Körpertheorie: Multiple-Choice

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Ferienkurs Algebra 1
WS 08/09
Michael Vogt
Körpertheorie: Multiple-Choice
Es seien immer K, L, M Körper, R, S Ringe, I, J Ideale, d, n ∈ N natürliche Zahlen, p ∈ P eine
Primzahl, q ∈ N eine Primzahlpotenz.
(1) Zu jedem n ∈ N gibt es einen Körper K mit char(K) = n.
richtig
falsch
(2) Zu jedem p ∈ P gibt es genau einen Körper K mit char(K) = p.
richtig
falsch
(3) Zu jedem p ∈ P gibt es genau einen Körper K mit |K| = p.
richtig
falsch
(4) char(K) = p ⇒ |K| = p.
richtig
falsch
(5) char(R) = p ∈ P ⇒ R ist Körper.
richtig
falsch
(6) F p ∼
= Z p.
richtig
falsch
(7) Fq ∼
= Zq .
richtig
falsch
(8) F8 ist ein Teilkörper von F16 .
richtig
falsch
(9) F81 hat genau 4 Teilkörper.
richtig
falsch
(10) F27 |F3 hat Erweiterungsgrad 9.
richtig
falsch
(11) Für alle Unterkörper K, L ⊆ F64 gilt: K ⊆ L oder L ⊆ K.
richtig
falsch
(12) ∀ n ∈ N : ∃ f ∈ F p [X] : deg( f ) = n, f normiert und irreduzibel.
richtig
falsch
(13) ϕ : K → R Ringmorphismus, R 6= {0} ⇒ |K| ≤ |R|.
richtig
falsch
√ √
(14) Der Grad der Körpererweiterung Q( 3, 12)|Q ist 4.
richtig
falsch
√
(15) Q( 4 2)|Q ist ein Zerfällungskörper von X 4 − 2 ∈ Q[X].
richtig
falsch
1
√
(16) X 4 − 2 ∈ Q[X] ist das Minimalpoynom von − 4 2 über Q.
richtig
falsch
√
(17) Das Minimalpoynom von i 5 5 über Q hat Grad 5.
richtig
falsch
(18) Q(π)|Q ist eine endliche Körpererweiterung.
richtig
falsch
√
(19) Q( π)|Q ist eine algebraische Körpererweiterung.
richtig
falsch
(20) Jede algebraische Körpererweiterung ist endlich.
richtig
falsch
(21) deg( f ) = 1 ∀ irreduziblen f ∈ K[X] ⇒ K algebraisch abgeschlossen.
richtig
falsch
(22) K algebraisch abgeschlossen ⇒ deg( f ) = 1 ∀ irreduziblen f ∈ K[X].
richtig
falsch
(23) M|K galois’sch ⇒ ∀ Zwischenkörper L ist L|K galois’sch.
richtig
falsch
√
(24) Q( 3 2)|Q ist galois’sch.
richtig
falsch
(25) L|K nicht galois’sch ⇒ | Aut(L : K)| < [L : K].
richtig
falsch
2