14 Kreis
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (14) Zum Themengebiet Kreis (erstellt in Zusammenarbeit mit der Gesamtschule Obersberg, Bad Hersfeld) Vorschlag 14.1: Stationen der Söhre-Schule zum Thema Kreis..................... 3 Die Söhre-Schule hat sechs Lernstationen zum Thema Kreis entwickelt. Eine Station, die den Flächeninhalt von Kreisringen mit Energiesparen verbindet, wird hier exemplarisch vorgestellt Vorschlag 14.2: Annäherungen an ................................................................. 6 Vorgestellt werden sieben Methoden, mit denen gefunden und angenähert werden kann Vorschlag 14.3: Vom Umfang zum Flächeninhalt ......................................... 11 Die klassische Methode – etwas offener formuliert Vorschlag 14.4: Band um den Äquator ........................................................... 13 Ein Seil wird um den Äquator gespannt und um einen Meter verlängert. Die Aufgabe verdeutlicht auf beeindruckende Weise den proportionalen Zusammenhang von Durchmesser und Umfang Vorschlag 14.5: Rund ums Fahrrad ................................................................ 15 Vermischte Aufgaben rund um Räder. U.a. wird die Einstellung von Fahrradtachometern thematisiert Vorschlag 14.6: Pizza ........................................................................................ 16 Vermischte Aufgaben rund um verschiedene Pizzagrößen und gerechte Preise. U.a. erweist sich die Werbung von Dinos Pizza Taxi als falsch Vorschlag 14.7: Scheibenwischer ..................................................................... 18 Welche Fläche reinigt eigentlich ein Scheibenwischer? Vorschlag 14.8: Aufgaben rund um den Kreis ............................................... 19 Sammlung verschiedener Aufgaben rund um den Kreis Vorschlag 14.9: Zwei gleiche Kreise ................................................................ 23 Komplexere, vernetzende Aufgabe zum Thema Kreis, die insbesondere Verbindungen zum Satz des Pythagoras erfordert Vorschlag 14.10: Was ist größer – Der Kreis oder das Quadrat? ................ 24 Komplexere, vernetzende Aufgabe zum Thema Kreis, die insbesondere Verbindungen zum Satz des Pythagoras erfordert Vorschlag 14.11: Aug’ in Aug’ ......................................................................... 25 Eine Zeitungsabbildung wird zur Berechnung eines Flächeninhalts und zur Wiederholung von Proportionen genutzt Vorschlag 14.12: Die Uhr.................................................................................. 26 Wann bilden die Zeiger einer Uhr eigentlich rechte oder gestreckte Winkel? Komplexere, vernetzende Aufgabe zum Thema Kreis, die insbesondere das Aufstellen und Lösen von Gleichungen erfordert Vorschlag 14.13: Kreise und Quadrate ........................................................... 27 Komplexere, vernetzende Aufgabe zum Thema Kreis, die insbesondere das Aufstellen eines geeigneten Terms erfordert Vorschlag 14.14: Vier Kreise............................................................................ 28 Etwas anspruchsvollere geometrische Aufgabe bei der die richtigen Hilfslinien eingezeichnet werden müssen Vorschlag 14.15: Berechnung von Kreisfiguren ............................................ 29 Vorlagen zur Berechnung von Kreisflächeninhalten Vorschlag 14.16: Münzteppich aus Pfennigen ............................................... 31 Ein Zeitungsartikel berichtet über Größe und Gewicht eines Teppichs, der aus Pfennigmünzen gelegt wurde. Stimmen die Angaben? Vorschlag 14.17: Das Polizeiauto ..................................................................... 32 Der Suchscheinwerfer eines Polizeiautos wird zur Einführung des Kreises als Hüllkurve seiner Tangenten genutzt Vorschlag 14.18: Theaterdonner ..................................................................... 33 Die längste Sehne im Kreis führt zu einer überraschenden Einsicht. Der Sachverhalt eignet sich auch gut für eine spielerische Umsetzung in einem Theaterstück Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Vorschlag 14.1: Stationen der Söhre-Schule zum Thema Kreis Station 3: „Heiße“ Kreise: Blatt 1 Einführung: An dieser Station sollt ihr euch mit dem Thema ENERGIESPAREN bzw. ENERGIEVERGEUDEN befassen. Sicherlich habt ihr solche Kochtafeln schon einmal gesehen; vielleicht habt ihr sogar eine zu Hause. Es handelt sich dabei sozusagen um „tragbare Kochherde“. Aufgabe: Überlegt euch begründete Kommentare zu den Meinungen in den beiden Sprechblasen. a) b) Beim Kochen wird überhaupt keine Energie vergeudet. Die Hitze wird zum Kochen gebraucht, wozu denn sonst? Auch im Haushalt kann man beträchtliche Energiemengen sparen. a) b) 3 Station 3: „Heiße“ Kreise: Blatt 2 Natürlich habt ihr erkannt, dass sich beim Kochen Energie sparen bzw. verschwenden lässt je nach gewählter Topf- und Kochplattengröße. Aufgabe: Überlegt, worauf es bei der Wärmeabgabe (Kochplatte) und der Wärmeaufnahme (Topf) ankommt. Die Sprechblasen a und b dienen als Hilfe. a) b) Auch wenn der Topf kleiner als die Kochplatte ist, macht das so gut wie nichts aus. Wenn Topf und Kochplatte nicht zusammenpassen, geht viel Wärme verloren. a) b) Aufgabe: Äußert euch