Prof. Dr. L. Schwachhöfer WS 2013/14 5. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie Abgabe: Montag, 18.11.13, bis 16 Uhr in dem Ablagefach bei Raum 931, 9. OG Aufgabe 1: Seien X, Y wegzusammenhängend und x0 ∈ X, y0 ∈ Y . Zeigen Sie: π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ∼ = π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ). Aufgabe 2: Sei π : X̃ → X eine Überlagerung. Zeigen Sie: Ist A ⊆ X ein Deformationsretrakt von X, so ist à := π −1 (A) ein Deformationsretrakt von X̃. Aufgabe 3: Zeigen Sie den folgenden Fixpunktsatz: Jede stetige Abbildung f : D2 → D2 hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x0 ∈ D2 mit f (x0 ) = x0 . Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Definieren Sie die Abbildung g : (D2 × D2 )\∆D2 → S 1 , wobei ∆D2 = {(x, x) | x ∈ D2 }, durch die Vorschrift: g(x, y) ist der von x verschiedene Schnittpunkt des Strahls xy ~ mit S 1 . Zeigen Sie, dass g wohldefiniert und stetig ist. b) Zeigen Sie: Hat f keinen Fixpunkt, so ist die Abbildung h : D2 → S 1 , h(x) := g(f (x), x) stetig, und h|S 1 = Id. Leiten Sie daraus einen Widerspruch her. Aufgabe 4: Beweisen Sie den Hauptsatz der Algebra: Jedes Polynom p : C → C, p(z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 mit n ≥ 1 hat eine Nullstelle. Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Angenommen p sei ein Polynom ohne Nullstelle. Dann ist für r ≥ 0 die Abbildung p(rz) |p(r)| fr : (S 1 , 1) → (S 1 , 1), fr (z) := |p(rz)| p(r) wohldefiniert und homotop zur konstanten Abbildung. b) Für r > 0 hinreichend groß ist g(z, t) := t p(rz) + (1 − t)rn z n 6= 0 für z ∈ S 1 , t ∈ [0, 1]. c) Zeigen Sie mit Hilfe von b), dass fr homotop zur Abbildung z 7→ z n ist und leiten Sie daraus einen Widerspruch her.