Aufgabe 1

Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1987
Runde 1
Aufgabe 1
In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte
der Kreisbögen.
α
Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels
α, der von den beiden sich schneidenden Strecken gebildet wird.
Aufgabe 2
(
)
2
2
2
Begründe, weshalb der Ausdruck a 2 + b 2 ⋅ ⎡( a+1) + ( b − 1) ⎤ − ( a + b ) für beliebige ganze Zahlen a
⎣
⎦
und b stets das Quadrat einer ganzen Zahl ergibt.
Aufgabe 3
Fünf Seitenflächen eines Würfels mit der Kantenlänge n cm ( n ∈ {3,4,5,...}) werden rot angemalt.
Anschließend wird dieser Würfel in kleinere Würfel mit der Kantenlänge 1 cm zerlegt.
Wie viele Würfelchen haben drei (zwei, eine, keine) rote Seitenflächen?
Gib das Ergebnis als Zahl bzw. als Formel mit n an und begründe.
Aufgabe 4
Es gibt natürliche Zahlen, für die die Summe s aller Teiler ungerade ist.
T18 = {1,2,3,6,9,18}
s=39
Beispiel:
n=18
Beschreibe möglichst viele natürliche Zahlen mit ungerader Teilersumme.
Begründe, weshalb die Teilersumme dieser Zahlen jeweils ungerade ist.
Aufgaben 1987 – 1996
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Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1988
Runde 1
Aufgabe 1
Die neun Ziffern 1, 2, 3,...., 9 werden jeweils auf eine Karte geschrieben. Aus diesen neun Karten wird
ein 3x3 Quadrat gelegt.
Dadurch entsteht in jeder Zeile und in jeder Spalte eine dreistellige Zahl (Zeilenzahlen bzw. Spaltenzahlen).
a) Gib eine Verteilung so an, dass die Summe der drei Zeilenzahlen 1989 ergibt.
b) Gib eine Verteilung so an, dass die Summe der drei Zeilenzahlen und zugleich die Summe der drei
Spaltenzahlen 1989 ergibt.
c) Weise nach, dass es keine Verteilung geben kann, bei der die Summe der drei Zeilenzahlen 1988 ist.
Aufgabe 2
C
In der nebenstehenden Figur gilt AE = ED und α = 20°.
Der Punkt D liegt auf EC. Berechne β und γ.
D
E
Behauptung:
Es gilt β = γ = 20° .
β
γ
A
α
B
M
Aufgabe 3
In einer elfstelligen Zahl n wird die mittlere Ziffer gestrichen. Dadurch entsteht eine zehnstellige Zahl m.
Wie viele Zahlen n gibt es, die durch die zugehörige Zahl m teilbar sind?
Aufgabe 4
Die Parallelen g und h haben den Abstand 6 cm. Auf g liegen Punkte A und B mit AB = 9cm . Konstruiere den Punkt C auf h so, dass die Strecke AC die gleiche Länge hat, wie das Lot von B auf (AC).
Weise nach, dass die konstruierte Figur die geforderte Eigenschaft besitzt.
Aufgabe 5
In der Gleichung x 2 + 2ax + 2b = 0 sind a und b ungerade ganze Zahlen.
Zeige: Wenn die quadratische Gleichung lösbar ist, so sind die Lösungen keine natürlichen Zahlen.
Aufgabe 6
Bei einem Achteck mit Umkreis haben vier Seiten die Länge 6 cm und vier Seiten die Länge 4 cm.
Berechne bei einem solchen Achteck den Flächeninhalt.
Aufgaben 1987 – 1996
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1989
Runde 1
Aufgabe 1
Schneide aus Papier zwei kongruente konvexe Vierecke aus. Zerschneide das eine längs der einen, das
andere längs der anderen Diagonalen.
Kannst Du die vier entstandenen Dreiecke immer zu einem Parallelogramm zusammenlegen?
Begründe Deine Antwort.
Hinweis: Ein Viereck heißt konvex, wenn seine Diagonalen vollständig im Innern verlaufen.
Aufgabe 2
Die Zahlen 4 (= 22) und 2226064 (= 14922) sind Quadratzahlen mit lauter geraden Ziffern.
