Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK Funktionale Zusammenhänge
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Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK Funktionale Zusammenhänge, Analysis RE 1 Finanzierungsplan Die Großeltern zahlen vom ersten Geburtstag bis zum achtzehnten Geburtstag für Karin je € 500,auf ein mit 2,5% p.a. verzinstes Sparbuch ein. a) Transferieren Sie diese Situationsbeschreibung für die ersten 9 Jahre in einen Funktionsgraphen . 3.2 A b) Berechnen Sie den von den Großeltern angesparten Betrag. B8 -3.2 B c) Von diesem Sparbuch, das weiterhin mit 2,5%p.a. verzinst wird, kann Karin ab ihrem 18. Geburtstag monatlich vorschüssig abheben. Karin hat allerdings genau zu ihrem 18. Geburtstag so viel verbraucht, dass ihr nur mehr € 9.995,- zur Verfügung stehen. Berechnen Sie wie viele Monate Karin über den monatlichen Betrag von € 200,- verfügen kann. B8-3.2 B d) Erstellen Sie einen passenden Text zu folgender Zeitlinie B8-3.4 A Barwert , Present Value = PV=100.000,- R1 R1 R1 R2 R2 R2 R2 R2 10 Jahre Möglicher Lösungsweg a) FV = Endwert = Final Value mit geometrischen Reihen erstellen. FV = 20 000 ( 1,025 n -1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 500 1012,5 1537,8 2076,3 2628,2 3193,9 3773,7 4368,1 4977,3 b) GTR tmv-Solver: Sie sparen 11 193 Euro Einzahlung 1 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK I= n= PMT FV= 2,50% Prozent p.a 18 Jahre -500 =R=Rente 11193,17 Endwert c) GTR tmv-Solver Sie kann fast 52 Monate den Betrag von 200 abheben und einen Restbetrag im zusätzlich bei der letzten Auszahlung. Auszahlung I= n= PMT P/Y C/Y PV= 2,50% 52,7 -200 12 1 9995 Prozent p.a Monate =R=Rente Barwert d) Jemand hat einen angesparten Betrag von 100 000 € auf dem Konto. Er hebt zunächst 3 Jahre lang den Betrag R1 jeweils zu Beginn des Jahres ab. Ab dem 6. Jahr hebt er regelmäßig 5 Jahre lang zu Ende jeden Jahres den Betrag R'2 ab. 2 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK KR-1 Kredit für einen Traktor Der Landwirt Andreas K. kauft einen Traktor und nimmt dazu einen Kredit in der Höhe von 60 000 Euro zu einem Zinssatz von 4 % p.a. auf. Er kann sich zwischen unterschiedlichen Rückzahlungsvarianten entscheiden. (Verwenden Sie äquivalente Zinssätze für die unterjährigen Renten!) a)1. Angebot: Er beginnt erst zwei Jahren nach Aufnahme des Kredites mit einer Rückzahlung von 10 000 Euro. Weitere 3 Jahre später zahlt er 15 000 Euro und nach weiteren 3 Jahren zahlt er noch 20 000 Euro. Die restliche verbleibende Schuld kann er am Ende des 10. Jahres abzahlen. Erstellen Sie eine genaue Zeitlinie für den Fall, dass er 10 Jahre nach Aufnahme des Kredits die Schuld zur Gänze getilgt haben möchte. B8_3.3 A b) Wenn der Landwirt seine Zahlungen getätigt hat, so macht dies unter Berücksichtigung der Verzinsung am Ende des 8. Jahres einen Rückzahlungsbetrag von 49 526,15 € aus. Berechnen Sie die Restzahlung am Ende des 10. Jahres. B8_3. 2B c) 2. Angebot: Er könnte innerhalb von 10 Jahren die Schuld in nachschüssigen Vierteljahresraten zurückzahlen. Berechnen Sie die vierteljährigen Raten dieser Zahlungsvariante. B8_3. 2B d) 3. Angebot: Man bietet ihm eine Tilgung in nachschüssigen Monatsraten von 605,44 Euro mit einer Laufzeit von 10 Jahren. Argumentieren Sie die Zinslast (Unterschied zur Barzahlung) und gehen Sie der Frage nach, ob man den Betrag der von der Bank zur Schuldtilgung berechneten Monatsrate kennen muss, um diese Zinslast zu bestimmen. B8_ 3. 