Funktionale Zusammenhänge und Analysis

Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
4.3.1 Musteraufgabe zu Cluster 1
Bautechnik, Holztechnik & Innenraumgestaltung
Kabelverlauf
Die folgende Skizze zeigt die Golden Gate Bridge, deren Kabelverlauf an den Außenseiten durch zwei
Geraden und in der Mitte durch eine Parabel annähernd beschrieben werden kann. Weiters ist
bekannt, dass bei Hochwasser die maximale Durchfahrtshöhe für Schiffe 67 m beträgt. Diese
Situation ist in der Abbildung dargestellt.
Abb C1.1
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der Parabel einerseits und die der Geraden andererseits
unter der Annahme eines symmetrischen Brückenverlaufs!
Hinweis: Der Ursprung des Koordinatensystems kann beliebig gewählt werden.
(B1_3-A,B)
b) Wenn man den Ursprung des Koordinatensystems unterschiedlich annimmt, kommt man zu
unterschiedlichen Funktionsgleichungen der Parabel. Erklären Sie, ob sich dadurch auch die
Bogenlänge der Parabel ändert.
(B1_3-D)
c) Berechnen Sie die gesamte Kabellänge einer
anderen ähnlichen Hängebrücke, wenn
bekannt ist, dass die Parabel durch die
Funktionsgleichung
und die Geraden durch die
Funktionsgleichungen
g1: - 250x + 264.11y = 100 000 und
Abb C1.2
g2: 250x + 264.11y = 250 000 beschrieben werden können!
Hinweis: Die Kabel werden auf beiden Seiten der Fahrbahn geführt.
(B1_4-B)
d) Alle fünf Jahre müssen die Kabel erneuert werden. Aus diesem Grund wird nun im Zuge von
Wartungsarbeiten das Kabel mit einer Gesamtlänge von 8 000m ausgetauscht. Das Kabel weist
einen Durchmesser von 92 Zentimeter auf. Es besteht aus Stahl mit einer Dichte von ρ = 7.8
g/cm³.
Berechnen Sie die Masse in kg. Das Ergebnis muss in Gleitkommadarstellung und mit zwei
Nachkommastellen angegeben werden!
(B1_1-B)
1
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
Lösung:
a) Die Schüler müssen selbstständig durch geeignete Wahl eines entsprechenden
Koordinatensystems die Funktionsgleichung der Parabel einerseits und die Funktionsgleichungen
der beiden Geraden andererseits berechnen.
Das Koordinatensystem wird beispielsweise so gelegt, dass der Ursprung im Punkt
A(0 | 0) liegt.
Somit können aus dem Koordinatensystem folgende drei Punkte für die Berechnung der
Parabelgleichung herausgelesen werden: A(0|0), (640 | - 163), (1 280 | 0).
Berechnung des y-Wertes des Punktes (640|-163): Der gesamte Brückenpfeiler besitzt eine Höhe
von 230 m und von diesem wird die maximale Durchfahrtshöhe von 67m subtrahiert. Dies ergibt
einen Wert von 163 m. Da der Koordinatenursprung in A liegt, ergibt sich für den y-Wert - 163.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion 2. Grades lautet:
Berechnung der linearen Funktion mit den Punkten A(0 | 0) und (- 345 | - 163):
Da die beiden linearen Funktionen sich nur dadurch unterscheiden, dass die eine der beiden
Geraden steigend ist und die andere eine fallende Gerade ist, unterscheiden sich die Steigungen
der Geraden nur im Vorzeichen:
Das angegebene Koordinatensystem ist nur eine mögliche Variante um die Funktionsgleichungen
