Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1, Lehramt an

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. M. Kaplan
WS 2004/2005
Blatt 3
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1
Lehramt an beruflichen Schulen
Übung
Ü 8) Es seien E eine Menge und A1 , A2 , . . . , Ak ⊆ E . Zeigen Sie die etwas allgemeinere 
Formulierung der 1. Formel von De Morgan
!
k
k
[
\
E\
Ai =
(E \ Ai ) .
i=1
i=1
Ü 9) Beweis mit vollständiger Induktion (oder besser: Illusion?):
Behauptung: In jedem Sack Erbsen gibt es nur gelbe oder nur nichtgelbe Erbsen.
Beweis:
mit vollständiger Induktion über die Anzahl n ∈
N0
der Erbsen im Sack.
Induktionsanfang: Der Induktionsanfang n = 0 ist trivial.
(Wer die Behauptung nicht für leere Säcke beweisen will, beginnt mit dem genauso trivialen Anfang n = 1 .)
Induktionsschritt: Nimmt man aus einem Sack mit n ≥ 1 Erbsen eine
Erbse e heraus (ohne sie anzuschauen), so sind die
restlichen n − 1 Erbsen nach der Induktionshypothese
alle gelb oder alle nichtgelb. Um diesen Farbton festzustellen, entnehmen wir dem Sack eine weitere Erbse g und legen die Erbse e wieder in den Sack. Der
Wo liegt der Fehler?
Sack enthält wieder n − 1 nach der InduktionshypoNach Werner Heise: Induktives Be- these ausschließlich gelbe oder nichtgelbe Erbsen. Also
weisen und Definieren, TUM, 1991
ist e genau dann gelb, wenn auch g gelb ist.

Ü 10) a) Man beweise mittels vollständiger Induktion die Formel
n
X
k=1
k2 =
1
1
n(n + )(n + 1)
3
2
b) Eine Pyramide entstehe aus horizontalen quadratischen Lagen von 30 cm hohen Steinquadern mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge 90 cm. Die Außenkante jeder neuen
Lage werde jeweils um 45 cm eingerückt. Die oberste Lage
bestehe aus genau einem Stein.
Wieviele Steine werden gebraucht, wenn die untere Kantenlänge der Pyramide
425,70 m beträgt?
Ü 11) Es sei N eine endliche Menge. Zeigen Sie für deren Potenzmenge P (N ) :
|P (N ) | = 2|N | .
Bitte wenden !

Hausaufgaben (Abgabe: 17. November 2004, 13 Uhr)
H 10) (Staatsexamen Frühjahr 1999)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a ∈
die reellen Lösungen des Gleichungssystems
x + ay + a2 z = 0
ax + y + az = 0 .
a2 x + ay + z = 0
H 11) (Staatsexamen Frühjahr 1989)

Für welche reellen Zahlen c hat das folgende lineare Gleichungssystem (i) keine, (ii)
genaue eine, (iii) unendlich viele Lösungen?
R
cx + y + z = 4
3x + cy + 5z = −2
x + y + z = 0
Geben Sie im Fall (iii) die Lösungsmenge genau an!
H 12) Es seien E eine Menge und A1 , A2 , . . . , Ak ⊆ E . Zeigen Sie die etwas allgemeinere 
Formulierung der 2. Formel von De Morgan
!
k
k
\
[
E\
Ai =
(E \ Ai ) .
i=1
H 13) Es sei S :=
n
X
i=1
k.
k=1
a) Man berechne S , indem man auf zwei verschiedene Arten den folgenden Ausdruck
bestimmt:
n
n
X
X
(k + 1)2 −
k2 .
k=1
k=1
b) Man beweise die in a) hergeleitete Formel für S mit vollständiger Induktion.
H 14) Mit vollständiger Induktion beweise man die Formel
n
X
k3 =
k=1
n
X
!2
k
Luca Pacioli (1494)
k=1
H 15) Für Potenzmengen beweise oder widerlege man durch ein Gegenbeispiel:
a) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) ,
b)
P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B) .