Bestimme alle Quadratzahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen, und weise nach, dass es keine
weiteren geben kann.
Aufgabe 3
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC wird durch seine Höhe CD mit der Länge h in zwei Teildreiecke zerlegt.
C
C
ρ
1
ρ
A
h
ρ
B
A
2
B
Der Inkreis von Dreieck ABC hat den Radius ρ , die Teildreiecke ADC und CBD haben Inkreise mit den
Radien ρ1 bzw. ρ2 .
Zeige: ρ + ρ1 + ρ 2 = h
Aufgabe 4
a) Welche der Zahlen 11, 101, 1001, 10001, 100001, 1000001 sind Primzahlen?
b) Zeige: Die Zahl 10000...00001 ist keine Primzahl.
1989 Nullen
Aufgaben 1987 – 1996
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Aufgabe 5
Die Zahlen 1, 3, 6, 10,.... heißen Dreieckszahlen, da
sie sich auf die nebenstehende Weise in Dreiecksform veranschaulichen lassen:
Weise nach, dass das Produkt von vier aufeinander
folgenden natürlichen Zahlen stets das Achtfache
einer Dreieckszahl ist.
Aufgabe 6
Vier Holzkugeln liegen auf einem Tisch. Jede Kugel berührt die Tischebene und die drei anderen Kugeln. Drei der vier Kugeln haben den Radius R.
Bestimme den Radius r der vierten Kugel.
Aufgaben 1987 – 1996
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1989
Runde 2
Aufgabe 1
Weise nach, dass 21 + 29 +28 + 29 + 2n für keine natürliche Zahl n eine Quadratzahl ist.
Aufgabe 2
In einem Halbkreis mit dem Durchmesser AB ist eine Sehne PQ mit Mittelpunkt M eingezeichnet. Fällt
man die Lote von P und Q auf AB, so erhält man die Lotfußpunkte R und S.
Weise nach, dass die Winkel ∠PRM und ∠MSQ gleich groß sind. Zeichnung!!!
Aufgabe 3
Zeige, dass es unter den ersten 1989 Zahlen 9, 99, 999, ..... mindestens eine gibt, die durch 1989 teilbar
ist.
Aufgabe 4
Auf einem Halbkreis über AB wird ein Punkt C beliebig
gewählt. Die Senkrechte zu AB durch C schneidet AB in
H. Über AH und HB werden erneut Halbkreise gezeichnet.
C
D
Die gemeinsame Tangente berührt die beiden Halbkreise
in den Punkten D und E.
E
Zeige: Das Viereck DHEC ist ein Rechteck.
A
Aufgaben 1987 – 1996
H
B
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1990
Runde 1
Aufgabe 1
Wie heißen die beiden letzten Ziffern von 71990 ?
Aufgabe 2
Im Innern eines Rechtecks ABCD ist ein Punkt P gesucht, so dass die Winkel BAP, PBA, ADP und PCB
gleich groß sind.
Für welche Rechtecke gibt es mindestens einen solchen Punkt?
Aufgabe 3
Die Lose einer Lotterie haben die Nummern 000001 bis 999999. Jede Nummer kommt nur einmal vor.
Ein abergläubischer Spieler hält Nummern für glückbringend, wenn die Summe der ersten drei Ziffern
gleich der Summe der letzten drei Ziffern ist.
Zeige, dass die Summe aller glückbringenden Losnummern durch 13 teilbar ist.
Aufgabe 4
In der Figur gelte:
g und h sind parallel
g und n sind orthogonal
ED ist doppelt so lang wie AC
α = 26°
n
C
h
E
D
α
g
β
A
B
Bestimme β durch geometrische Überlegungen.
Aufgabe 5
Weise für alle natürlichen Zahlen n einschließlich 0 nach:
Wenn 3n + 1 eine Quadratzahl ist, dann lässt sich n + 1 als Summe von drei Quadratzahlen darstellen.
Aufgaben 1987 – 1996
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Aufgabe 6
In einem regelmäßigen Neuneck seien s die Seitenlänge, d die Länge der kürzesten und D die Länge der
längsten Diagonalen.
Beweise: s = D – d .