zu ermitteln, alle anderen Varianten sind genauso als richtig zu werten.
b) Die Bogenlänge der Parabel ist unabhängig von der Lage im Koordinatensystem.
die relative Lage der Punkte zueinander ändert sich nicht.
2
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
c) Berechnung der Bogenlänge entsprechend der Beziehung:
.
Zum besseren Verständnis wird eine Skizze erstellt:
Abb V.C1.1
Man berechne zuerst die Schnittpunkte der Parabel mit den Geraden:
Man bilde die erste Ableitung der Parabelfunktion:
Man berechne mit Hilfe von Technologie:
Die beiden Geraden werden durch eine waagrechte Tangente im Punkt H begrenzt. Der Scheitelpunkt
der Parabel ist eine Extremwertstelle H. Um die Koordinaten zu ermitteln, wird die erste Ableitung
Parabel-Funktionsgleichung Null gesetzt:
Die Gleichung der waagrechten Tangente lautet: h(x)= -225
Man schneidet die Funktionen:
und erhält x = - 637.699 bzw. x = 1237.699.
Man berechne nun wieder mit Technologie:
Gesamtlänge des Kabels:
Da Kabel sowohl links als auch rechts der Fahrbahn verlaufen, muss das Ergebnis mit zwei
multipliziert werden.
3
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
d)
Kabelmasse:
4
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
4.3.2 Musteraufgabe zu Cluster 2: Elektrotechnik, Elektronik, Medizintechnik
Sprungantwort
R
u(t)
U0
L
ue(t)
C
uc(t)
t
Abb C2.1: Schwingkreis
Erklärung der Abkürzungen:
Uo… angelegte Spannung
ue…Eingangsspannung, uc...Spannungsabfall am Kondensator
Es soll das Verhalten eines Serienschwingkreises (siehe Skizzen Abb.IV.C2) beim Anlegen einer
Gleichspannung zum Zeitpunkt t = 0 (Einschaltvorgang) untersucht werden:
a) Zeigen Sie, dass Sie über das Aufstellen der Differentialgleichung für uc(t) nach Umformung
folgende Differentialgleichung erhalten können.
(B2_4-A,B)
d 2 u c R du c
1
1
+ 
+
 uc =
 ue
2
dt
L dt L  C
LC
b) An den Eingang wird eine Gleichspannung ue = U0 = 50 V gelegt. Berechnen Sie den zeitlichen
Verlauf für uc(t) und i(t), indem Sie die obige Differentialgleichung für die folgenden
Parameter lösen:
L = 0.5 H, C = 10 µF, R = 600 Ω
Zum Zeitpunkt 0 ist das System energielos mit uc(0) = 0 und uc‘(0) = 0.
Stellen Sie die Verläufe der beiden Funktionen uc(t) und i(t) graphisch dar.
Hinweis: Sie können die Differentialgleichung im Zeitbereich oder mit Hilfe der LaplaceTransformation lösen.
(B2_4-B)
c) Bezüglich des Einschaltvorganges können im Wesentlichen drei Fälle unterschieden werden.
Nehmen Sie den Widerstand als veränderlich an und geben Sie bei sonst gleichen Werten für
L und C wie in Aufgabenteil b) drei verschiedene Werte für den Widerstand R an, welche die
einzelnen Fälle charakterisieren.
Begründen Sie die Wahl Ihrer Werte und skizzieren Sie die unterschiedlichen
Spannungsverläufe.
(B2_4-B,D)
5
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
Lösung
Teil a) Ausgangspunkt: uR  uL  uC  ue (mit der Eingangsspannung ue = u(t) )
Gemäß den Grundlagen aus der Elektrotechnik gelten folgende Beziehungen:
du
di
du
uR  R  i mit i  C c ; uL  L   L  C  c
dt
dt
dt
Durch Einsetzen in die obige Gleichung ergibt sich:
d 2uc R duc
1
1
 

