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INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
0
Grundlagen
0.1 Mengen . . . . . . . . . . .
0.2 Symbole der Logik . . . . .
0.3 Rechenregeln . . . . . . . .
0.3.1 Implikationen . . . .
0.4 Relationen und Abbildungen
0.5 Partiell geordnete Mengen .
0.6 Abbildungen . . . . . . . .
0.7 Äquivalenzrelation . . . . .
0.8 Das Auswahkaxiom . . . . .
0.9 Mächtigkeiten . . . . . . . .
1
Algebrasche Grundstrukturen
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1
1
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3
5
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9
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14
16
19
1
0 GRUNDLAGEN
0 Grundlagen
0.1 Mengen
M. . . Mengen
a∈M
a ist Element von M
a∈
/M
a ist nicht Element von M
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die selben Elemente haben. A = B
A 6= B A und sind nicht gleich.
Schreibweise:
Aufzählung z.B. {1,2,3. . . }.
Die leere Menge (∅) enthält keine Elemente!
A ist leer heisst A = ∅
A ist nicht leer heisst A 6= ∅
Standartbezeichnung
• N = {1, 2, 3, . . .}
Menge der natürlichen Zahlen
• N0 = {0, 1, 2, . . .}
• Z
Menge der ganzen Zahlen
• Q
Menge der rationalen Zahlen
• R
Menge der reellen Zahlen
• C
Menge der komplexen Zahlen
Anordnung durch Eigenschaften:
{x|x ∈ A und E(x)} Menge aller x aus A ,die die Eigenschaften E hat.
z.B. {x ∈ N|x ist gerade und x ≤ 5} = {2, 4}
Mengen können auch Mengen als Elemente enthalten, z.B {∅}.
0.2 Symbole der Logik
a b a ∨ b a ∧ b ¬a a =⇒ b a ⇐⇒ b
w w
w
w
f
w
w
w f
f
w
f
f
f
f
w
w
w
f
f w
f f
f
f
w
w
w
∀x ∈ A : E(x) . . . für alle x ∈ A gilt E
∃x ∈ A : E(x) . . . es gibt ein x ∈ A für das E gilt.
Beispiel 0.2.1
∀x ∈ N : ∃y ∈ N : y > x
ist wahr
∃x ∈ N : ∀y ∈ N : x ≥ y
ist falsch
∀x ∈ ∅ : E(x)
ist richtig
∃x ∈ ∅ : E(x)
ist falsch
1
0.3 Rechenregeln
0 GRUNDLAGEN
Definition 0.2.1
• A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Durchschnitt von A und B
• A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Vereinigung von A und B
• A\B := {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
relatives Komplement
A
∈
∈
∈
/
∈
/
B
∈
∈
/
∈
∈
/
A∩B
∈
∈
/
∈
/
∈
/
A∪B
∈
∈
∈
∈
/
0.3 Rechenregeln
Seien A,B,C Mengen. Dann gilt:
A∩A=A
• Idempotenz
A∪A=A
A∩B = B ∩A
• Kommutativgesetz
A∪B = B ∪A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
= A∩B ∩C
• Assoziativgesetz
A ∪ (B ∪ B) ∪ C = (A ∪ B) ∪ C A∪B ∪C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (A ∪ B) = A
• Absorption
A ∪ (A ∩ B) = A
A∩∅ =∅
• Ausschließung
A∪∅ =A
Beweis mit Zugehörigkeitstafel bzw. Diagrammen.
Bei 3 beliebigen Mengen braucht man 2 3 = 8 verschiedene Einträge.
Andere Methode: logische Umformungen.
• A ⊆ B ist eine Teilmenge von B;
∀x ∈ A : x ∈ B
• A ⊇ B bedeutet B ⊆ A
A ist Obermenge von B
2
0.3 Rechenregeln
0 GRUNDLAGEN
• A ( B A ist eine echte Teilmenge von B, d.h.
A ⊆ B und A 6= B.
Ein logischer Ausdruck heisst allgemeingültig, wenn er stets wahr ist.
Definition 0.3.1
Zwei Ausdrücke heissen äquivalent genau dann wenn A⇐⇒ B falls A⇐⇒ B allgemeingültig ist.
A impliziert B genau dann wenn A =⇒ B falls A → B allgemeingültig ist.
Beispiel 0.3.1
• a ∨ ¬a ⇐⇒ w
• ¬¬a ⇐⇒ a
• a → b ⇐⇒ a ∨ ¬a
• a → b ⇐⇒ ¬a → ¬a
• ¬(a ∧ b) ⇐⇒ ¬a ∨ ¬b
• ¬(a ∨ b) ⇐⇒ ¬a ∧ ¬b
a
w
w
f
f
b
w
f
w
f
0.3.1
a→b
w
f
w
w
¬a ∨ b
w
f
w
w
Implikationen
a ∧ (a → b) ⇒ b
(a → b) ∧ ¬b ⇒ ¬a
(a → b) ∧ (b → c) =⇒ a → c
Die folgenden Ausdrücke sind paarweise äquivalent zueinander:
• (a → b) → c
• a → (b → c)
• (a → b) ∧ (b → c)
{M|M Menge ∧M ∈
/ M } keine Menge!
