Lineare Algebra II, ¨Ubungen, Sommersemester 2008 1 - ig

Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
1. Übungsblatt, für den 5.3.2008
∑n
i
1. Sei n eine nichtnegative ganze Zahl. Eine Abbildung f : C → C mit f (z) =
i=0 ai z , deren
Koeffizienten ai komplexe Zahlen sind, nennen wir (komplexe) Polynom(abbildung). Falls der
Koeffizient an ungleich 0 ist, heißt n der Grad von f . Ist an = 1 so bezeichnet man f als normiert.
Polynome, deren Grad mindestens 1 ist, heißen nichtkonstant. Wir nennen f ein reelles Polynom,
falls alle Koeffizienten ai reelle Zahlen sind.
a) Sei f ein reelles Polynom und z ∈ C \ R eine Nullstelle von f , d.h. f (z) = 0. Zeigen Sie, dass z̄,
das komplex konjugierte von z, ebenfalls eine Nullstelle von f ist.
b) Beweisen Sie, dass jedes normierte, nichtkonstante reelle Polynom als Produkt von normierten
reellen Polynomen vom Grad 1 oder 2 geschrieben werden kann, wobei die Polynome vom Grad 2
genau zwei konjugierte nicht reelle Nullstellen besitzen.
Hinweis: Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Algebra.
2. a) Zeigen Sie, dass jedes normierte reelle Polynom vom Grad 3 mindestens eine reelle Nullstelle
besitzt.
Hinweis: Führen Sie zwei Beweise. Für den ersten Beweis benützen Sie das 1. Übungsbeispiel. Den
zweiten Beweis bauen Sie auf dem Zwischenwertsatz (aus der Analysis) auf. Untersuchen Sie für
welche r ∈ R die Ungleichung |r3 | > |a2 r2 + a1 r + a0 | erfüllt ist, und folgern Sie daraus, dass f (r)
und f (−r) für hinreichend große r unterschiedliche Vorzeichen haben.
b) Verallgemeinern Sie den ersten Beweis und zeigen Sie, dass jedes reelle Polynom von ungeradem
Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
3. Bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume des R2
(
)
(
2 0
0
a) A =
,
b) A =
0 2
1
für
)
1
,
0
(
c) A =
(
2
4
1
2
)
.
)
1 α
. Für K = Q, K = C, K = F2 und K = F3
−α 1
bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume des K 2 .
Hinweis: F2 ist der Körper {0̄, 1̄} bestehend aus den Restklassen modulo 2, F3 der Körper {0̄, 1̄, 2̄}
bestehend aus den Restklassen modulo 3 mit den Verknüpfungstabellen (wobei wir nun bei den
Restklassen den Querstrich weglassen):
4. Sei K ein Körper, α ∈ K \ {0} und A =
F2 :
F3 :
+
0
1
2
+
0
1
0
0
1
1
1
0
· 0
0 0
1 0
1
0
1
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
·
0
1
2
1
0
1
2
0
0
0
0
2
0
2
1
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
2. Übungsblatt, für den 12.3.2008
1. Der Grad des Nullpolynoms sei als −∞ definiert. Für Polynome f 6= 0 wurde der Grad von f
im 1. Übungsblatt eingeführt. Wir schreiben dafür Grad(f ). Beweisen Sie die Gradformeln für
Polynome f und g.
Grad(f + g) ≤ max{Grad(f ), Grad(g)}.
Grad(f g) = Grad(f ) + Grad(g).
Wir verwenden dabei die Konvention n + (−∞) = (−∞) + n = (−∞) + (−∞) = −∞ und n > −∞
für alle ganzen Zahlen n ≥ 0.
2. Für ein komplexes Polynom f zeigen Sie: α ∈ C ist genau dann Nullstelle von f , wenn es ein
Polynom g gibt, so dass f (z) = (z − α)g(z).
∑n
Hinweis: Schreiben Sie das Polynom f˜(z) := f (z + α) in der Form i=0 bi z i und bestimmen Sie
den Wert von b0 . Leiten Sie nun aus f (z) = f˜(z − α) die gewünschte Darstellung von f her.
3. Beweisen Sie: Das reelle Polynom z 2 + αz + β kann genau dann als Produkt (z − λ1 )(z − λ2 ) mit
λ1 , λ2 ∈ R geschrieben werden, wenn α2 ≥ 4β erfüllt ist.
4. Berechnen∑
Sie das Produkt f g∑
der komplexen Polynome f und g.
3
2
a) f (z) = i=0 ai z i , g(z) = i=0 bi z i .
2
b) f (z) = 1 + 2iz + 3z + (4 + i)z 3 , g(z) = 1 + iz 2 + z 5 mit i2 = −1.
c) f (z) = 1 − z 2 , g(z) = 1 + z 2 + z 4 + z 6 .
5. Bestimmen Sie Polynome q und r so dass f (z) = g(z)q(z) + r(z) erfüllt ist, mit r = 0 oder Grad
von r kleiner als Grad von g.
a) f (z) = 6z 7 + 5z 6 + 16z 5 + 19z 4 + 19z 3 + 15z 2 + 7z + 3, g(z) = z 4 + 2z 2 + z + 1
b) f (z) = −24z 5 − 12z 4 − 10z 3 + 15z − 9, g(z) = 4z 2 + 2z − 1.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
3. Übungsblatt, für den 2.4.2008
1. Sei T ein linearer Operator auf dem Vektorraum V . Beweisen sie:
a) Sei r eine positive ganze Zahl, und U1 , . . . , Ur seien T -invariante Unterräume von V , dann ist
U1 + . . . + Ur ebenfalls T -invariant.
b) Sei I eine beliebige Indexmenge. Für i ∈ I seinen Ui Unterräume von V , die invariant unter T
bleiben. Dann ist
∩
Ui
i∈I
ebenfalls T -invariant.
2. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und sei A ein linearer Operator auf V . Beweisen sie: Wenn
A n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, dann bilden die Eigenvektoren von A eine Basis
von V .
3. Beweisen sie, oder geben sie ein Gegenbeispiel zu folgender Aussage: Falls U ein Unterraum von V
ist, der unter jedem linearen Operator T invariant ist, dann ist U = {0} oder U = V .
Hinweis: Verwenden sie den Basisergänzungssatz. Falls ihnen der Beweis für beliebig dimensionales
V zu schwer ist, dann führen sie ihn für V = R3 durch.
4. Sei T ein linearer Operator auf V , so dass jeder Vektor in V ein Eigenvektor von T ist. Beweisen
sie, dass T ein skalares Vielfaches der Identität ist.
5. Sei T ein linearer Operator auf dem n-dimensionalen Vektorraum V , so dass jeder (n − 1)-dimensionale Unterraum von V invariant unter T ist. Beweisen sie, dass T ein skalares Vielfaches der
Identität ist.
Hinweis: Verwenden sie Beispiel 1 und Beispiel 4.
6. Sei T der lineare Operator auf Rn gegeben durch
T (x1 , . . . , xn ) = (x1 + . . . + xn , . . . , x1 + . . . + xn ).
Bestimmen sie alle 1-dimensionalen T -invarianten Unterräume von Rn .
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
4. Übungsblatt, für den 9.4.2008
1. Sei n eine positive ganze Zahl, und sei ODM (n, K) die Menge der oberen n × n-Dreiecksmatrizen
über einem Körper K. Mit A, B und C bezeichnen wir Matrizen aus ODM (n, K), mit aij , bij und
cij die Komponenten dieser Matrizen für 1 ≤ i, j ≤ n.
(a) Zeigen Sie, dass ODM (n, K) bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
(b) Seien A, B ∈ ODM (n, K) und C = AB. Zeigen Sie, dass cii = aii bii ist für alle i = 1, . . . , n.
(c) Zeigen Sie, dass die invertierbaren Matrizen in ODM (n, K) eine Gruppe bilden und die Diagonalelemente von A−1 die Reziprokwerte der Diagonalelemente von A sind.
Hinweis: Falls A ∈ ODM (n, K) invertierbar ist, gibt es eine Matrix A−1 = (xij )1≤i,j≤n , so
dass A · A−1 die Einheitsmatrix ist. Bestimmen Sie die xij aus