Aufgaben 1987 – 1996
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1990
Runde 2
Aufgabe 1
Ein Rechteck mit den Seitenlängen n cm und m cm
wird in n ⋅ m Quadrate der Seitenlänge 1 cm zerlegt. In dieses Rechteck wird eine Diagonale eingezeichnet.
a) Durch wie viele innere Gitterpunkte geht diese
Diagonale?
b) Wie viele Einheitsquadrate werden durch diese
Diagonale in Teilflächen zerlegt?
Diagonale mit vier inneren Gitterpunkten
Aufgabe 2
In einem Sechseck seien alle Innenwinkel gleich groß. Die Längen von jeweils drei aufeinander folgenden
Seiten dieses Sechsecks werden addiert.
Zeige, dass diese sechs Summen höchstens zwei verschiedene Werte annehmen.
Aufgabe 3
a) Zeige, dass n 4 + 4 nur für n = 1 eine Primzahl ergibt ( n ∈
4
).
b) Bestimme eine Zahl a so, dass n + a für kein n eine Primzahl ergibt ( a, n ∈
).
Aufgabe 4
Gegeben sind zwei konzentrische Kreise.
Konstruiere einen Kreis, der den kleineren berührt und den größeren rechtwinklig schneidet.
Begründe die Konstruktion.
Aufgaben 1987 – 1996
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1991
Runde 1
Aufgabe 1
Bei einem Trapez sind drei Seiten gleich lang; die vierte Seite hat die doppelte Länge.
Unter welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen?
Aufgabe 2
Addiert man die Einerziffern aller Teiler von 19911990, so erhält man ein Vielfaches von 1991.
Aufgabe 3
Gegeben ist ein Dreieck ABC. Der Kreis k1 geht durch C und berührt die Gerade (AB) in A. Der Kreis
k 2 geht durch C und berührt die Gerade (AB) in B.
Für welche Dreiecke ABC liegen C und die Mittelpunkte der Kreise k1 und k 2 auf einer Geraden?
Aufgabe 4
Ein Quadrat ABCD wird in vier Teilflächen zerlegt (siehe Figur).
D
C
Kann man den Punkt P auf der Strecke AB so wählen, dass sich die Inhalte
der vier Teilflächen wie 1:2:3:4 verhalten?
Aufgabe 5
A
P
B
Zeige: Für jede natürliche Zahl n (n > 0) lässt sich 9n als Summe von 3n aufeinander folgenden Zahlen
darstellen.
Aufgabe 6
Gegeben sind sechs Punkte. Je drei dieser Punkte bilden ein Dreieck. Die Seiten dieser Dreiecke sollen
rot oder grün angemalt werden.
Kann man vermeiden, dass eines dieser Dreiecke nur gleichfarbige Seiten hat?
Aufgaben 1987 – 1996
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1991
Runde 2
Aufgabe 1
Es werden n gewöhnliche Spielwürfel nebeneinander auf den Tisch gelegt (siehe Bild).
Man addiert alle Augenzahlen, die nicht durch den Tisch oder durch einen Nachbarwürfel verdeckt sind.
Die maximale Augenzahl, die man so erhalten kann, werde mit A(n), die minimale mit a(n) bezeichnet.
Die Differenz d ( n ) = A ( n ) − a ( n ) ist für gewisse n eine Quadratzahl (z.B. für n = 2, n = 6).
Für welche Würfelanzahl n erhält man die 1000. Quadratzahl in dieser Folge?
Aufgabe 2
In jedem spitzwinkligen Dreieck ABC kann man einen Punkt P so konstruieren, dass die Bildpunkte von
P bei Spiegelung an den drei Dreieckseiten ein gleichseitiges Dreieck bilden.
Stelle die Winkel ∠APB, ∠BPC und ∠CPA in Abhängigkeit von den Innenwinkeln des Dreiecks ABC
dar.
Beschreibe eine Konstruktion des Punktes P.
Aufgabe 3
Welche der Zahlen 101, 10101, 1010101, 101010101,... sind Primzahlen?
Aufgabe 4
Bei einem rechtwinkligen Dreieck ABC berührt ein Kreis k den Umkreis sowie die beiden Katheten.