Definition 0.3.2
Sei M eine Menge. Dann bezeichnet man
P(M ) := {A|a ⊆ M } als Potenzmenge von M.
3
0.3 Rechenregeln
0 GRUNDLAGEN
Beispiel: P({∅, 1}) = {∅{∅}, {1}, {∅, 1}}.
Sei
T M eine nichtleere Menge. Dann definiere:
M := {x|∀A ∈ M : x ∈ A}
T
z.B.: {{1, 2, 3}, {2, 3, 5}, {{2, 3}3}} = {3}
Sei M eine Menge.Die Vereinigung von M ist definiert als:
S
M {x|∃A ∈ A : x ∈ A}
S
z.B.: {{1, 2, 3}, {4, 5, 2}, {1, 6}} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S
∅=∅
Andere Schreibweise wenn die Mengen M i mit i ∈ I. Dann sind:
T
T
Mi := {Mi |i ∈ I}
•
i∈I
•
S
Mi :=
i∈I
S
{Mi |i ∈ I}
Definition 0.3.3
Sei M eine nichtleere Menge. Dann gilt:
T
T
i) A ∪ M = {A ∪ B|B ∈ M }
S
S
ii) A ∩ M = {A ∩ B|B ∈ M }
Beweis :
(i) Übung!
S
(ii) x ∈ A ∩ ( M )
⇐⇒ x ∈ A ∧ (∃x ∈ B ∧ x ∈ A)
⇐⇒ ∃B ∈ M : {x ∈ B ∧ x ∈ A}
⇐⇒ ∃B ∈
SM : x ∈ A ∩ B
⇐⇒ x ∈ {A ∩ B|B ∈ M } Das kartesische Produkt
Definition 0.3.4
(a, b) heisst ein geornetes Paar, wobei 2 geordnete Paare (a, b) und (a 0 , b0 ) genau dann gleich sind
wenn a = a0 und b = b0 ist, d.h. es kommt auf die Reihenfolge an.
Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist definiert als:
A × B := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Für A × A schreibt man auch A2 .
z.B. {1, 2, 3} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}
Verallgemeinerung: Das kartesische Produkt von n Mengen (n ∈ N)
4
0.4 Relationen und Abbildungen
0 GRUNDLAGEN
A1 . . . A n
A1 × A2 × . . . × An := {(a1 , . . . , an )|a1 , . . . , an ∈ A}
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) ⇐⇒ ai = bi ; (i = 1, . . . n)
∅×A=∅
0.4 Relationen und Abbildungen
Definition 0.4.1
Seien A,B Mengen. Eine Teilmenge R ⊆ A × B heisst Relation zwischen A und B.
Falls A = B dann heisst R ⊆ A × Beine Relation auf A.
Schreibweise: Statt (a.b) ∈ R schreibt man a R b.
Beispiel 0.4.1
a) die Gleichheitsrelation auf A
∆A = {(a, a)|a ∈ A}
b) die Teilerrelation auf Z
R = {(m, n) ∈ Z × Z| m teilt n}
⇐⇒ m|n für m teil n m < n falls a ∈ Z mit n = m · a
c) Die Kleiner Relation auf R
{(x, y)|x < y}
d) Die Relation liegt auf der Menge der Punkte der Elemente mit der Menge der Geraden der
Ebenen.
Veranschaulichung einer Relation durch Pfeildiagramme.
(A, R)(wobei R ⊆ A × A) heisst ein gerichteter Graph.
A heisst Menge der Ecken, R die Menge der Kanten.
Darstelleung falls A, B ⊆ R in der Ebene als Teilmenge
xRy ⇐⇒ x2 + y 2 = 1
xRy ⇐⇒ x < y
5
0.4 Relationen und Abbildungen
0 GRUNDLAGEN
Definition 0.4.2
SeienR ⊆ A × B S ⊆ B × C.
Dann definiere R−1 := {/(b, a) ∈ A × C|(a, b) ∈ R}
S ◦ R := {(a, c) ∈ A × C|∃b ∈ B : (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ S}
Definition 0.4.3
Sei eine Relation auf A. Dann heiss R:
• reflexiv falls ∆A ⊆ R,
∀a ∈ A, (a, a) ∈ R
• symmetrisch falls R = R −1 ,
∀a, b ∈ A(a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ R
• antisymmetrisch falls R ∩ R −1 ⊆ ∆A
• transitiv R ◦ R = R
∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R =⇒ a = b
∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R =⇒ (a, c) ∈ R
Definition 0.4.4
Eine RelationR auf M heisst Ordnungsrelation (Halbordnung,Partialordnung) auf M wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Falls zusätzlich ∀a, b ∈ A gilt (a, b) ∈ R oder (b, a) ∈ R, dann ist sie eine Totalordnung.
Definition 0.4.5
Eine Relation Rauf A heisst Äquivalenzrelation falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Definition 0.4.6
∼
∼
∼
∼
∼
Sei RsubseteqA × B und A ⊆ A, B ⊆ B. Dann heisst R := R ∩ (A × B) die Einschränkung von
∼
∼
R auf A und B.