a11

0
...
..
.
 
x11
a1n
..   ..
·
.
.
ann
xn1
 
. . . x1n
1
..  
..
=
.
.
0
. . . xnn
0
..


.
1
und folgern sie daraus, dass A−1 ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.
(d) Zeigen Sie, dass es zu jeder Matrix A ∈ ODM (n, K) eine aufsteigende Folge von n Stück
A-invarianten Unterräumen gibt.
2. Seien S und T zwei lineare Operatoren auf dem K-Vektorraum V , wobei S invertierbar ist, und sei
f ein Polynom über K. Zeigen Sie:
f (S ◦ T ◦ S −1 ) = S ◦ f (T ) ◦ S −1 .
3. Seien S und T zwei lineare Operatoren auf dem endlich dimensionalen K-Vektorraum V . Zeigen
Sie, dass S ◦ T und T ◦ S die gleichen Eigenwerte besitzen.
Hinweis: Für Eigenwerte 6= 0 ist der Beweis einfach. Der Eigenwert 0 erfordert eine eigene Überlegung.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
5. Übungsblatt, für den 16.4.2008
1. Seien ~a, ~b ∈ R3 mit k~ak = k~bk = 1 und 0 < k~a − ~bk < 2. Ferner sei das Winkelmaß des Winkels
zwischen ~x und ~y definiert durch
∠(~x, ~y ) := arccosh
~x
~y
,
i.
k~xk k~y k
Zeigen Sie:
(a) ~a 6= ~o 6= ~b und (~a + ~b) ⊥ (~a − ~b).
(b) h~a, ~a + ~bi > 0.
~
b ~
(c) 0 < ∠(~a, ~a + ~b) = ∠( ~a+
2 , 3b) < π.
(d) ~a, ~b sind linear unabhängig.
2. Seien ~x1 , ~x2 , ~x3 ∈ R3 \ {~0} mit −1/2 < c < 1 und k~xk =
folgenden Aussagen:
p
h~x, ~xi für ~x ∈ R3 . Beweisen Sie die
(a) Ist h~xi , ~xj i = 0 für alle i 6= j, dann ist (~x1 , ~x2 , ~x3 ) eine Basis von R3 .
(b) Ist k~xi k = 1 und h~xi , ~xj i = c für alle i 6= j, dann ist (~x1 , ~x2 , ~x3 ) eine Basis von R3 .
(c) Gibt es 3 Einheitsvektoren mit c = −1/2? Gilt Aussage (b) im Fall c = −1/2?
(d) Gibt es 3 Einheitsvektoren mit c = −1?
3. Sei V ein Vektorraum mit einer durch ein inneres Produkt induzierten Norm. Seien u, v ∈ V mit
kuk = 3, ku + vk = 4 und ku − vk = 6. Bestimmen Sie kvk.
4. Sei k · k eine von einem reellen inneren Produkt h·, ·i induzierte Norm auf V . Drücken Sie das innere
Produkt hx, yi, x, y ∈ V , durch kx + yk und kx − yk aus.
5. Beweisen Sie, dass die Ungleichung


