Elementare Zahlentheorie - sigma

Elementare Zahlentheorie
Vorlesung 06
06.11.2006
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§4
Arithmetische Funktionen
C: Körper der komplexen Zahlen.
Algebraische Zahlentheorie: Studium von Z mittels algebraischer Methoden, z.B. Körpertheorie.
Analytische Zahlentheorie:
Studium von Z mittels funktionentheoretischer Methoden, z.B. die Riemann’sche
P
Zetafunktion: ζ(s) = n∈N n1s , s ∈ C (vgl. (1.7)).
(1.32) Definition.
(a) Eine Abbildung f : N → C heißt arithmetische Funktion. A := {f : N → C}.
(b) f ∈ A heißt multiplikativ, falls gilt:
(i) f 6= 0.
(ii) f (mn) = f (m)f (n) für alle m, n ∈ N und ggT(m, n) = 1.
(1.33) Bemerkung. Sei f ∈ A multiplikativ. Dann gilt:
(a) f (1) = 1.
(b) Ist n ∈ N mit Primzerlegung n = pe11 . . . pekk (pi 6= pj für i 6= j), dann ist f (n) = f (pe11 ) . . . fk (pekk ); f ist
also durch seine Werte auf den Primzahlpotenzen eindeutig festgelegt.
Beweis.
(a) f 6= 0. Sei n ∈ N mit f (n) 6= 0. ⇒ f (n) = f (1n)
ggT(1,n)=1
=
f (1)f (n) ⇒ f (n) = 1, da f (n) 6= 0.
(b) Folgt direkt aus der Multiplikativität.
(1.34) Beispiel (Einige wichtige arithmetische Funktionen).
(a) Sei k ∈ N0 . σk : N → C, n 7→
P
d|n
d∈N
d k , σk :
k-te Teilerfunktion. σ0 (n) = |{d ∈ N | d | n}| Anzahl der positiven Teiler von n, σ1 (n) = Summe der
positiven Teiler von n.
(b) ϕ : N → C, n 7→ |{m ∈ N | 1 ≤ m ≤ n, ggT(m, n) = 1}|, ϕ: Eulersche ϕ-Funktion.
(c) µ : N → C,


falls n = 1,
1,
n 7→ (−1)k , falls n = p1 . . . pk mit pj ∈ P, pi 6= pj für i 6= j,


0,
sonst,
µ: Möbius-Funktion.
(1.35) Definition und Bemerkung.
(a) Sei n ∈ N. d ∈ N mit d | n und d 6= n heißt echter Teiler von n.
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(b) n ∈ N heißt vollkommen, falls n gleich der Summe seiner echten Teiler ist (z.B. n = 6, n = 28). Also: n
vollkommen ⇔ σ1 (n) = 2n.
(c) Definiere σ10 : N → C durch
X
σ10 (n) =
d.
d|n
d∈N,d6=n
Dann gilt also: n vollkommen ⇔ σ10 (n) = n. σ10 ist nicht multiplikativ: σ10 (2) = 1, σ10 (3) = 1, σ10 (6) =
1 + 2 + 3 = 6. σ1 ist multiplikativ (Beweis später). Deshalb ist σ1 zur Untersuchung vollkommener Zahlen
besser geeignet als σ10 .
Im Rest dieses Paragraphen sei mit d | n (für n ∈ N) stets gemeint d | n und d ∈ N.
(1.36) Definition (Der Ring der arithmetischen Funktionen). Wir definieren eine Addition + und eine Multiplikation ∗Pauf A wie folgt: Seien f, g ∈ A. f + g : n 7→ f (n) + g(n) (punktweise Addition von Funktionen),
f ∗ g : n 7→ d|n f (d)g( nd ) (Faltung).
(1.37) Bemerkung. Seien f, g ∈ A multiplikativ. Dann ist auch f ∗ g multiplikativ.
Beweis. Seien m, n ∈ N mit ggT(m, n) = 1. Ist d | mn, dann ist d eindeutig faktorisierbar als d = d1 d2
mit d1 | m und d2P| n (vgl. (1.5)). IstP
umgekehrt
mit d1 | P
m undPd2 | n, dann ist d1 d2 | mn.
P d = d1 d2 m
n
n
m
⇒ (f ∗ g)(mn) =
) =
)
=
f (d)g( mn
f
(d
d
)g(
1
2
d|mn
d
|m
d
|n
d1 |m
d2 |n f (d1 )f (d2 )g( d1 )g( d2 ) =
d
d
d
1
2
1 2
P
P
m
n
d1 |m f (m)g( d1 )
d2 |n f (n)g( d2 ) = (f ∗ g)(m)(f ∗ g)(n).
(1.38) Bemerkung. (a) (A, +, ∗) ist ein kommutativer Ring mit Einselement η, definiert durch
(
1, n = 1,
η(n) =
0, sonst.
(b) f ∈ A ist Einheit (d.h. invertierbar) ⇔ f (1) 6= 0.