Stimulierte Emission - KIT

VI. Laserdioden
VI.1: Einführung
1.
2.
Kontakt 1
3.
1.
2.
Kontakt 2
Rekombination in der LED:
Abb. VI.1: Spontane Emission an einem pn-Übergang
- statistisch auftretender Prozess
- Energie des Photons ungefähr gleich der Bandlücke
-Ausbreitungsrichtung undefiniert
reicht nicht aus zur Beschreibung von Halbleiterlaserdioden, mit denen
extrem gerichtetes und monochromatisches Licht erzeugt
Absorption, Spontane Emission, Stimulierte Emission
Absorption
Spontane
Emission
Stimulierte
Emission
Abb. VI.2: Schematische Darstellung von Absorption, Spontaner und Stimulierter Emission
Absorption und spontane Emission: kann relativ gut in einem statistischen Bild
beschrieben werden
Stimulierte Emission: Phase und Frequenz des Lichtes muss beachtet werden
Stimulierte Emission
Stimulierten Emission:
Wechselwirkung eines Photons mit
einem angeregten Medium (Atom,
Molekül, Festkörper) erzeugt zweites
Photon mit:
- derselben Frequenz,
- derselben Phase,
- derselben Ausbreitungsrichtung.
- Energie des zweiten Photons
wird Material entnommen
→ Grundlage der Lasertätigkeit
Abb. VI.3: Prinzip der stimulierten Emission
Optik in Halbleiterbauelementen
Ebene Wellen als Lösungen der Maxwell-Gleichungen:
E ( x, y , z, t ) = E0e
(
x
)
⎡ j ωt − kr ⎤
⎣
⎦
z
O. B. d. A. in z-Richtung propagierend und in x-Richtung polarisiert:
E x ( x, y , z, t ) = E x 0e
(− j β z)
mit Propagationskonstante
β=
enthält Zeitabhängigkeit
2π n
λ0
Erweiterung auf Gewinn und Verlust
Iin
I ( x ) = I0 e
Dämpfung der Intensität einer em. Welle
beim Durchgang durch ein absorbierendes
Medium
−α x
Iout
Erweiterung auf Gewinn und Verlust
Iout
Iout ( x ) = Iin e −α x
Verstärkung der Intensität einer em. Welle
beim Durchgang durch ein verstärkendes
Medium
Iin
→ kann in Wellengleichung ebenfalls durch Realteil im Exponenten
berücksichtigt werden
I( x ) ∝ E 2 ( x )
E x ( x, y , z, t ) = E x 0 ( − j γ z )
γ =β−j
α
2
Absorption/Verstärkung
1.
E2
3.
E1
Ein optischer Übergang kann nur stattfinden, wenn der Ausgangszustand
besetzt ist und der Endzustand unbesetzt ist:
⎡
⎤
α net = α 0 ⎢f (E1 )(1 − f (E2 )) − f (E2 )(1 − f (E1 ))⎥
Für den effektiven Absorptions⎢⎣
⎥⎦
stim. Em.
koeffizienten ergibt sich damit:
= α 0 [f (E1 ) − f (E2 )] = α 0 (1 − fh − fe )
Für die Intensität gilt beim
Durchlauf durch einen Halbleiter:
I ( x ) = I0 exp( −α net x )
Optische Verstärkung
Jegliche Anwesenheit von Ladungsträgern führt zu einer Verringerung
der Band-Band-Absorption (Ausbleichen.)
Positive optische Verstärkung (negative
Absorption), exponentieller Anstieg der
Lichtintensität beim Durchgang durch das
Material falls:
fe + fh > 1
1.
2.
Kontakt 1
3.
1.