zur Richtigkeit der Sprechblasen c) und d). c) d) Ein Topf mit 15 cm Durchmesser auf einer Kochplatte mit 18 cm Durchmesser vergeudet rund 30% kostbare Energie. Der Topfdurchmesser ist gar nicht 30% kleiner als der Plattendurchmesser. Also beträgt die Energievergeudung keine 30% c) d) 4 Stationen der Söhre-Schule zum Thema Kreis: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Die Kollegen der Söhre-Schule Lohfelden haben 6 Stationen zum Themengebiet Kreis erarbeitet: Station 1: Kreisringe Station 2: Rollende Räder Station 3: „Heiße“ Kreise Station 4: Kreisbingo Station 5: Ecke und Kreis Station 6: Kreisausschnitte Die Stationen enthalten neben den Aufgaben auch Hilfen und Lösungen. Einige erfordern zusätzliche Materialien, die aber leicht erstellt bzw. erworben werden können. Detailliertere Hinweise finden sich in den Stationsbeschreibungen. Ziel: Modellbildung Flächenberechnung von Kreisflächen bzw. Kreisringen Weckung von Umweltbewusstsein Variationen der Aufgabe: Die Durchführung des praktischen Experiments mit einem zu kleinen Topf zeigt, dass der Energieverlust wesentlich geringer ist als vermutet. Die rechnerische Lösung liefert hier unzureichende Ergebnisse, da die vom ungenutzten äußeren Herdplattenring aufsteigende Wärme die Wände des Topfes erwärmt und die Hitze auf der Kochplatte nach innen „wandert“. Berechnung des zusätzlichen Strombedarfs im Jahr bzw. der Kosten (vgl. Blatt 3; hier nicht abgedruckt) Bemerkungen: Modellversuchslehrer (Gesamtschule): „Will man lediglich auf den Flächeninhalt hinaus, so sollte man besser innermathematisch vorgehen und nicht den modernen vernetzten Unterricht ‚vorgaukeln’. Die Schüler würden dies sehr schnell merken!“ 5 Vorschlag 14.2: Annäherungen an Methode 1: Rundherum, das ist nicht schwer ... Suche möglichst viele, möglichst verschieden große kreisrunde Objekte: Teller, Untertassen, Tassen, Deckel, runde Tische, Münzen, CDs, Schallplatten, runde Stifte, Dosen, Gläser, ... Miss jeweils den Durchmesser d und den Umfang U und trage die Werte in eine Tabelle ein. Fällt dir etwas auf? Trage die Messwert-Paare in ein geeignetes Koordinatensystem ein. U d Quelle: Wilfried Herget; Thomas Jahnke; Wolfgang Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I, Cornelsen Verlag, Berlin, S. 117. 6 Methode 2: Rollende Räder Svenja hat verschlafen. Sie schwingt sich aufs Rad und saust los. Beim Treten denkt sie: Wären doch meine Räder doppelt so groß, dann wäre ich schon nach der Hälfte der Zeit in der Schule! Was meint ihr dazu? Ihr könnt zur Lösung des Problems einige Versuche durchführen: Wählt verschiedene Kreise mit unterschiedlichem Durchmesser. Markiert auf jedem Kreis einen Punkt. Zeichnet eine Linie und rollt den Kreis auf dieser Linie ab. Messt die Länge und tragt die Werte in eine Tabelle ein. Was fällt auf? Quelle: Diese Anregung ist angelehnt an die zweite Station eines von der Söhre-Schule in Lohfelden entwickelten Stationenlernens (vgl. Vorschlag 14.1). Methode 3: Kästchen zählen Bestimme den Flächeninhalt des Kreises möglichst genau! 7 Methode 4: Monte-Carlo-Methode Zeichnet vier Kreise mit einem Durchmesser von jeweils 30 cm und ein Quadrat, das die Kreise einschließt, an die Tafel (wie in der Abbildung). Dann darf jeder Schüler einmal mit einem Stück Kreide auf die Tafel werfen und versuchen, die Figur zu treffen. Wenn ein Stück Kreide nicht die Figur trifft, darf noch einmal geworfen werden. Bestimmt einen Protokollführer. Wie kann dadurch der Flächeninhalt der Kreise näherungsweise bestimmt werden? 1 2 3 4 Fortsetzung: In einer Klasse wurden nach drei Durchgängen 64 mal die Kreise und 88 mal das Quadrat getroffen. Kai und Ina haben sich gemeinsam Folgendes überlegt: Die Anzahl der Treffer in den Kreisen und im Quadrat müsste ungefähr das gleiche Verhältnis bilden wie die Flächeninhalte von den Kreisen und dem Quadrat. Die Fläche des Quadrates kennt man, sie beträgt 60 cm · 60 cm = 3600 cm2. Das Verhältnis der Treffer kann man auch berechnen, es beträgt 64 : 88. Dann müsste man daraus die Fläche eines Kreises bestimmen können. Was meinst du dazu? Gina hat durch Probieren mit dem Taschenrechner herausgefunden, dass die gesuchte Zahl ungefähr 655 cm2 ist. Wie kann sie das begründen? Lisa hat eine andere Idee. Sie rechnet aus, dass ungefähr 72,7% der Treffer in den Kreisen gelandet sind. Dann muss auch die Fläche der vier Kreise zusammen 72,7% der Quadratfläche betragen. Wie kann sie ihre Rechnung begründen? Prüfe nach, ob die Idee von Lisa zum gleichen Ergebnis führt wie bei Gina. Das Verfahren, mit einem Zufallsexperiment z.B. eine Kreisfläche näherungsweise zu bestimmen, bezeichnet man als Monte-Carlo-Methode (Monte Carlo ist das Spielerparadies in Monaco). Man geht davon aus, dass hierbei Kreisflächen und Quadratflächen zufällig getroffen werden. Damit entspricht das Verhältnis der Treffer ungefähr dem Verhältnis der Flächeninhalte. Quelle: Mathe-Netz 7 (2000), S. 97 (leicht verändert) 8 Methode 5: π bestimmen wie einst ARCHIMEDES Um eine Näherung für zu bestimmen, betrachtete Archimedes einen Einheitskreis, also einen Kreis mit r = 1, und darin eine Folge einbeschriebener regelmäßiger n-Ecke. Er beginnt mit einem