Theoretische Informatik II
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Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Sommersemester 2009
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Theoretische Informatik II
3. Übung
Aufgabe 3a [5 Punkte] Sei M eine deterministische Turingmaschine, die über zwei
Bänder (Eingabe- und Ausgabeband) und je Band über einen Lese-/Schreibkopf
verfügt. Die Turingmaschine M verwendet als Eingabealphabet Σ = {0, 1} und
als Bandalphabet Γ = {0, 1, B} für beide Bänder. Anfangszustand ist q0 , einziger
Endzustand ist q2 .
Die Zustandsüberführungsfunktion von M ist folgendermaßen definiert:
(q0 , a, R, B, N ) falls a ∈ {0, 1}
(q1 , B, L, B, R) falls a = B
(q1 , B, L, a, R) falls a ∈ {0, 1}
(q2 , B, N, B, N ) falls a = B
δ(q0 , a) =
δ(q1 , a) =
δ(q2 , B) = (q2 , B, N, B, N )
Dabei bedeutet δ(q, a) = (q 0 , b, u, c, v), dass die Turingmaschine, wenn sie im Zustand
q auf dem Eingabeband das Zeichen a liest, in den Zustand q 0 wechselt, auf dem
Eingabeband das Zeichen b druckt, die Bewegung u ausführt, auf dem Ausgabeband
c druckt und den Schreibkopf des Ausgabebandes um v bewegt.
a) Welche Ausgabe liefert M für x = (xn , . . . , x0 ) ∈ {0, 1}∗ , wobei wir davon
ausgehen wollen, dass beim Start der Lesekopf des Eingabebandes auf xn steht
und die Eingabe links und rechts durch ein B begrenzt wird.
b) Beschreiben Sie in Worten eine 1-Band-Turingmaschine M 0 , welche dieselbe
Ausgabe wie M liefert.
Aufgabe 3b [5 Punkte] Zeigen Sie folgende Aussage mit Hilfe eines Diagonalargumentes: Sei X eine Menge. Dann gibt es keine surjektive Abbildung f von X auf
die Potenzmenge P(X).
/ f (x)}.
Hinweis: Betrachten Sie die Teilmenge Y ⊆ X mit Y := {x ∈ X | x ∈
Bitte wenden!
Aufgabe 3c [5 Punkte] Für einen Graphen G = (V, E) ist eine Teilmenge V0 ⊆ V ein
Dominating Set falls für jeden Knoten v ∈ V \V0 ein Knoten u ∈ V0 existiert, so dass
{u, v} ∈ E ist. Wir betrachten die folgenden Varianten des Problems Dominating
Set:
DS(1): Sei G = (V, E) ein Graph. Bestimme die kleinste natürliche Zahl k, so dass G
ein Dominating Set der Größe k enthält. Wir nennen dieses k die Dominationszahl
γ(G).
DS(2): Sei G = (V, E) ein Graph. Bestimme ein Dominating Set in G mit Kardinalität γ(G).
Zeigen Sie: Falls DS(1) in Polynomialzeit lösbar ist, dann auch DS(2).
Aufgabe 3d [5 Punkte] Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Independent Set ist eine Teilmenge I ⊆ V so dass für keine Kante in E beide Endknoten in I liegen.
Die Größe eines größten Independent Sets wird mit α(G) bezeichnet und heißt Unabhängigkeitszahl.
Ein Vertex Cover ist eine Teilmenge C ⊆ V so dass für jede Kante in E mindestens
einer der Endknoten in C liegt. Die Knotenüberdeckungszahl β(G) ist die Größe eines
kleinsten Vertex Covers.
Eine Clique ist eine Teilmege C ⊆ V so dass für je zwei Knoten u 6= v ∈ C gilt
{u, v} ∈ E. Die Cliquenzahl ω(G) ist die Größe einer größten Clique.
a) In welcher Beziehung stehen α(G) und β(G) zueinander?
b) G = (V, [V ]2 \E) ist das Komplement von G, d.h. eine Kante ist in G enthalten
gdw. sie nicht in G enthalten ist. In welcher Beziehung stehen α(G) und ω(G)?