Bemerkung 0.4.1
Sei R ⊆ A × A dann übertragen sich die Eigenschaften reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisym∼
∼
∼
∼
metrisch übertragen.auf die Einschränkung R : R ∩ (A × B) (aufgefasst als Relation auf A)
Ebenfalls Ordnungsrelation, Totalordnung und Äquivalenzrelation.
Beweis :
einfache Übung!
z.B
6
0.5 Partiell geordnete Mengen
0 GRUNDLAGEN
0.5 Partiell geordnete Mengen
Definition 0.5.1
Sei M eine Menge und ≤ eine Ordnungsrealtion auf M Dan heisst (M, ≤) eine partiell geordnete Menge. Falls ≤ eine Totalordnung auf M ist heisst (M, ≤) eine total geordnete Menge (linear
geordnete Menge Kette)
Beispiel 0.5.1
1. (P(M ), ⊆)
2. (N, |)
⊆ Teilmenge
| teilt
3. (R, ≤) total geordnet, (≤ wie üblich)
Definition 0.5.2
Sei (M, ≤) eine partielle geordnete Menge und S ⊆ M und z ∈ M . Dann heisst x ∈ M :
• kleinstes Element falls
• größtes Element falls
∀y ∈ M : x ≤ y
∀y ∈ M : y ≤ y
• minimales Element falls
∀y ∈ M : (y ≤ x =⇒ y = x)
• maximales Element falls
∀y ∈ M : (y ≤ y =⇒ x = y)
• obere Schranke von S falls
• untere Schranke von S falls
∀s ∈ Ss ≤ x
∀s ∈ Sx ≤ s
• Supremum von S falls x die kleinste obere Schranke von S ist
• Infimum von S falls x die größte untere Schranke ist
• oberer Nachbar von z falls
z ≤ x, z 6= x :
∀y ∈ M : z ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ z = y ∨ y = x.
Definition 0.5.3
Sei x, z ∈ M . Fals x ≤ z oder z ≤ x, dann heisst x und z vergleichbar andernfalls unvergleichbar
Schreibweise:
x ≤ ysoll heissen y ≤ x
x < y soll heissen x ≤ y ∧ x 6= y
x > y soll hessen y < x.
Graphische Darstellung von endlich geordneten Mengen als Hassediagramm.
Symbolisieren Elemente durch Punkte. Verbinde 2 Punkte genau dann durxh eine Kante von unten
nach oben wenn der obere Punkt ein oberer Nachbar von dem unteren ist.
7
0.5 Partiell geordnete Mengen
0 GRUNDLAGEN
Beispiel 0.5.2
Teiler von bezüglich |
12
4
6
2
3
1
Partielle Ordnung kann aus dem Hassediagramm abgelesen werden:x ≤ y ⇐⇒ eine Folge von x nach
y die immer nach oben geht.
... Menge der oberen
Schranken von S
Supremun von
S
S
S
Infimum von S
Folgerung 1
Das größte bzw. kleinste Element einer partiell geordneten Menge ist eindeutig bestimmt (falls es
existiert.) folglich durch Supremum bzw. Infimum.
Beweis :
Seien y1 , y2 größtes Element. Dann folgt :
y1 ≤ y2 und y2 ≤ y1 , also y − 1 = y2 , wegen antisymmetrie. (analog für kleinstes Element) Bezeichnung: max M bzw. min M bezeichnen das größte bzw. das kleinste Element von M.
sup S bzw. inf S bezeichnen Supremum bzw. Infimum von S.
Beispiel 0.5.3
In (N, ≤) ist 1 das kleinste Element.
N hat keine maximalen Elemente.
Folgerung 2
In einer nicht leeren partiell geordneten Menge (M, ≤) gibt es stets ein minimales und maximales
Element.
8
0.6 Abbildungen
0 GRUNDLAGEN
0.6 Abbildungen
Definition 0.6.1
Seien A,B Mengen. EineAbbildung A nach B ist eine Relation f ⊆ A × B, sodass ∀a ∈ A genau
ein b ∈ B existiert mit (a, b) ∈ f Zur Definition einer Abbildung gehört die Angabe der Menge A,
dem Definitionsbereich (oder Quelle) der Menge B dem Wertevorrat(oder Ziel) und der Relation
Relation f der Zurodnungsvorschrift. Formal als Tripel: (A, B, f ).
Für a ∈ A bezeichnet f (a) das eindeutig bestimmte Element aus B mit (a, f (a)) ∈ f, d.h. (a, b) ∈ f
schreibt man f (a, b) = b Die Relation {(a, f (a, b))|a ∈ A} heisst der Graph der Abbildung. Wenn
b = f (a) dann heisst b das Urbild von b unter f.
f
Die Schreibweise f : A → B bzw. A → B soll bedeuten das A,B Mengen unter f eine Abbildung
von A nach B ist.
Schreibweise: f : A → B a 7→ f (a) a ∈ A
Beispiel 0.6.1
fR → R
t 7→ t2
g : R → [0, ∞)
t → t2
f : R → R 6= g : R → [0, ∞), da die Wertevoräte verschieden sind.
Definition 0.6.2
id M → M bezeichnet die nach id (x) = x, ∀x ∈ M definierte Abbildung von M nach M.
Sie heisst die identische Abbildung und wird auch mit id M bezeichnet.Die Relation ist ∆M : {(x, x)|x ∈
M}
Definition 0.6.3
Seien f : A → B, g B
rarowC Abbildungen.