Sechseck. Aus diesem Sechseck wird dann ein 12-Eck, ein 24-Eck, ein 48-Eck usw. konstruiert. Mit größer werdender Eckenzahl n erhält er aus den Umfängen dieser n-Ecke immer bessere Näherungen für den Kreisumfang. Stelle eine Formel für die Seitenlänge des regelmäßigen n-Ecks auf. Versuche die Umfänge mit Hilfe einer Tabellenkalkulation für große n zu bestimmen. Annäherungen an : Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung von über Umfang oder Flächeninhalt des Kreises Eignung, (mögliche) Methoden: Schüler erarbeiten in Gruppen durch verschiedene Methoden und stellen sich die Ergebnisse vor. Bemerkungen zu den vorgestellten Methoden: Methode 1: Rundherum, dass ist nicht schwer ... „Ungewohnt ist dabei, dass die Messwerte zunächst sehr unsortiert vorliegen. Ungewohnt ist auch die Aufgabe, dann eine ungefähre Gerade durch alle Punkte zu legen. Diese ist nicht eindeutig zu bestimmen und man muss darüber diskutieren, was als gute Lösung akzeptiert wird. Hierbei werden die Parameter der Geradengleichung variiert, bis die beste Lösung gefunden ist“ (Wilfried Herget; Thomas Jahnke; Wolfgang Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I, Orell Verlag, Berlin, S. 2000). Methode 2: Rollende Räder Weitere Fragestellungen: 1. Wie verändert sich die Länge des Weges bei einer Umdrehung, wenn sich der Durchmesser des Rades verdoppelt? Hat Svenja Recht? 2. Wie kann man für ein Rad die Länge des Weges bei einer Umdrehung berechnen? 3. Wie kann man für ein Rad die Länge des Weges bei mehreren Umdrehungen berechnen? 4. Rechne den Weg aus für ein Rad bei 20, 30 etc. Umdrehungen. 9 Methode 5: π bestimmen wie einst ARCHIMEDES Nach der Erarbeitung der Archimedischen Iterationsformel s 22n 2 4 s n2 zur Approximation von π wird eine Tabelle mit dem Kalkulationsprogramm Excel angefertigt. Dazu wird der Befehl „Wurzel“ benötigt; die Formel lautet =WURZEL(2-WURZEL(4-C6^2)). Das Verfahren gibt nach 16 Schritten Diskussionsstoff: Die Näherungswerte für π werden nun kleiner. Nach 28 Schritten liefert der Rechner sogar den Wert 0. Die Berechnung verbessert sich, wenn man mit einer anderen Iterationsformel, die aus der ersten durch Äquivalenzumformungen hervorgeht, arbeitet: s n2 s 22n . 2 4 s n2 Quelle: Barbara Ringel: Pi mal Daumen – Katastrophen bei numerischen Verfahren mit dem Computer, in: mathematik lehren, Heft 93, 1999, S. 54 Im Anschluss an das beschriebene numerische Verfahren zur Bestimmung von π kann der neben stehende Zeitungsartikel behandelt werden. Kleine Alternative: Ausgangslage ist ein Viertelkreis. „Bestimmt den Flächeninhalt durch ‚Auslegen’ mit vielen Dreiecken oder Rechtecken oder Trapezen“. Doppelstunde nötig. Eventuell vorbesprechen und dann als arbeitsteilige Gruppenarbeit in einem Computerraum (z.B. mit Derive) stellen. Die Gruppen im Anschluss Ergebnisse vorstellen lassen. Mögliche Ergänzung: Das alte Testament schildert im Bericht über Salomons Tempelbau (um 950 v. Chr.) verschiedene Tempelgeräte. Dabei wird auch ein riesiges Gefäß beschreiben, das für Waschungen der Priester gedacht war (1. Könige 7,23): „Dann machte er das „Meer“. Es wurde aus Bronze gegossen und maß zehn Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und fünf Ellen konnte es rings umspannen.“ Welcher Wert für die Kreiszahl geht aus dem Text hervor? 10 Vorschlag 14.3: Vom Umfang zum Flächeninhalt Kannst du entdecken, wie Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zusammenhängen? Vielleicht hilft es dir, wenn du die ausgeschnittenen Teile geeignet aneinander legst. Was passiert, wenn die Kreisteile immer dünner werden? 11 Vom Umfang zum Flächeninhalt: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt Variationen der Aufgabe: Engere Aufgabenstellung: „Male eine Hälfte des Kreises mit einer Farbe, die andere Hälfte mit einer anderen Farbe aus. Schneide die Kreisteile aus. Kannst du so entdecken, wie Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zusammenhängen? Vielleicht hilft es dir, wenn du die ausgeschnittenen Teile geeignet aneinander legst.“ In leistungsschwächeren Gruppen kann die richtige Anordnung für die ersten Kreissegmente bereits vorgegeben werden. Ein möglicher Unterrichtsgang zum Thema Kreis: Einstieg mit Käseschachtel aus Holz, rund, mit Unter- und Oberteil. Boden und Deckel aus Sperrholz (dünn), 1m2 für 22, 95 DM. Rand aus 2,5 cm breitem (Bastel-)Spanstreifen, 10 m für 4, 95 DM. „Wie viel kostet das Material?“. Schüler sollen erkennen, dass sie den Flächeninhalt und den Umfang kennen müssen. Erarbeitung von Umfang und Flächeninhalt (siehe Vorschläge 14.2 und 14.3). Rückkehr zur Ausgangsfrage. Weiterarbeit mit Sachaufgaben zur Berechnung von Kreissektoren und –ringen. Zylinder und sonstige Prismen (mit Kreisteilen als Grundfläche), „Bohrungen“ (=Flächen mit Ausschnitten). Mögliche Vernetzungen: „Verschnitt“ beim Vergleich von Kreisflächen und den umgebenden bzw. eingeschriebenen Quadraten in Prozent, Zuordnungen: Materialverbrauch bzw. –kosten bei Veränderung von A, d und r. „Baumstammdicke“ über Satz des Pythagoras. 