damit ggT(x, y) = y.
(iii) Sonst finde q2 , r2 ∈ R mit y = q2 r1 + r2 wie oben (das heißt teile den Divisor von
oben y mit Rest durch den vorherigen Rest r1 ).
(iv) Ist r2 = 0, so ist r1 = ggT(x, y).
(v) Sonst teile wieder den Divisor r1 durch den Rest r2 , sprich finde q3 , r3 ∈ R mit
r1 = q3 r2 + r3 .
(vi) Ist r3 = 0, so ist r2 = ggT(x, y)
(vii) Ansonsten verfahre immer weiter so.
Der Beweis, dass dieses Verfahren abbricht ist einfach (der Grad der Reste wird immer
kleiner, muss also irgendwann bei ri = 0 ankommen). Dass das Ergebnis ein gemeinsamer
Teiler ist, folgt durch einsetzen, dass er der größte solche ist, ist Übung.
c Daniel Heiß
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Lineare Algebra II
Übungsbetrieb
Euklidischer Algorithmus
Beispiel in Z
Finde ggT(11760, 8932):
11760
u
8932
u
2828
u
448
140
u
=
1
·
8932
=
3
·
2828
=
6
·
448
=
3
·
140
=
5
·
28
y
y
y
y
+
2828
+
448
+
140
+
28
+
0
Die letzte Division lässt Rest 0, also ist der vorherige Rest – nämlich 28 – der gesuchte
ggT, sprich ggT(11760, 8932) = 28.
Beispiel in Q[X]
Bestimme den ggT von f := X 3 − 2X 2 − X + 2 und g := X 3 − 4X 2 + 3X:
X 3 − 2X 2 − X + 2
X 3 − 4X 2 + 3X
2X 2 − 4X + 2
=
s
s
1
·
X 3 − 4X 2 + 3X
+
2X 2 − 4X + 2
+
−2X + 2
+
0
u
=
1
2X
−1
·
2X 2 − 4X + 2
=
−X + 1
·
−2X + 2
u
Also ist ggT(f, g) = −2X + 2.
Beispiel in Z[i]
Bestimme den ggT von z := 8 − 4i und w := 10 + 30i.
10 + 30i
8 − 4i
s
=
−1 + 4i
·
8 − 4i
=
1+i
·
2 − 6i
x
+
2 − 6i
+
0
Also ggT(z, w) = 2 − 6i.
Erweiterter euklidischer Algorithmus
Der euklidische Algorithmus lässt sich erweitern und man erhält eine Darstellung von
ggT(x, y) als Linearkombination in x und y, sprich man erhält Koeffizienten λ, µ ∈ R mit
c Daniel Heiß
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Euklidischer Algorithmus
ggT(x, y) = λx + µy.
Dazu löst man die vorletzte Zeile des euklidischen Algorithmus (dort ist der Rest der
Division gleich ggT(x, y)) nach dem Rest auf und erhält eine Gleichung (∗) für den ggT.
Nun löst man die Zeile darüber nach dem Rest auf und setzt diesen dann in (∗) ein
und fasst zusammen. Dann geht man wieder eine Zeile hoch, löst nach dem Rest auf und
setzt ihn in die neue Gleichung (∗) ein und fasst zusammen. Am Ende erhält man das
Gewünschte.
Beispiel in Z
11760
u
8932
u
2828
u
448
140
u
=
1
·
8932
=
3
·
2828
=
6
·
448
=
3
·
140
=
5
·
28
y
y
y
y
+
2828
+
448
+
140
+
28
+
0
Zunächst die unterste Zeile die den ggT(11760, 8932) = 28 enthält nach diesem auflösen:
28 = 448 − 3 · 140
(∗)
Nun die Zeile drüber (also Zeile 3) nach dem Rest 140 auflösen und in (∗) einsetzen
liefert:
28 = 448 − 3 · 2828 − 6 · 448 = 19 · 448 − 3 · 2828
(†)
Wieder eine Zeile im obigem euklidischen Algorithmus nach oben – also in Zeile 2 – nach
dem Rest 448 auflösen und in (†) einsetzen liefert:
28 = 19 · 8932 − 3 · 2828 − 3 · 2828 = 19 · 8932 − 60 · 2828
(♥)
Und abschließend das Ganze mit der obersten Zeile liefert dann:
28 = 19 · 8932 − 60 · 11760 − 1 · 8932 = 79 · 8932 − 60 · 11760
Erhalte also:
ggT(8932, 11760) = 79 · 8932 − 60 · 11760.
Beispiel in Q[X]
Gehe vor wie oben und erhalte:
1
ggT(f , g) = X · g −
2
c Daniel Heiß
1
X − 1 · f.
2
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