n
X
2

aj bj  ≤ 
j=1
n
X

ja2j  
j=1
n
X
1
j=1
j

b2j 
für alle reellen Zahlen a1 , . . . , an und b1 , . . . , bn gilt.
Hinweis: Führen Sie diese Ungleichung auf die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung
v
v
uX
u n
n
X
u n 2 uX
t
aj bj ≤
aj · t
b2j
j=1
zurück.
j=1
j=1
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
6. Übungsblatt, für den 23.4.2008
1. Sei I das Intervall [a, b] für zwei reelle Zahlen a < b, und sei C(I) die Menge aller stetigen Funktionen
von I nach R. Auf C(I) sei eine innere Verknüpfung gegeben durch:
+: C(I) × C(I) → C(I),
(f, g) 7→ f + g,
(f + g)(r) := f (r) + g(r), r ∈ I
und eine Multiplilkation mit Skalaren aus R:
·: R × C(I) → C(I),
(s, f ) 7→ s · f,
(s · f )(r) := s · f (r), r ∈ I.
Zeigen Sie:
(a) C(I) ist mit diesen Verknüpfungen ein R-Vektorraum.
(b) Durch
∫
b
hf, gi :=
f (r)g(r) dr,
f, g ∈ C(I)
a
ist ein inneres Produkt auf C(I) gegeben.
(c) Für k ∈ N0 sei pk : I → R gegeben durch r 7→ rk . Zeigen Sie, dass für n ∈ N die Menge
Pn (I) aller Polynomabbildungen von I nach R, deren Grad ≤ n ist, ein (n + 1)-dimensionaler
Unterraum von C(I) ist, und beweisen Sie, dass {p0 , . . . , pn } eine Basis von Pn (I) ist.
Hinweis zu (b): Führen Sie den Beweis in folgender Reihenfolge: Warum existiert das Integral hf, gi?
Weisen Sie die Bilinearität und dann die positive Definitheit von h·, ·i nach. Wenn f ∈ C(I) ungleich
Null ist, warum ist dann hf, f i > 0?
2. Sei I = [−π, π]. Ausgehend von der Basis {1, x, . . . , x3 } von P3 (I) bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von P3 (I). Bestimmen Sie die orthogonale Projektion σ̃ von σ := sin |I ∈ C(I) auf P3 (I)
und zeichnen Sie die Graphen von σ, σ̃ und des Taylorpolynoms von σ vom Grad 3.
3. Fakultativ: Sei I = [−1, 1]. Die Legendre-Polynome (Lk )k≥0 sind gegeben durch
Lk (x) :=
1
2k k!
)
dk ( 2
(x − 1)k ,
k
dx
k ≥ 0.
(a) Zeigen Sie, dass Lk (x) ein Polynom vom Grad k ist.
(b) In C(I) sind für k 6= ` die Polynome Lk und L` orthogonal.
(c) Beweisen Sie: In C(I) gilt kLk k2 = 2/(2k + 1), k ≥ 0.
(d) Ausgehend von der Standardbasis bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von P5 (I). Welche
Beziehung besteht zwischen dem Legendre-Polynom Lk und dem entsprechenden Element der
Orthonormalbasis für k ≤ 5?
Hinweis: Zu (b): Falls k < ` ist, genügen k + 1 partielle Integrationen, um das innere Produkt
hLk , L` i zu bestimmen.
Zu (c): Sie sollten k Mal partiell integrieren, um bei einem Faktor unter dem Integral den Operator d/dx zu eliminieren, und dann k Mal partiell integrieren, um das verbleibende Integral zu
bestimmen.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
7. Übungsblatt, für den 30.4.2008
1. Sei V ein endlich dimensionaler R- oder C-Vektorraum, T ein linearer Operator auf V und T ∗ der
adjungierte Operator zu T . Zeigen Sie: λ ist genau dann ein Eigenwert von T , wenn λ̄ ein Eigenwert
von T ∗ ist.
2. Sei V ein normierter R- oder C-Vektorraum, dessen Norm k · k durch ein inneres Produkt h·, ·i
induziert wird. Für x, y ∈ V sei d(x, y) := kx − yk. Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf V ist, d.h.
(a) d(x, y) ≥ 0 für alle (x, y) ∈ V 2 ,
(b) d(x, y) = 0 dann und nur dann wenn, x = y,
(c) d(x, y) = d(y, x) für alle (x, y) ∈ V 2 ,
(d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) für alle (x, y, z) ∈ V 3 .
3. Was passiert wenn man das Gram–Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren in einem Vektorraum mit innerem Produkt auf ein Tupel linear abhängiger Vektoren anwendet?
4. Sei T ein linearer Operator auf einem R- oder C-Vektorraum V mit innerem Produkt h·, ·i. Sei U
ein Unterraum von V und PU die orthogonale Projektion von V auf U . Zeigen Sie, dass U genau
dann T -invariant ist, wenn PU T PU = T PU gilt.
über R.∑
Zeigen oder widerlegen
Sie:
5. Sei R[x] die Menge aller Polynome
∑n
∑n
n
i
i
i−1
(a) Die formale Ableitung ∑
a
x
→
7
D(
a
x
)
:=
ia
x
i
i=0 i
∑i=0
∑i=0 aii i+1ist linear.
n
n
(b) Die formale Integration i=0 ai xi 7→ I( i=0 ai xi ) := ni=0 i+1
x
ist linear.
(c) Es gilt D ◦ I = idR[x] .
(d) Es gilt I ◦ D = idR[x] .
6. Gegeben sei die Matrix