12 Vorschlag 14.4: Band um den Äquator Um den Äquator denke man sich straff ein Seil gespannt. Dieses wird nun an einer beliebigen Stelle aufgeschnitten und um exakt einen Meter verlängert. Dann wird es zusammengebunden und wieder um den Äquator gelegt. Es steht nun wegen der durchgeführten Verlängerung etwas vom Äquator ab. Passt unter dem Seil eine Maus durch? Untersucht die zugeteilten Gegenstände oder sucht euch selbst geeignete. Ermittelt zunächst den Umfang und den Radius des Gegenstandes. Dann verlängert ihr den Umfang um 1m und legt ein Band mit dieser Länge so um den Gegenstand, dass der Abstand des Gegenstandes zum Band überall gleich ist. Wie groß ist dieser Abstand? Nr. Gegenstand Radius Umfang Abstand des verlängerten Bandes vom Gegenstand 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Was fällt euch auf? 13 Band um den Äquator: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Herausstellen der Proportionalität von Umfang und Radius Auflösen einer Paradoxie Variationen der Aufgabe: Mögliche Gegenstände: Klebebandrolle, Keksdosendeckel, Teedose, Untertasse, Münze, CDRom, Fahrradreifen etc. Gegenstände aus dem Klassenraum einbeziehen (Schur und Maßband in den Unterricht mitbringen, Schüler können z.B. Bleistift etc. ausprobieren): Seil um einen runden Papierkorb legen, 1m Seil hinzuknoten und erneut um den Papierkorb legen. „Wie ist es bei einem Bleistift?“. Statt eines Papierkorbes stellen wir und die Erde vor und knüpfen 1 m zum Äquator Seillänge hinzu. Gegenstand ohne Ausdehnung betachten, d.h. ein Seil mit 1 m Länge. Was passiert jetzt? Dynamische Vorstellung aktivieren, d.h. Gegenstand wird kontinuierlich vergrößert. Was passiert? Bei kleinen Gegenständen kann eine Verlängerung um 1 dm geeigneter sein (Mögliche) Lösungen: Rechnerische Lösung Inhaltliche Überlegung: Umfang ist proportional zum Radius, also Abstand: d 1m 2 16cm Alternative Aufgabenstellung: Wir denken uns eine Schnur um die Erde gelegt und verlängern diese dann um nur 1 m. Nun wird die ganze Schnur an einer einzigen Stelle straff von der Erde abgezogen: Wie weit ist die abziehende Hand von der Erde entfernt? Bemerkung zur alternativen Aufgabenstellung: Eine sehr interessante Aufgabe mit einer überraschenden Lösung: Die abziehende Hand ist ca. 121 m von der Erde entfernt. Lösungsidee: Aufstellen mehrerer Gleichungen (u.a. Winkelfunktionen) und geeignetes Einsetzen liefert eine Gleichung in einer Variablen, für die es kein elementares Lösungsverfahren gibt. Eine numerische Lösung mit einem CAS liefert den gesuchten Wert. Auch möglich: Systematisches Probieren mit oder ohne Excel. Eine Möglichkeit, sich die Lösung plausibel zu machen: Wir nehmen die Erde für eine Strecke von 200 km als eben an. Nun betrachten wir das rechtwinklige Dreieck in dem eine Kathete 100 km lang ist und die Hypotenuse nur 50 cm länger. Wie lang ist die andere Kathete? Antwort: ca. 316 m! Quelle: Aufgabe: mathematik lehren (1997) H. 84, S. 66f. Lösung: Walsch, Werner: Die aufgehängte Erdkugel.... In: Mathematische Unterrichtspraxis (2000), H. 1, S. 31-35. 14 Vorschlag 14.5: Rund ums Fahrrad Wie funktioniert eigentlich ein Fahrradtachometer? Ein Tachometer besteht aus einem Anzeigegerät, einem Sensor und einem Speichenmagneten. Der Sensor misst, wie oft der Speichenmagnet eine Umdrehung macht. Mit Hilfe des Radumfangs berechnet der Tacho dann die Entfernung. Der Tachometer funktioniert also nur richtig, wenn der Radumfang korrekt eingestellt ist. In den Bedienungsanleitungen der Tachometer wird dies beschrieben. Beurteile die folgende Methode: METHODE 2: Markieren Sie eine Stelle auf dem Reifenmantel des Vorderrades. Als Markierung ist das Ventil geeignet. Bringen Sie diese Markierung mit einer Markierung auf der Straße zur Deckung. Stützen Sie sich auf den Lenker und schieben Sie das Fahrrad, bis das Vorderrad genau eine Umdrehung vollzogen hat. Markieren Sie jetzt die Stelle auf dem Boden an der die Reifenmarkierung wieder den Boden berührt. Messen Sie den Abstand zwischen den beiden Bodenmarkierungen, und Sie erhalten jetzt den Reifenumfang. Einen exakteren Wert erhalten Sie, wenn Sie das Vorderrad dreimal abrollen und die gemessene Strecke durch drei dividieren. Quelle: Bedienungsanleitung des S510 von Polar 1 Der Kilometerzähler eines Autos ist abgestimmt auf einen Reifendurchmesser von 50 cm. Mit der Zeit fahren sich die Reifen natürlich ab. Wird der Kilometerzähler dadurch ungenau? 2 Bei einem Fahrrad beträgt der Durchmesser des Hinterrades 70 cm, das vordere Kettenrad hat 46 Zähne, das hintere 16 Zähne. Wie oft muss ein Radfahrer die Pedale durchtreten, um 120 km zurückzulegen? 3 Einige Maße von Fahrrädern: Durchmesser der Felge des Rades Fahrradtyp („Dicke der Bereifung in ca. 4 cm) in Zoll Meter in Meter in Meter Anzahl der Zähne Kettenrad Zahnkranz (am Hinterrad) Kinderrad 20 36 18 Jugendrad 24 40 18 Tourenrad 26 46 18 28 46 18 20 46 16 Klapprad 4 Radumfang Ein neuer Autoreifen hat 9 mm Profil. Berechne den Gummiverlust bei einem abgefahrenen Reifen wenn die Profiltiefe nur noch 3 mm beträgt. Rund ums Fahrrad: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Anwendungsorientierung Beurteilen von Gebrauchsanweisungen mit Hilfe der Mathematik Variationen der Aufgabe: Einen Fahrradreifen mit in den Unterricht nehmen 15 Vorschlag 14.6: Pizza Beurteile die Preise in der neben stehenden Speisekarte der Firma Tornado. Dinos Pizza Taxi bietet normalerweise runde Pizzas mit einem Durchmesser von 28 cm an. Würdest du eine Jumbo-Pizza bestellen? 