Technische Universität München WS 2008/2009 Fakultät für

Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Edenhofer
Dipl.-Ing. W. Schultz
WS 2008/2009
Übung 7 (Lösungsvorschlag)
Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I
Aufgabe H 20: (016B, 32B) (Radioaktiver Zerfall)
Ist M (t) die Masse eines radioaktiven Isotops zur Zeit t, so gilt
M (t) = M0 e−λt ,
wobei M0 die Masse zu Beginn des Beobachtungszeitraums ist.
a) Für Caesium 137 ist λ = 0.023 pro Jahr. Ermitteln Sie die Halbwertszeit, d.h. die Zeit, die vergeht
um den Bestand M0 auf die Hälfte M20 zu bringen.
b) Plutonium 239 hat eine Halbwertszeit von 24 000 Jahren. Bestimmen Sie λ.
c) Wie lange dauert es, bis 90 % der Masse M0 von Plutonium 239 zerfallen sind?
d) Wieviel Gramm zerfallen von einem Kilogramm Caesium 137 in 200 Jahren?
Lösung:
a)
b)
M0
2
M0
2
= M0 · e−λt1/2 ⇒ t1/2 =
= M0 · e−λt1/2 ⇒ λ =
− ln
λ
− ln 21
t1/2
1
2
=
=
ln 2
t1/2
c) 10% · M0 = M0 · e−λt10% ⇒ t10% =
d) M0 − M (t) = M0 · (1 −
e−λt )
ln 2
λ
≈ 30 Jahre
≈ 0.000 0289 pro Jahr
− ln 0,1
λ
≈ 79 700 Jahre
= 1 [kg] · (1 − e−0,023·200 ) ≈ 0.990 [kg]
Aufgabe H 21: (009B, 13B)
Schreiben Sie folgende Funktionen als Summe aus Polynom und reellem Partialbruch:
f (x) :=
Lösung:
x3 + 2 x 2 − 1
x3 − x 2
g(x) :=
x4 + 2 x 2 + x
x3 + x 2 + x + 1
3 x2 − 1
A
B
C
(x3 + 2 x2 − 1) : (x3 − x2 ) = 1 +
=1+
+ + 2
2
(x − 1) · x
x−1
x
x
−(x3 − x2 )
2
1
1
3 x2 − 1
=1+
+ + 2
x−1 x x
2 x2 + x + 1
(x4
+ 2 x2 + x) : (x3 + x2 + x + 1) = x−1 +
(x+1)(x2 +1)
−(x4 + x3 + x2 + x)
Bx + C
A
− x3 + x2
= x−1 +
+ 2
x+1
x +1
− (−x3 − x2 − x − 1)
2
2x + x + 1
1
x
= x−1 +
+ 2
x+1 x +1
Aufgabe H 22: (017B) (Sphärische Trigonometrie)
a) Um die Position eines Punktes P auf der Erdoberfläche zu beschreiben, gibt man den Längengrad ϕ von P (relativ zum Nullmeridian durch Greenwich G) und den Breitengrad ϑ von P (relativ zum Äquator) an.
Liegt P östlich von Greenwich, so gilt ϕ > 0.
Wenn sich P auf der Nordhalbkugel befindet, so ist ϑ > 0, am
Äquator ϑ = 0 und auf der Südhalbkugel ϑ < 0.
Zudem hat P den Abstand r > 0 vom Erdmittelpunkt.
z
Gs
x
6
sZ
Q
Q
Q
QsP
*
r
ϑ
ϕQ XX X y
X
XXQ
X
z
XQ
X
s
QQ
Q
P̃
Man berechne in Abhängigkeit von r, ϕ und ϑ die Position von P
im xyz-Koordinatensystem.
Welcher Definitionsbereich für ϕ, ϑ (im Grad- und Bogenmaß) wird üblicherweise verwendet, um
Positionen auf der Erde anzugeben?
b) Der mittlere Radius der Erde ist 6 378 km. München liegt auf 11.58o O, 48.13o N .
Man entnehme einem Atlas die Koordinaten von Buenos Aires und bestimme den (Bogen-) Abstand
zwischen München und Buenos Aires.
Tipp: Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ortsvektoren von M ünchen und Buenos Aires.
Lösung:
a) Der Punkt P wird auf die z-Achse (Z) und auf die xy-Ebene ( P̃ ) projiziert. Wir bezeichnen mit r, z, ρ
die Abstände von P, Z, P̃ jeweils zum Ursprung. Anhand der rechtwinkligen Dreiecke liest man ab:
z = r · sin ϑ
ρ = r · cos ϑ
Nun wird der Punkt P̃ auf die x-Achse (X) und die y-Achse (Y ) projiziert. Die zugeh örenden Abstände x, y vom Urspung sind:
x = ρ · cos ϕ = r · cos ϕ · cos ϑ
y = ρ · sin ϕ = r · sin ϕ · cos ϑ
Der Punkt P hat also die Koordinaten:
 


cos ϑ cos ϕ
x


 
y
=
r
 cos ϑ sin ϕ 
 
sin ϑ
z
Der Längengrad ϕ wird üblicherweise zwischen 180o W und 180o O (−π ≤ ϕ < π), sowie der Breitengrad ϑ zwischen 90o S (Südpol) und 90o N (Nordpol) (− π2 ≤ ϑ ≤ π2 ) angegeben.
b) Die Koordinaten von Buenos Aires sind 58.27o W, 34.36o S.
Der Winkel α zwischen den Ortsvektoren von München und Buenos Aires ergibt sich aus