Dannn ist die Relation g ◦ f eine Abbildung von A → C, d.h g ◦ f : A → C (Hier g nach f)
g ◦ f heisst die Komposition von g nach f.
Es gilt: g ◦ f (a) = g(f (a)).
Feststellung
f : A → B, g : B → C, h : C → D sind Abbildungen. dann ist h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Definition 0.6.4
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann heisst f:
• injektiv ∀a1 , a2 ∈ A gilt: f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2
d.h. wenn jedem Element aus B höchstens ein Urbild hat.
• surjektiv ∀b ∈ B∃a ∈ A mit f (a) = b
d.h. wenn jedem b ∈ B min. ein Urbild hat.
• bijektiv falls f injektiv und surjektiv ist.
d.h. jedem b ∈ B hat genau ein Urbild.
9
0.6 Abbildungen
0 GRUNDLAGEN
Feststellung:
Sei f : A → B eine bijektive Abbildung. Dann ist die Relation f −1 eine Abbildung von B → A.
f −1 : B → A mit f −1 (b) = a ⇐⇒ f (a) = b.
f −1 heisst Umkehrabbildung
Es gilt:
1. f −1 : B → A ist bijektiv
2. (f −1 )−1 = f
3. f −1 ◦ f = id A
4. f ◦ f −1 = id B
Beispiel 0.6.2
A
B
f
Abb. ist surjektiv
a)
A
B
f
Abb. ist nicht surjektiv und
nicht injektiv
b)
A
B
f
Abb. ist surjektiv und
injektiv
c)
10
0.7 Äquivalenzrelation
0 GRUNDLAGEN
A
f
B
keine Abb.
d)
A
f
B
keine Abb.
e)
A
B
f
injektive Ab.
f)
Bemerkung 0.6.1
∅
Für jede Menge A gibt es genau eine Abbildung von ∅ nach A nämlich ∅ → A.
Für A ∈
/ ∅ gibt es keine Abbildung von A nach ∅.
0.7 Äquivalenzrelation
Definition 0.7.1
Sei ∼ seine ÄQR auf einer Menge M und a ∈ M .
[a] := {x ∈ M |x ∼ a} heisst die Äquivalenzklasse von a bezüglich ∼ .
Also x ∈ [a] ⇐⇒ x ∼ a ∀x ∈ M
M/∼ := {[a]|a ∈ M } heisst Faktormenge von M bezüglich ∼: Menge der Äquivalenzklassen.
Feststellung:
Sei ∼ eine ÄQR auf M. Dann gilt ∀a, b ∈ M :
1. a ∈ [a]
([a] 6= ∅)
2. M =
bigcup{[a]|a ∈ M }
11
0.7 Äquivalenzrelation
0 GRUNDLAGEN
3. [a] = [b] ⇐⇒ a ∼ b
4. [a] 6= [b] ⇐⇒ [a] ∩ [b] = ∅
Beweis :
1. Da ∼ reflexiv ist, a ∈ [a] also [a] 6= ∅ und M ⊆
S
[a] ⊆ M
a∈M
2. siehe 1.
3. Sei a ∼ b Aus x ∈ [a] folgt x ∼ a also x ∼ b (da ∼kommutativ) also x ∈ [b]. Also [a] ⊆ [b]
genauso [b] ⊆ [a] da auch b ∼ a wegen Symmetrie.
Es gilt: a ∼ b ⇐⇒ [a] = [b]
Sei [a] = [b]. Dann 4´a ∈ [b] also a ∼ b (also a ∼ b ⇐⇒ [a] = [b])
4. Sei [a] ∩ [b] 6= ∅. Wähle x ∈ [a] ∩ [b].
Dann ist a ∼ b und x ∼ b, also [x] = [b] und [x] = [a] also [a] = [b]
⇐ Wenn [a] ∩ [b] 6= ∅ dann ist [a] 6= [b] (wegen [a] 6= ∅) Definition 0.7.2
Sei M eine Menge. m heisst Zerlegung von M, falls gilt:
1. m ⊆ P(M ) \ {∅}
2. ∀A, B ∈ m mit A 6= B gilt A ∩ B = ∅
S
3. m = M
Satz 0.7.1
Sei M eine Menge.
a) Wenn ∼ eine ÄQR ist, dann ist auch M/ ∼ eine Zerlegung vom M
b) Wenn m eine Zerlegung von M ist, dann gibt es genau eine ÄQR ∼ auf m, sodass m = M/ ∼ .
Folgerung:
Φ : {∼ | ∼ ist eine ÄQR auf M}
→ {m|m ist Zerlegung von M} mit
Φ(∼) := M/∼ ist eine bijektive Abbildung. Beweis :
a) bereits gezeigt wegen Folgerung!
b) m ⊆ P(M
S ) eine Zerlegung von M. Definiere eine Relation ∼ auf M durch
∼:= {A × A|a ∈ m} ⊆ M × M also a ∼ b ⇐⇒ ∃A ∈ m : a ∈ A ∧ b ∈ A
Reflexivität: Sei a ∈ M Es gibt ein A ∈ m mit a ∈ A also (a, a) ∈ A × A ⊆∼.