1 Boris und Ingo haben zwei Pizzas geholt. Die Pizzas werden jeweils in 8 gleich große Stücke geschnitten. Boris isst seine eigene Pizza und außerdem 2 Stücke von Ingos Pizza, deren Rest Ingo selbst isst. a) Wie viel mehr Pizza isst Boris im Vergleich zu Ingo? Die Pizzas, die kreisrund sind, sind in den Größen klein, mittel und groß erhältlich. Eine kleine Pizza hat einen Durchmesser von 30 cm, eine mittlere hat einen Durchmesser von 40 cm und eine große einen Durchmesser von 50 cm. Alle sind gleich dick. Eine kleine Pizza kostet 6 Euro, eine mittlere 9 Euro und die große 14 Euro. b) Welche Pizza muss man kaufen, wenn man möglichst viel Pizza pro Euro bekommen möchte? Boris und Ingo erwarten Gäste und benötigen insgesamt 10 kleine Pizzas. Sie überlegen, an Stelle der 10 kleinen Pizzas eine Kombination aus kleinen mittleren und / oder großen Pizzas zu kaufen, mit denen sie die gleiche Menge Pizza für weniger Geld bekommen würden. 2 a) Drei Freunde treffen sich in einer Pizzeria. Jeder bekommt eine Pizza, die Durchmesser betragen 18 cm, 24 cm und 30 cm. Unerwartet kommt ein weiterer Freund hinzu. Die 4 wollen die Pizzas nun in gleich große Stücke aufteilen. b) Jeder von ihnen möchte ein zusammenhängendes Stück haben. 3 Ein Pizza-Bäcker möchte seine kleine Pizza (16 cm Durchmesser) zu 7 DM anbieten. Mit Blick auf die Konkurrenz möchte er auch eine Pizza zu 11 DM und zu 14 DM verkaufen. 16 Pizza: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Vergleich von Kreisflächeninhalten und Preisen Variationen der Aufgabe: Das Thema Pizza eignet sich auch gut für Aufgaben, bei denen nicht im Detail gerechnet werden muss, sondern „nur“ überlegt. Beispiel: Eine Pizza mit 20 cm Durchmesser kostet 6,DM, eine mit 30 cm Durchmesser 9,- DM. Nimm Stellung. (Mögliche) Lösungen: Der Preisvorteil bei der Jumbo-Pizza ist sehr gering. Die Werbung ist natürlich echt: Vielleicht sollten wir mal ein paar Schüler bei Dinos vorbeischicken... (1) a) 67%; b) Die große Pizza; c) Man kann 9 Euro sparen. (2) Die 30 cm Pizza wird halbiert. Die kleine Pizza kommt auf die 24 cm Pizza. Der vierte Freund bekommt die kleine Pizza und die Hälfte des nicht verdeckten Teils der mittleren Pizza. (3) Preis proportional zur Fläche? 17 Vorschlag 14.7: Scheibenwischer Welche Fläche reinigt eigentlich der Scheibenwischer? Scheibenwischer: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Modellbildung Berechnung von Kreissegmenten Variationen der Aufgabe: Schüler vermessen Autos auf dem Parkplatz. Vorsicht: Bei Ein-Wischer-Systemen (Mercedes) wird der Wischer vor- und zurückgeschoben. Was heißt das für den Flächeninhalt? Wird der größer oder kleiner? Beim Vermessen fremder Autos kann es Ärger mit dem Besitzer geben. Literaturhinweis: Strobel, Klaus; Mueller, Siegfried: Hauptschulmagazin, 11 /1986/ 4, S. 43-46 18 Vorschlag 14.8: Aufgaben rund um den Kreis (1) 1 Wählt man 2 Punkte auf einem Kreis und zeichnet die Sehne ein, so wird der Kreis in 2 Teile geteilt. Wählt man 3 Punkte und zeichnet alle zugehörigen Sehnen, so wird der Kreis in 4 Teile zerlegt, bei 4 Punkten in 8 Teile. Wie geht es weiter? Gibt es eine Formel oder ein Prinzip? 2 In einer Musikkassette befinden sich zwei Spulen mit einem festen Spulenkörper. Auf der linken Spule ist Band aufgewickelt, bis zu einem Gesamtradius von 2 cm. Wie lang ist es? Welche Bandlänge hat Platz? 3 Die Laufbahn in einem Leichtathletikstadion ist innen gewöhnlich von einer 5 cm breiten Betoneinfassung begrenzt. Gemessen bis zur Innenkante dieser Einfassung ist der Radius der Halbkreise 36,50 m, die sogenannten Geraden sind jeweils 84,39 m lang. 4 In einem Referat schreibt Jens: Die Flächen kreisrunder Inseln verhalten sich natürlich genauso wie die Zeiten, die man zu ihrer Umschiffung braucht. 5 Aus einem Blech sollen 4 kreisförmige Bleche oder aber ein großer Kreis herausgestanzt werden. Das Restblech wird entsorgt. 6 Ein Leuchtturmwärter verfolgt mit dem Fernrohr ein Schiff, das in 25 km Entfernung längs des Horizontes mit einer Geschwindigkeit 15 km/h fährt. 7 Die beiden Formeln ADreieck 12 g h und ASektor 12 b r würden ähnliches Aussehen haben und daher gut zu behalten sein. Stimmt die zweite Formel denn überhaupt? 8 Der Umfang der Vorderräder einer kleinen landwirtschaftlichen Maschine ist um 1 m größer als der Umfang der Hinterräder. Auf einer Fahrt haben sich die kleineren Räder 30-mal mehr gedreht als die größeren. 19 (2) Rund um den Kreis 1 2 Ein Bündel von 7 Rohren von je 10 cm Außendurchmesser soll durch ein möglichst kurzes Band zusammengehalten werden. Wie lang ist das Band? Das Bild zeigt vier konzentrische Kreise. Die innere Kreisfläche ist mit 1 bezeichnet. Die von dem innersten und dem nächstfolgenden Kreis begrenzte Fläche ist in zwei kongruente, mit 2 und 3 bezeichnete Flächen geteilt. Entsprechend werden die nächsten Kreisringe in 4 bzw. 8 jeweils kongruente Teilflächen zerlegt und fortlaufend nummeriert. Wie müssen die Verhältnisse der Radien der vier Kreise gewählt werden, damit alle diese sogenannten Flächenstücke einander inhaltsgleich sind? 9 8 15 4 5 2 14 1 3 7 13 10 6 11 12 3 Der Wurfkreis beim Diskuswerfen hat einen Durchmesser von 2,5 m und wird von einem 6 mm dicken und 76 mm hohen Stahlband begrenzt. Diese Stahlband muss ausgewechselt werden. Kannst du es allein tragen? Schätze zunächst. 