 

cos(−34.36o ) cos(−58.27o )
cos(+48.13o ) cos(+11.58o )


 
o
o
cos α =  cos(+48.13 ) sin(+11.58 )  ·  cos(−34.36o ) sin(−58.27o )  ≈ −0.23048
sin(−34.36o )
sin(+48.13o )
zu α ≈ 1.803 (103.3o ). Multipliziert man diesen Winkel (im Bogenmaß!) mit dem Erdradius r, erhält
man den Bogenabstand s zwischen München und Buenos Aires:
s = r · α ≈ 6 378 km · 1.803 ≈ 11 502 km
Aufgabe T 24: (022, 20)
Ermitteln Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen IR 3 x 7→ f (x):
2
a) f (x) := 3 · cos(2 x)−1 b) f (x) := (ax2−bx+c)2 (a, b, c ∈IR) c) f (x) := e1−x (2-mal ableiten)
d) f (x) :=
x−sin x·cos x
e) f (x) := tan(x) − π2 < x < π2
2
g) f (x) :=
q
1 + sin2 x
h) f (x) := arctan x+arctan
x2 −1
(2-mal ableiten)
x2 +1
f) f (x) :=
1
(x 6= 0)
x
Lösung:
a) f 0 (x) =
b)
d
3 · cos(2 x) − 1 = 3 · (− sin(2 x)) · 2 = −6 · sin(2 x)
dx
d
(ax2 − bx + c)2 = 2 (ax2 − bx + c) · (2 ax − b)
dx
c) f 0 (x) =
f 00 (x) =
(Nicht ausmultiplizieren!)
d 1−x2
2
e
= e1−x · (−2 x)
dx
d 1−x2
2
e
· (−2 x) = e1−x · (−2 x) · (−2 x) + (−2)
dx
2
(e1−x ausgeklammert!)
d)
d x − sin x · cos x
1 − (cos x · cos x + sin x · (− sin x))
1 − cos2 x + sin2 x
=
=
= sin2 x
dx
2
2
2
e)
d
d sin x
cos x · cos x − sin x · (− sin x)
cos2 x + sin2 x
1
tan x =
=
=
=
= 1 + tan2 x
2
2
dx
dx cos x
(cos x)
cos x
cos2 x
f)
d x2 − 1
2 x · (x2 + 1) − (x2 − 1) · 2 x
4x
=
= 2
2
2
2
dx x + 1
(x + 1)
(x + 1)2
d2 x2 − 1
x
d
(x2 + 1)2 − x · 2 (x2 + 1) · 2 x
1 − 3 x2
=
4
=
4
=
4
dx2 x2 + 1
dx (x2 + 1)2
(x2 + 1)4
(x2 + 1)3
g)
d
dx
q
1 + sin2 x =
1
sin x cos x
d
(1 + sin2 x)1/2 = · (1 + sin2 x)−1/2 · 2 sin x · cos x = p
dx
2
1 + sin2 x
h) Einer Formelsammlung kann man
f 0 (x) =
(x2 + 1 kürzen!)
1
d
arctan x =
entnehmen.
dx
1 + x2
d −1
1
1
1
arctan x + arctan
=
· 2 =0
+
2
2
1
dx
x
1+x
x
1 + (x)
Die Funktion f ist also konstant auf ] − ∞, 0[ bzw. ]0, +∞[ .
Die Konstanten erhält man, wenn spezielle Werte (z.B. x = ±1) eingesetzt werden:
1
π
arctan x + arctan = 2 arctan(±1) = ±
f ür
x
2
(
x>0
x<0
Aufgabe T 25: (023A)
Ermitteln Sie die Grenzwerte:
a)
d)
lim
x→0
lim
r
x→∞
tan x
x
b)
x2 x + 1
+
ex
x−1
!
lim
x→0
1
1
−
sin x x
sin x tanh x
e) lim
x→0
x2
c)
lim
x→0+
x
√
sinh2 x
√
x2 + 1
Lösung:
r
a) lim
x→0
tan x
=
x
r
tan x
lim
=
x→0 x
s
1 + tan2 x
lim
=
x→0
1
s
1+0
=1
x→0
1
lim
1
x−sin x
1−cos x
sin x
0
1
b) lim
−
= lim
= lim
= lim
=
=0
x→0 sin x
x→0
x→0
x→0
x
x sin x
sin x+x cos x
2 cos x−x sin x
2·1−0·0
x
|y|2
c) lim
=
lim
=
√
y→0 sinh2 |y|
x→0+ sinh2 x
d) lim
x→∞
x2 x+1
+
ex
x−1
sin x tanh x
e) lim
x→0
x2
!
y
lim
y→0 sinh y
2
1
= lim
y→0 cosh y
2
=
2
1
1
=1
2
x2
x−1
2x 1
2
+ lim
= lim x + = lim x + 1 =
+1=1
x
x→∞ e
x→∞ x+1
x→∞ e
1 x→∞ e
∞
= lim
√
x2 +1