 uc 
 ue
2
dt
L dt L  C
L C
Nach Division durch L.C und Umordnen folgt schließlich:
d 2uc R duc
1
1
 

 uc 
u
2
L dt L  C
L C e
dt
Teil b) Hier wird nur die Lösung über die Differentialgleichung im Zeitbereich gezeigt. Die Lösung mit Hilfe
der Laplacetransformation kann natürlich auch mit Hilfe geeigneter Software erfolgen.
Zunächst die Lösung der homogenen Gleichung:
Über den Lösungsansatz e t erhält man die charakteristische Gleichung:
R
1
2    
 0 mit der Lösung: 1  200 und 2  1000
L
LC
Es liegt der Fall einer aperiodischen Lösungsfunktion vor.
 uc,h  C1  e1t  C2  e2 t  C1  e200t  C2  e1000t
Die partikuläre Lösung erhält man am einfachsten über den speziellen Ansatz
uc, p  K
Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung erhält man: uc, p  U 0
Daher ergibt sich die Gesamtlösung zu:
uc (t )  uc ,h  uc , p  C1  e1t  C2  e 2 t  U 0
 C1  e 200t  C2  e 1000t  U 0
Zur Ermittlung der Konstanten C1 und C2 werden die Anfangsbedingungen verwendet.
Zum Einsetzen der beiden Anfangsbedingungen benötigt man jedoch noch die 1. Ableitung dieser
Funktion (diese wird auch noch später zum Zeichnen der Stromkurve benötigt):
uc (t )   200  C1  e 200t  1000  C2  e 1000t
Das Einsetzen der Anfangsbedingungen führt also zum Gleichungssystem
uc (0)  0
uc (0)  0
mit den Lösungen:
C1 = - 61.5
C2 = 12.5
Damit kann nun uc ( t ) und i (t )  C 
duc
gezeichnet werden (→ Abb V.C2.1 und Abb V.C2.2)
dt
6
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
Abb V.C2.1
Abb V.C2.2
Teil c) Die drei Lösungsfälle ergeben sich aus den Lösungsfällen der „charakteristischen Gleichung“
(deswegen heisst diese auch so). Der „aperiodische Grenzfall“ liegt vor, wenn die charakteristische
Gleichung nur eine Lösung liefert. Daher muss diese zunächst allgemein berechnet werden.
Man erhält:
R
1
R
R 2
1
 
 0  1,2  
 
  LC
L
LC
2L
 2L 
Für den aperiodischen Grenzfall muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich 0 werden. Dies ist
L
der Fall für Raperiodisch  2
 447.214 
C
Für R > Raperiodisch (beispielsweise R = 800 Ω) liegt (so wie im Aufgabenteil a) mit R = 600 Ω) eine
„aperiodische Lösung“ vor (weil 1 und 2 reell und negativ sind und daher die Lösung der
homogenen Gleichung eine Summe von 2 Exponentialfunktionen mit negativem Exponenten
darstellt).
2 
Für R < Raperiodisch (beispielsweise R = 100 Ω) liegt der sogenannte „Schwingungsfall“ vor (weil 1 und
2 konjugiert komplex sind und daher die Lösung der homogenen Gleichung zu einer gedämpften
Schwingung führt).
In allen Fällen ist jedoch die partikuläre Lösung die gleiche, nämlich uc, p  U 0 . Die partikuläre Lösung
beschreibt den stationären Zustand für t → ∞. Daher streben die Grafen von uc(t) in allen drei Fällen
gegen U0 = 50V.
Auf Grund der gegebenen Anfangsbedingungen starten aber alle Funktionsverläufe im Punkt (0|0).
Daher kann man etwa folgende Abbildung (ungefähr) skizzieren oder auch mit Technologie
berechnen.
7
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
4.3.3 Musteraufgabe zu Cluster 3, Maschineningenieurwesen, Mechatronik,
Werkstoffingenieurwesen, Wirtschaftsingenieur
Bewegungsvorgang
In einer Versuchsanstalt für Motoren wurde (vereinfacht) folgendes Beschleunigungsprofil einer
Bewegung beschrieben und aufgezeichnet:
Während der ersten 3 Sekunden ist die Beschleunigung 3 m/s². Danach nimmt die Beschleunigung
während weiterer 7 Sekunden linear auf 5 m/s² zu um dann während der nächsten 6 Sekunden linear
bis 1m/s² abzunehmen.
a) Übertragen Sie den Text in eine passende grafische Darstellung, d. h. in ein
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a-v-Diagramm)
(B3_3-A)
b) Ein anderer Prüfstand liefert folgendes Beschleunigungsprofil:
Abb C3.1: Bewegungsprofil
Lesen Sie aus der grafischen Darstellung, unter Benützung der Maßzahl der Fläche unter der
Kurve, den Wert der Endgeschwindigkeit ab, wobei die Anfangsgeschwindigkeit mit
0 m/s angenommen wird.
(B3_3-C)
c) Zur grafischen Darstellung des Geschwindigkeitsverlaufs sind drei Funktionsgleichungen zu
ermitteln mit t in Sekunden, nämlich:
v1(t) im Zeitintervall [0 | 4]
v2(t) im Zeitintervall (4 | 10]
v3(t) im Zeitintervall (10 | 16]
Stellen Sie diese drei Funktionen in einem v-t -Diagramm grafisch dar.
(B3_3-A,B)
d) Zeigen Sie, dass der Übergang von v1 auf v2 im v-t-Diagramm knickfrei erfolgt, d.h. gleiche
Tangentensteigungen und Funktionswerte hat.
(B3_3-D)
e) Berechnen Sie mit Hilfe der Integralrechnung den zurückgelegten Weg während des gesamten
Beschleunigungsvorganges, wenn vorausgesetzt wird, dass zum Zeitpunkt
t = 0 der zurückgelegte Weg 0 ist.
(B3_4-B)
f)
Zeichnen Sie die Weg-Zeit Funktion für den gesamten Vorgang in ein geeignetes
Koordinatensystem.
8
( B3_3-B)
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
Lösung:
a)
Abb V.C3.1
b) Die Einzelflächen lassen sich direkt aus der Skizze berechnen ( v  a  t )
A1 = 0.5  2  4 = 4
A2 = 2  (10 – 4) = 12
A3 = 0.5  (16 – 10)  2 = 6
vE = A1 + A2 + A3 = 22
vE = 22 m/s
c) Zur Bestimmung der Funktionsgleichungen ist die Integralrechnung am besten geeignet. Für das
Intervall [0 | 4] gilt:
a1 (t ) 
2
t2
t2
 t  v1 (t )  a1 (t )dt 
 C1 da v1 (0)  0 erhält man C1  0  v1 (t ) 
4
4
4