Zeige, dass der Radius des Kreises k doppelt so groß ist wie der Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Aufgaben 1987 – 1996
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Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1992
Runde 1
Aufgabe 1
Durch einen Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a sind die drei Parallelen
zu den Dreiecksseiten gezeichnet.
Das Dreieck schneidet aus diesen Parallelen drei Strecken mit den Längen x, y und z aus.
Zeige: x + y + z = 2 a
Aufgabe 2
Für welche natürlichen Zahlen n sind sowohl 2 n + 1 als auch 2 n +1 + 1 Primzahlen?
Zeige, dass für alle anderen natürlichen Zahlen n mindestens eine der beiden Zahlen 2 n + 1 oder 2 n +1 + 1
keine Primzahl ist.
Aufgabe 3
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt schneidig, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck in n (nicht notwendig
gleich große) gleichseitige Dreiecke zerschneiden lässt.
Gib alle schneidigen Zahlen an und weise für sie diese Eigenschaft nach.
(Ein Nachweis, dass die anderen Zahlen nicht schneidig sind, wird nicht verlangt.)
Aufgabe 4
Bestimme alle Zahlenpaare (x/y) mit x, y ∈ , die Lösung von
1 1 1
+ = sind.
x y 2
Aufgabe 5
Ausgehend von zwei beliebigen Startzahlen a1 und a 2 werden nach folgender Vorschrift weitere Zahlen
gebildet.
a 3 = a 2 − a1; a 4 = a 3 − a 2 ; a 5 = a 4 − a 3 usw.
Berechne die Summe der ersten 1992 Zahlen.
Aufgabe 6
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit y = 90° und über der Hypotenuse das Quadrat nach außen. Das Quadrat hat den Diagonalenschnittpunkt
D.
Bei welchen rechtwinkligen Dreiecken ist die Strecke CD so lang wie eine
Seite des Dreiecks ABC?
Aufgaben 1987 – 1996
C
A
B
D
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1992
Runde 2
Aufgabe 1
Drei Geraden gehen durch den Punkt A eines Parallelogramms ABCD. Sie zerlegen es in vier inhaltsgleiche Teilflächen und den Innenwinkel bei A in vier gleich große Teilwinkel.
Für welche Parallelogramme trifft dies zu?
Aufgabe 2
Für welche natürlichen Zahlen n lässt sich der Bruch
n −1
nicht kürzen?
n2 + 1
Aufgabe 3
In einem gleichschenkligen Trapez ABCD ( AB CD ) gilt w(BAD) = w(CBA) = 80°. Die Diagonale
AC schneidet die Grundseite AB unter dem Winkel 60°. Ein Punkt P wird auf AD so gewählt, dass die
Weite des Winkels w(PBA) 50° beträgt.
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade (PC) die Seite DC?
Aufgabe 4
Von einer natürlichen Zahl n > 1 bestimmt man die Anzahl a1 ihrer Teiler, danach die Anzahl a 2 der
Teiler von a1 , danach die Anzahl a 3 der Teiler von a 2 usw.
Zeige: Entweder ist n eine Primzahl oder unter den Zahlen n,a1 ,a 2 ,a 3 ,… gibt es mindestens eine Quadratzahl.
Aufgaben 1987 – 1996
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Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1993
Runde 1
Aufgabe 1
Max baut auf jedem Feld eines Schachbretts einen Turm aus Legosteinen. Alle Legosteine haben die
gleiche Höhe. Die Türme auf den Feldern mit gemeinsamer Kante unterscheiden sich in ihrer Höhe um
genau einen Stein. Der niedrigste Turm besteht aus n Steinen.
Bestimme die größte Turmhöhe, die Max überhaupt erreichen kann, in Abhängigkeit von n.
Wie viele Steine sind in diesem Fall insgesamt erforderlich?
Aufgabe 2
Der Punkt P teilt die Diagonale DB des Quadrats ABCD im Verhältnis 3:1.
Der Punkt Q ist der Mittelpunkt der Strecke CD.
Q
D
Wie groß ist der Winkel ∠QPA ?
C
P
A
B
Aufgabe 3
Schreibe sieben aufeinander folgende natürliche Zahlen in eine Reihe und darunter in anderer Reihenfolge nochmals dieselben Zahlen. Bilde dann jeweils den Unterschied zwischen zwei übereinander stehenden Zahlen.