Symmetrie: Seien a, b ∈ M. mit a ∼ b. Dann gibt es A ∈ m ∧ b ∈ A also b ∼ a
Transitivität: Seien a, b, c ∈ M mit a ∼ b ∧ b ∼ c. Dann gibt es A, B ∈ m mit a ∈ A, b ∈
A, c ∈ B also b ∈ A ∩ B, also A = B, also a ∼ b.
Äquvivalenzklassen bezüglich ∼. Für a ∈ M ist
[a] = {b ∈ M |∃A ∈ m, a ∈ A ∧ b ∈ A}
12
0.7 Äquivalenzrelation
0 GRUNDLAGEN
Es gibt genau ein A, also [a] = A, also [a] ∈ m, d.h M/ ∼ ⊆ m. Umgekehrt sei A ∈ m. es gibt
a ∈ A, also wie oben [a] = A =⇒ M/∼ = m.
Eindeutigkeit von ∼ Seien ∼1 , ∼2 zwei ÄQR aus M mit M/∼1 = M/∼2 = m. Dann gilt:
[x]∼1 = [x]∼2 für jedes x ∈ M also ∀x, y ∈ M, y ∼1 x ⇐⇒ y ∈ [x]∼1 ⇐⇒ [x]∼1 ⇐⇒
y ∼2 x also ∼1 =∼2 Beweis (Folgerung):
Wegen (a) ist Φ eine Abbildung.
(b) besagt, dass zu jeder Zerlegung von M, d.h. zu jedem Element des Wertevorates genau ein Urbild
von Φ existiert. Definition 0.7.3
Sei M eine Menge , ∼ eine ÄQR auf M. Dann definiere nat : M → M/ ∼ durch nat(x) := [x]∼ ∀x ∈
M. Sie heisst natürliche Abbildung.
Sie ist surjektiv.
Definition 0.7.4
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann definiee auf die Relation ∼ f durch a ∼f b ⇐⇒ f (a) = f (b).
Feststellung 0.7.1
∼f ist eine ÄQR.
Insbesondere gilt für ÄQR ∼ auf M und nat : M → M/ ∼ , dass ∼=∼nat , denn a ∼ b ⇐⇒ [a] =
[b] ⇐⇒ nat (a) = nat (b) ⇐⇒ a ∼nat b.
Satz 0.7.2 (Abbildungssatz)
Sei f : A → B eine Abbildung und ∼:=∼f . Dann gibt es genau eine Abbildung f˜ : A/∼ → B.
sodass f = f˜ ◦ nat , wobei nat A → A/∼ die natürliche Abbildung sei.
f
A → B
↓
% ∃!f˜ Ferner gilt:
A/∼
i) f˜ ist injektiv
ii) Falls f surjektiv ist, dann ist f˜ sogar bijektiv.
Beweis :
Eindeutigkeit: Gelte:f˜ ◦ nat = f = fˆ ◦ nat .
˜
Sei x ∈ A/∼f . Dann gibt es a ∈ A mit [a]nat a = x. Also f˜(x) ◦ f(nat
(a) = f (a)) = f (a) =
fˆ ◦ nat (a) = fˆ(x).
˜ ∼ ) := f (a). Wir zeigen, dass f˜ wohldefiniert ist (repräsentantenunabhängig)
Existenz: Definiere f([a]
: [a]∼ = [b]∼ =⇒ a ∼=⇒ f (a) = f (b).
Es gilt: f˜ ◦ nat (a) = f˜([a]∼ ) = f (a). ∀a ∈ A, also
f˜ ◦ nat = f .
˜ 1 ) = f(x
˜ 2 ) =⇒ x1 < x2 .
Zu (i): f˜ injektiv z.z.f(x
˜
˜
Sei f(x1 ) = f(x2 ). Nach Def. von A/∼ gilt:
˜
˜ 1) =
a1 , a2 ∈ A mit x1 = [a1 ] = nat (a1 ), x2 = [a2 ] = nat (a2 ) also f (a1 ) = f(nat
(a1 )) = f(x
˜ 2 ) = f(nat
˜
f(x
(a2 )) = f (a2 ) also
∼f a2 also x1 = [a1 ]∼ = [a2 ]∼ = x2 .
Zu (ii) Falls f ◦ f˜ ◦ nat surjektiv , dann f˜ surjektiv, also f˜ bisjektiv. 13
0.8 Das Auswahkaxiom
0 GRUNDLAGEN
Beispiel 0.7.1
A
f
A: Menge der Studenten de Vorlesung
B Menge der Übungsgrupen
f: ordnet jedem Student seine Übungsgruppe zu.
∼f : zwei Studenten sind äquivalent, falls sie dieselbe Übungsgruppe haben.
A/ ∼f : Menge der Teilnehmer der Übungsgruppe.
f˜ ordnet der Menge der Teilnehmer ihre Übungsgruppe zu.
Bemerkung 0.7.1
Insbesondere in der Analysis sagt man statt Abbildung auch Funktion. Eine Folge aus Elementen von
M ist eine Abbildung f : N → M .
0.8 Das Auswahkaxiom
Feststellung 0.8.1
Falls A 6= ∅ und f : A → B eine injektive Abbildung, dann gibt es eine Abbildung g : B → A mit
g ◦ f = id A .