2.
für die entsprechende Photonenenergie
Die negative Absorption wird oft als optischer Gewinn bezeichnet:
g (E ) = −α (E ) = α 0 (fe + fh − 1)
Kontakt 2
Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission
VI.2: Die Einsteinkoeffizienten
Quantitativere Analyse dieser Prozesse:
Modellsystem aus zwei Niveaus I1> und I2>
Optische Übergänge nur,
I2>
R12
wenn die Energie der Photonen exakt dem
energetischen Abstand der beiden Niveaus
R21
entspricht.
nph (E12 )dE: Anzahl der Photonen
I1>
Abb. VI.4:
Absorption und stimulierte
Emission am 2-Niveau-System
im "passenden" Energieintervall
Übergänge zwischen den beiden Niveau finden mit den Raten R12 und R21 statt.
Absorption: Elektronen werden von
I1> nach I2> angeregt.
Rate R 12 für diesen Prozess:
R12 = PAbs nPh (E12 )dE ≡ B12 nPh (E12 )
B12 = PAbs dE
(1. Einsteinkoeffizient)
Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission
- Absorption kann nur stattfinden, wenn Zustand I1> besetzt und Zustand I2>
unbesetzt ist (Pauli-Prinzip)
- im thermodynamischen Gleichgewicht wird die Besetzung durch
Besetzungsfunktionen f(E) beschrieben:
I2>
R12 = B12 f (E1 )(1 − f (E2 ))nPh (E12 )
R12
Ganz ähnlich ergibt sich für die stimulierte Emission:
Glg. VII.1
R21
I1>
R21,stim = B21f (E2 )(1 − f (E1 )nPh (E12 )
Und genauso für die spontane Emission:
R21,spon = A21f (E2 )(1 − f (E1 ))
Im thermischen Gleichgewicht gilt:
R12 = R21,stim + R21,spon
Glg. VII.2
Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission
Besetzung der elektronischen Niveaus I1> und
I2> erfolgt nach Fermi-Dirac-Funktion:
1
f (E i ) =
1+ e
R12 = R21,stim + R21,spon
I2>
⎛ E i − EF ⎞
⎜
⎟
⎝ kBT ⎠
R12
I1>
Photonen: Quanten des elektromagnetischen Feldes
Beschreibung erfolgt in einen ähnlichen Formalismus wie bei den
Elektronen
wichtiger Unterschied:
Elektronen sind Fermionen (Spin 1/2)↔Photonen sind Bosonen (Spin 1)
- keine zwei Fermionen im gleichen Quantenzustand
- keine Problem für Bosonen (sonst keine stimulierte Emission)
R21
Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission
Die Besetzung von vorgegebenen
photonischen Zuständen erfolgt nach der
Bose-Einstein-Verteilung:
Anzahl von Photonen bei einer
bestimmten Energie muss photonische
Zustandsdichte gPh berücksichtigen:
1
nBE (E,T ) =
e
⎛ E ⎞
⎜
⎟
⎝ kBT ⎠
−1
→ nPh (E12 ,T ) = g Ph (E12 )nBE (E12 ,T )
Photonische Zustandsdichte (Berechnung
erfolgt analog wie bei Elektronen):
8π n 3E 2
g Ph (E ) =
h3c 3
(Brechungsindex ändert die photonische Zustandsdichte)
Die Einsteinkoeffizienten
R12 = R21,stim + R21,spon
Glg. VII.2
⎛ E12 ⎞
⎜
⎟
⎝ kBT ⎠
Einsetzen der Ausdrücke in Glg. VII.2 ein
und Umformung ergibt:
A21
B e
− B21
= 12 ⎛ E ⎞
12
g Ph (E12 )
⎜
⎟
⎝ kBT ⎠
e
−1
T -unabhängig
T −abhängig
Linke Seite: T-unabhängiger Ausdruck
Rechte Seite: T-abhängiger Ausdruck
Annahmen waren unabhängig von T → rechte Seite muss auch
T-unabhängig sein
→ B12=B21
B12 = B21
Absorption und Emission erfolgen mit den gleichen Raten
Große Absorption ↔ Große stimulierte Emission
Die Einsteinkoeffizienten
1.
Spontane Emissionsrate kann aus Absorption bzw.
stimulierter Emission berechnet werden
2.
Kontakt 1
3.
2
8π nr3 E12
A21 = g Ph (E 12 ) ⋅ B12 = B21 ⋅
h3 c 3
1.