Für das Intervall (4 | 10] gilt:

a 2 (t )  2  v 2 (t )  a 2 (t )dt  2  t  C 2 da v 2 (4)  4 erhält man C 2  4  v 2 (t )  2  t  4
Für das Intervall (10 | 16] gilt:
a 3 (t)  
2
16
t 2 16
62
t 
 v 3 ( t )  a 3 ( t )dt  
  t  C 3 da v 3 (10)  16 erhält man C 3  
6
3
6
3
3

t 2 16
62
 t 
6
3
3
Bemerkung: man kann die Endgeschwindigkeit vE auch berechnen, indem man v3(16) bildet.
 v 3 (t)  
Die grafische Darstellung von v(t) stückweise zusammengesetzt aus v1(t), v2(t) und v3(t)
1 2
v ( t) 
4
t
if 0  t  4
2 t  4 if 4  t  10
1 2 16
62
t 
t 
otherwise
6
3
3
9
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
v(t) hat folgendes Aussehen
30
v in m/s
20
v( t )
10
t in s
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t
Abb V.C3.2
dv ( t )
d) Da a ( t ) 
kann man a(t) als Steigungsfunktion der Funktion v(t) deuten.
dt
Da im a-t – Diagramm an den Übergangsstellen gleiche Beschleunigungswerte auftreten, müssen
die Steigungen der Tangenten übereinstimmen.
(Die Funktionswerte sind aufgrund der Berechnung von C2 identisch, da C2 gerade so gewählt
wurde, damit diese übereinstimmen)
16
4
10
16
0
0
4
10
e) s   v( t )dt   v1 ( t )dt   v 2 ( t )dt   v3( t )dt  185 .3
Der zurückgelegte Weg beträgt 185.3 m
f) Durch Integration der drei Abschnitte der v-Funktionen erhält man mit den entsprechenden
Randbedingungen die drei Abschnitte der Weg-Funktionen.

s1 (t )  v1 (t )dt 
t3
t3
 C 4 da s1 (0)  0 gilt C 4  0  s1 (t ) 
12
12

s 2 (t )  v 2 (t )dt  t 2  4  t  C5 da s 2 (4) 

s 3 ( t )  v 3 ( t )dt  
16
16
16
gilt C5   s 2 (t )  t 2  4  t 
3
3
3
t 3 8  t 2 62  t
196
548


