¨UBUNGSBLATT 7

ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG
SCHUBERT VARIETÄTEN
ÜBUNGSBLATT 7
Aufgabe 1. Ein topologischer Raum wird noethersch genannt wenn jede absteigenden
Folge von abgeschlossenen Teilmengen stationär wird, d.h. wenn Y1 ⊇ Y2 ⊇ . . ., dann
gibt es ein r so dass Yr = Yr+1 = . . .. Man definiert als topologische Dimension dimtop Y
die maximale Länge Z0 ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Zn einer Kette von verschiedenen abgeschlossenen
Teilmengen.
a) Sei Y eine irreduzible affine Varietät. Zeigen Sie: Y ist mit der Zariski-Topologie
ein noetherscher Raum.
b) Sei R eine endlich erzeugte reduzierte nullteilerfreie Algebra. Unter der KrullDimension von R versteht man das Supremum aller natürlichen Zahlen n, so dass
es eine Folge p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn von verschiedenen Primidealen gibt. Zeigen Sie:
Ist Y eine affine Varietät, dann ist dimtop Y =Krull-Dimension von k[Y ].
Bemerkung: Ein Satz aus der Kommutativen Algebra besagt: Krull-Dimension von
k[Y ] = Transzendenzgrad von K(Y ), die drei Definitionen einer Dimension liefern also
immer die gleiche Zahl.
Aufgabe 2. Gegeben seien n, d > 0 und seien M0, M1 , . . . ,MN alle Monome vom Grad
n+d
d in den n+1 Variablem x0 , . . . , xn , dann ist N =
−1. Definiere Ψ : Pn → PN
n
durch
Pn 3 [a0 : a1 : . . . : an ] 7→ [M0 (a0 , a1 , . . . , an ), M1 (a0 , a1 , . . . , an ), . . . , MN (a0 , a1 , . . . , an )],
d.h. man ersetzt in dem Monom Mj die Variable xi durch ai , i = 0, . . . , n.
a) Zeigen Sie: Ψ ist wohldefiniert, d.h. unabhänging von der Wahl der homogenen
Koordinaten.
b) Sei θ : k[y0 , . . . , yN ] → k[x0 , . . . , xn ] die Abbildung defininiert durch xi 7→ Mi .
Zeigen Sie: a = Ker θ ist ein homogenes Ideal.
c) Zeigen Sie: Im Ψ ist das Nullstellengebilde V (a) des Ideals a, insbesondere ist
das Bild eine projektive algebraische Menge. Zeigen Sie: Im Ψ ist irreduzibel.
d) Zeigen Sie: Ψ : Pn → V (a) ⊆ PN ist ein Homeomorphismus.
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