Grundbegriffe der Aussagenlogik

Zielrichtungen der Inferenz
Inferenz
und Regeln
gegeben. Was
Es ist Fakten
kann daraus gefolgert werden? Beispiel: Wenn
es regnet, dann ist die Straße naß. Was kann aus
der Tatsache, daß es regnet, gefolgert werden?
Prognosen, logische Ableitungen erstellen
3. Logik
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Können aus den Fakten
und den Regeln
die Hypothesen
hergeleitet werden? Beipiel:
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß. Es regnet. Ist die Straße dann naß?
Hypothesen prüfen
mit Hilfe der Regeln
Wie läßt sich ein Fakt
erklären? Beispiel: Die Straße ist naß. Wie kann
das sein?
Erklärungen finden
3 Logik
Inferenz
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Programmverifikation
automatisches Beweisen
Logikprogrammierung, deduktive Datenbanken
Inferenz in Expertensystemen
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Anwendungsgebiete der Logik in der Wissensverarbeitung:
Herleitung (Inferenz) von neuem Wissen auf Basis der Kalküls.
Repräsentation von Wissen durch Formeln eines
adäquaten Logikkalküls
Gegenstand der Logik:
3. Logik
3. Logik
Qualifikationsproblem
unpräzise Angaben
probabilistische Aussagen und Regeln
räumlich-zeitliches Wissen
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Inferenz
Weitere Aspekte bei der Wissensverarbeitung mit
Logik
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Arten der Inferenz
Inferenz
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Zum Starten eines Autos ist eine aufgeladene
Batterie notwendig. Unser Auto läßt sich nicht
starten. Wir schließen, daß die Batterie leer ist.
Abduktion
Wir haben wiederholt beobachtet, daß ein Auto
nicht startet und die Batterie leer ist. Wir haben
noch nie beobachtet, daß ein Auto mit leerer Batterie gestartet werden konnte. Wir schließen daraus, daß ein Auto, das eine leere Batterie hat,
nicht gestartet werden kann.
Induktion
Zum Starten eines Autos ist eine aufgeladene
Batterie notwendig. Bei unserem Auto ist die Batterie leer. Wir schließen, daß wir unser Auto nicht
starten können.
Deduktion
3. Logik
3. Logik
Aussagenlogik
Signatur
Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems.
Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular,
d.h. eine Menge von Namen, die Dinge der realen Welt beschreiben
können.
Eine derartige Menge von Namen wird als Signatur bezeichnet und
üblicherweise durch gekennzeichnet.
Den Namen ist i.d.R. eine gewisse Stelligkeit zugeordnet.
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3. Logik
78
Aussagenlogik
Aussagenlogische Signatur
Definition 3.1. Eine aussagenlogische Signatur ist eine Menge von
(nullstelligen) Bezeichnern, den Aussagenvariablen.
Beispiel 3.1. Die Menge
"!#$" %&'"!#"()*!,+-%/.120 324"5
ist eine aussagenlogische Signatur, die drei Aussagenvariablen zur
Verfügung stellt.
Im folgenden benutzen wir üblicherweise Großbuchstaben als Aussagenvariablen.
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79
3. Logik
Aussagenlogik
Formeln
Formeln ermöglichen es, Dinge der repräsentierten Welt auszudrücken.
Formeln entsprechen einer gewissen Syntax (sie sind wohlgeformt).
Diese Syntax legt eine Wissensrepräsentationssprache fest.
Formeln sind üblicherweise rekursiv aufgebaut.
Die atomaren Formeln ergeben sich aus der Signatur.
Mit logischen Verknüpfungsoperatoren (den Junktoren) werden aus
atomaren Formeln schrittweise komplexere Formeln aufgebaut.