1
A = 0
0
0
3
0

2
0.
1
(a) Bestimmen Sie alle 1-dimensionalen A-invarianten Unterräume von R3 .
(b) Zeigen Sie, dass eine Ebene E = {(x, y, z) ∈ R3 | n1 x + n2 y + n3 z = 0} mit n1 6= 0 nicht
A-invariant sein kann.
(c) Bestimmen Sie alle A-invarianten Ebenen E = {(x, y, z) ∈ R3 | n1 x + n2 y + n3 z = 0} mit n2 6= 0
bzw. mit n3 6= 0.
(d) Wieviele A-invariante Unterräume besitzt R3 ?
Hinweis: Die 2-dimensionalen Unterräume der R3 sind Ebenen, die den Nullpunkt enthalten. Als
solche besitzen Sie eine Darstellung als E = En = {(x, y, z) ∈ R3 | n1 x + n2 y + n3 z = 0}, wobei
n = (n1 , n2 , n3 ) 6= 0 ein Normalvektor auf E ist. Die Ebene En ist dann und nur dann A invariant,
wenn für alle v = (x, y, z) ∈ En gilt, hA · v, ni = 0.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
8. Übungsblatt, für den 14.5.2008
Die Bezeichnung K stehe für R oder C.
1. Sei T der lineare Operator auf Kn , n ∈ N, gegeben durch T (x1 , . . . , xn ) = (0, x1 , . . . , xn−1 ). Bestimmen Sie T ∗ .
2. Bestimmen Sie ein Polynom q ∈ P2 ([0, 1]) (siehe 6. Übungsblatt, 1. Beispiel) so, dass für alle
p ∈ P2 ([0, 1]) gilt:
p(1/2) = hp, qi.
3. Sei T eine lineare Abbildung zwischen den beiden inneren Produkträumen V und W . Zeigen Sie:
(a) T ist genau dann injektiv, wenn T ∗ surjektiv ist.
(b) T ist genau dann surjektiv, wenn T ∗ injektiv ist.
4. Widerlegen Sie die folgende Behauptung: Das Produkt zweier selbstadjungierter Operatoren auf
einem endlich dimensionalen inneren Produktraum ist selbstadjungiert.
Hinweis: Finden Sie ein Gegenbeispiel in der Menge der 2 × 2-Matrizen über R.
5. Sei T ein linearer Operator auf dem inneren Produktraum V und U ein Unterraum von V . Zeigen
Sie, dass U genau dann T -invariant ist, wenn U ⊥ invariant unter T ∗ ist.
6. Sei T ein normaler linearer Operator auf einem inneren Produktraum. Zeigen Sie, dass T k für alle
k ∈ N normal ist.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
9. Übungsblatt, für den 28.5.2008
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht.
1. Sei T ein linearer Operator auf V . Zeigen Sie:
dim ker T = dim ker T ∗ ,
dim T (V ) = dim T ∗ (V ).
2. Sei T ein positiver linearer Operator auf V . Zeigen Sie, dass T k positiv ist für alle k ∈ N.
3. Sei U ein Unterraum von V . (Dann besitzt V die Darstellung als U ⊕ U ⊥ . Sei PU die orthogonale
Projektion auf U , d.h. falls V 3 v = u + u0 mit u ∈ U und u0 ∈ U ⊥ , dann ist PU (v) := u.) Zeigen
Sie, dass PU ein positiver Operator ist.
4. Zeigen Sie, dass die Identität auf K2 unendlich viele Quadratwurzeln besitzt.
3
5. Sei T der lineare Operator auf
√ K gegeben durch T (x, y, z) = (z, 2x, 3y). Bestimmen Sie die Isome3
∗
trie S des K , sodass T = S T T .
6. Sei S ein linearer Operator auf dem n-dimensionalen Vektorraum V . Beweisen Sie oder geben Sie ein
Gegenbeispiel zur Aussage: Falls es eine Orthonormalbasis (e1 , . . . , en ) von V gibt, sodass kSei k = 1
für alle i mit 1 ≤ i ≤ n, dann ist S eine Isometrie.
7. Seien k < n zwei natürliche Zahlen. Berechnen Sie das Produkt M N > der zwei Blockmatrizen
M = (Ik , A), N = (−A> , In−k ), wobei Ir die r-zeilige Einheitsmatrix ist (r ∈ N) und A eine
k × (n − k)-Matrix ist.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
10. Übungsblatt, für den 4.6.2008
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht.
1. Sei V ein C-Vektorraum und T ein normaler linearer Operator auf V mit T 9 = T 8 . Zeigen Sie, dass
T selbstadjungiert ist, und dass T 2 = T gilt.
2. Sei T ein normaler linearer Operator auf V . Zeigen Sie, dass für alle k ∈ N gilt:
ker T = ker T k ,
T (V ) = T k (V ).
3. Sei T ein normaler linearer Operator auf V . Zeigen Sie:
(a) ker T = ker T ∗ ,
(b) ker T = T (V )⊥ ,
(c) T (V ) = T ∗ (V ).
4. Sei T ein positiver Operator auf V . Beweisen Sie, dass T dann und nur dann invertierbar ist, wenn
hT v, vi > 0 für alle v ∈ V \ {0} erfüllt ist.
5. Sei n ∈ N, v ∈ Rn , kvk = 1 und sei σ: Rn → Rn gegeben durch σ(x) := x − 2hx, viv.
(a) Was bedeutet σ in den Fällen n = 1, n = 2 oder n = 3?
(b) Zeigen Sie, dass σ eine Isometrie ist.
(c) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von σ.
(d) Zeigen Sie, dass σ selbst-adjungiert ist.
(e) Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis von Rn gibt, bezüglich der die Matrixdarstellung
von σ eine Diagonalmatrix ist, in der n − 1 mal der Wert 1 und einmal der Wert −1 auftritt.
6. Sei (e1 , e2 , e3 ) die Standardbasis von R3 .
(a) Bestimmen Sie die Matrix D der Drehung δ, mit der Drehachse {λ(e1 + e2 + e3 ) | λ ∈ R}, die
den Punkt e2 + e3 in e1 + e2 überführt.
(b) Bestimmen Sie die Matrix S der Spiegelung σ an der Ebene mit Normalvektor gleich e1 +e2 +e3 .
(c) Zeigen Sie, dass σ ◦ δ = δ ◦ σ und dass σ ◦ δ eine Isometrie ist.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
11. Übungsblatt, für den 11.6.2008
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, wobei K für R oder C steht.
1. Sei m ∈ N, v ∈ V \ {0}, T ein linearer Operator auf V , T m−1 v 6= 0 und T m v = 0. Zeigen Sie, dass
die Vektoren v, T v, . . . , T m−1 v linear unabhängig sind.
2. Seien S und T lineare Operatoren auf V . Beweisen Sie:
(a) Falls ST nilpotent ist, dann ist auch T S nilpotent.
(b) Falls S nilpotent ist und ST = T S, dann ist auch T S nilpotent.
(c) Falls S und T nilpotent sind und ST = T S, dann ist S + T nilpotent.
3. Sei A eine n × n-Matrix über K, n ∈ N, und A − In sei nilpotent. Zeigen Sie, dass A invertierbar
ist und bestimmen Sie A−1 .
4. Sei A eine nilpotente n × n-Matrix über C, n ∈ N.
(a) Welche Eigenwerte kann A besitzen?
(b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.