Beispiel:
15
21
6
16
15
1
17
19
2
18
16
2
19
18
1
20
20
0
21
17
4
Weise nach, dass bei diesen Unterschieden immer mindestens zwei gleiche Zahlen auftreten.
Aufgabe 4
Zeige: Wenn 36 die Summe zweier Quadratzahlen teilt, so teilt 36 auch die Differenz dieser beiden
Quadratzahlen.
Aufgabe 5
Konstruiere zu zwei gegebenen konzentrischen Kreisen eine Gerade, aus der die Kreise drei gleich lange
Strecken ausschneiden.
Begründe die Konstruktion.
Unter welcher Voraussetzung gibt es eine solche Gerade?
Aufgabe 6
Zeige:
Addiert man zum Produkt von vier aufeinander folgenden positiven ganzen Zahlen die Zahl 1, so erhält
man stets eine Quadratzahl, aber nie die vierte Potenz einer natürlichen Zahl.
Aufgaben 1987 – 1996
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Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1993
Runde 2
Aufgabe 1
(
)
Weise nach: Für 0 ≤ a ≤ 1 und 0 ≤ b ≤ 1 gilt: ( a + b + 1) ≥ 4 ⋅ a 2 + b 2 .
2
Aufgabe 2
Eine natürliche Zahl soll dick heißen, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor mindestens in
zweiter Potenz vorkommt. Zeige, dass es unendliche viele Paare aufeinander folgender dicker Zahlen
gibt.
Beispiel: (288/289) ist ein solches Paar dicker Zahlen, da 288 = 25 ⋅ 32 und 289 = 172 gilt.
Aufgabe 3
Bestimme auf dem Zahlenstrahl diejenige rationale Zahl r, für welche die Summe der Abstände von r zu
allen Primzahlen zwischen 1 und 100 am kleinsten ist.
Aufgabe 4
In einem gleichschenkligen Dreieck haben die Schenkel die Länge a, die Basis die Länge c und die Basiswinkel die Größe 15°. Ein zweites gleichschenkliges Dreieck hat die Basislänge a und die Schenkellänge c.
Wie groß sind die Basiswinkel in diesem Dreieck?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 14 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1994
Runde 1
Aufgabe 1
Ein Dominostein hat zwei Felder, die jeweils 0 bis 6 Augen
zeigen. Ein Spiel, in dem jede Kombination vorkommt, enthält
28 Steine. Diese sollen in einer Reihe so hingelegt werden, dass
Felder mit gleicher Augenzahl aneinander stoßen.
Ist es möglich, dass das erste Feld eine Eins und das letzte Feld eine Sechs zeigt?
Aufgabe 2
In einem Dreieck ABC ist α = β = 32° . Der Bildpunkt von A bei der Spiegelung an C heiße D. Auf der
Strecke AD befindet sich ein Punkt P, der von der Geraden (AB) den Abstand PD hat. Die Senkrechte
zu (AB) durch P scheidet (AB) in einem Punkt E.
Wie groß ist der Winkel EDB?
(Hinweis: Eine Konstruktion des Punktes P mit Zirkel und Lineal wird nicht erwartet.)
Aufgabe 3
In Klasse 9a sind mehr Mädchen als Jungen, in Klasse 9b ist es umgekehrt. Ein Mädchen und ein Junge
wechseln von der Klasse 9a in die Klasse 9b.
Zeige, dass sich dadurch der Anteil der Mädchen in beiden Klassen erhöht.
Aufgabe 4
Im Dreieck ABC ist W der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Weise nach, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks BWA auf der Geraden (CW) liegt.
Aufgabe 5
Bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die 1994 + n ein Teiler von 1994 ⋅ n ist.
Hinweis
Bei den folgenden Lösungen sei o die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0. Lösungen mit
n ∈ werden ebenfalls als richtig bewertet.
Aufgabe 6
Gegeben sind ein Kreis k, ein Punkt C und eine Gerade g, die mit k keinen gemeinsamen Punkt besitzt.
