II. Ergänzungen zur Aussagenlogik

II. Ergänzungen zur Aussagenlogik
Wiederholung:
1. Übersicht logische Operationen
Name in der Logik
Negation
(Verneinung)
Symbol
Umgangssprachlicher
Ausdruck
¬
Nicht
Konjunktion
^
Und
Disjunktion
v
Oder
Subjunktion
(Implikation)
→
wenn..., dann...
Bijunktion
(Äquivalenz)
↔
genau dann..., wenn...
2. Bemerkungen:
a) Verneinung einer Aussage
Dieser Pilz ist ein Giftpilz. Verneinung: Dieser Pilz ist ein Speisepilz.
b) Allaussagen
Alle Menschen werden 100 Jahr alt. Kein Mensch wird 100 Jahre alt.
Ein Gegenbeispiel genügt, um zu widerlegen!
c)Umgangssprachliches „und“
Petra und Paul heiraten, und Petra wurde schwanger.
Petra wurde schwanger, und Petra und Paul heirateten.
„und“ kann eine zeitliche oder ursächliche Beziehung bezeichnen, von
denen keine kommutativ ist.
1
Markus wurde zornig, und Maria ging.
Maria ging, und Markus wurde zornig.
Verona liegt in Italien, und Valencia liegt in Spanien.
Valencia liegt in Spanien, und Verona liegt in Italien.
„und“ als logisches „oder“
Wir luden Freunde und Kollegen ein.
Definition:
Eine Aussageform heißt allgemeingültig (Tautologie), wenn sie bei
jeder Belegung aller Variablen mit Wahrheitswerten stets in eine
wahre Aussage übergeht.
Beispiele:
Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten:
¬
A
A
A
∨ ¬
A
A
∨ ¬
1
0
1
0
1
1
A
Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch:
¬
(A
∧ ¬
A)
2
A
¬
A
A
∧ ¬
¬
A
(A
∧ ¬
1
0
0
1
0
1
0
1
Gesetz der Identität: A
→
A)
A
A
A
→
1
1
0
1
A
3
III. Naive Mengenlehre
Grundlegendes Teilgebiet der Mathematik; viele Gebiete
(Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik, Topologie)
werden auf der Mengelehre aufgebaut.
Frage:
Gibt es mehr natürliche Zahlen als gerade Zahlen?
Georg Cantor 1877:
Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten
wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens,
welche die Elemente genannt werden, zu einem Ganzen.
Beispiele und Schreibweisen:
Leere Menge
4
Gleichheit:
Gegeben sind zwei Mengen A und B, Teilmengen einer Gesamtmenge
G, heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
Schreibweise: A = B
Aufzählende Schreibweise einer Menge:
Intensionale Schreibweise einer Menge:
Teilmenge:
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element
von A auch Element von B ist.
B heißt Obermenge von A
5
Durchschnitt:
Gegeben sind zwei Mengen A und B, Teilmengen einer Gesamtmenge
G. Der Durchschnitt von A und B ist die Menge der Elemente, die
sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Vereinigungsmenge:
Gegeben sind zwei Mengen A und B, Teilmengen einer Gesamtmenge
G. Die Vereinigungsmenge von A und B ist die Menge von
Elementen, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
6
Komplement einer Menge A:
Das Komplement einer Menge A in Bezug auf eine Gesamtmenge G
ist die Menge aller Elemente von G, die nicht in A liegen.
Potenzmenge einer Menge A:
Die Menge aller Teilmenge einer Menge A heißt die Potenzmenge
von A.
7