Für ein Unternehmen gilt: K(x) = 75x +500 und eine Preis

FOS 12
Klassenarbeit Mathematik
30. 03. 2000
Name: ______________
1. Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet K(x) = 0,1x3 - 2x2 + 15x +250.
Auf dem Monopolmarkt beträgt die Sättigungsmenge 20 ME, zu einem Preis von 80 DM
lassen sich 4 ME absetzen. Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge und den
Maximalgewinn.
2. Für ein Unternehmen gilt: K(x) = 75x + 500 und eine Preis-Absatzfunktion mit
p(x) = 660 - 55x. Bei welchen Produktionsmengen arbeitet das Unternehmen mit
Gewinn? Formulieren Sie eine exakte Antwort.
3. Ein Monopolbetrieb arbeitet bei der Herstellung von 20 Zeichengeräten (Gesamtkosten
6000 DM) und 60 Zeichengeräten (Gesamtkosten 8000 DM) ohne Gewinn und Verlust.
Bei 100 Zeichengeräten wird die Kapazitätsgrenze erreicht.
Bestimmen Sie die lineare Kostenfunktion und die Erlösfunktion (Monopol!)
4. Bestimmen Sie die S-förmige Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens aus den
folgenden Angaben:
Produktionsmenge
0
10
Gesamtkosten
800 1100
variable Stückkosten
30
Grenzkosten
50
110
5. Die Grenzkostenfunktion eines Unternehmens lautet K'(x) = 3x2 - 18x + 27. Das
Betriebsoptimum wird bei 6 ME erreicht. Bestimmen Sie die langfristige Preisuntergrenze
und die Fixkosten.
1.)
p(x) = 100- 5x
E(x) = 100x - 5x2
G(x) = - 0,1x3 – 3x2 + 85x - 250
G'(x) = - 0,3x2 - 6x +85
G(9,5789) = 201,049
2.)
𝐺(𝑥) = −55𝑥 2 + 585𝑥 − 500
Bei einer Produktionsmenge von mehr als 0,94 und weniger als 9,7.
3.)
Es gilt: E(20)=K(20)=6000 und E(60)=K(60)=8000
K(x) = 50x + 5000
Für E(x) kann man zunächst p(x) = mx + b aufstellen
Aus E(20)=6000 folgt p(20)=300 und aus E(60)=8000 folgt p(60)=133,33
𝑝(𝑥) = −4,17𝑥 + 383,33
2
E(x) = -4,17x + 383,33x
4.)
Ansatz: 𝐾(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Außerdem werden kv(x) und K‘(x) benötigt: 𝑘𝑣 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝐾 ′ (𝑥) = 3𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐
Bedingungen:
𝐾(0) = 800
⇔ 𝑑 = 800
𝐾(10) = 1100 ⇔ 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 800 = 1100
𝑘𝑣 (10) = 30 ⇔ 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 30
𝐾 ′ (0) = 50
⇔ 𝑐 = 50
𝐾 ′ (10) = 110 ⇔ 300𝑎 + 20𝑏 + 50 = 110
K(x) = x3 - 12x2 + 50x +800
5.)
Aus K‘(x) muss man auf K(x) schließen (aufleiten):
𝐾(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 27𝑥 + 𝐾𝑓𝑖𝑥
Die Fixkosten kennt man jetzt noch nicht.
Weil das BO bei x=6 liegt, gilt: 𝑘 ′ (6) = 0
𝑘(𝑥) = 𝑥 2 − 9𝑥 + 27 +
𝐾𝑓𝑖𝑥
𝑥
𝐾𝑓𝑖𝑥
𝑢𝑛𝑑
𝑥2
𝐾𝑓𝑖𝑥
𝑘 ′ (6) = 2 ∙ 6 − 9 −
=0
36
𝑘 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 9 −
Fixkosten = 108 einsetzen von x in k(x) ergibt die langfr. PUG = 27
FOS 12
Klassenarbeit Mathematik
04. 04. 2000
Name: ______________
1. Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet K(x) = 0,1x3 - 2x2 + 15x +250.
Auf dem Monopolmarkt beträgt die Sättigungsmenge 20 ME, zu einem Preis von 80 DM
lassen sich 4 ME absetzen. Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge und den
Maximalgewinn.
2. Für einen Monopolisten gilt ein Höchspreis von 660 DM und eine Sättigungsmenge von
110 Mengeneinheiten. Bei welchen Preisen ist die Nachfrageelastizität größer 1?
p( x)
Elastizitä t : e( x)  
x  p' ( x)
3. Bei der Produktion entstehen variable Kosten, die sich aus 4 GE je ME sowie einer
mengenabhängigen Provision zusammensetzen. Die Provision wird nach einem
Promillefaktor berechnet, der gleich der Anzahl der verkauften ME ist. (Beim Verkauf
von 1 ME beträgt die Provision 1%o vom Erlös, bei 2 ME entsprechend 2 %o u. s. w.).
Die Fixkosten betragen 12 GE.
Die Erlösfunktion lautet: E(x) = 12-0,8x.
Stellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion auf und ermitteln Sie die gewinnmaximale
Absatzmenge.
1 

1 Pr omille  1000 
4. Bestimmen Sie die S-förmige Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens aus den
folgenden Angaben:
Produktionsmenge
0
20
60
100
Gesamtkosten
30000
60000 72000
180000
5. Im Angebotsmonopol gelte für die Nachfrage: p(x) = 10 - 0,1x. und für die Kosten:
3
K ( x)  x  100 . Zeigen Sie rechnerisch, dass eine Erhöhung der Fixkosten um h DM
2
keine Auswirkungen auf die Preisgestaltung des Monopolisten hat.
Wie wirkt sich die Fixkostenerhöhung auf den Gewinn aus?