Konstruiere ein Quadrat ABCD so, dass B auf k und D auf g liegt. Begründe Deine Konstruktion. Unter
welcher Voraussetzung ist sie möglich?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 15 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1994
Runde 2
Aufgabe 1
Zeige, dass 1! + 2! + 3! + ... + 1995! mindestens 12 Teiler hat.
Hinweis:
Unter n! versteht man das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen.
Beispiel: 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Aufgabe 2
Ein Kreis ist ohne seinen Mittelpunkt M vorgegeben. Der Punkt M soll mit Zirkel und Lineal konstruiert
werden, wobei der Zirkel nur einmal verwendet werden darf. Beschreibe die Konstruktion und begründe
sie.
Aufgabe 3
Die Strecke AF enthält im Innern die Punkte C und D und ist Durchmesser eines Halbkreises, auf dem
die Punkte B und E liegen. Die Strecken AB, BC, CD, DE und EF haben alle die gleiche Länge s.
Bestimme s in Abhängigkeit vom Radius des Halbkreises.
Aufgabe 4
Es ist
0 = −12 − 22 + 32 − 42 + 52 + 62 − 72
1 = +12
2 = −12 − 22 − 32 + 42
3 = −12 + 22
4 = −12 − 22 + 32
Lassen sich alle natürlichen Zahlen in der Form ±12 ± 2 2 ± 32 ± .... ± m 2 darstellen?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 16 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1995
Runde 1
Aufgabe 1
Die beiden Zahlen 19951994 und 19951996 haben die gleichen Endziffern.
An welcher Stelle von rechts unterscheiden sie sich zum ersten Mal?
Aufgabe 2
Die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind die Seitenmitten eines regelmäßigen Sechsecks.
In welchem Verhältnis steht der Umfang des Dreiecks zum Umfang des Sechsecks?
In welchem Verhältnis steht der Flächeninhalt des Dreiecks zum Flächeninhalt des Sechsecks?
Aufgabe 3
Zwei Quadrate werden in der angegebenen Weise aneinandergesetzt.
C
D
M
F
G
Die Mittelsenkrechte von FD schneidet AE in P.
Wie groß ist der Winkel FPD?
A
P
B
E
Aufgabe 4
Beim Zahlenlotto werden einschließlich der Zusatzzahl sieben Zahlen gezogen.
Zeige: Aus diesen sieben Ziehungszahlen können stets drei Zahlen ausgewählt werden, deren Summe
durch 3 teilbar ist.
Statt sieben Zahlen werden n Zahlen gezogen.
Wie groß muss n mindestens sein, damit aus diesen n Zahlen immer drei ausgewählt werden können,
deren Summe durch 3 teilbar ist?
Aufgabe 5
A und B sind zwei Punkte der Ebene.
Für welche Punkte X gilt:
Geht man auf geradem Weg von X nach B, so entfernt man sich ständig von A.
Aufgabe 6
27 gleich große Würfel sind von 1 bis 27 durchnummeriert.
Kann man sie alle so zu einem Würfel zusammensetzen, dass der nicht sichtbare Innenwürfel die Nummer 1 trägt und Würfel mit aufeinander folgenden Nummern eine gemeinsame Seitenfläche haben?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 17 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1995
Runde 2
Aufgabe 1
Eine natürliche Zahl heißt viererzyklisch, wenn bei der Multiplikation mit 4 die Ziffern um eine Stelle
nach rechts verschoben werden und die Einerziffer an die führende Stelle rückt.
Beispiel: 179487 ist viererzyklisch, da 179487 ⋅ 4 = 717948 gilt.
Zeige: Wenn eine Zahl viererzyklisch ist, dann ist ihre Stellenzahl ein Vielfaches von 6.
Aufgabe 2
Ein Parallelogramm wird an einer Parallelen zu einer seiner Seiten gespiegelt.
Zeige: Das Spiegelbild kann auch dadurch hergestellt werden, dass das Parallelogramm zerschnitten wird
und die Teile geeignet parallel verschoben werden.
Aufgabe 3
Gegeben sind ein Quadrat ABCD und ein Kreis K durch C und D mit dem Durchmesser CD. Auf K
wandert ein Punkt X und auf der Strecke AB ein Punkt Y. Der Mittelpunkt der Strecke XY heißt M.