2D Möglicher Lösungsweg mit GTR evt. auch APPS Finance a) b) Jährlicher Aufzinsungsfaktor 1,04 Rückzahlungen haben nach 10 Jahren ca 53567,48 Euro an Wert = 49 526,15 1,042 R = 35 247,17 € (= 60 0001,04 10 - 53567,48) c) viertelj. äquiv Zinssatz 1,04 1/4 = 1,009853 Der zu viertelj. Betrag mit äq. Zinssatz: 1822,25€ d) Insgesamt zahlt man 88 815,58 €, der Nachteil beträgt rund 28 816 €. Man muss die Monatsrate nicht kennen, aber den Jahreszinssatz zB 4 %. Bei äquivalenter Verzinsung muss daher der Ausdruck Schuld 1,0410- Schuld die Zinslast in den 10 Jahren ebenfalls ausdrücken, wie die Aufsummierung aller ns. verzinsten Monatsraten. 3 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK WIMA 1 Wirtschaftmathematische Untersuchung Ein mittelgroßer Betrieb hat errechnet, dass sich seine Fixkosten für die Produktion eines bestimmten Produktes auf 6 500 Euro belaufen und dass die variablen Kosten sich durch die Funktion Kv(x) = 0,027x³ - 2,75x² + 179x beschreiben lassen. Aufgrund einer Marktuntersuchung lässt sich die Absatzmenge für dieses Produkt in Abhängigkeit vom Preis in der Form x(p) 5p 900 darstellen. 2 (x steht für die Anzahl der produzierten bzw. verkauften Mengeneinheiten ME.) a) Modellieren Sie aus diesen Informationen die Gewinnfunktion des Betriebes. B8_4.1 A b) Interpretieren Sie die Graphik der vorgegebenen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion bezüglich der Gewinngrenzen und des maximalen Gewinns. B8-4.4 C K(x) E(x) G(x) c) Berechnen Sie das Betriebsoptimum mit Hilfe der Differentialrechnung. Fixkosten: 6500 Euro, variable Kosten Kv(x) = 0,027x³-2,75x²+179x B8_4.5 B d) Erklären Sie anhand eine Skizze, was man unter der Sättigungsmenge versteht, wie sie berechnet werden kann und welchen Einfluss die Preisgestaltung auf die Sättigungsmenge hat. B8_4.1D 4 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK Möglicher Lösungsweg a) Umkehrfunktion von x(p) p(x) = - 2x + 360 5 2x² + 360x - 0,027x³ + 2,75x² - 179x -6500 5 G(x) = -0,027x³ +2,35 x² + 181 x – 6500 G(x) = p(x)x - K(x) = - b) Gewinngrenzen sind die Nullstellen der Gewinnfunktion bzw. die Schnittpunkte der Kosten- und Erlösfunktion Break-even point bei 30 ME, es ist jener Punkt ab dem Gewinn zu erwarten ist. die obere Gewinnschwelle liegt laut Grafik bei ca. 125 ME. Den maximalen Gewinn erreicht man mit dem Verkauf von ca 85 ME, er Beträgt für dieses Produkt ungefähr 10 000€ (Genaue Berechnung mit Technologie: - nicht gefordert! Geogebra: Break even bei 28,73 ME, obere Gewinngrenze bei 125,22 ME, Maximum bei 84,48 ME Gewinnmaximum beträgt 9283,61 Euro) c) Betriebsoptimum K/x = 0,027x²-2,75x+179 + 6500/x (K/x)'=0,054x – 2,75 -6500/x² = 0 Solver Minimum x = 73,32 ME…Betriebsoptimum d) Die Sättigungsmenge entspricht der Nullpreis-Menge p = 0 xs = 900 ME . "Der Markt ist gesättigt", es besteht kein Interesse an diesem Verkaufsartikel. Bei einem höher gesetzten Preis desselben Produkts wird die Nachfragemenge generell geringer sein. Die Nachfragefunktion beginnt bei einem niedrigeren Ordinatenabschnitt und verläuft weniger steil. Die Marktsättigung tritt bei einem höheren Preis i.A. früher ein, das bedeutet, wenn der Preis zunimmt, nimmt die Sättigungsmenge ab. 5 