(c) Bestimmen Sie die Menge aller diagonalisierbaren nilpotenten n × n-Matrizen über C.
(d) Geben Sie eine nilpotente Matrix vom Rang 3 an.
5. Zeigen Sie, dass es nilpotente Matrizen A und B gibt, sodass zugleich A+B und AB nicht nilpotent
sind.
6. Bestimmen Sie alle verallgemeinerten Eigenvektoren der Operatoren S und T auf C2 gegeben durch
S(x, y) := (y, 0) und T (x, y) := (−y, x) für (x, y) ∈ C2 .
7. Betrachten Sie den C-Vektorraum C mit dem inneren Produkt hv, wi = vw, für v, w ∈ C.
Bestimmen Sie
(a) alle Basen von C,
(b) alle Orthonormalbasen von C,
(c) alle linearen Operatoren auf C also die Menge L(C) (mit genauer Herleitung),
(d) alle invertierbaren Operatoren auf C,
(e) alle selbstadjungierten Operatoren auf C,
(f) alle normalen Operatoren auf C,
(g) alle positiven Operatoren auf C,
(h) alle Isometrien auf C,
(i) alle diagonalisierbaren Operatoren auf C,
(j) alle trigonalisierbaren Operatoren auf C,
(k) alle nilpotenten Operatoren auf C.
Sei T ein linearer Operator auf C. Bestimmen Sie
(l) alle Eigenwerte von T ,
(m) das charakteristische Polynom von T ,
(n) alle Operatoren auf C, die ähnlich zu T sind,
(o) alle Operatoren, mit denen T vertauschbar ist,
(p) die Menge aller Operatoren auf C, die mit allen Operatoren vertauschbar sind.
(q) Zeigen Sie, dass L(C) ein zu C isomorpher Vektorraum ist, geben Sie einen Isomorphismus an,
bestimmen Sie dim L(C) und beantworten Sie die Fragen (a)–(p) für L(C) anstelle von C.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
12. Übungsblatt, für den 18.6.2008
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, wobei K für R oder C steht.
1. Zeigen oder widerlegen Sie: Ist T ein linearer Operator auf V , dann ist V = ker T ⊕ T (V ).
2. Sei T ein linearer Operator auf V mit T 2 = T . Zeigen Sie, dass dann V = ker T ⊕ T (V ) gilt.
3. (a) Geben Sie einen Operator T auf C4 an, dessen Minimalpolynom gleich z(z − 1)2 ist.
(b) Geben Sie einen Operator T auf C4 an, dessen charakteristisches Polynom und Minimalpolynom gleich z(z − 1)2 (z − 3) sind.
Begründen Sie genau die Wahl von T .
4. Zeigen Sie: Der lineare Operator T : C3 → C3 , T (z1 , z2 , z3 ) = (z2 , z3 , 0) besitzt keine Quadratwurzel.
5. Sei N ein linearer Operator auf K5 gegeben durch N (z1 , z2 , z3 , z4 , z5 ) = (2z2 , 3z3 , −z4 , 4z5 , 0). Bestimmen Sie eine Quadratwurzel von idK5 + N .
6. Sei dim V = n, n ∈ N, n ≥ 2, und T ein linearer Operator auf V so dass ker T n−2 6= ker T n−1 .
Zeigen Sie, T hat höchstens 2 verschiedene Eigenwerte.
7. Sei V ein C-Vektorraum und T ein linearer Operator auf V . Beweisen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind:
(a) V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren.
(b) Jeder (von 0 verschiedene) verallgemeinerte Eigenvektor T ist ein Eigenvektor von T .
(c) Das Minimalpolynom von T besitzt nur einfache Nullstellen.
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
Lösungen zum 12. Übungsblatt
6. Da ker T n−2 6= ker T n−1 ist, existiert ein v ∈ V , sodass T n−2 (v) 6= 0 und T n−1 (v) = 0. Nach dem
1. Beispiel des 11. Übungsblattes sind die Vektoren v, T (v), . . . , T n−2 (v) linear unabhängig. Weiters
sind sie alle verallgemeinerte Eigenvektoren von T zum Eigenwert λ0 = 0. Die Dimension von U0 ,
der Menge der verallgemeinerten Eigenvektoren von T zu λ0 , ist demnach nicht kleiner als n − 1.
Hätte T mindestens 3 verschiedene Eigenwerte, dann gibt es neben λ0 mindestens noch zwei weitere
Eigenwerte λ1 und λ2 , λi 6= λj für i 6= j, i, j ∈ {0, 1, 2}. Die Dimension von Ui , der Menge
der verallgemeinerten Eigenvektoren von T zu λi , i ∈ {1, 2}, ist größer gleich 1, und V enthält
U0 ⊕ U1 ⊕ U2 . Daher ist n = dim V ≥ dim U0 + dim U1 + dim U2 ≥ n − 1 + 1 + 1 = n + 1, was
unmöglich ist. Also ist die Annahme, T hätte mindestens 3 verschiedene Eigenwerte, falsch.
7. (a) =⇒ (b): Nach Voraussetzung besitzt T bezüglich der Basis aus Eigenvektoren Diagonalgestalt.
Seien λ1 , . . . , λm die paarweise verschiedenen Eigenwerte
von T . Dabei trete λi genau ri -mal in der
∑m
Diagonale auf, 1 ≤ i ≤ m. Also ist dim V = i=1 ri . Zum Eigenwert λi gibt es daher ri linear
unabhängige Eigenvektoren.
Sei Ui , 1 ≤ i ≤ m, die Menge der verallgemeinerten
Eigenvektoren von T zum Eigenwert λi . Dann
∑m
ist V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um . Also gilt dim V = i=1 dim Ui . Die ri linear unabhängigen
Eigenvektoren
∑m
von T zu λi liegen in Ui , daher ist dim Ui ≥ ri , woraus dim V ≥
r
folgt.
Oben haben
i=1 i
wir gezeigt, dass in dieser Ungleichung Gleichheit gilt, folglich muß dim Ui gleich ri sein. Deshalb
besitzt Ui eine Basis aus Eigenvektoren. Jeder verallgemeinerte Eigenvektor zu λi kann daher
als Linearkombination von Eigenvektoren zu λi dargestellt werden, ist somit (falls ungleich 0) ein
Eigenvektor zu λi (Nachrechnen!). Dies gilt für jedes i ∈ {1, . . . , m}.
(b) =⇒ (c): Der Operator T besitze genau m ≥ 1 paarweise verschiedene Eigenwerte λ1 , . . . , λm .
Sei V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um die Zerlegung von V in die T -invarianten Unterräume Ui , die die Mengen der
verallgemeinerten Eigenvektoren zu λi von T sind. Nach Voraussetzung sind die von 0 verschiedenen
Elemente u von Ui bereits Eigenvektoren, d.h. sie erfüllen die Gleichung (T − λi id)u = 0.
Sei v ∈ V , dann existieren eindeutig bestimmte ui ∈ Ui , 1 ≤ i ≤ m, so dass v = u1 + · · · + um gilt.
Da die Operatoren (T − λi id) miteinander vertauschbar sind für 1 ≤ i ≤ m erhalten wir:
m
∏
(T − λi id)v =
m
∏
(T − λi id)(u1 + · · · + um )
i=1
i=1
=
m
m ∏
∑
(T − λi id)uj
j=1 i=1

