Lösung - Rudolf Riedi

Lineare Algebra 1
Lösung 4
Dr. Rudolf Riedi
HTA-FR, 2016-17
13. Gegeben die Seiten a = 3 und b = 5 sowie der eingeschlossene Winkel γ = 60o . Berechnen Sie den Winkel
α eingeschlossen durch b und die dritte Seite c.
Antwort: Cos-Satz:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(60o ) = 9 + 25 − 2 · 5 · 3 · 1/2 = 19
also c =
√
19. Sinus-Satz:
√
a
3
3
sin(α) = sin(γ) = √
c
19 2
√
√
Dies ergibt zwei mögliche Winkel α1 = arcsin(3 3/(2 19)) und α2 = π − α1 , wovon einer spitz (naemlich
α1 ) und der andere stumpf ist. Da die gegenüberligende Seite a die kleinste ist, muss es sich um einen
spitzen Winkel handeln. Also
√ !
3 3
√
= 36.586◦
α = α1 = arcsin
2 19
14. Eine Reisende betrachtet einem Turm aus verschiedenen Orten auf dem Turmplatz. Sie sieht die Spitze
des Turmes in der Entfernung 45m unter einem doppelt so grossen Winkel wie in der Entfernung 120m.
Man berechne die Höhe des Turmes.
Hinweis: Man finde zwei rechtwinklige Dreiecke in einer geeigneten Skizze.
Antwort:
1. Lösungsweg: Trigo
Die zwei rechtwinkligen Dreiecke werden gebildet aus Turmfusspunkt F , Spitze S und Betrachtungspunkte
B1 (45m) und B2 (120m). Der Winkel 6 (SB1 F ) ist also doppelt so gross wie α = 6 (SB2 F ), in anderen
Worten 6 (SB1 F ) = 2α.
In diesen zwei Dreiecken findet man jeweils eine Formel für die Höhe h mittels der Distanz vom Beobachtungspunkt zum Turmfusspunkt:
h = 45m tan(2α)
und h = 120m tan(α)
daraus ergibt sich mittels Additionsätze der Winkel α und daraus h. Genauer gesagt: aus der Formelsammlung entnehmen wir
2 tan(α)
tan(2α) =
1 − tan2 (α)
Einsetzen ergibt:
45m
2 tan(α)
= 120m tan(α)
1 − tan2 (α)
was als erste Lösung tan(α) = 0 und deshalb α0 = 0 ergibt. Als weitere Lösungen findet man:
45m
2
= 120m
1 − tan2 (α)
oder eben tan2 (α) = 1 − 90/120 = 1/4, und damit tan(α) = ±1/2. Nur die positive Lösung ist sinnvoll
hier. Also
1
h = 120m tan(α) = 120m · = 60m
2
2. Lösungsweg: Geometrie
◦
Man berechnet mittels der Dreieckswinkelsumme (180 ) den Winkel
◦
180 − 2α.
6
(B1 SB2 ) = α, denn
6
(B2 B1 S) =
Nun ist also das Dreieck B2 B1 S gleichschenklig und die Strecken B1 S und B1 B2 sind gleich lang.
Daraus erhält man B1 S = 120 − 45 = 75. Mittels Pythagoras im Dreieck B1 F S:
h2 = 752 − 452 = 602
und h = 60.
15. Ein gleichschenkliges Dreieck hat Grundlinie c = 16 und Fläche 48. Berechne die Schenkellängen (beachte:
a = b).
Hinweis: Zeichne die Höhe ein.
Antwort: Die Höhe beträgt h = 2F/c = 6. Pythagoras ergibt
a2 = (c/2)2 + h2 = 82 + 62 = 100
also a = b = 10.
2