Aufgabe (Gewinnmaximierung beim Monopol)

Aufgabe (Gewinnmaximierung beim Monopol):
Ein gewinnmaximierender Monopolist produziere ein Gut mit zwei kontinuierlich
substituierbaren Produktionsfaktoren entsprechend der Produktionsfunktion
x = 2xv10,5xv20,5 ,
wobei x die Menge des produzierten Gutes und v1 bzw. v2 die Mengen des 1. bzw. 2.
Produktionsfaktors bezeichnen.
Die Faktorpreise sind q1 = 4 und q2 = 4 und von der Unternehmung nicht zu beeinflussen.
Der Monopolist bietet das Gut auf einem Markt mit der Gesamtnachfragefunktion
p(x) = 10 – 0,5xx
an.
a) Ermitteln Sie rechnerisch mittels eines Lagrange-Ansatzes die eingesetzten Faktormengen,
die produzierte Absatzmenge und den Marktpreis im Gewinnmaximum!
b) Errechnen Sie ebenfalls mit einem Lagrange-Ansatz die durch die Produktionsbedingungen
implizierte Kostenfunktion K = K(x), wobei fixe Kosten unberücksichtigt bleiben sollen.
c) Bestätigen Sie die Ergebnisse unter a) für die Absatzmenge und den Preis mit einem
Gewinnmaximierungs-Ansatz unter Verwendung der unter b) ermittelten Kostenfunktion
K = K(x) !
d) Wie verändern sich die Absatzmenge und der Preis im Gewinnmaximum, wenn der Preis
des 1. Produktionsfaktors auf q1 = 16 ansteigt?