Algebra, Geometrie

Testaufgaben Teil A
Algebra und Geometrie
AL_TRI1 Biker
Eine schwierigere Bergstrecke für Biker führt im Ötschergebiet vom Start am Hochkar in 1488 m ü.M.
nach Göstling auf 529 m ü.M. Beide Orte sind in Luftlinie ca. 10 km voneinander entfernt.
a) Stellen Sie die Situation in einer Skizze grafisch dar.
b) Bestimmen Sie den Anstiegswinkel der geraden Verbindungslinie zwischen diesen beiden Orten
auf 2 Nachkommastellen genau.
c) Die Strecke hat vereinzelt Stellen mit einem Gefälle von 110%.
Erklären Sie, was man darunter versteht.
d) Geben Sie an, auf wie viel Prozent Gefälle der eingezeichnete Winkel im Bild ungefähr schließen
lässt.
© Foto H. Puchinger
Möglicher Lösungsweg
a)
b) Differenz der Höhen: 959 m, Luftlinie 10 000 m
tan α = 0,0959
α = 5,48°
c)110% bedeutet, dass tan α = 1,1 beträgt. Das entspricht
dem Winkel von 48° nach unten.
d) Der Winkel beträgt ca. 17°.
tan 17° = 0,3057
Es ist im Bild für den Biker ein Gefälle von ca. 31%.
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Testaufgaben Teil A
TRI 1 Werbeballon
a) Interpretieren Sie die Grafik und erfinden Sie einen passenden Text
b) Berechnen Sie die Entfernung s.
c) Leiten Sie eine Formel her, wie Sie die Höhe x des Ballons berechnen können, wenn
s Ihnen bekannt wäre.
d) Sie haben z bereits berechnet: z = 64 m. Berechnen Sie daraus die Höhe x.
e) Stellen Sie die Höhe x des Ballons als Funktion des Winkels a dar, wenn y=61 m
beträgt.
2.15 C
2.15 B
2.15 A
2,15 B
3.2 A
Möglicher Lösungsweg:
a) Ein Ballon schwebt über dem Erdboden. Auf einem 368 m hohen Hügel befindet sich eine
Messstation. Von dort visiert man den „Flying-Bridget“-Werbeballon(mittelpunkt) unter dem
Höhenwinkel von α = 16,3° und den Fußpunkt direkt unter dem Ballon auf dem Erdboden unter dem
Tiefenwinkel ß = 80,5° an.
Aus diesen Messwerten kann die Höhe des Ballons bestimmt werden.
b) Es ist zu erkennen, dass der Winkel am Fußpunkt = 80,5° beträgt.  s = 368/sin80,5 = 373,12 m
c)
y²  s²  368²
x1  y  tan 16, 3
x  x1  368  368  s²  368²
d) x1/ 64 = sin 16.3  x1 = 17,96 m
x = 385,96 m ca. 386 m
Der Ballon schwebt in einer Höhe von ca. 386 m.
e) x = 368 + x1, tan α = x1/61 -> x(α) = 368 + 61 tan α,
die Definitionsmenge für α: reelle
Zahlen zwischen 0 und 90°, wobei 0° nicht sinnvoll
ist und 90° nicht in der Definitionsmenge
enthalten ist. (tan 90° ∞)
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Testaufgaben Teil A
TRI2 Bergbahn
Eine geradlinig und gleichmäßig ansteigende Bergbahn hat eine Länge von 5,8 km. Sie startet in der
Talstation (540 m über dem Meeresspiegel) und erreicht ihren höchsten Punkt 51m unter der
Bergspitze, die sich 1 783 m über dem Meeresspiegel befindet. (Siehe Skizze)
a) Berechnen Sie die Steigung der Bahn in Prozent.
2.15 B
b) 1000 m über dem Meeresspiegel befindet sich eine Mittelstation. Erklären Sie,
wie Sie die Entfernung dieser Mittelstation von der Talstation berechnen können.
