Übungen zur Algebra I, Blatt 6

Übungen zur Algebra I, Blatt 6
*-Aufgaben sind Zusatzaufgaben und bringen Bonuspunkte.
Aufgabe 24:
(Punkte: 4+3+5+3*)
n ≥ 1 existiert mit xn =
0. Zeige: Ist x nilpotent, so ist 1 + x invertierbar in S . Angenommen S ist
kommutativ, zeige: Ist x nilpotent und a invertierbar, so ist a + x invertierbar.
Pn
k
Sei nun R ein kommutativer Ring, und sei P =
k=0 ak X ein Polynom in R[X].
Zeige: P ist genau dann nilpotent in R[X], wenn a0 , ..., an nilpotent in R sind.
(i) Ein Element
(ii)
(iii) Zeige:
*(iv)
x
eines Rings
S
heiÿt nilpotent, falls ein
a0 P
invertierbar ist, und wenn
m
k
auÿerdem a1 , ..., an nilpotent sind. Hinweis: Sei Q =
k=0 bk X das Inverse zu
r+1
P . Zeige per Induktion nach r ≥ 0, dass an bm−r = 0 gilt.
P∞
k
Sei f =
k=0 ck X ∈ R[[X]] eine Potenzreihe. Zeige: Ist f nilpotent, so ist ck
nilpotent für alle k ≥ 0.
P
Aufgabe 24:
ist genau dann invertierbar in
(i) Sei
R
Q[[X]]
?
(Punkte: 4+4+4+5*+4*)
ein Ring. Bestimme alle Homomorphismen von Ringen
(ii) Was sind die Automorphismen des Rings
(iii) Zeige, dass
(2, X)
kein Hauptideal von
Z[X]
Z[X]
*(v) Sei
P (x) = 0
R
für alle
f : Z[X] → R.
?
ist.
*(iv) Finde einen unendlichen kommutativen Ring
mit
wenn
(Punkte: 12)
Was sind die Quadrate im Ring
Aufgabe 24:
R[X],
R
und ein Polynom
P 6= 0
in
R[X]
x ∈ R.
ein Integritätsbereich mit endlich vielen Idealen. Zeige, dass
ist.
1
R
ein Körper