=
m
∑


j=1

=
m
∑
j=1


m
∏
i=1
i6=j
m
∏


(T − λi id)(T − λj id)uj 


(T − λi id)0
i=1
i6=j
= 0.
(Achtung: Das Produkt von Operatoren
ist deren Hintereinanderausführung!) Deshalb ist das
∏m
Minimalpolynom von T ein Teiler von i=1 (z − λi ). Da dieses Polynom normiert ist, und die
Nullstellen dieses Polynoms genau die m verschiedenen Eigenwerte von T sind, ist dieses Polynom
das Minimalpolynom von T .
(c) =⇒ (a): Sei dim V = n ∈ N und seien λ1 , . . . , λm , 1 ≤ m ≤ n, die paarweise verschiedenen
Eigenwerte von T . Da V ein komplexer Vektorraum ist, besitzt T eine Jordansche Normalform T .
Diese ist eine Blockdiagonalmatrix bestehend aus Jordanblöcken der Form


λi 1
0
.. ..


.
.


1 ≤ i ≤ m.
( λi ) ,
oder
,

..

. 1
0
λi
Wir wollen zeigen, dass alle diese Blöcke nur von der Gestalt ( λi ) sind.
Indirekte Annahme, es gäbe einen Block von der Form λi0 Ik + N mit k ≥ 2, i0 ∈ {1, . . . , m} und


0 1
0
.. ..


.
.


