Auswahl aus Klausuraufgaben zu ”Komplexe Zahlen”

Auswahl aus Klausuraufgaben zu ”Komplexe Zahlen”
1.
A = {(x, y) : (x + 1)2 + y 2 ≥ 5}
√
alles außerhalb der Kreisscheibe um −1 mit Radius 5 und die Kreislinie. (Idee:
Quadratische Ergänzung)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
z·z+z+z ≥4
⇔ x2 + y 2 + 2x ≥ 4
⇔ x2 + 2x + 1 − 1 + y 2 ≥ 4
⇔ (x + 1)2 + y 2 ≥ 5
B = {(x, y) : y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 16}
Inneres der Halbkreisscheibe um 0 mit Radius 4 und der Halbkreisrand
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
C={
q
3
0
1
√
5π
9 12ei 9 ,
2
3
4
q
q
√
√
11π
17π
3
3
9 12ei 9 , 9 12ei 9 }
10
5
0
-5
-10
-10
-5
0
5
10
Komplexe Einheitswurzeln!
√
√
√
5π
w = 243 − 27i = 9( 3 − 3i) = 9 12ei 3
Damit sind die Lösungen
q
√
5π
3
z0 = 9 12ei 9
q
√
11π
3
z1 = 9 12ei 9
q
√
17π
3
z2 = 9 12ei 9
2
D = {(x, y) : (x + 3)2 + y 2 ≥ 1}
Alles außerhalb des Kreises um −3 mit Radius 1 und die Kreislinie.
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
|z + 3| + |z + 3| ≥ 2
⇔ |z + 3| + |z + 3| ≥ 2
⇔ |z + 3| ≥ 1
2. Bestimmen Sie Betrag und Argument der komplexen Zahlen
√
√
( 2 + 6i)8
z1 =
1+i
z
z2 = , z ∈ C \ {0}.
z
Idee: Exponentialdarstellung von
w1 =
[|w1 | =
√
√
2+
√
√ π
6i = 2 2ei 3 ,
√
√
2 + 6 = 2 2, arg(w1 ) = arctan √62 ]
und
w2 = 1 + i =
√
π
2ei 4 .
Damit
√
√
√
8π
¡
¢
(2 2)8 ei 3
212 8π π
( 2 + 6i)8
= √ iπ
= √ ei 3 − 4
z1 =
1+i
2
2e 4
√ i 5π
= 2048 2e 12 .
3
Damit ist
√
5π
|z1 | = 2048 2, arg(z1 ) =
.
12
Für z 6= 0 ist
¡
¢2
|z|ei arg(z)
z
z2
= ei2 arg(z) .
= 2 =
2
z
|z|
|z|
Damit gilt
|z2 | = 1, arg(z2 ) = 2 arg(z).
3. Man bestimme Real- und Imaginärteil von
³ 1 + i ´n ³ 1 − i ´n
+ √
zn = √
2
2
für n = 1, 2, 4, 9.
Idee:
³ 1 + i ´n ³ 1 − i ´n ³ 1 + i ´n µ 1 + i ¶n
zn = √
+ √
= √
+ √
2
2
2
2
³ π´
π
π
= ein 4 + e−in 4 = 2 cos n .
4
Damit folgt:
Im zn = 0, n = 1, 2, 4, 9
√
√
Re z1 = 2, Re z2 = 0, Re z4 = −1, Re z9 = 2.
4. Überprüfen Sie, ob z0 = 1 −
Gleichung
√
3i und z1 = −1 −
√
3i komplexe Lösungen der
z 12 = 4096
sind.
Idee: Exponentialdarstellung und Einsetzen.
(z0 liegt im 4. Quadranten)
|z0 | =
√
1 + 3 = 2, arg(z0 ) = 2π − arctan
√
3=
11
π
3
und (z1 liegt im 3. Quadranten)
|z1 | =
√
√
4
1 + 3 = 2, arg(z0 ) = π + arctan 3 = π.
3
4
Damit gilt
z012 = 212 ei
12·11
π
3
z112 = 212 ei
12·4
π
3
= 4096ei44π = 4096.
= 4096ei16π = 4096.
Damit sind z0 und z1 Lösungen der Gleichung z 12 = 4096.
5. Die komplexen Zahlen
z1 (t) = 50ei(t+ 4 )
π
z2 (t) = 100ei(t+ 2 )
π
mit t ≥ 0 beschreiben die komplexen Teilspannungen einer Reihenschaltung zur
Zeit t.
100
z1
z2
50
0
-50
-100
-100
a)
-50
0
50
100
100
Im y1
Im y2
50
0
-50
b)
-100
0
1
2
3
4
5
5
6
c)
Im z1 (π/4) + z2 (π/4) = Im z1 (π/4) + Im z2 (π/4)
√
= 50 sin(π/2) + 100 sin(3π/4) = 50 + 50 2.
6