Frage: Sei f : A → B surjektiv. Gibt es dann eine Abbildung g : A → B mit g ◦ f = id B ?
Beweisversuch: DA f surjektiv ist,gibt es zu jedem b ∈ B min. ein Urbild, d.h. f −1 ({b}) 6= ∅.
Wähle g(b) ∈ f −1 ({b}) bel.
Dann gilt: (g(b)) = b.
Falls B endlich ist gegen den Beweisversuch nichts einzuwenden. Falls B unendlich ist, bedeutet eine
solche Auswahl die Existenz einer gewissen Menge (nämlich g ⊆ R × A) die nicht durch eine Auswahl definiert ist.
Zu der axiomatischen Mengenlehre folgt die Existenz einer solchen Abbildung nicht aus den üblichen
Axiomen, steht aber nicht im Widerspruch, d.h. ist unabhängig von den übrigen Axiomen der Mengenlehre.
Auswahlaxiom
Seim m eine Zerlegung einer Menge. Dann gibt es A ⊆ M , sodass A ∩ B. eindeutig
A enthält aus jeder Menge m genau ein Element.
Definition 0.8.1
Eine solche Menge heisst Auswahlmenge
14
∀B ∈ m, d.h.
0.8 Das Auswahkaxiom
0 GRUNDLAGEN
Feststellung 0.8.2
Äquivalent zum Auswahlaxiom ist wegen Satz 0.7.2:
Für jede Menge und jede ÄQR ∼ auf M gibt es ein volständiges Repräsentantensysthem A von M/ ∼ ,
d.h. A enthält aus jeder ÄQK genau ein Element.
Satz 0.8.1
Die folgende Aussage (*) ist äqivalent zum Auswahlaxiom:
Zu jeeder surjektiven Abbildung f : A → B gibt es eine Abbildung g : B → A mit f ◦ g = id B
Beweis :
Gelte Auswahlaxiom: Sei f : A → B surjektiv.
{{(a.b)|a ∈ A, f (a) = b}|b ∈ B} Dies ist eine Zerlegung der Relation f ⊆ A × B. Sei G eine
Auswahlmenge dieser Zerlegung (also G ⊆ f ) Dann ist g : B → A mit g = G −1 die gesuchte
Abbildung, denn zu jedem b ∈ B gibt esgenau ein a ∈ A und (b, a) ∈ g.
Für diese gilt f (a) = b also f circg = id B .
Umgekehrt gelte (*) und sei ∼ eine ÄQR auf M. DAnn nat : M → M/ ∼
nat ist surjektiv.Nach (*) gibt es eine Abbildung g : M/ ∼ → M mit nat ◦ g = id M/∼ .
g(M/∼ ) (Das Bild ist die gesamte Auswahlmenge) Seien M, N Menegn. DAnn bezeichne :
N M := {f : M → N | f Abbildung}
Definition 0.8.2
Allgemein kartesische Produkt.
Sei M, i ∈ I Famillie von Mengen.
Formal I → m Abbildung. i → M ; m Mengen von Mengen.
Das kartesische Produkt: S
X Mi := {X : Irarrow Mi | X Abbildung, sodass ∀i ∈ IX(i) ∈ M }
i∈I
i∈I
Schreibweise: Xi für X(i).
Die k-te Projektion (k ∈ I) ist definiert durch:
pk : X Mi → Mk mit pk (x) = x(k).
i∈I
z.b. Für I = N, Mi : R ∀i ∈ N
X Mi = RN =Menge aller Folgen von reelen Zahlen.
i∈I
z.B. x = {1, 2, 4, 9, 16 . . .}
p4 (x) = 16
x i = i2
Satz 0.8.2
Auswahlaxiom ist äqivalent zu:
Das kartrsische Produkt einer Familie von nichtleeren Mengen ist stets nich leer.
(AC) ⇐⇒ Behauptung.
Fazit: Es gibt verschiedene Auswahlaxiome für Mengenlehre (n). Das AC ist unabhängig von den
übrigen Axiomen. Es ist üblich das AC vorrauszusetzen. Dies sollte man vrmerken, d.h. alle Sätze, zu
deren Beweis aus AC herangezogen wird, sollten gekennzeichnet werden.
15
0.9 Mächtigkeiten
0 GRUNDLAGEN
Satz 0.8.3 (Zorn’sches Lemma)
Sei (M, ≤) eine nichtleere Menge, sodass jede Kette in M eine obere Schranke hat. Dann gibt es ein
maximales Element in M.
Definition 0.8.3
Eine Totalordnung ≤ einer Menge M heiist Wohlordnung (und (M, ≤) eine wohlgeordnete Menge),
falls jede nichtleere Teilmenge von A ⊆ M ein kleinstes Element a ∈ A hat.
Beispiel: (N, ≤) ist wohlgeordnet
Satz 0.8.4 (Wohlordnungssatz)
Auf jeder Menge M gibt es eine Wohlordnung
Bemerkung 0.8.1
Sowohl das Lemma von Zorn und auch der Wohlordnungssatz haben lange Beweise und sind äqivalent zum AC.
0.9 Mächtigkeiten
Definition 0.9.1
Zwei Mengen heissen gleichmächtig (|A| = |B|), falls es eine bilektive Abbildung : A → B gibt.