N =
.
.
.. 1 

0
0
Dann ist N k−1 6= 0 und N k = 0. Folglich ist z k das Minimalpolynom von N .
∏m
∏m
Nach Voraussetzung ist i=1 (z − λi ) das∏Minimalpolynom von T . Daher gilt i=1 (T − λi In ) = 0.
m
Da T eine Blockdiagonalmatrix ist, gilt i=1 (Tj − λi Inj ) = 0 für jeden Jordanblock Tj von T mit
einer geeignet dimensionierten Einheitsmatrix Inj .
Also gilt dies auch für den oben beschriebenen Jordanblock λi0 Ik + N . Da die Matrizen Ik und N
vertauschbar sind erhalten wir
0=
m
∏
(λi0 Ik + N − λi Ik )
i=1
=
m
∏
((λi0 − λi )Ik + N )
i=1


m
∏


=
((λi0 − λi )Ik + N ) N

i=1
i6=i0
= a0 Ik +
k−1
∑

aj N
j
N
j=1
= a0 N +
k−2
∑
aj N j+1
j=1
mit geeigneten aj ∈ C, 0 ≤ j ≤ k − 1, wobei insbesondere a0 6= 0 (Warum?). Wir erhalten
∑k−2
ein (von 0 verschiedenes) Polynom P (z) := a0 z + j=1 aj z j+1 mit P (N ) = 0. Deshalb ist das
Minimalpolynom z k von N ein Teiler von P (z). Da a0 ungleich 0 ist, folgt daraus k = 1, in
Widerspruch zu unserer Annahme k ≥ 2. Also war die Annahme falsch und alle Jordanblöcke von
T sind 1 × 1-Matrizen. Folglich besitzt T bezüglich einer geeignet gewählten Basis Diagonalgestalt.
Die Elemente dieser Basis sind dann Eigenvektoren von T , d.h. V besitzt eine Basis bestehend aus
Eigenvektoren von T .
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester 2008
2. Klausur am 25.6.2008
Bitte markieren Sie Ihre Lehrveranstaltungsgruppe durch Ankreuzen:
Gruppe Fripertinger — Gruppe Schöpf
1. Sei n ∈ P
N, v ∈ Rn , kvk = 1 und sei π: Rn → Rn gegeben durch π(x) := x − hx, viv, wobei
n
hx, yi := i=1 xi yi für x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
(a) Was bedeutet π im Fall n = 2 geometrisch?
(b) Zeigen Sie, dass π keine Isometrie ist und dass kπ(x)k ≤ kxk ist für alle x ∈ Rn .
(c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von π.
(d) Zeigen Sie, dass π selbst-adjungiert ist.
(e) Beschreiben Sie alle Orthonormalbasen von Rn , bezüglich der die Matrizendarstellungen von
π Diagonalgestalt besitzen. Geben Sie eine solche Diagonalmatrix an.
2. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht,
dim V = n, n ∈ N. Sei T ein normaler linearer Operator auf V und sei (v1 , . . . , vn ) eine Orthonormalbasis von V , so dass T bezüglich dieser Basis eine Matrixdarstellung als obere Dreiecksmatrix
besitzt. Zeigen Sie, dass diese Matrix sogar eine Diagonalmatrix ist.
3. Geben Sie einen linearen Operator T auf C4 an, dessen charakteristisches Polynom gegeben ist durch
z(z − 2)2 (z + i), und dessen Minimalpolynom gleich z(z − 2)(z + i) ist. Begründen Sie ausführlich,
warum das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von diesem Operator T von der
geforderten Gestalt sind.
4. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht.
Zeigen Sie: wenn T ein nilpotenter selbst-adjungierter Operator auf V ist, dann ist T = 0.
Lösung:
1. (a) Sei x ∈ R2 , dann ist π(x) die Projektion von x auf das orthogonale Komplement von [v] = {λv |
λ ∈ R}.
(b) Berechne π(v) = v − hv, viv = v − kvk2 v = v − v = 0. Also ist kπ(v)k = 0 6= 1 = kvk, weshalb π
keine Isometrie ist.
Sei x ∈ Rn beliebig, dann ist
­
®
kπ(x)k2 = x − hx, viv, x − hx, viv
= hx, xi − hx, vihv, xi − hx, vihx, vi + hx, vi2 hv, vi
= kxk2 − 2hx, vi2 + hx, vikvk2
= kxk2 − hx, vi2
≤ kxk2 ,
da hx, vi2 ≥ 0.
(c) Sei x ∈ Rn \ {0}. Für x ∈ [v] gilt x = µv mit µ 6= 0 und π(x) = µv − hµv, viv = µv − µv = 0.
Also ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Für x ∈ [v]⊥ ist π(x) = x, da hx, vi = 0 ist. Also ist x ein Eigenvektor zu dem Eigenwert 1.
Es gilt Rn = [v] ⊕ [v]⊥ , mit dim[v]⊥ = n − 1. Sei x = w1 + w2 mit w1 6= 0 6= w2 , w1 ∈ [v] und
w2 ∈ [v]⊥ , dann ist x kein Eigenvektor von π, denn π(x) = π(w1 + w2 ) = π(w1 ) + π(w2 ) = 0 + w2 6∈
{µ(w1 + w2 ) | µ ∈ R}. Also sind 0 und 1 die Eigenwerte von π.
(d) Zu zeigen: hπ(x), yi = hx, π(y)i für alle x, y ∈ Rn .
­
®
hπ(x), yi = x − hx, viv, y
= hx, yi − hx, vihv, yi
und
­
®
hx, π(y)i = x, y − hy, viv
= hx, yi − hy, vihx, vi
= hx, yi − hx, vihv, yi.
Also ist π selbstadjungiert.
(e) Behauptung: Die Menge aller Orthonormalbasen von Rn , bezüglich der die Matrizendarstellungen von π Diagonalgestalt besitzen, ist
n
o
B ∪ {v}, B ∪ {−v} | B ist eine Orthonormalbasis von [v]⊥ .
Sei B eine Orthonormalbasis von [v]⊥ . Dann sind die Elemente von B Eigenvektoren zum Eigenwert 1, und die Matrizendarstellung von von π eingeschränkt auf [v]⊥ ist eine (n − 1) × (n − 1)Diagonalmatrix deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind.
B ∪ {v} bzw. B ∪ {−v} sind dann Orthonormalbasen von Rn , da kvk = k − vk = 1 und v, −v ∈ [v].
Also sind B ∪ {v} bzw. B ∪ {−v} Orthonormalbasen von Rn bestehend aus Eigenvektoren, und die
Matrizendarstellungen von π bezüglich dieser Basen hat Diagonalgestalt
diag(1, . . . , 1, 0).
| {z }
n−1
Bisher haben wir gezeigt, dass die Matrizendarstellungen von π bezüglich aller Basen der Form
B ∪ {v} oder B ∪ {−v}, wobei B eine Orthonormalbasis von [v]⊥ ist, Diagonalgestalt besitzen.
Falls umgekehrt π bezüglich einer Orthonormalbasis von Rn Diagonalgestalt besitzt, so müssen die
Basiselemente Eigenvektoren von π sein. Sie liegen also in [v] oder [v]⊥ . Die einzigen Vektoren der
Länge 1 in [v] sind v und −v. Die Basiselemente, die in [v]⊥ liegen, bilden eine Orthonormalbasis
von [v]⊥ . Also ist jede Orthonormalbasis von Rn , bezüglich der die Matrixdarstellung von π Diagonalgestalt besitzt, von der Form B ∪ {v} oder B ∪ {−v}, wobei B eine Orthonormalbasis von [v]⊥
ist.
2. Sei die Matrixdarstellung von T gegeben durch

