Fortgeschrittene Zahlentheorie FS 2015 Blatt 1 A. Surocca, H

Fortgeschrittene Zahlentheorie
Blatt 1
FS 2015
A. Surocca, H. Schmidt
Alle Ringe sind kommutativ und haben ein Einselement.
Aufgabe 1. (1 + 1 Punkte). Ein Ring R ist noethersch falls es für jede aufsteigende
Kette von Idealen I1 ⊂ I2 ⊂ · · · in R ein n ≥ 1 gibt, sodass In = In+1 = · · · .
(i) Ist der Ring der ganzen Zahlen Z noethersch?
(ii) Finde Beispiele von noetherschen und nicht-noetherschen Ringen.
Aufgabe 2. (1 + 1 Punkte). Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und ζn die komplexe Zahl e2πi/n .
(i) Zeigen Sie dass Z[ζn ] = {a0 + a1 ζn + · · · + an−1 ζnn−1 ; a0 , . . . , an−1 ∈ Z} ein Unterring des Körpers der komplexen Zahlen ist.
(ii) Zeigen Sie dass Z[ζn ] noethersch ist.
Aufgabe 3. (1 + 1 + 1 +1 Punkte). (Sei ζ3 wie in der letzten Aufgabe mit n = 3.)
(i) Benutzen Sie den euklidischen Algorithmus um zu zeigen dass Z[ζ3 ] ein Hauptidealring ist. [Daraus
√ folgt dass Z[ζ3 ] faktoriell ist.]
(ii) Beweisen Sie dass −3 ∈ Z[ζ3 ].
(iii) Faktorisieren Sie 2 und 3 in Z[ζ3 ] jeweils in seine Primfaktoren.
(iv) Zeigen sie dass die Gruppe der Einheiten Z[ζ3 ]∗ zyklisch von Ordung 6 ist und
finden Sie einen Erzeuger.
Aufgabe 4. (1 Punkt). Finden Sie alle ganzen Zahlen x und y, sodass y 2 = x3 − 3.
[Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 3.]
Aufgabe 5. (1 +1 Punkte). Sei K der Zahlkörper K = Q(21/3 ). Berechnens Sie
T rK/Q (22/3 + 21/3 + 1) und NK/Q (21/3 ).
Aufgabe 6. (1 +1 +1 Punkte). Sei K eine endliche Körpererweiterung von F .
(i) Zeige, dass T rK/F : K → F eine F -lineare Abbildung ist.
(ii) Seien x, y ∈ K, beweise NK/F (xy) = NK/F (x)NK/F (y).
(iii) Weshalb gilt NK/F (x) = x[K:F ] für x ∈ F ?
Abgabe: Bis zum 12.März 2015 in das Fach von Harry Schmidt.