2.15 D
c) Die Bahn fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 5 m/s.
Berechnen Sie, auf welcher Höhe über dem Meeresspiegel sich die Bahn nach 6 Minuten
befindet.
2.6 B
Möglicher Lösungsweg:
a) sin α = (1783 – 51 – 540) / 5800  mit Gleichungs-Solver: α = 11,86°
k = tanα (5) = 0,21
Die Steigung der Bahn beträgt 21 %
b) Es gibt mehrere Berechnungsmöglichkeiten, zwei davon:

Ohne Technologie über den Strahlensatz: 1192: 5800 = 460 : x
(x = 2238,26 m, Lösung nicht gefordert)

Grafische Lösung mit Geogebra:
Man konstruiert mit y = 1192 und der Bahnlänge die richtige Steigungslinie und lässt bei
1000 m Seehöhe schneiden (460 m in Bezug auf den Startpunkt).
Geogebra liefert dann die Länge der Strecke
2238,26 m vom Start entfernt befindet man sich auf Seehöhe 1000m
(Die Konstruktion ist nicht verlangt:
)
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Testaufgaben Teil A
c) Umwandeln der Einheiten: Zeit: =60 6 s  Weg = 3605 = 1800m
Strahlensatz: 1192:x = 5800: 1800  x = 369,93 m  ca. 910 m Meereshöhe.
Oder: Konstruktion mit Geogebra
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Testaufgaben Teil A
TRI 3 Flussbreite
Direkt am Ufer entlang eines gerade verlaufenden Flusses wird eine Standlinie AB von c = 280 m
abgesteckt. Von ihren Endpunkten wird ein Pfeiler P am Gegenufer anvisiert und die Winkel
 PAB = α = 27,6° und PB A= ß = 43,1° gemessen. Siehe Skizze (nicht maßstabsgetreu).
a) Interpretieren Sie diese Skizze durch exaktes Beschriften der Standlinie s , durch Einzeichnen der
beiden Winkel  ,  und durch Ablesen des Sehwinkels BPA.
3.12 C
b) Berechnen Sie die Breite b= PC, die der Fluss an der Stelle des Pfeilers P aufweist.
3.12 B
c) Geben Sie eine allgemeine Formel an, mit der sich die Strecke von B nach C nur aus den
angegebenen Größen α, ß, s berechnen lässt.
3. 12 A
Möglicher Lösungsweg
a)
BPA = 180 - α - ß = 109,3°
PC
PC
 AC,
 CB
tan α
tanß
b) (Für Teil A mit rechtwinkligen Dreiecken) AC + CB = 280,
b
b

 280
tan 27, 6 tan 43, 1
Mit Solver (oder ohne Technologie)  Der Fluss hat bei P die Breite von b = 93,91 m
c)
PC
PC
 tan α,
 tanß
c  CB
CB
c  tan α  CB  tan α  CB  tanß
c  tan α
CB 
(tan α  tanß)
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Testaufgaben Teil A
TRI 4 Radar
15 Meter (s) vom rechten Fahrbahnrand der Autobahn entfernt steht ein Radargerät an der Stelle B
und misst die Geschwindigkeit von Fahrzeugen. Es sendet Impulse in Richtung eines näher
kommenden Fahrzeuges aus. Der 1. Messstrahl schließt mit
dem rechten Fahrbahnrand den Winkel α= 8° ein, der 2. den
Winkel ß = 82°.
a) Interpretieren Sie die vorliegende Skizze, indem Sie die
gegebenen Zahlenwerte der Winkel und Strecken eintragen.
2.15 C
b) Leiten Sie aus der vorliegenden Skizze eine allgemeine
Formel her, wie Sie den Abstand der Punkte A und C aus den
in der Angabe gegebenen Grö0en BC, α und ß berechnen
können.
2.15 A
c) Erklären Sie, was man mit dem angegebenen Term a
berechnet.