Feststellung 0.9.1
Offenbar gilt für Mengen A,B,C:
i) |A| = |A|
(id A )
ii) |A| = |B| =⇒ |B| = |A|
(f bijektiv =⇒ f −1 bijektiv)
iii) |A| = |B| ∧ |B| = |C| =⇒ |A| = |C|
( f bijektiv, g bijektiv =⇒ f ◦ g bijektiv)
Definition 0.9.2
Eine Menge B heisst gleichmächtig wie eine Menge A ( |A| ≤ |B|), falls es eine injektive Abbildung
f A → B gibt.
Feststellung 0.9.2
Offenbar gilt:
i) |A| ≤ |A|
ii) |A| ≤ |B| =⇒ |B| = |A|
iii) |A| ≤ |B| ∧ |B| = |C| =⇒ |A| = |C|
Satz 0.9.1 (Bersteins Mächtigkeitstheorem)
Wenn es eine injektive Abbildung f : A → B und g : B → A gibt, dann gibt es eine bijektive
Abbildung h : A → B
Also |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|
( Es geht mit h(a) = b =⇒ f (a) = b ∨ g(b) = a)
16
0.9 Mächtigkeiten
0 GRUNDLAGEN
Satz 0.9.2 (Vergleichbarkeit)
Für je zwei Mengen A,B gilt:
|A| ≤ |B| ∨ |B| ≤ |A|.
Bezeichnung: Statt |A| ≤ |B| ∧ |A| 6= |B| schreibt man auch |A| < |B|
|A| ≥ |B| statt |B| ≤ |A|.
Feststellung 0.9.3
Falls (AC) dann gilt: wenn es surjektive Abbildung f : A → B gibt, dann folgt |B| ≤ |A|
Bemerkung 0.9.1
• Es gilt: |R| = |P(N)|
• Für jede Menge M gilt: |M | < |P(M )
|N| S
< |P(N)| < P(P(N))| . . .
P( P i (N)) Es gibt immer mächtigerere Mengen.
i∈N
Frage: Gibt es eine Menge mit
|N| < |A| < |P(N)|?
Es stell sich herraus, dass die Nichtexistenz einer solchen Menge unabhängig von den Axiomen der
Mengenlehre ist, d.h. falls die Mengenlehre Widerspruchsfrei ist, wenn man
(CH) Kontinumshypothese: Es gibt keine Menge mit |N| < |A| < |P(N)| . Für jede nichtleere Meneg
M gilt: Es gibt keine Menge A mit |m| < |A| < |P(M )| als Axiom hinzunimmt, aber auch stattdessen die Negation als Axiom hinzunimmt.
Satz 0.9.3
(GCH) =⇒ (AC).
Sei n ∈ N0 Bezeichne n := {0, . . . , n − 1}, also 0 6= ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, . . .
n hat also n Elemte. Statt |M | = |n| schreibt man auch |M | = n.
Definition 0.9.3
Eine Menge heisst endlich, falls es ein n ∈ N 0 gibt, mit |M | = n.
M heisst:
• unendlich falss M nicht endlich ist
• abzählbar falls |M | ≤ |N|
• abtählbar unendlich falls |M | = |N|
• überabzählbar, falls |N| < |M |
Einige Sätze zu endlichen Mnegen.
17
0.9 Mächtigkeiten
0 GRUNDLAGEN
Feststellung 0.9.4
Seien m, n, ñ ∈ N0 :
a) Falls |M | = n ∧ |M | = m =⇒ m = n
b) Falls |M | = n ∧ M̃ ⊆ M, M̃ 6= M,
∃ñ ∈ N0 : ñ < n mit |M̃ | = ñ
c) Falls M1 und M2 endlich sind, dann gilt:
|M1 ∪ M2 | = |M1 | + |M2 | − |M1 ∩ M2 |
d) Falls M endlich ist, und |M | = |N| ∧ f : M → N eine Abildung ist, dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f surjektiv.
Beweis :
a,b,c intuitiv klat!
(d) Sei f : M → N injektiv. Dann ist:
M → f (M )
f bijektiv, also |N | = |M | = |f (M )|, also folgt:
x 7→ f (x)
f (M ) ⊆ N also f (M ) = N , also insgesamt f bijektiv.
⇐ Sei f : m → N surjektiv, Dann gibt es eine Abbildung g : N → M mit f ◦ g = id
injektiv, also wegen |M | = |N | ist g bijektiv. Damit ist f = g −1 und f bijektiv. N,
also g
Schreibweise: |N| = ℵ0
Satz 0.9.4
Falls M unednlcih ist, dann gilt |N| ≤ |M |
Idee: wähle nacheinander verschiedene Elemente x 1 , x2 , x3 , . . . aus M aus also xn ∈ M \{xn , . . . , xn−1 }.
Entweder gibt es m ∈ M mit {x1 , . . . , xm } = M dann wäre M endlich (|M | = m) oder andernfalls
ist f : N → M mit f (n) = xn eine injektive Abbildung.
Beispiel 0.9.1
1) f : N → N mit f (n) = n + 1 ist injektiv, aber nicht surjektiv.
n−1
fallsn ≥ 2
2) g : N → N g(n) :=
ist surjektiv, aber nicht injektiv.
