Formale Sprachen und Komplexität ¨Ubungsblatt 1

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2011/fsuk/
Formale Sprachen und Komplexität
Übungsblatt 1
Die Übungsaufgaben werden in der Übungsveranstaltung der 15. KW besprochen.
Aufgabe 1
Es sei A = { 1, { 1 } , { 2 } }. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(a) 1 ∈ A
(c) { 1 } ⊆ A
(e) { 2 } ∈ A
(g) { { 2 } } ⊆ A
(b) { 1 } ∈ A
(d) { { 1 } } ⊆ A
(f) { 2 } ⊆ A
(h) { { 2 } } ( A
Wie lauten die Antworten, wenn A = { 1, 2, { 2 } } ist?
Aufgabe 2
Geben Sie die Potenzmenge der Menge A = { 1, 2, 3, 4 } an. Sei nun B eine beliebige Menge.
Wie wird die Potenzmenge von B formal notiert und wie ist sie definiert? Zeigen Sie weiterhin,
dass die Potenzmenge von B aus genau 2n Elementen besteht, falls |B| = n gilt.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Anzahl der
(a) Teilmengen
(e) Teilmengen mit genau drei Elementen
(b) nichtleeren Teilmengen
(f) Teilmengen, die drei Elemente enthalten,
(c) echten Teilmengen
(d) nichtleeren echten Teilmengen
(g) Teilmengen, die 1 und 2 enthalten,
der Menge A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }.
Aufgabe 4
Eine Menge A ist genau dann abzählbar unendlich, wenn eine Bijektion zwischen A und der
Menge der natürlichen Zahlen existiert. Sei Σ ein beliebiges Alphabet. Geben Sie eine Bijektion
f : Σ∗ → N an, um zu zeigen, dass Σ∗ abzählbar unendlich ist. Sie können dabei das folgende
Beispiel verallgemeinern:
Sei Σ = {1, 2, 3}. Dann beschreibt
ε 7→ 0
11 7→ 3 + 1 = 4
1 7→ 1
12 7→ 3 + 2 = 5
2 7→ 2
13 7→ 3 + 3 = 6
3 7→ 3
21 7→ 2 · 3 + 1 = 7
...
(informal) eine Bijektion zwischen Σ∗ und N.
2
Formale Sprachen und Komplexität
Übungsblatt 1
Aufgabe 5
Es sei Σ = { a, b, c } ein dreielementiges Alphabet. Unter den folgenden 16 Sprachen über Σ
befinden sich acht Paare gleicher Sprachen. Finden Sie heraus, welche Paare das sind und
geben Sie jeweils eine kurze Begründung für die entsprechende Gleichheit.
L1 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
L9 = L31
L2 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = 0 }
L10 = (L2 L3 )2
L3 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = 2 }
L11 = L2
∗
L4 = { w ∈ Σ | |w|a = 4 }
L12 = { an bn | n ∈ N }
L5 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b = |w|c }
L13 = { ab }+
L6 = { b, c }∗ { a } { b, c }∗ { a } { b, c }∗
L14 = { b, c }∗
L7 = L1 ∩ { w ∈ Σ∗ | |w|b = |w|c }
L15 = Σ∗ { a } Σ∗
L8 = L1 ∩ { a }∗ { b }∗
L16 = { a } { ba }∗ { b }
Hinweis: Seien Σ ein beliebiges Alphabet, w = d1 d2 . . . dn mit d1 , . . . , dn ∈ Σ und d ∈ Σ. Mit
|w|d bezeichnen wir die Anzahl der d’s in w, d.h. |w|d = | { i ∈ { 1, . . . , n } | di = d } |. Weiterhin
notieren wir mit L das Komplement einer Sprache L ⊆ Σ∗ , d.h. es gilt L = { w ∈ Σ∗ | w ∈
/ L }.
Aufgabe 6
Geben Sie für die folgenden Sprachen über Σ = { 0, 1 } möglichst einfache Beschreibungen an.
L1 = Σ∗ { 1 } Σ∗
L2 = { 0 }+ ∪ { 1 }+
+
L3 = Σ∗ { 00, 11 } Σ∗ ∩ { 0 } Σ∗ { 1 }
Aufgabe 7
Es seien Σ ein Alphabet und L ⊆ Σ∗ eine Sprache. Zeigen Sie, dass L∗ = (L∗ )2 gilt. Gilt die
Gleichung auch, wenn man alle ∗“ durch +“ ersetzt?
”
”
Aufgabe 8
Geben Sie einen DFA über dem Alphabet Σ = { 0, 1 }2 (die Buchstaben von Σ sind Zweiertu
pel) in Form eines gerichteten Graphs an, der ein Wort w = (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn ) mit
(a1 , b1 ), . . . , (an , bn ) ∈ Σ für ein n ≥ 1 genau dann akzeptiert, wenn die folgende Bedingung
erfüllt ist: Die Addition der Binärzahlen a1 a2 . . . an und b1 b2 . . . bn (höchstwertigste Bits sind
an und bn ) führt zu keinem Überlauf, d.h. es gilt
n
X
i=1
ai · 2i−1 +
n
X
i=1
bi · 2i−1 < 2n .