2.
Kontakt 2
Jeder elektronische Übergang muss also für alle Prozesse nur einmal
berechnet werden.
R12 = Wtot ∼ α
Also im Halbleiter: Wtot =
2π e A
pc ,v
2
4m0
2
2
2
∫ dE
1 ⎛ 2meff ⎞
2π 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
3
2
E − E g δ (E − ω )
Halbleiterlaserdiode: Doppelheterostrukturlaser
Abb. VI.14: Schema eines
Doppelheterostrukturlasers
VII Optik in Halbleiterbauelementen
Wellenleiter:
1. Wellenleitung
in ebenen Wellenleitern
x
z
nc ("Cladding")
n f (Film)
ns (Substrate)
2. Reflexionsund Antireflexionsschichten
n1
n2
n1
VII.1 Optik an Grenzflächen
Medium 1
Medium 2
Fällt eine em. Welle auf eine Grenzfläche, so wird das Verhalten beschrieben durch
Stetigkeit der Tangentialkomponente
E-Feldes
des
H-Feldes
→ Führt zu Reflexionen
Reflexion und Transmission
Senkrechter Einfall einer ebenen Welle auf Grenzfläche
Et
Er
Ei
Et
=t =
|x =0
2n1
n1 + n2
Ei
Er
x
Ei
|x =0
=r =
n1 − n2
n1 + n2
0
→Phasensprung von π beim Übergang vom optisch dünneren zum
optisch dichteren Medium
Reflexion bei senkrechtem Einfall
Intensität:
n − n2
R= 1
n1 + n2
Bsp: GaAs-LED:
2
2n1
T =
n1 + n2
2
→ Hohe Reflexion bei
hohem Brechzahlunterschied:
Luft (n=1)
GaAs (n=3.6)
n − n2
R= 1
n1 + n2
2
2,62
=
≈ 31%
2
4,6
VII.2 Dielektrische Spiegel
Idee:
Erhöhung der Reflexion durch phasenrichtiges
Hintereinanderschachteln von Grenzflächen:
n1 n2 n1 n2 n1
Er0
Er1
d1
Er2
d2
Er3
d1
n2>n1
d2
d1
d2
Konstruktive Interferenz von Er,2 und Er,1falls:
2β d2 = 2
2π n2
λ
d2 = π
⇒ d2 =
λ0
4n2
Konstruktive Interferenz von Er,3 und Er2 falls:
2 β d1 + π = 2
2π n1
λ0
d1 + π = 2π
⇒ d1 =
λ0
4n1
Dielektrische Spiegel
→ Konstruktive Interferenz aller an den Grenzflächen reflektierten Teilwellen
→ Einsatz als dielektrische Spiegelschichten (z.B. in Lasern)
„Lambdaviertelschichten“
„Quarterwavestacks“
GaAs/AlGaAsλ/4-stacks
http://www.science.uva.nl/research/scm/optcorn/optlay/optlay.html
DBR
VII.3 Wellenleitung
Schräger Einfall an einer Grenzfläche
lineare TE-Welle
(E-Feld senkrecht zur
Einfallsebene)
(analoge Behandlung
möglicht für TMWellen (E-Feld in
Einfallsebene))
Ei ( x, y, z , t ) = Ei ,0 e
(
)
⎡ j ω t − ki r ⎤
⎣
⎦
Ansatz für die Wellen in den Teilbereichen:
⎛ −n1k0 cos Θi ⎞
⎟
k i = ⎜⎜
0
⎟
⎜ n k sin Θ ⎟
i ⎠
⎝ 1 0
⎛ −n1k0 cos Θr
k r = ⎜⎜
0
⎜ n k sin Θ
r
⎝ 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ −n2 k0 cos Θt ⎞
⎟
kt = ⎜⎜
0
⎟
⎜ n k sin Θ ⎟
t ⎠
⎝ 2 0
Reflexion und Brechung
Stetigkeit der
Tangentialkomp. von E an
der Grenzfläche (x=0)
Ei e (
− jkn1z sin Θi )
+ Er e (
− jkn1z sin Θr
)
= Et e (
− jkn2 sin Θt )
