Musterlösung 4

29. März 2017
Elektrizitätslehre II
Martin Loeser
Musterlösung 4
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Plattenkondensator
Ein Plattenkondensator bestehe aus zwei parallelen Platten mit Fläche A und Plattenabstand d. Die beiden Platten seien mit der Ladung Q bzw. −Q geladen.
(a) Man bestimme die Kapazität der Anordnung.
C = 0
A
d
(b) Wie gross ist die Stärke des elektrischen Feldes innerhalb des Kondensators.
Q = CU ; U = Ed
Q = CEd = 0
Q
A
Ed ⇒ E =
d
0 A
(c) Wie gross ist die Spannung zwischen den beiden Kondensatorplatten?
U = Ed =
Qd
0 A
(d) Welche Energie ist im Kondensator gespeichert?
1
Q2
W = CU 2 =
2
2C
(e) Wie gross ist die Flächenladungsdichte auf jeder der beiden Platten?
σ=
Q
A
Musterlösung 4 , Elektrizitätslehre II
2
2
Kugelkondensator
Ein Kugelkondensator bestehe aus zwei konzentrischen Metallelektroden mit den
Radien Ri und Ra , wobei Ri < Ra . Die innere Elektrode trage die Ladung Q, die
äussere Elektrode trage die Ladung −Q.
(a) Für 0 < r < ∞ skizziere man den Verlauf des elektrischen Feldes E(r).
Innerhalb der inneren Elektrode ist das Feld 0, weil es sich um einen Leiter
handelt. Ausserhalb der äuszehren Elektrode ist das Feld ebenfalls 0, wie man
mit dem Satz von Gauss leicht zeigen kann. Zwischen den Elektroden gilt (vgl.
letzte Übung)
Q
E(r) =
4π0 r2
(b) Für 0 < r < ∞ skizziere man den Verlauf des elektrischen Potentials φ(r)
Durch Integration (wir wissen E(r) = −Φ0 (r)) erhält man
Φ(r) =
Q
4π0 r
(c) Wie gross ist die Spannung zwischen den beiden Elektroden?
Die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden, und somit gilt
Q
1
1
U=
−
4π0 Ri Ra
(d) Man bestimme die Flächenladungsdichte auf jeder der beiden Platten.
3
σi =
Q
4Ri2 π
σa =
Q
4Ra2 π
Zylinderkondensator
Es soll ein Zylinderkondensator mit Kapazität C = 30 pF dimensioniert werden,
dessen wirksame Länge L = 45 cm beträgt. Der grösste Feldstärke soll Emax =
60 kV/cm bei der Spannung U = 140 kV betragen. Man bestimme die Radien ri und
ra der konzentrischen Zylinderelektroden.
2π0 L
U
U
⇒ Emax =
C = , E(r) =
ra
ra
ln ri
r ln ri
ri ln rrai
Damit haben wir zwei Gleichungen für unsere beiden Unbekannten. Dann gilt
C
2π0 Lri
UC
=
⇒ ri =
= 28.0 mm
Emax
U
2π0 LEmax
Setzt man das in die Gleichung für Emax ein, so findet man
ra = 64.4 mm.
Musterlösung 4 , Elektrizitätslehre II
4
3
Plattenkondensator II – Übung 1
Zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten C1 = 0.1 µF und C2 = 2.2 µF haben beide
die maximal erlaubte Nennspannung UN = 100 V
(a) Welche Gesamtladung nehmen die Kondensatoren auf, wenn sie parallel an der
Nennspannung liegen?
Q = Q1 + Q2 = (C1 + c2 )UN = 230 µAs
(b) An welcher maximalen Spannung dürfen beide Kondensatoren in Serie betrieben
werden?
Serienschaltung: Q1 = Q2 =⇒ C1 U1 = C2 U2 =⇒ U2 =
C1
U1 < U1
C2
Da C2 > C1 fällt über der Kapazität C1 die grössere Spannung ab, und es gilt
U1 = UN . Für die gesamte Spannung gilt dann
U = U1 + U2 = UN +
C1
UN = 104.55 V
C2
Welche Ladung nehmen sie dabei auf?
Ersatzkapazität: C =
C1 C2
= 95.7 nF
C1 + C2
Dann gilt
Q = CU = 10 µC
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EL1, Übung 6.4
Brückenschaltung
Aufgabe 4
Gegeben sei die in Abbildung 1 skizzierte Brückenschaltung. Man bestimme einen
Gegeben sei folgende Brückenschaltung mit den gegebenen Grössen Uq , C und ∆C:
C–∆C
Uq
C+∆C
U
C+∆C
C–∆C
a) Bestimmen
Sie formal diebestehend
Spannung U
in 4Funktion
der gegebenen Grössen.
Abbildung
1: Brückenschaltung,
aus
Kondensatoren.
b) Ist der Zusammenhang zwischen ∆C und U linear?
analytischen Ausdruck für die Spannung U als Funktion der gegebenen Grössen. Ist
Aufgabe
5
der Zusammenhang
zwischen
U und ∆C linear?
Wir haben zweiGegeben
Serienschaltungen
von Kondensatoren
ist folgende Schaltung
mit den gegebenen Grössen Uq , C1 und C2 :
C1
C − ∆C
S 2U
1
U0S=
0
C1 + C2
2C
Q1
C2
Uq
C1
C2
U2 =
U2
Die Kondensatoren sind anfänglich ungeladen und die beiden Schalter offen.
a) Bestimmen Sie die Ladung Q1 und die Spannung U2 in Funktion der gegebenen Grössen, w
erstes der Schalter S geschlossen und wieder geöffnet wird, danach der Schalter S geschlossen
Musterlösung 4 , Elektrizitätslehre II
U4 =
4
C + ∆C
C3
U0 =
U0
C3 + C4
2C
U = U2 − U4 =
Dieser Zusammenhang ist linear.
2∆C
∆C
U0 =
U0
2C
C