15
15
a=
tan8° tan82°
2.15 D
d) Ein Auto durchfährt die Messstrecke AD in 3 Sekunden. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit
(in km/h) unter der Annahme, dass die Messstrecke 105 Meter beträgt.
1.3 B
Möglicher Lösungsweg
a)
b) x = AC
s
s
= tanα  x =
x
tanα
c) Der erste Termteil von a berechnet die Streckenlänge von A nach C,
davon abgezogen wird die Strecke von D nach C.
Das bedeutet: der gesamte Term a gibt die Messstrecke von A nach
D wieder.
d) AD = 105 m, v = s/t = 105 / 3 = 35 m/s = 126 km/h
Die Geschwindigkeit beträgt 126 km/h.
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Testaufgaben Teil A
TRI 5 Motorboot
Ein Motorboot überquert einen Fluss. Die Flussufer verlaufen parallel. Die
Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt VFluss = 2,5 km/h. Die Eigengeschwindigkeit des
Motorbootes beträgt durchschnittlich v = 5,0 km/h. Das Motorboot soll den Fluss im rechten Winkel
zu den Flussufern überqueren.
a) Berechnen Sie den Winkel α, den das Boot gegensteuern muss.
2.15 B
b) In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die beiden Katheten a, b gegeben.
Geben Sie eine Formel für den Winkel zwischen den beiden Katheten a, b an.
2.15 A
c) Welche maximale Geschwindigkeit darf der Fluss haben, damit diese Überquerung
möglich ist. Begründen Sie!
3.12 D
Möglicher Lösungsweg
a)
b)
c)
sin α = 2,5 / 5 = 0,5  α = 30°
Das Verhältnis der beiden Katheten kann durch den Tangens beschrieben werden.
Ist b die Ankathete an α so gilt: tan α = a/b  α = arctan (a/b)
Wenn die Flussgeschwindigkeit größer oder gleich der Bootsgeschwindigkeit ist, kann der
Fluss nicht mehr im rechten Winkel überquert werden, weil im Dreieck die Kathete gleich
oder größer wie die Hypotenuse ist.
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Testaufgaben Teil A
GL 1: Verkauf von Badminton-Schlägern
Ein Sportartikelhändler verkauft Badminton-Schläger zu einem Stückpreis von p = 84€.
(Hinweis: Der Ertrag E = Preis mal der verkauften Stück x. Es gilt: E = p  x)
a) Stellen Sie die Funktion E(x) grafisch dar und lesen Sie ab, wie viele Schläger man verkaufen muss,
um mindestens einen Ertrag von 2000 Euro zu haben.
3.3 C
b) In 6 Monaten ergibt sich der folgende Absatz. Berechnen Sie den durchschnittlichen monatlichen
Ertrag.
5.2 B
c) Würde der Händler den Preis eines Schlägers um 1€ senken, dann kann er damit rechnen, dass er
pro Euro um 3 Stück mehr verkaufen kann. Der Händler kann den Preis höchstens um 4 Euro
senken. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Tabelle (Stückzahl , zugehöriger Ertrag) dar. 3. 2 A
Möglicher Lösungsweg:
a)
Er müsste 24 Stück verkaufen,
damit er mindestens 2000 €
einnimmt.
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Testaufgaben Teil A
b) Lösung mit EXCEL
Jän
Feb
11
7
924
588
Mrz
15
1260
Apr
9
756
Mai
21
1764
Jun
16
1344
1106
Der durchschnittliche Monatsertrag in den ersten 6 Monaten beträgt 1106 €
c) Lösung mit EXCEL
x
p
E (x)
1
84
84
4
83
332
7
82
574
10
81
810
13
80
1040
Wenn die Voraussetzung in der Angabe gilt, dann erhöht sich der Ertrag sehr stark. Bei einer
Preissenkung um 4 €/ Stück könnte man statt einem Schläger dreizehn verkaufen.
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