1fallsn = 1
3) |N| = |2N| Menge der natürlichen Zahlen und der geraden sind gleichmächtig.
2N = {2n|n ∈ N}
4) |N| = |Q|
5) |N| = |N × N|
6) |N| = |Nn |
(n ∈ N)
18
1 ALGEBRASCHE GRUNDSTRUKTUREN
Feststellung 0.9.5
Sei m S
⊆ P(M ) und gelte m ist abzählbar.
Dann m abzählbar, d.h. die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar.
1 Algebrasche Grundstrukturen
Definition 1.0.4
Sei M eine Abbildung ·M × M → M heisst innere Verknüpfung auf M.
Beispiel 1.0.2
+:N×N →N
·S: N × N → N
: P(M ) × P(M ) → P(M )
◦ : (A, A) × (A, A) → (A, A)
Definition 1.0.5
Sei G eine Menge und · : G × G → G eine Abbildung, sodass git:
i) ∀a, b ∈ G gilt: a(bc) = (ab)c
ii) ∃e ∈ G mit:
1. e · a = a = a · e
∀a ∈ G
2. Zu jedem a ∈ G
∃b ∈ G mit b · a = e
Dann heisst (G, ·) Gruppe. Falls zusätzlich gilt:
iii) ab = ba
∀a, b ∈ G dann heisst G abelsche Gruppe
Feststellung 1.0.6
Sei (G, ·) eine Grupe. Dann gilt:
1) Es gibt genau ein e ∈ G mit e · a = a · e
2) b · a = e =⇒ a · b = e
∀a ∈ G
∀a, b ∈ G
3) Zu jedem a ∈ G gibt es genau ein b ∈ G mit b· = e.
Dieses b heisst Inverses von a
4) ∀a, b ∈ G(ab)−1 = a−1 · b−1 und (a−1 )−1 = a
5) ∀a, x, y ∈ Gax = ay =⇒ x = y
Beweis :
1) Ang. e, e’ sind neutrale Elemte, dann folgt:
e = ee∗ = e∗ =⇒ e = e0
2) Nach (ii) gibt es c ∈ G mit c · b = e, also
ab = (ea)b = ((cb)a) = (c(ba))b = (ce)b = cb = e
19
1 ALGEBRASCHE GRUNDSTRUKTUREN
3) Ang. ba = ca == b Wegen (2) folgt:
ab = ac = e, also folgt b = rb = (ca)b = c(ab) = ce = c
4) (b−1 · a−1 ) = (ab)−1 = b−1 (a−1 (ab)) = b−1 ((a−1 a)b) = (b−1 e)b = b−1 b = e
aa−1 = a−1 a = e, also a = (a−1 )−1
5) ax = ay =⇒ x = ex = (a−1 a)x =−1 (ax) = a−1 (ay) = (a−1 a)y = ey = y.
xa = ya =⇒ x = y analog Schreibweise: In abelschen Gruppen bezeichnet man die Verknüofung mit + das neurtrale Element
mit 0 und das Inverse von a mit -a.
Beispiele: (Z, +); (R, +), (Q \ 0, ·)(R \ 0, ·). sind abelsche Gruppen.
Besonders wichtiges Beispiel:
Sei M eine Menge:
S(M ) := {f : M → M |f bijektive Abbildung} mit (s(M ), ◦) ist eine Gruppe. Sie heisst Permutationsgruppe oder symmetrische Gruppe auf M.
Insbesondere Sm := S({1, 2, . . . , n})
20
Index
Potenz-, 3
Abbildung, 9
natürlich, 13
Absorption, 2
abzählbar
undendlich, 17
abzählbar, 17
Äquivalenz, 3
Äquivalenzklasse, 11
Äquivalenzrelation, 6
antisymmetrisch, 6
Assoziativgesetz, 2
Auswahlaxiom, 14
Auswahlmenge., 14
Obermenge, 2
Ordnungsrelation, 6
Permutationsgruppe, 20
Potenzmenge, 3
Quelle, 9
reflexiv, 6
Relation, 5
Gleichheits-, 5
Teiler-, 5
Supremum, 7
surjektiv, 9
symmetrisch, 6
bijektiv, 9
Definitionsbereich, 9
Durchschnitt, 2
Teilerrelation, 5
Teilmenge, 2
echte, 3
Totalordnung, 6
transitiv, 6
Tripel, 9
Einschränkung, 6
Element, 1
endlich, 17
Faktormenge, 11
Folge, 14
überabzählbar, 17
Umkehrabbildung, 10
unendlich, 17
unvergleichbar, 7
Urbild, 9
Gleichheitsrelation, 5
Graph, 9
Gruppe, 19
abelsche, 19
symmetrische, 20
Vereinigung, 2
vergleichbar, 7
Verknüpfung
innere, 19
Verknüpfung, 19
Idempotenz, 2
Implikation, 3
Infimum, 7
Inverses, 19
kartesische Produkt, 4
Kette, 7
Kommutativgesetz, 2
Komplement, 2
Komposition, 9
Wertevorrat, 9
Wohlordnung, 16
Zerlegung, 12
Ziel, 9
Menge, 1
leere, 1
Ober-, 2
21