lineare algebra i 6. ¨ubungsblatt

Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
6. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Aufgabe 1. Ermitteln Sie alle komplexen Zahlen a ∈ C, für die der Vektor (1, 1, a) ∈ C3 in der linearen
Hülle L ((1, 0, 1), (1, i, −1)) ⊆ C3 liegt.
Aufgabe 2. Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen des Standardvektorraums C3 Unterräume sind:
(a) U1 = {( x, y, z) ∈ C3 : x + (1 + i )y + z = 0}
(b) U2 = {( x, y, z) ∈ C3 : z = i }
Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen des Standardvektorraums R3 Unterräume sind:
(c) U3 = {( x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0}
(d) U4 = {(s − 1, s + t, t + 1) ∈ R3 : t, s ∈ R }
Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen des Vektorraums C (R ) Unterräume sind:
(e) U5 = { f ∈ C (R ) : f (1) = 14}
(f) U6 = { f ∈ C (R ) : f (1) = f (14)}
Aufgabe 3. Seien U1 , U2 ⊆ V Unterräume eines Vektorraums V. Die Abbildung f : U1 → V/U2 sei definiert
durch f ( x ) = [ x ]∼ = x + U2 für alle x ∈ U1 . Beweisen Sie:
(a) f ist injektiv ⇔ U1 ∩ U2 = {0}.
(b) f ist surjektiv ⇔ U1 + U2 = V.
Aufgabe 4. Sei n ∈ N. Ferner sei K entweder ein unendlicher Körper oder ein endlicher Körper, der
mindestens n Elemente enthält. Angenommen, U1 , U2, . . . , Un seien Unterräume eines K-Vektorraums V
mit der Eigenschaft, dass ihre Vereinigung U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un wiederum ein Unterraum von V ist. Beweisen
Sie, dass es einen Index i mit 1 ≤ i ≤ n gibt, so dass Uj ⊆ Ui für alle j mit 1 ≤ j ≤ n gilt.
Abgabe am Freitag, 2. Dezember 2016, von 11:00 bis 12:00 Uhr in Raum V4-200.
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