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK WIMA 2 MP3-Player Ein Elektrohändler verkaufte im vergangenen Geschäftsjahr 200 MP3-Player zu einem Preis von € 60,- pro Stück. a) Stellen Sie die lineare Erlösfunktion für die verkauften MP3-Player im vergangenen Geschäftsjahr grafisch dar. B8_4.3 A b) Ein Konkurrenzbetrieb hat für dasselbe Modell den Preis auf € 59,- reduziert und konnte 202 Stück absetzten. Hätte er den Preis nochmals um einen Euro reduziert, so hätte er 204 MP3Player verkauft. Welcher Erlös entspricht diesem Text? Kreuzen Sie richtig an, und begründen Sie Ihre Auswahl. o o o o E(a) (60 2a)(200 a) E(a) (60 a)(200 2a) E(a) (60 a)(200 2a) E(a) (60 2a)(200 a) B8_4.7 D c) Berechnen Sie die Gleichung der quadratischen Kostenfunktion K(x) = ax² + c, wenn das Betriebsoptimum bei 300 Stück MP3-Player liegt und die Fixkosten 6 000 € betragen. B8_4.5 B Möglicher Lösungsweg: a) E(X) = 60x b) o x o o E(a) (60 2a)(200 a) E(a) (60 a)(200 2a) E(a) (60 a)(200 2a) E(a) (60 2a)(200 a) Begründung: a ist die Reduktion des Preises. p = 60 -a Das Doppelte kommt zu 200 dazu und ergibt die Zahl der verkauften Stück. x = 200 +2a und E = px. c) K/x = ax + c/x (K/x)' = a – c/ x² = 0 (min) x² = c/a und x = (c/a)1/2 = 300 c/ a = 90000, c= 6000 a = 1/15 K(x) = x²/15 + 6000 6 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK WIMA 3 Produktion von Schnittblumen Eine Gärtnerei vermutet, dass die Gesamtkosten für den Anbau von Rosen als Schnittblumen für Sträuße folgender Funktionsgraphik entsprechen: x Zahl der Schnittblumen in Mengeneinheiten ME, K(x) Gesamtkosten in Geldeinheiten GE.: Abb1: a) Argumentieren Sie, ob die gegebene Kostenfunktion (Abb1) die Bedingungen erfüllt, dass sie für alle Produktionsmengen positiv, streng monoton steigend und mit Angabe der Fixkosten versehen ist. B8_ 4.3 D b) Interpretieren Sie den Verlauf der Kostenfunktion in Bezug auf Extremum, Wendepunkt und Krümmungsverhalten. (Schätzen Sie die Werte aus der Grafik). B8_4.3C c) Es sind auf der Kurve vier Punkte geben. Berechnen Sie die Funktionsgleichung 3. Grades: K(x) = ax³ + bx² + cx + d durch die Punkte 3.5 B d) Für den Anbau von Nelken als Schnittblumen kann für die Kostenfunktion die folgende Funktionsgleichung als gute Näherung gelten: K(x) = 0,0037x³ - 0, 26 x² + 6,5 x + 35 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für die Nelken. B8_4.5 B Möglicher Lösungsweg a) Die Funktionswerte K(x) sind für alle Produktionsmengen x>0 positiv. Der Anstieg der Kurve ist durchwegs positiv, es gilt K(x+Δx) > K(x) für alle x>0, daher streng monoton steigend. 7 Testaufgaben Teil B , Cluster 8, HAK Die Fixkosten K(x = 0 ) = 40 GE sind gegeben. Diese Kurve eignet sich demnach als Beschreibung für die Gesamtkosten einer Produktion. b) Die Kurve hat an keiner Stelle eine waagrechte Tangente, daher hat sie auch kein Extremum. Der Wendepunkt liegt bei ca. 20 ME. Ab diesem Punkt ändert sich das Krümmungsverhalten (rechtsgekrümmt = negativ = degressiv geht in linksgekrümmt = positiv = progressiv) c) Am einfachsten über Regression Polynom 3 mit EXCEL: K(x) = 0,0047x3 - 0,2787x2 + 7,5609x + 40 0 10 30 40 40 92,403 141,901 194,948 d) Mit CAS-Rechner: Eingabe der Funktionsgleichung K(x) / x Minumum: 38.35/2,88 Das bedeutet, dass der Anbau von 39 Stück am kostengünstigsten ist und die Preisuntergrenze pro ME Nelken ca. 2,9 GE beträgt. 8
