WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME

Fachseminar Stochas/k
WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME
R E F E R E N T E N : N I N A DRÜK E, DA N I ELA O ST H UES UN D A N N A K N AUP 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 1 1. Eins/eg: Brainstorming
„Welche Alltagssituationen kennst du, die vom
ZUFALL geprägt sind?“
23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 2 2. Wahrscheinlichkeitsräume
23.11.15 à stellen ein mathema?sches Modell dar, welches für die Durchführung eines Zufallsexperiments gebraucht wird WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 3 2.1 Ω, die Menge der Elementarereignisse
•  als Ω wird jede nicht-­‐leere Menge zugelassen •  gilt für alle Zahlenräume •  jedes Element aus diesem Ω heißt Ergebnis „𝜔 “ und wird dargestellt als 𝜔 ∈ Ω
•  im Folgenden: Beschränkung auf abzählbare Mengen (wie bspw. die natürlichen Zahlen N)
•  gewisse Freiheit bei der Wahl von Ω (Beispiel an der Tafel) 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 4 2.2 Was sind Mengensysteme?
•  wir starten mit einer Menge Ω (Gesamtmenge/ Menge aller Elementarereignisse) •  Ω lässt sich in Teilmengen (E) teilen Ø  die Menge aller Teilmengen heißt Potenzmenge von Ω Ø  geschrieben P(Ω) oder P(Ω) ≔ {E|E ⊂ Ω} • gewisse Teilmengen können zu neuen Gesamtheiten zusammengeführt werden Ø  heißt Mengensystem auf Ω : Ɛ (Beispiel an der Tafel) 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 5 Zwischenfazit
„Um den Zufall in einer speziellen Situa8on zu beschreiben, brauchen wir zunächst eine Menge Ω. Das sind die mö̈ g lichen Ergebnisse des „Zufallsexperiments“. Und dann muss eine σ-­‐Algebra ε auf Ω gegeben sein. Die Interpreta8on: Für die E ∈ ε ist die Frage „Liegt das Ergebnis ω des Experiments in E?“ zulässig.“ [Behrends 2013. S. 9] 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 6 2.3 Wahrscheinlichkeitsmaße
Defini?on „Wahrscheinlichkeitsmaß“ (ℙ) (Beispiel an der Tafel) 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 7 2.4 Defini/on „Wahrscheinlichkeitsraum“
23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 8 2.5 Defini/on „σ-­‐Algebra“ (hier: ℇ)
23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 9 2.5.1 Eigenschaben von σ-­‐Algebren
•  an dieser Stelle kommen mögliche Kombina?onen von Ereignissen ins Spiel (z.B. Vereinigung ∪, Schnipmenge ∩, Komplementärereignisse Ē) 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 10 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 11 2.5.2 Eigenschaben von Wahrscheinlichkeitsmaße
•  aus den Wahrscheinlichkeitsmaßen lassen sich diverse Folgerungen anstellen: 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 12 Problem
Bisher: Ø  Beschränkung auf abzählbare Mengen wie beispielsweise auf N Was ist aber mit ​ℝ↓≧0 bzw. ℝ ? 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 13 Quellen
•  Behrends, E.: Elementare Stochas?k. Ein Lehrbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum 2013 •  Schmidt, K.D.: Versicherungsmathema?k. Berlin, Heidelberg: Springer 2006 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 14