Beschreibe die Menge aller möglichen Mittelpunkte M.
Begründe, weshalb jeder Mittelpunkt M in der beschriebenen Menge liegt. Entscheide und begründe, ob
jeder Punkt der beschriebenen Menge bei geeigneter Wahl von X und Y auch als Mittelpunkt M vorkommt.
Aufgabe 4
Für jede natürliche Zahl n wird die Summe s n auf folgende Weise gebildet:
sn =
1 3 5
2n − 1
+ + + ... +
.
2 4 6
2n
Gibt es ein n so, dass s n eine natürliche Zahl ist?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 18 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1996
Runde 1
Aufgabe 1
Ein Rechteck mit den Seitenlängen 5 cm und 9 cm wird in kleinere Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen, in Zentimeter gemessen, zerlegt.
Bestimme eine Zerlegung mit möglichst vielen Rechtecken, von denen keine zwei deckungsgleich sind.
Aufgabe 2
Zwei Primzahlen, die beide größer sind als 5 und sich um 2 unterscheiden, werden addiert. Das Ergebnis
wird in Primfaktoren zerlegt.
Weise nach, dass diese Zerlegung mindestens vier Faktoren enthält, wobei nicht alle verschieden sein
müssen.
Aufgabe 3
In einem Fünfeck ABCDE ist der Winkel α halb so groß wie jeder der vier anderen Winkel.
Zeige: Addiert man die Längen der α einschließenden Seiten, so erhält man mehr als den halben Umfang
des Fünfecks.
Aufgabe 4
Der Punkt C liegt auf dem Halbkreis über der Strecke
AB. Der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats über AC
heißt S.
C
S
Auf welcher Bahn bewegt sich S, wenn C auf dem
Halbkreis wandert?
A
B
Aufgabe 5
Die Zahl 1996 liegt zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen, nämlich 1936 und 2025. Sie
unterscheidet sich von der einen um 60 und von der anderen um 29. Der Term 1996 − 60 ⋅ 29 ergibt eine
Quadratzahl.
Für welche anderen natürlichen Zahlen ergibt der entsprechend gebildete Term ebenfalls eine Quadratzahl?
Aufgabe 6
Die Städte A, B, C und D sind Ecken eines Quadrats mit 100 km Seitenlänge. An einem Turnier nehmen
drei Mannschaften aus A und je eine aus B, C und D teil.
An welchem Punkt auf dem Rand oder innerhalb des Quadrats muss das Turnier stattfinden, wenn die
Fahrtkosten je Mannschaft und Kilometer 2 DM betragen und die gesamten Fahrtkosten möglichst klein
sein sollen?
Aufgaben 1987 – 1996
Seite 19 von 20
Landeswettbewerb Mathematik – Baden-Württemberg
1996
Runde 2
Aufgabe 1
Zeige: Wenn die Summe von 1996 Quadratzahlen durch 8 teilbar ist, dann sind mindestens vier dieser
Quadratzahlen gerade.
Aufgabe 2
Zwei Kreise k1 und k2, deren Mittelpunkte den Abstand 5 cm haben, schneiden sich in A und B. Eine Gerade g schneidet den Kreis k1 außer in A noch in X und den Kreis k2 außer in A noch in Y.
Wie lang kann die Strecke XY höchstens sein?
Aufgabe 3
Die beiden Kreise mit den Mittelpunkten M1 und M2 haben den Radius
r. Sie berühren sich gegenseitig und jeweils zwei Seiten des Quadrats
ABCD. Die Geraden (AE) und (BE) sind Kreistangenten.
D
C
M1
Ist der Radius des Inkreises von Dreieck ABE kleiner, gleich oder größer als r? Die Antwort ist zu begründen.
M
2
E
A
B
Aufgabe 4
Das abgebildete Rechteck ist aus sieben Teilen zusammengesetzt: Dreiecke,
Rauten, Drachen, Quadrat. Alle auftretenden Winkel betragen 45° oder ein
Vielfaches davon.
Weise nach, dass man diese sieben Teile nicht zu einem Quadrat zusammensetzten kann.
Aufgaben 1987 – 1996
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