4 Die Geschichte von der Malerleiter: Die Geschichte handelt von einem kleinen Planetarium, dessen Grundriss im wesentlichen aus zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt besteht. Über dem inneren Kreis befindet sich das eigentliche Planetarium, über dem Ring zwischen den beiden Kreisen verläuft ein Gang mit Garderobenhaken. Von diesem Gang hat ein Maler die gesamte ebene Decke neu gestrichen. Er kommt nach Hause und ärgert sich etwas: Seine beiden Kinder haben ihn abgeholt, und da hat er vor Freude vergessen, die gestrichene Fläche zu vermessen – wie soll er nur die Rechnung ausschreiben? Aber der kleine Stephan erinnert sich: „Als ich mit Sigrun die Leiter waagerecht weggetragen habe, da hat sie gerade so zwischen die Wände gepasst.“ Sigrun weiß, dass die Leiter genau 6 m lang ist, und überlegt. Nach einiger Zeit ruft sie stolz: „Vati, du hast 28,3 m 2 Decke gestrichen!“ Kann das mit rechten Dingen zugehen, wo doch sehr verschiedenartige Grundrisse die „Malerleiterbedingung“ erfüllen? 5 Bei einer Wahl erhalten die folgenden Parteien unterschiedlich viele Stimmen: CDU: 7352; SPD: 17503; FDP: 2398; GRÜNE: 3102; REPUBLIKANER: 1823; FWG: 2178; Ungültig: 237. Erstelle ein übersichtliches Diagramm. 6 7 Outdoor-Mathematik: Berechne die Rundenvorgaben bei einem 400 m – Lauf. Hol dir die Daten von deinem Sportplatz. Einem CD-Rohling kann man ansehen welche Teile bereits beschrieben wurden. Wann ist der Rohling halb voll? (Er wird innen zuerst beschrieben) 20 (3) Rund um den Kreis 1 In den USA sieht man häufig „kreisrunde“ Felder. Wie kommt dies und wie groß sind sie? 2 Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Durchmesser (seinen Umfang) verdoppelt? Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes, wenn man seinen Mittelpunktswinkel (den Radius) verdoppelt? 3 Aus einer Schar konzentrischer Kreise, bei denen die Differenz aufeinanderfolgender Radien konstant ist, wird ein Sektor herausgeschnitten. Gib ein Flächenpaar an, bei dem die eine Fläche 3-mal so groß ist wie die andere. 4 Die rechtwinklige Ecke eines Winkelbungalows soll (als Terrasse) mit Steinen ausgelegt werden. Wie viele Quadratmeter Steine und wie viel Meter Randstein muss man besorgen? 5 Auf der Außenfläche einer 6 cm hohen zylindrischen Dose mit dem Umfang 12 cm sitzt 1 cm über dem unteren Rand eine Fliege. An der Innenfläche, der Fliege genau gegenüber, hängt 1 cm unterhalb des oberen Randes ein Honigtropfen, der langsam nach unten fließt. 6 7 siehe Abbildung 21 Quellen: Mathematische Fundgrube; Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 10 (1997); Schnittpunkt 9 (1995); Unterlagen der MUED. Aufgaben rund um den Kreis: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung / Anwendung Vertikale Vernetzung (Mögliche) Lösungen: Blatt (1): n n (1) 2 4 8 16 aber 31! Allgemein: 1 4 2 (3) Viele Fragestellungen möglich, z.B.: 30 cm von Außenkante der Einfassung entfernt ist die Innenbahn genau 400 m lang. 1m Abweichung von Ideallienie: 10157 m statt 10000. (6) Der Leuchtturmwärter muss das Fernglas in 30 min. um 17,2 drehen. (7) Ja! (8) z.B.: Bei zurückgelegter Strecke von 181 m und 90 Umdrehungen (kleine Räder) wären die Radien der Räder 32 cm und 48 cm. Blatt (2): (1) (2) (3) (4) (5) Kreisdiagramm? (6) Laufbahnbreite: 1,22 m Blatt (3): (1) Beregnung; Größe hier ca. 13 ha (3) Unendlich viele Paare aus Teilen k und l, wenn gilt: k 3l 1 (4) Viertelkreis? Rechteck, Quadrat? Was ist günstiger? (5) Kürzester Weg (wenn Tropfen noch da): schräg auf Dose nach oben: 8,49 cm. Erst senkrecht hoch, dann rüberfliegen: 8,95 cm! (6) Umfang proportional zum Radius. Also z.B. durch einen Kreis ersetzen. 22 Vorschlag 14.9: Zwei gleiche Kreise M1 M2 Die Abbildung oben zeigt zwei völlig identische Kreise. Sie sind so angeordnet, dass die Kreislinie des einen Kreises durch den Mittelpunkt des anderen Kreises verläuft. Und entsprechend schneidet die Kreislinie des zweiten Kreises den Mittelpunkt des ersten Kreises. a) Wie groß ist der Anteil der Kreislinie eines der beiden Kreise, der sich im zweiten Kreis befindet? b) Die Kreise haben jeweils einen Radius von 100 Zentimetern. Wie groß ist dann der Abstand eines Schnittpunkts der beiden Kreislinien zur Geraden durch die Mittelpunkte beider Kreise? c) Wenn man die beiden Kreise als eine Fläche betrachtet, welchen Anteil dieser Fläche bildet dann die Schnittmenge der beiden Kreise? Quelle: Ole Fich: Mathelogik (2001), S. 18. Zwei gleiche Kreise: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Vernetzung (Mögliche) Lösungen: a) 13 (gleichseitiges Dreieck: Einen Schnittpunkt und die Mittelpunkte betrachten) b) 86,6 cm (rechtwinkliges Dreieck: Ein Schnittpunkt, ein Mittelpunkt und Mittelpunkt der Strecke, die Kreismittelpunkte verbindet) c) 24,3% (Zu den Dreiecken aus b) fehlen 4 Bogenstücke über