Mathematik für Physiker IIb

M. Kraus
A. Seelmann
Mathematik für Physiker IIb
Wintersemester 2015/2016
Übungsblatt 1
Aufgabe 4)
(Der Limes superior)
(1+1+2=4 Punkte)
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen.
(a) Zeigen Sie: Ist (an )n∈N nach oben beschränkt (d.h. {an | n ∈ N} nach oben beschränkt),
so ist die durch
bn := sup{ak | k ≥ n} ∈
R
denierte Folge (bn )n∈N monoton fallend.
Ist nun die Folge (an )n∈N nach oben beschränkt, so ist der Limes superior der Folge deniert
als
lim sup an := lim sup{ak | k ≥ n} ,
n→∞
n→∞
wobei der Grenzwert gegebenenfalls im uneigentlichen Sinne zu verstehen ist. Ist (an )n∈N nicht
nach oben beschränkt, so setzen wir lim supn→∞ an := ∞.
Zeigen Sie:
(b) Für jede eigentlich oder uneigentlich konvergente Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N gilt
lim ank ≤ lim sup an .
k→∞
n→∞
(c) Es gibt eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit limk→∞ ank = lim supn→∞ an .
Bemerkung:
Der Limes inferior der Folge (an )n∈N lässt sich über
lim inf an := − lim sup(−an )
n→∞
n→∞
einführen. Die entsprechende Aussage in (b) lautet dann lim inf n→∞ an ≤ limk→∞ ank . Teil
(c) gilt entsprechend.
Aufgabe 5)
(Das Leibnizkriterium)
(3 Punkte)
Die Folge (an )n∈N sei gegeben durch
(
an :=
2
n
,
1
2(n+1)/2
n gerade
.
, n ungerade
Zeigen Sie, dass (an )n∈N eine Nullfolge ist, die alternierende Reihe
giert. Wie passt das zum Leibnizkriterium aus der Vorlesung?
P∞
n
n=1 (−1) an
aber diver-
bitte wenden
Aufgabe 6)
(Reihen II)
(2+1=3 Punkte)
(a) Untersuchen Sie im Folgenden jeweils die Reihe
Konvergenz:
(1) an =
P∞
1
i2n+1
+
n(n + 1)
n
n=1 an
auf Konvergenz und absolute
(2) an =
1 (−1)n
− √
n
n
In (1) bezeichne hierbei i ∈ C die imaginäre Einheit.
(b) Sei α > 0. Zeigen Sie, dass die Reihe
Aufgabe 7)
(Die Reihe
P∞
Zeigen Sie, dass die Reihe
Anleitung.
P∞
k=1
Setzen Sie sn (x) :=
(1) |sn (x)| ≤
k=1
P∞
1
n=1 nα
eikx /k )
genau für α > 1 konvergiert.
(3 Punkte)
genau für x 6= 2πl, l ∈ Z, konvergiert.
eikx
k
Pn
ikx
k=1 e
und zeigen Sie nacheinander:
1
für x ∈ (0, 2π) und n ∈
sin(x/2)
N.
(Geometrische Summenformel, mit e−ix/2 erweitern);
(2)
X
m eikx 2
≤
k
n sin(x/2)
für
x ∈ (0, 2π) und m > n > 1 .
k=n
(eikx
= sk (x) − sk−1 (x), Dreiecksungleichung, Teleskopsumme).
Aufgabe 8)
(Funktionenfolgen)
Für n ∈ N seien Funktionen fn , gn :
fn (x) :=
Bestimmen Sie Funktionen f, g :
f (x) = lim fn (x)
n→∞
(3 Punkte)
R → R deniert durch
nx
1 + |nx|
und
gn :=
cos(nx)
.
n
R → R mit
und
g(x) = lim gn (x)
n→∞
für alle x ∈ R .
Bestimmen Sie auÿerdem zu vorgegebenem x ∈ R jeweils ein n0 ∈ N, welches
|fn (x) − f (x)| <
1
100
bzw.
|gn (x) − g(x)| <
1
100
für n ≥ n0 sicherstellt. Kann man n0 unabhängig von x wählen?
Abgabe am Freitag, den 30.10.2015, um 12 Uhr.