1 Einführung

1 Einführung
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses =
Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Frage:
Ein normaler Würfel hat sechs Seiten mit den jeweiligen Beschriftungen von 1-6. Du
möchtest unbedingt eine 6 würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit?
Antwort:
Da die 6 Seiten jeweils gleich häufig vorkommen ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse
”6”. Des Weiteren ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse genau eine Zahl, also eine Seite,
und somit ”1”. In die obige Formel eingesetzt ergibt das:
W (E) =
1
6
(1)
Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 oder eine höhere Zahl zu würfeln?
Antwort:
Die Antwort enthält zwei Komponenten: Wie viele Seiten gibt es die der Zahl 3 oder höher
entsprechen und wie kombiniere ich diese Seiten zu einem Ergebnis?
Zum einem gehört die Zahl 3 zum günstigen Ergebnis und zum anderen die Zahl 4, Zahl 5
und Zahl 6. Das heißt, 4 Seiten entsprechen dem günstigen Ergebnis. Des Weiteren haben
wir immer noch ”6”mögliche Ergebnisse.
W(3,4,5,6)→ in die Klammer werden alle günstigen Ergebnisse geschrieben.
W (3, 4, 5, 6) =
1
4
6
(2)
Alternativ wäre eine Addition der jeweiligen einzelnen Wahrscheinlichkeiten auch zielführend.
Frage
In einer Kiste befinden sich 100 Kugeln mit unterschiedlichen Farben. Es sind 20 rote
Kugeln, 30 blaue Kugeln und 50 gelbe Kugeln. Gib die folgenden Wahrscheinlichkeiten in
Prozent an.
a) W(rote oder gelbe Kugel)
b) W(keine rote Kugel)
c) W(weder rote noch gelbe Kugel)
Antwort:
a) Es befinden sich 20 rote und 50 gelbe Kugeln in der Kiste. Das heißt, 70 Kugeln aus
100 Kugeln kommen für diese Wahrscheinlichkeit in Frage:
W(rote oder gelbe Kugel) =
70
= 70%
100
(3)
b) Keine rote Kugel bedeutet anders formuliert, dass die Wahrscheinlichkeit von einer
gelben Kugel oder eine blauen Kugel gesucht wird. Gelbe und blaue Kugeln ergeben in
der Summe 80 Kugeln aus 100 Kugeln.
W(keine rote Kugel) =
80
= 80%
100
(4)
c) Weder rote noch gelbe Kugel bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel
gesucht wird. Es sind 30 blaue Kugeln in der Kiste.
W(weder rote noch gelbe Kugel) =
2
30
= 30%
100
(5)
2 Gegenwahrscheinlichkeit
Im obigen Beispiel wurde die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl ”6”beim Würfeln
gesucht. Suchen wir die Gegenwahrscheinlichkeit des Ereignisses, kann folgende Formel
verwendet werden.
W(Nicht Zahl 6) = 1 − W (Zahl 6) =
5
6
(6)
Die Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit ist sehr nützlich, sobald komplexere mehrstufige Verfahren stattfinden. Beispiel: Bei 3 mal würfeln keine Zahl 6 zu haben.
Darauf wird später zurück gegriffen.
3
3 Mehrstufige Zufallsexperimente mit Reihenfolge
Bisher wurden nur einstufige Zufallsexperimente behandelt. Doch nun stellt sich die Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zum Beispiel eine 6 zu würfeln und anschließend
wieder eine 6?
Es ist wichtig sich hierbei zu merken, dass die Reihenfolge entscheident ist.
Im anschließenden Kapitel werden mehrstufige Zufallsexperimente behandelt
bei denen die Reihenfolge nicht wichtig ist
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist nun bekannt. Zusätzlich wird die Pfad-Multiplikationsregel
eingeführt:
Bei einem einstufigen oder mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
W (6, 6) = W (6) ∗ W (6)
W (6, 6) =
1 1
1
∗ =
6 6
36
(7)
(8)
Durch die Pfad-Multiplikationsregel lassen sich nun auch größere mehrstufige Zufallsexperimente durchführen. Im nächsten Kapitel werden die Vorgänge graphisch dargestellt.
4
4 Entscheidungsbaum
Münze
1\2
1\2
Kopf
Zahl
(9)
1\2
1\2
1\2
1\2
Zahl
Kopf
Kopf
Zahl
Bei einer Münze mit zwei Seiten sind Wahrscheinlichkeiten klar, nämlich: 50 zu 50. Die
Wahrscheinlichkeit zuerst Zahl und dann erneut Zahl zu erhalten liegt so mit bei:
W (Z, Z) = W (Z) ∗ W (Z) →
1
1 1
∗ =
2 2
4
(10)
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist somit:
W (Keine Z, keine Z) = 1 −
1
3
=
4
4
(11)
Diese setzt sich aus den folgenden Wahrscheinlichkeiten zusammen:
W(Kopf, Kopf),P(Kopf, Zahl) und P(Zahl, Kopf). Die Wahrscheinlichkeite sind alle gleich
und werden addiert (Pfad-Additionsregel):
1 1 1
3
+ + =
4 4 4
4
5
(12)
Würfel
5\6
1\6
6
keine 6
(13)
1\6
5\6
1\6
5\6
6
keine 6
6
keine 6
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zuerst die Zahl 6 dann eine andere Zahl zu erhalten?