 C 6 da s 3 (10) 
gilt C 6 
18
3
3
3
9
t 3 8  t 2 62  t 548



18
3
3
9
Bemerkung: man kann den Gesamtweg s auch berechnen, indem man s3(16) bildet.
 s 3 (t )  
Die grafische Darstellung von s(t) stückweise zusammengesetzt aus s1(t), s2(t) und s3(t)
10
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
s ( t) 
1 3
 t if 0  t  4
12
2
t  4 t 
16
3
if 4  t  10
1 3 8 2 62
548
t  t 
t 
otherwise
18
3
3
9
s(t) hat folgendes Aussehen:
200
s in m
150
s( t)
100
50
t in s
0
4
8
12
t
Abb V.C3.3
11
16
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
4.3.4 Musteraufgabe zu Cluster 4, Informationstechnologie, Elektronische Datenverarbeitung und
Organisation, Informatik
Beschränktes Wachstum
Das soziale Internet-Netzwerk Facebook hat große Bedeutung für die weltweite Kommunikation
erlangt.
a) Zu Beginn des Jahres 2010 gab es in Österreich ca. 1.5 Millionen Facebook-User. Ein Jahr später
waren es 2.2 Millionen Österreicher, die auf Facebook registriert waren.
Gehen Sie von einer in den nächsten Jahren gleichbleibenden Zahl von ca. 6 500 000
Internetusern in Österreich aus.
Verwenden Sie folgende Bezeichnungen und Daten:
t……… Jahre seit dem Jahr 2010
F(t)….. Anzahl der Facebook-User zum Zeitpunkt t in Millionen
Die Betreiber von Facebook möchten eine langfristige Prognose über die weitere Entwicklung der
Anzahl der Facebook-User in Österreich aufstellen. Ihre Untersuchungen haben ergeben, dass
die Zuwachsrate
dF
in den letzten Jahren stets proportional zur Anzahl jener Internetuser in
dt
Österreich war, die noch nicht auf Facebook registriert waren. Man geht davon aus, dass sich
dieser Trend auch in den nächsten Jahren nicht ändern wird.
Geben Sie jene Differentialgleichung an, die dieses Wachstum beschreibt, und lösen Sie diese
unter Angabe der einzelnen Rechenschritte.
(B4_4-A,B)
b) Auch für Deutschland wurde eine ähnliche Studie gemacht. Man erhielt folgende
Funktionsgleichung:
F (t )  50  39  e0.1978257t Bezeichnungen wie in Aufgabe a)
Berechnen Sie, wann dieser Prognose zufolge erstmals 30 Millionen deutsche Internetuser auf
Facebook registriert sein werden.
(B4_2-B)
c) In einem Dorf mit nur 500 Internetusern gelten andere Gesetze. Zu Beginn einer
Marktforschungsstudie war in diesem Dorf niemand auf Facebook registriert. Daraufhin startete
Facebook eine Werbekampagne und geht von folgender Annahme aus:
N ( w) 
300 w
2 w  25
w …………Betrag der eingesetzten Werbemittel in Euro ( w  0 )
N ( w) …. Anzahl der Facebook User in Abhängigkeit von den eingesetzten Werbemitteln
Berechnen Sie den lim N ( w) und interpretieren Sie dieses Ergebnis.
w
12
(B4_4-B,C)
Testaufgaben Teil B, Cluster 1-5, HTL
Lösung:
dF
ist proportional zur noch verbleibenden Menge an Internetusern, die
dt
noch nicht auf Facebook registriert sind, nämlich 6.5  F . Daher setzt man folgende
dF
 k   6.5  F 
Differentialgleichung an:
dt
a) Die Änderungsrate
Die Trennung der Variablen liefert:
dF
 k  dt
6.5  F
1
 6.5  F dF   k dt
ln 6.5  F  k  t  c
6.5  F  c  ek t
F (t )  6.5  c  ek t
Um die Parameter c und k zu bestimmen setzt man
die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung ein:
F (0)  1.5  6.5  c  c  5
F (1)  2.2  6.5  5  ek
4.3  5ek
4.3 k
4.3 
 e  ln 
  k  0.1508228897
5
 5 
Somit lautet die Funktionsgleichung, mit der man die Anzahl der Facebook User in Österreich
berechnen kann:
F (t )  6.5  5  e0.1508228897t
b) In Deutschland beschreibt folgende Gleichung die Anzahl der Facebook User:
F (t )  50  39  e0.1978257t
Wir setzen 30 für F (t ) ein und lösen nach t auf: 30  50  39  e
0.1978257t
20  39  e0.1978257t
20 0.1978257t
e
39
 20 
ln    0.1978257  t
 39 
t  3.38
Im Jahr 2013 wird es in Deutschland erstmals 30 Millionen Facebook User geben.
c)
300w
300
300
 lim

 150
w 2 w  25
w
25
2
2
w
lim
Im Zähler und im Nenner ist die höchste Potenz der Variable gleich  Limes ist der Quotient der
Koeffizienten der höchsten Potenzen
Das bedeutet, dass sich – egal wie viele Euro man investiert (auch wenn man unendlich große
Summen Geld in die Hand nimmt) – höchstens 150 Internetuser in diesem Dorf auf Facebook
registrieren werden.
13