sin x
tanh x √
1−tanh2 x
cos x
lim
lim
=1
0+1 = lim
x→0 x x→0
x→0 1 x→0
x
1
= lim
Aufgabe T 26: (034A, 32E) (Bewegungsgesetz)
Ein Personenzug (Masse m = 360 t) fährt um 8 Uhr von München nach Garmisch. Er wird mit der Kraft
F1 = 50 000 N so lange beschleunigt, bis er die Geschwindigkeit v = 120 km/h erreicht und f ährt dann mit
konstanter Geschwindigkeit weiter. In Garmisch wird er mit der Bremskraft F 3 = 40 000 N zum Stillstand
gebracht. Die gesamte Fahrstecke beträgt 89 km.
Man ermittle den zurückgelegten Weg x(t), die Momentangeschwindigkeit v(t) = ẋ(t) und die Beschleunigung a(t) = v̇(t) zum Zeitpunkt t. Stellen Sie Ihre Ergebnisse graphisch dar. Wann kommt der Zug in
Garmisch an?
(Hinweis: 2. Newton Gesetz: Kraft = Masse mal Beschleunigung, 1 N = 1 kgs2m ).
Lösung: Die Zugreise wird in 3 Etappen zerlegt:
1) Der ruhendede Zug der Masse m = 360 000 kg wird konstant beschleunigt durch die Kraft F 1 =
m
50 000 N , bis er die Geschwindigkeit v = 120 km/h = 120 3.6
s erreicht. Wir berechnen die konstante
Beschleunigung a1 , die Dauer t1 und den zurückgelegten Weg x1 dieser 1. Etappe:
F = m · a = const. : a1 =
⇒ v = a · t : t1 =
⇒ x=
F1
50 000 N
5 m
30 km/h
=
=
=
2
m
360 000 kg
36 s
min
120 m s
v
= 5 3.6
= 240 s = 4 min
m
a1
36 s2
a 2
a1 2
· t : x1 =
·t =
2
2 1
5 m
36 s2
2
· 240 s
2
= 4 000 m = 4 km
3) Der Zug mit der Masse m = 360 000 kg und der Geschwindigkeit v = 120 km/h wird durch die Kraft
F3 = 40 000 N konstant abgebremst bis er ruht. Wir berechnen die konstante Beschleunigung a 3 , die
Dauer t3 und den zurückgelegten Weg x3 dieser 3. Etappe:
F = m · a = const. : a3 =
⇒ v = a · t : t3 =
⇒x=
F3
40 000 N
4 m
24 km/h
=
=
=
2
m
360 000 kg
36 s
min
120 m s
v
= 300 s = 5 min
= 4 3.6
m
a3
36 s2
a 2
a3 2
· t : x3 =
·t =
2
2 3
4 m
36 s2
2
· 300 s
2
= 5000 m = 5 km
2) Der Zug mit der konstanten Geschwindigkeit v = 120 km/h legt den Weg
x2 = 89 km − x1 − x3 = 80 km
zurück. Wir berechnen die Dauer t2 dieser 2. Etappe:
a = 0 ⇒ v = const. ⇒ x = v · t : t2 =
x2
80 km
= 40 min
=
v
120 km
h
Die Zugreise dauert t1 + t2 + t3 = 49 min. Der Zug kommt um 849 Uhr in Garmisch an.
Wenn wir die Zeitrechnung bei t0 = 0 beginnen, so lauten die Größen a(t), v(t) und x(t):

30 km/h
t


< 4
: 0 ≤ min


min

t
a(t) =
0
: 4 ≤ min
< 44



 −24 km/h

t
: 44 ≤ min
≤ 49
min

30 km/h
t


·t
: 0 ≤ min
< 4

 min

t
v(t) = 120 km/h
< 44
: 4 ≤ min




 −24 km/h · (t−49 min) : 44 ≤ t ≤ 49
min
min

t2
km

t

·
: 0 ≤ min
< 4

2

2
min
2



2 km
t
x(t) =
· (t−4 min) + 4 km
: 4 ≤ min
< 44

min



2


 −2 km · (t−49 min) + 89 km : 44 ≤ t ≤ 49
min
2
5 min
2
a(t) 6
t/min
-
v(t) 6
C
C
C
C
C
t/min
C -
x(t) 6
t/min
0 4
44 49