a11
 0
M := 
 ...
0
a12
a22
...
...
..
.

a1n
a2n 
.
.. 
. 
0
...
ann
Da T normal ist, ist T mit T ∗ vertauschbar, d.h. M M ∗ = M ∗ M . Sei M M ∗ = (bij )1≤i,j≤n und
Pn
P
M ∗ M = (cij )1≤i,j≤n . Dann ist bii = j=i aij aij und cii = ij=1 aji aji für 1 ≤ i ≤ n. Aus b11 = c11
folgt
n
X
|a1j |2 = |a11 |2 .
j=1
Pn
Deshalb ist j=2 |a1j |2 = 0, woraus a1j = 0 folgt für 2 ≤ j ≤ n. Nun folgt daraus zusammen mit
b22 = c22 , dass
2
n
X
X
|aj2 |2 = |a22 |2 ,
|a2j |2 =
j=1
j=2
woraus dann a2j = 0 folgt für 3 ≤ j ≤ n. Analog zeigt man dann zeilenweise, dass aij = 0 für
3 ≤ i ≤ n und i + 1 ≤ j ≤ n.
3. Sei T der Operator


0
x1
x
0
 2
  7→ 
0
x3
0
x4

0
2
0
0
  
x1
0 0
0 0   x2 
 ·  .
x3
2 0
x4
0 −i
Da dieser Operator durch eine Diagonalmatrix (wir nennen sie M ) gegeben ist, sind seine Eigenwerte
in der Diagonale als 0, 2 und −i ablesbar, und das charakteristische Polynom von T ist z(z−2)2 (z+i),
da der Eigenwert 2 zweimal auftritt.
Es bleibt zu zeigen, dass das Minimalpolynom dieses Operators gleich z(z − 2)(z + i) ist. Dazu
berechnen wir M · (M − 2I4 ) · (M + iI4 ) =

0
0

0
0
0
2
0
0
 
−2
0 0
0 0   0
·
0
2 0
0
0 −i
0 0
0 0
0 0
0 0
 
i
0
0
0  0 i + 2
·
0
0
0
0
0
−2 − i
 
0 0
0
0
0
0 0 0
=
0 0
i+2 0
0 0
0
0
0
0
0
0

0
0
,
0
0
da das Produkt von Diagonalmatrizen wieder eine Diagonalmatrix ist, wobei jeweils die Elemente,
die in der j-ten Diagonalposition stehen, miteinander multipliziert werden müssen. Das zeigt, dass
das Minimalpolynom von T ein Teiler von z(z − 2)(z + i) ist. Da dieses Polynom normiert ist, und
jeden Eigenwert von T genau einmal als Nullstelle besitzt, ist dieses Polynom das Minimalpolynom
von T .
4. Da T nilpotent ist, sind alle Eigenwerte von T gleich 0. Da T selbst-adjungiert ist, gibt es nach
dem Spektraltheorem eine Orthonormalbasis von V bestehend aus Eigenvektoren von T . Bezüglich
dieser Basis besitzt T Diagonalgestalt, wobei in der Diagonale die Eigenwerte (also 0) stehen. Also
ist diese Diagonalmatrix die 0-Matrix und T der 0-Operator.
2. Lösung: Da T selbst-adjungiert ist, ist T auch normal, also ist ker T = ker T k für alle k ∈ N. Da
T nilpotent ist, ist ker T dim V = V , also ker T = V , d.h. T = 0.