W (Zahl 6, keine Zahl 6) = W (6) ∗ W (keine 6)
W (Zahl 6, keine Zahl 6) =
1 5
5
∗ =
6 6
36
(14)
(15)
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist nun gegeben durch die folgenden Möglichkeiten:
W(Zahl 6, Zahl 6); W(Keine 6, Keine 6); W(keine 6, Zahl 6)
Mit dem bereits erlernten Schema erhalten wir jeweils von links nach rechts die folgenden
Wahrscheinlichkeiten und addieren sie:
1
5
25
31
+
+
=
36 36 36
36
(16)
Anders formuliert; über die Formel der Gegenwahrscheinlichkeit:
1−
31
5
=
36
36
6
(17)
5 Mehrstufige Zufallsexperimente ohne Reihenfolge
Zunächst muss genauer differenziert werden. Die bisher genannten Beispiele waren alles
Beispiele, die mit der Eigenschaft -mit Reihenfolge- und einer weiteren Eigenschaft addressiert waren. Diese ist nämlich ”mit Zurücklegen”. Bei einem Würfel ist es nur logisch,
dass -Zurückgelegt- wird. Aber bei einer Lotterie kann unterschieden werden zwischen
-mit Reihenfolge-, -ohne Reihenfolge-, -mit Zurücklegen- und -ohne Zurücklegen-. Diese
Eigenschaften werden nun anhand der folgenden Beispiele genauer erklärt.
Abbildung 5.1: Tabelle: Kombinatorik
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 und eine 3 zu würfeln? Hier ist die Reihenfolge
irrelevant und es kann sowohl zuerst eine 3 oder zuerst 6 gewürfelt werden.
7
Frage:
In einem Behälter befinden sich 5 Lose mit jeweils 3 Nieten und 2 Gewinnen. Es werden 2
Lose gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Gewinn zu haben, wenn
die Lose nicht zurückgelegt werden.
Behälter
2\5
3\5
Gewinn
Niete
(18)
1\4
3\4
2\4
2\4
Gewinn
Niete
Gewinn
Niete
Mögliche Ereignisse, die eintreffen können sind: W(Niete,Gewinn), W(Gewinn,Niete),
W(Gewinn,Gewinn).
W (Niete,Gewinn) =
3 2
3
∗ =
5 4
10
(19)
W (Gewinn,Niete) =
3
2 3
∗ =
5 4
10
(20)
W (Gewinn,Gewinn) =
2 1
1
∗ =
5 4
10
(21)
Die Addition der einzelnen Produkte ergeben dann das gesuchte Ergebnis:
3
3
1
7
+
+
=
10 10 10
10
8
(22)
mit Zurücklegen
Behälter
2\5
3\5
Gewinn
Niete
(23)
2\5
3\5
2\5
3\5
Gewinn
Niete
Gewinn
Niete
W (Niete,Gewinn) =
3 2
6
∗ =
5 5
25
(24)
W (Gewinn,Niete) =
2 3
6
∗ =
5 5
25
(25)
W (Gewinn,Gewinn) =
2 2
4
∗ =
5 5
25
(26)
Die Addition der drei zutreffenden Ereignissen ergeben dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn die Lose zurückgelegt werden.
6
6
4
16
+
+
=
25 25 25
25
9
(27)
6 Erwartungswert
Berechne den Erwartungswert
Frage:
Ein normaler Würfel mit 6 Seiten wird geworfen. Berechne den Erwartungswert. Sei X
die Zufallsvariable k. Zusätzlich Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Antwort:
Jede Seite ist gleichwahrscheinlich. Das heißt, die Formel für den Erwartungswert ist
gegeben durch:
E(X) =
X
k ∗ P (X = k)
(28)
k∈Ω
1∗
1
1
1
1
1
1
+ 2 ∗ + 3 ∗ + 4 ∗ + 5 ∗ + 6 ∗ = 3, 5
6
6
6
6
6
6
(29)
Klammere für eine einfachere Rechnung den Bruch aus und erhalte:
1
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3, 5
6
(30)
Frage:
Bei einem Glückspiel wird eine Münze ( Kopf, Zahl) einmal geworfen. Erscheint die Seite
Zahl, dann gewinnst du 4 Euro und bei Kopf gibt es einen Verlust von 5 Euro. Berechne
den Erwartungswert.
Antwort:
4∗
1
1
1
+ (−5) ∗ = (4 − 5) = −0, 5
2
2
2
(31)
Bei diesem Spiel ist der Erwartungswert -0,5 Euro und sollte daher nicht gespielt werden.
10
Frage:
Auf einem Jahrmarkt hast du die Chance für nur einen Euro an einem Spiel teilzunehmen.
Du ziehst aus einem Glas eine Kugel. Die Kugeln haben die Farben schwarz, blau und
rot. Die Wahrscheinlichkeit für schwarz ist 3/4, für blau 1/8 und für rot 1/8. Ziehst du
eine schwarze Kugel bekommst du 2 Euro, für blau einen Euro und für rot machst du
einen Verlust von 2 Euro.
Antwort:
Ergebnis
Schwarz
Blau
Rot
Gewinn
2
1
-2
Wahrscheinlichkeit
3/4
1/8
1/8
Rechnung
2*(3/4)= 3/2
1*(1/8)= 1/8
-2*(1/8)= -1/4
E(X) =
X
k ∗ P (X = k)
(32)
k∈Ω
3 1 1
11
+ − =
2 8 4
8
(33)
11
>1
8
(34)
Der Erwartungswert ist größer als die Einzahlung. Das Spiel sollte gespielt werden.
11