Prof. Dr. L. Schwachhöfer WS 2013/14 5. ¨Ubungsblatt zur

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
WS 2013/14
5. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie
Abgabe: Montag, 18.11.13, bis 16 Uhr in dem Ablagefach
bei Raum 931, 9. OG
Aufgabe 1:
Seien X, Y wegzusammenhängend und x0 ∈ X, y0 ∈ Y .
Zeigen Sie: π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ∼
= π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ).
Aufgabe 2:
Sei π : X̃ → X eine Überlagerung.
Zeigen Sie: Ist A ⊆ X ein Deformationsretrakt von X, so ist à := π −1 (A) ein
Deformationsretrakt von X̃.
Aufgabe 3:
Zeigen Sie den folgenden Fixpunktsatz:
Jede stetige Abbildung f : D2 → D2 hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x0 ∈ D2
mit f (x0 ) = x0 .
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Definieren Sie die Abbildung g : (D2 × D2 )\∆D2 → S 1 , wobei
∆D2 = {(x, x) | x ∈ D2 }, durch die Vorschrift:
g(x, y) ist der von x verschiedene Schnittpunkt des Strahls xy
~ mit S 1 .
Zeigen Sie, dass g wohldefiniert und stetig ist.
b) Zeigen Sie: Hat f keinen Fixpunkt, so ist die Abbildung
h : D2 → S 1 , h(x) := g(f (x), x)
stetig, und h|S 1 = Id. Leiten Sie daraus einen Widerspruch her.
Aufgabe 4:
Beweisen Sie den Hauptsatz der Algebra:
Jedes Polynom p : C → C, p(z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 mit n ≥ 1 hat eine
Nullstelle.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Angenommen p sei ein Polynom ohne Nullstelle. Dann ist für r ≥ 0 die Abbildung
p(rz) |p(r)|
fr : (S 1 , 1) → (S 1 , 1), fr (z) :=
|p(rz)| p(r)
wohldefiniert und homotop zur konstanten Abbildung.
b) Für r > 0 hinreichend groß ist
g(z, t) := t p(rz) + (1 − t)rn z n 6= 0 für z ∈ S 1 , t ∈ [0, 1].
c) Zeigen Sie mit Hilfe von b), dass fr homotop zur Abbildung z 7→ z n ist und
leiten Sie daraus einen Widerspruch her.