Gilt für alle z: → Phasenfaktor muss unabhängig von z immer gleich sein
n1 sin Θi = n1 sin Θr = n2 sin Θt
→ Reflexion:
Θi = Θr
→ Brechung:
n1 sin Θi = n2 sin Θt
Für die Amplitude gilt:
mit:
Er =
n12
cos Θt = + 1 − 2 sin2 Θi
n2
n1 cos Θi − n2 cos Θt
Ei
n1 cos Θi + n2 cos Θt
für "normale" Reflexion (n1 < n2 )
Totalreflexion
n12
cos Θt = 1 − 2 sin2 Θi
n2
Winkel für gebrochenen Strahl:
n1
Für n1 > n2 wird Radikand negativ falls Θi > ΘC = arcsin
n2
(Grenzwinkel der Totalreflexion)
Bsp: GaAs
(n1=3.6)
gegen Luft:
Θc ≈ 16°
Totalreflexion
n12
cos Θt = − j 2 sin2 Θi − 1
n2
Dann gilt für den Winkel θt:
und für die Amplitude:
also gilt:
Das bedeutet:
Er =
n1 cos Θi + j n12 sin2 Θi − n22
n1 cos Θi − j n sin Θi − n
2
1
Er = Ei e (
Er
2
= Ei
mit Phasenverschiebung:
2
2
2
2
Ei
2 jφ )
→
gesamte Intensität wird reflektiert !
tan φ =
n12 sin2 Θi − n22
n1 cos Θi
Totalreflexion
Transmittierte Welle klingt exponentiell ab mit Eindringtiefe x:
x=
λ
2π n12 sin Θi − n22
Planare
Filmwellenleiter
f: Film
C: Cladding (Deckschicht)
S: Substrat
nf > ns ≥ nc
Geführte Filmwelle falls:
n
sin Θ > c
nf
ns
sin Θ >
nf
(nf>ns>nc)
nc
n
n
n
< sin Θ < s → Substratwelle; sin Θ < c ≤ s → Raumwelle ( → Abstrahlung)
nf
nf
nf
nf
Wellenleitermoden
Geführte Welle propagiert in z-Richtung mit
β = neff k0 = nf sin Θk0 , wobei ns < neff < nf
In x-Richtung: Stehende Wellen
→ Lösungen nur für diskrete Θ
Bedingung für die Phasenverschiebung für einen vollen Umlauf:
2k0 nf
h
Höhe des
Films
cos Θ −
2φc
Phasen −
verschiebung
Cladding
−
2φs
Phasen −
verschiebung
Substrat
= m2π
Wellenleitermoden
Graphische Lösung von: k0 nf h cos Θ − mπ = φc + φs
Symmetrische Wellenleiter:
Immer Lösung möglich
Bei asymmetrischen
Wellenleitern ggf. keine
Lösung möglich
(h unterhalb „cut-off“Filmdicke)
Wellenleitermoden
Klassifizierung der Moden nach m:
Numerische Lösung
der Wellenleitermoden
in einem Polymerlaser
TE0 ,TE1,...
TM0 ,TM1,...
Intensitätsprofil der Grundmode in einem planaren Wellenleiter
Füllfaktor (Confinement-Faktor)
Optische Verstärkung im Halbleitermaterial: g akt (E ) = −α (E ) = α 0 (fe (Ee ) + fh (Eh ) − 1)
Dieser Wert gilt allerdings nur für die Verstärkung in einem Volumenmaterial und
berücksichtigt nicht die spezielle Form der Ausbreitung in einem Wellenleiter.
Möchte man den effektiven
Gewinn einer geführten
Wellenleitermode
berechnen, so muss der
Füllfaktor
(engl. Confinement-Factor) Γakt
berechnet werden:
d
Füllfaktor:
Γakt =
2
∫ E( x )
dx
0
∞
∫
−∞
2
E ( x ) dx
Damit ergibt sich
für den modalen Gewinn:
gmod = Γakt g akt