<;
6
798:
6
@
81
80
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>=
Falls
und
aussagenlogische Formeln sind,
dann sind auch die folgenden Konstrukte aussagenlogische Formeln:
?6
Die Elemente der Menge
sind aussagenlogische Formeln, die sogenannten atomaren Formeln.
Aussagenlogische Formeln
Definition 3.2. Für eine aussagenlogische Signaist die Menge
der aussagenlogitur
schen Formeln wie folgt definiert:
3. Logik
Aussagenlogik
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3. Logik
F
82
F
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>
?@
Bemerkung 3.1. Zur Vereinfachung der Schreibweise verzichten wir i.d.R. auf die Klammerung und
benutzen statt dessen die folgenden Bindungsprioritäten:
.
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
Aussagenlogik
3. Logik
?@ ?@ ?@
E
?
C D B> A > > >
EG
I
DG
CG
AHG
Aussagenlogik
-Interpretation
Die Syntax einer Logik legt ausschließlich deren äußere Form fest,
sie sagt aber nichts über die Bedeutung der Formeln aus.
Benötigt wird eine Verbindung zwischen den syntaktischen Elementen der Logik und den Objekten der zu repräsentierenden Welt.
Diese Verbindung wird durch eine sogenannte
gestellt.
-Interpretation her-
Eine -Interpretation einer Signatur ist die Zuordnung von den Elementen der Signatur (Namen) zu den Elementen der zu repräsentierenden Welt.
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83
Erfüllungsrelation
Aussagenlogik
Wir benötigen eine Ausdehnung der Semantik
.
auf alle Formeln
Die Interpretation liefert uns nur einen Wahrheitswert für die atomaren Formeln.
3. Logik
?6
>=
798:
e
<;
6
J
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eine mögliche Belegung.
84
Beispiel 3.2. Für die Signatur aus Beispiel 3.1 ist
definiert durch
J
85
>[ 6
XZY
S
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?6
S R: S R: = UVR
P P T
^ ^ ^
?
S\9dR
Tc
? ? [ UYb
] <<: ` RY ] <\
7\ [ _ [ : a [ :
S> R > \ U > \ U
J J J
Eine Erfüllungsrelation definiert hierzu im wesentlichen die Semantik der Junktoren.
6
für .
bezeichnet die Menge der Belegungen
T
sie ordnet einer Interpretation und einer Formel
einen Wahrheitswert zu.
S R: G
OQP
E
6NM
JLK
Eine Abbildung
heißt
aussagenlogische Interpretation oder Belegung
für .
=9UVR
Durch solch eine Erfüllungsrelation ist definiert,
ob eine Formel in einer -Interpretation wahr
ist oder nicht, d.h.
bereit.
f^
Dieses stellt uns eine Erfüllungsrelation
Aussagenlogik
eine aussagenlogische
Belegung
Definition 3.3. Es sei
Signatur.
3. Logik
6
WS
?6
>=
G
<;
7 8:
86
?@
?6
D T T T P > = <
>J
;
798:
?@
C T P P P e
>J
?6
?@
>J T P T P > [
XY
?
>J T T P P J e
?
B> J A P T
?
>J T P
?
P^
>J
fJ ^
Für
6
S R:
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6
7 8:
@e
>J
P P T P
gdw.
<;
E
gelte:
Semantik der Aussagenlogik
>=
?@
und
(nichtDefinition 3.4. Es seien
atomare) aussagenlogische Formeln. Durch die folgenden Wahrheitstafel wird eine -Interpretation
von auf die Menge
ausgedehnt:
?6
3. Logik
Aussagenlogik
J
3. Logik
Aussagenlogik
Modell
Definition 3.5. Es seien
so sagen wir
“g
erfüllt
o
gih j%*3klnm
und
o hp qrs"t*klnm . Gilt gvu o
,
” und
bezeichnen
g
als -Modell für
o
.
w qx"yzk{o|m~} j%1klnm bezeichnet die Menge aller -Modelle für o .
Für eine Menge /q)rt*klnm von Formeln gelte gu gdw. gu o
für alle o h . g ist dann ein Modell für die Formelmenge .
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Erfüllbarkeit
Aussagenlogik
?6
>=
7 8:

<;
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Die Begriffe werden in analoger Weise für Formelverwendet.
mengen
falsifizierbar gdw. es eine Interpretation gibt, die
kein Modell für die Formel ist.
allgemeingültig (Tautologie) gdw. jede Interpretation ein Modell für die Formel ist.
unerfüllbar (Kontradiktion) gdw. es kein Modell
für die Formel gibt.
erfüllbar gdw. es ein Modell für die Formel gibt.
heißt
g
Definition 3.6. Eine Formel
Dagegen ist
“Kräht der Hahn auf dem Mist, ändert sich das
Wetter oder es bleibt wie es ist”
Besonders interessant sind Formeln, die für alle Interpretationen wahr bzw. falsch sind.
3. Logik
3. Logik
Aussagenlogik
Modell (2)
Beispiel 3.3. Die Interpretation g aus Beispiel 3.2 ist ein Modell für die
Formel
| "!#$" %&
kein Modell für die Formel
"!#$" %"& -!"()*!,+-% .0 14
Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
88
Semantische Folgerung
Aussagenlogik
>
?6
>=
7 8:

<;
W
*

O G
^

G
C
C
*
C

D
>E
@
@
??

f^
B> A
?@ C
E
>>
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E
91
E
Resolutionsregel
?@
Oder-Introduktion
A
E
?@
@D
>E
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Damit können wir die Erfüllungsrelation
auf
eine Beziehung zwischen Formeln und Formelmengen ausdehnen.
>>
EA
Unser übliches Verständnis von Folgerung läßt
sich so ausdrücken: Ist eine Formel
immer
dann wahr, wenn alle Formeln aus wahr sind,
dann folgt aus .
C
Und-Elimination
?@ C
.
>
Modus Tollens
>
E
?@
entspricht
Modus Ponens
??@
E
Eine solche Menge
der Konjunktion
Tautologie
Beispiel 3.4. Wichtige Tautologien sind:
3. Logik
@
Wir können eine Wissensbasis als eine Menge
betrachten.
In einem wissensbasierten System wollen wir
Fakten aus anderen Fakten und Regeln herleiten.
3. Logik
90
Aussagenlogik
?
92
gdw.
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@
@

f ^
gelte
f ^

G
Für Formelmengen
für alle
gilt.
f ^
Wir sagen auch “ folgt logisch aus
folgt semantisch ”.
.
@
Für eine Formelmenge
gelte
gdw. jedes Modell für auch ein Modell für G ist.
@
In diesem Fall schreiben wir
G
” bzw. “aus
<;
7 8:
@e
G heißt semantische Folgerung von
gdw. jedes Modell für F auch ein Modell für G ist.
aussa-
>=
Definition 3.7. Es seien
genlogische Formeln.
Semantische Folgerung (2)
Aussagenlogik
3. Logik
?6
f ^

@e
@
3. Logik
Aussagenlogik
Semantische Folgerung (3)
Beispiel 3.5. Gegeben sei die Formelmenge

"!#$" %&
Kann aus
die Aussage
u -!"()*#s!+"% .0 1#4

-!"$*%&
-!"() #s!+"% .0 1#4
"!#(" #s!+"% .0 14
gefolgert werden, d.h. gilt
?
Ja! Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
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3. Logik
Aussagenlogik
Semantische Folgerung (4)
Beispiel 3.6. Wir wollen uns ein Haustier anschaffen und machen folgende Überlegungen:
1. Es sollte nur ein Hund ( ), eine Katze ( ) oder ein Hamster (
sein.
)
2. Besitzer wertvoller Möbel ( ) sollten keine Katze anschaffen, da diese die Möbel zerkratzen würde.
3. Ein Hund erfordert ein freistehendes Haus ( o ), damit sich kein Nachbar durch das Bellen gestört fühlt.
Wir vermuten: Für einen Besitzer wertvoller Möbel ohne freistehendes
Haus kommt nur ein Hamster in Frage.
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3. Logik
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Aussagenlogik
Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
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95
3. Logik
Aussagenlogik
Semantische Folgerung (5)
Satz 3.1. Es seien
o
on
aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
ist Tautologie gdw.
zo
ist unerfüllbar.
o u
gdw.
o
ist Tautologie.
o u
gdw.
o ¡
ist unerfüllbar.
Bemerkung 3.2. Die Äquivalenzen können auf Formelmengen
ausgedehnt werden.
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B¢
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