den Dreiecksseiten. Diese als Differenz von Kreissektor (60) und Dreieck berechenbar) Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit 23 Vorschlag 14.10: Was ist größer – Der Kreis oder das Quadrat? Die Abbildung zeigt einen Kreis und ein Quadrat, wobei sich der größte Teil des Kreises innerhalb des Quadrats befindet, während ein kleiner Teil des Kreises außerhalb des Quadrats liegt. Kreis und Quadrat haben den gleichen Mittelpunkt. Für alle Seiten des Quadrats gilt, dass 60% der Seitenlänge innerhalb des Kreises oder auf der Kreislinie liegen. Welche der Figuren hat die größere Fläche? Quelle: Ole Fich: Mathelogik (2001), S. 31. Was ist größer – Der Kreis oder das Quadrat?: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Vernetzung (Mögliche) Lösungen: Der Kreis ist größer (rechtwinkliges Dreieck: Mittelpunkt, Mittelpunkt einer Quadratseite und angrenzender Schnittpunkt von Kreis und Quadrat). Beispiel: Quadratflächeninhalt = 1, dann Kreisflächeninhalt 1,068. Variationen der Aufgabe: Wie ändert sich der Faktor 1, 068, wenn die 60% variiert werden? 24 Vorschlag 14.11: Aug’ in Aug’ Welchen Flächeninhalt hätte das Auge einer Frau, die wirklich so groß ist wie auf dem Plakat? Wie groß wäre die Frau? Quelle: HNA vom 7. Juni 2001 Aug’ in Aug’: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Berechnung eines Kreisflächeninhalts Wiederholung von Proportionen (Mögliche) Lösungen: Durchmesser ca. 2,6 m. Flächeninhalt ca. 5,3 m2. Durchmesser in Wirklichkeit ca. 1 cm = 0,01 m. Nehmen wir an, die Frau ist in Wirklichkeit 1,7 m groß, dann wäre sie 221 m groß. Eignung, (mögliche) Methoden: Partner- bzw. Gruppenarbeit 25 Vorschlag 14.12: Die Uhr Der kleine und der große Zeiger einer Uhr bilden jederzeit einen Winkel, der zwischen 0 und 180 Grad variieren kann. Zu welchen beiden vollen Stunden im Laufe eines „Uhr-Umlaufs“ bilden die beiden Zeiger einen rechten Winkel? Zu welcher Uhrzeit zwischen halb sechs und sechs Uhr bilden die beiden Zeiger einen rechten Winkel? Wie oft innerhalb von 24 Stunden bilden die beiden Zeiger einen rechten Winkel? Wie oft innerhalb von 24 Stunden bilden die beiden Zeiger zu ganzen Minuten einen rechten Winkel? Zu welcher Uhrzeit zwischen acht Uhr und halb neun bilden die beiden Zeiger einen 180 Winkel? Quelle: Ole Fich: Mathelogik (2001), S. 42. Die Uhr: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung der Winkelmaße Schulung der Vorstellung Argumentieren und begründen (Mögliche) Lösungen: a) 03:00 und 09:00 Uhr b) 05:44 Uhr (Stundenzahl bekannt: 5; Gesucht Minutenzahl; Großer Zeiger bewegt sich um 6 Grad pro Minute; Kleiner Zeiger bewegt sich um 0,5 Grad pro Minute; Winkelgrößen als Gleichung aufstellen; Differenz gleich 90 setzen.) c) 48 (2 mal pro Stunde) d) 4 (Gleichung aus b) benutzen. Geht nur bei 03:00 und 09:00 Uhr) e) ca. 8:11 (wieder über Gleichungen) 26 Vorschlag 14.13: Kreise und Quadrate Zuerst wird ein ganz gewöhnlicher Kreis mit dem Radius von 1 cm gezeichnet. Diesen nennen wir K1. Um diesen Kreis wird dann ein Quadrat gezeichnet, in das der Kreis ganz genau hineinpasst und es an vier Stellen berührt. Dieses Quadrat nennen wir Q1. Anschließend wird um das Quadrat ein Kreis gezeichnet, in den das Quadrat ganz genau hineinpasst. Diesen Kreis nennen wir K2. Dies kann man unendlich oft wiederholen. K2 Q2 Q1 K1 a) Wie groß ist der Durchmesser von K11? b) Wie groß ist die Fläche von Q20? Quelle: Ole Fich: Mathelogik (2001), S. 87. Kreise und Quadrate: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Argumentieren und begründen (Mögliche) Lösungen: a) 64 cm (Radius = 2 x 1 wobei x die Nummer des Kreises ist) b) ca. 210 m2 (wie a): Durchmesser Kreis 20 14,48 m) 27 Vorschlag 14.14: Vier Kreise Vier kongruente Kreise sind symmetrisch angeordnet, so dass sie sich gerade berühren und eine Fläche einschließen. Wir nehmen an, die Kreise haben einen Durchmesser von 10 cm. Wie groß ist die eingeschlossene Fläche? Quelle: Ole Fich: Mathelogik (2001), S. 33. Vier Kreise: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Argumentieren und Begründen (Mögliche) Lösungen: 21,5 cm2 (Quadrat mit FI 4r2 durch Verbinden der Mittelpunkte; Dieses Quadrat umfasst genau ein Viertel jedes Kreises und außerdem das von den Kreisen eingeschlossene Areal. 28 Vorschlag 14.15: Berechnung von Kreisfiguren 29 Quelle: Gisela Opper: Ei, Herz, Brezel… Wir berechnen Kreisfiguren. In: mathematik lehren (1986) H. 14, S. 22-25. Vier Kreise: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Berechnung von Kreisflächeninhalten Übung Variationen der Aufgabe: Mit Rechtecken, Quadraten, ... umgeben; Verschnitt berechnen lassen. (Mögliche) Lösungen: 30 Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit, danach je 2 Paare vergleichen und diskutieren lassen 31 Vorschlag 14.16: Münzteppich aus Pfennigen Prüfe die Gewichtsangabe und die Flächenangabe in der Zeitungsmeldung. Nimm dabei an, dass die Münzen wie in der Abbildung auf die Straße gelegt wurden. Kannst du eine platzsparendere Legeweise finden? Berechne dann die benötigte Fläche. Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe. Kallmeyer (1998), S. 91. Münzteppich aus Pfennigen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übung (Mögliche) Lösungen: Gewicht: Ein Pfennigstück wiegt ca. 2 g. Also Gewicht von 1800.000 Pfennigen: 3,6 t Fläche: 2 unterschiedliche Methoden. 1. Für 15 Münzen benötigt man ca. 38,6 cm2 (mit Rechteck annähern). Also für 1,8 Mill.: ca. 460 m2. 2. (Von Arnold Kirsch): Mit jeder Münze kommen gerade auch r 2 zwei „Zwickel“ von je dem Inhalt r r 3 hinzu. Der 2 Flächenbedarf pro Münze beträgt also 2 3 r 2 , und bei einem Radius von 0,84 cm erhält man als Gesamtfläche ca. 440 m2. Es lohnt sich also, genauer hinzuschauen. 32 Vorschlag 14.17: Das Polizeiauto Ein Polizeifahrzeug fährt nachts in einer Kreiskurve und leuchtet das Kreisinnere mit einem Suchscheinwerfer ab, der starr am Auto angebracht ist. Trotzdem bleibt im Inneren der Kreiskurve eine gesuchte Person unsichtbar. Was wurde falsch gemacht? Quelle: K. Meyer: Anwendungsaufgaben im MU (1980), S. 95. Das Polizeiauto: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Kreis als Hüllkurve seiner Tangenten Variationen der Aufgabe: Zeichnung weglassen. Statt dessen Experiment mit einer Taschenlampe Inneren Kreis bereits vorgeben Übertragung auf andere Situationen: Flugzeug sucht Verletzte. (Mögliche) Lösungen: Die Person bleibt unsichtbar, weil der Scheinwerfer nicht senkrecht zur Fahrtrichtung stand. Aber ist senkrecht immer so praktisch – gerade wenn ich Verbrecher suche? Erfahrungen: Lehrer (Gesamtschule): „Die Aufgabe ist in A- und B-Kurs-Arbeiten eingesetzt worden und zufriedenstellend bearbeitet worden. Aufgabe erfordert weder Rechnung noch Konstruktion, sondern eine adäquate Beschreibung eines bekannten Sachverhalts. 33 Vorschlag 14.18: Theaterdonner Das große Ereignis der Kreisstadt war die Einweihung des neuen Theaters. Es war vom Architekten Ringelmoos mit kreisförmigem Grundriss gebaut. Der kreisförmige Theatersaal lag konzentrisch in der Mitte. Um ihn herum war ringförmig das Foyer angeordnet. Die Kreisstadt jubelte. Die erste Premiere war ein voller Erfolg, wenn man davon absah, dass das Orchester die Noten nicht fand, die Sänger den Text nicht konnten, und der Dirigent in die Pauke fiel. Am nächsten Morgen kam die Putztruppe der Reinigungsfirma »Alles im Eimer«, die insbesondere den ringförmigen Flur mit Lauge überschwemmte und auf Hochglanz bohnerte. Zum Feierabend kehrte die Putzkolonne zurück. Herr Besenstiel, der Chef der Reinigungsfirma, wollte die Rechnung schreiben und fragte nach dem Flächeninhalt des Flures. Niemand wusste ihn. Da war guter Rat teuer. Herr Besenstiel, vom Tag ermüdet, donnerte: »Jetzt kann ich morgen wieder herumtelefonieren, wobei man niemals jemanden antrifft, der Bescheid weiß. Oder ich muss jemanden hinschicken, was teure Arbeitszeit kostet...« usw., usw., kurz, was man so sagt, wenn man nervös ist. Da meinte eine der Raumpflegerinnen: »Nun regen Sie sich man wieder ab, Chef! Ich habe nämlich zufällig die längste Strecke gemessen, die man im Flur geradeaus bohnern kann. Ich wollte wissen, ob das Kabel der Bohnermaschine dafür reicht. Unser Kabel ist 80 Meter lang und reichte gerade. Also ist die genannte Strecke 80 Meter lang.« »Was soll ich denn damit?«, knurrte der Chef, immer noch gereizt.. Die Frau sah ihn erstaunt an: »Na, damit kennen Sie den Flächeninhalt!« Sprach's und begann, sich die Schürze abzubinden. Herr Besenstiel stutzte: »Sind Sie sicher?«-»Ganz sicher! Wissen Sie, mein Sohn, dem ich gelegentlich bei den Mathematikaufgaben helfe ...« »Schon gut, schon gut!«, rief der Chef aus, und sein Ärger verflog wie eine Steuernachzahlung: »Wenn Sie Ihrer Sache so sicher sind, kann ich den Flächeninhalt des Flures sogar im Kopf berechnen. Er ist - gerundet - 5027 m2.« Donnerwetter! Wie machte er das? Weiß es der Leser? Wenn nicht, so überlege er zuerst, bevor er weiterliest! Nun alles klar? Der Chef, so muss man annehmen, sagte sich: »Wenn die Frau derartig sicher ist, dann hängt der gesuchte Flächeninhalt des Ringes nur von der angegebenen Streckenlänge ab, unabhängig vom inneren wie äußeren Radius des Ringes. In diesem Falle kann ich ersatzweise einen Ring betrachten mit innerem Radius null und äußerem Radius 80/2 m = 40 m. Dies ist ein Kreis mit einem Radius von 40 m. Sein Flächeninhalt ist 402m2, was man mit = 3,142 im Kopf rechnen kann. Er ergibt sich gerundet 5027 m2.« Dass der Flächeninhalt des Ringes tatsächlich nur von der Länge der skizzierten Sehne abhängt, scheint zunächst ganz unwahrscheinlich. Der Beweis dagegen ist sehr einfach, wie der Leser mühelos selbst feststellt. - Quelle: Friedrich Wille: Eine mathematische Reise (1984), S. 82f. 34 Theaterdonner: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines Kreisrings und der längsten Sehne darin Variationen der Aufgabe: Die Aufgabe kann gut in ein mathematisches Theaterstück umgeschrieben werden. Z.B. könnten sich zwei Putzfrauen streiten, welche von Ihnen mehr putzen muss. (Mögliche) Lösungen: Der äußere Radius des Flurringes sei R, der innere Radius r. Damit ist der Flächeninhalt F des Flurrings gleich F R 2 r 2 R 2 r 2 . Die halbe Länge der in der Aufgabe auftretenden Sehne ist h = 40 m. Nach Pythagoras ist h 2 R 2 r 2 (siehe Skizze), also der Flächeninhalt F h 2 . 35
