Lösungsvorschläge zu Blatt 3 zur “Statistik I für Wirtschaftswissen

Lösungsvorschläge zu Blatt 3 zur “Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler” vom WS 08/09:
16)
Rangliste der Jahresumsätze (in Mio. Euro):
0.5 1.2 3.6 4.5 5.4 5.6 5.6 8.1 9.5 9.8
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
a) Abszissen der Eckpunkte der Lorenzkurve
uk :=
k
, k = 0, 1, . . . , 10
10
Ordinaten der Eckpunkte
k
X
vk :=
xi
i=1
10
X
k
X
=
xi
i=1
53.8
, k = 1, . . . , 10, v0 := 0
xj
j=1
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
vk
0
0.01
0.03
0.10
0.18
0.28
0.39
0.49
0.64
0.82
1.00
Rechenbeispiele:
0.5
= 0.01
53.8
0.5 + 1.2
1.7
v2 =
=
= 0.03
53.8
53.8
0.5 + 1.2 + 3.6
1.7 + 3.6
v3 =
=
= 0.10
53.8
53.8
0.5 + 1.2 + 3.6 + 4.5 + 5.4 + 5.6 + 5.6 + 8.1 + 9.5
= 0.82
v9 =
53.8
v1 =
1
v (Anteil am Gesamtumsatz)
6
1.00
Lorenz-Kurve
0.82
v=u
0.64
0.49
0.39
0.28
0.18
0.10
0.03
0.01
0.1
b)
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
- u
(Anteil
an der Gesamtzahl)
1
Gini-Koeffizient:
1+2
G = 1−
n−1
X
vi
i=1
(n = 10)
n
1 + 2 · (0.01 + 0.03 + 0.10 + . . . + 0.82)
= 1−
10
= 0.312
Normierter Gini-Koeffizient:
G∗ :=
n
10
G=
· 0.312 = 0.347
n−1
9
2
17)
Jahr
2001
2002
2003
2004
2005
Umsatz
in Euro
5000
7000
15000
14000
15000
Differenz Wachstumsz. Vorjahr
rate in %
×
×
+2000
40.0
+8000
114.3
−1000
−6.7
+1000
7.1
∅ := Durchschnittswert =
Ausrechnungbeispiele:
Wachstumsrate für 2003:
Messzahl in %
2001=100 2005=100 ∅ = 100
100.0
33.3
44.6
140.0
46.7
62.5
300.0
100.0
133.9
280.0
93.3
125.0
300.0
100.0
133.9
5000 + 7000 + 15000 + 14000 + 15000
= 11200
5
8000
· 100 = 114.3
7000
Messzahlen für 2004:
14000
· 100 = 280.0
5000
14000
· 100 = 93.3
15000
14000
· 100 = 125.0
11200
18) Vergleich der Lohnstruktur eines Tochterunternehmens mit der Lohnstruktur
des Mutterunternehmens
Mutterunternehmen
Anzahl
Anteile
Berufsder
(in %)
StunLohneman Gegruppe
denlohn
samtpfänger
zahl
k
qM, k
pM, k
gM, k · 100 pM, k · gM, k
1
400
12.20
2.4
2
600
15.30
4.5
3
900
18.45
8.1
4
100
22.5
1.1
Summe 2000
×
100
16.1
a)
Tochterunternehmen
Anzahl
Anteile
der
(in %)
StunLohneman Gedenlohn
samtpfänger
zahl
qT, k
pT, k
gT, k · 100 pT, k · gT, k
100
8.20
1.6
200
10.40
4.0
150
15.30
4.5
50
16.10
1.6
500
×
100
11.7
Ausrechnungsbeispiele:
600
gM, 2
· 100 = 30
=
gM, 2 · 100 = P4
2000
k=1 gM, k
3
200
gT, 2
· 100 = 40
=
g T, 2 · 100 = P4
500
k=1 gT, k
b) Durchschnittslohn:
für M :
4
X
pM, k · gM, k = 2.4 + 4.5 + 8.1 + 1.1 = 16.1
k=1
für T :
4
X
pT, k · gT, k = 1.6 + 4.0 + 4.5 + 1.6 = 11.7
k=1
c) Standardisierter Durchschnittslöhne (zur besseren Beurteilung, wie sich M
und T hinsichtlich der Lohnstruktur unterscheiden)
i) Basis: Beschäftigtenstruktur von M :
Standardisierter Durchschnittslohn
für M :
4
X
pM, k · gM, k = 16.1
k=1
für T :
4
X
pT, k · gM, k = 8 · 0.20 + 10 · 0.30 + 15 · 0.45 + 16 · 0.05 = 12.2
k=1
= Durchschnittslohn, wenn T die gleiche Verteilung der Lohnempfänger auf die
Berufsgruppen wie M hätte.
ii) Basis: Beschäftigtenstruktur von T :
Standardisierter Durchschnittslohn
für M :
4
X
pM, k · gT, k = 12 · 0.20 + 15 · 0.40 + 18 · 0.30 + 22 · 0.10 = 16.0
k=1
= Durchschnittslohn, wenn M die gleiche Verteilung der Lohnempfänger auf die
Berufsgruppen wie T hätte.
für T :
4
X
pT, k · gT, k = 11.7
k=1
19)
Artikel
k
A
B
C
D
1
2
3
4
Preis je
p0, k
6.4.2.3.-
2002 (j = 0)
kg Menge (in 1000 kg)
q0, k
20
25
50
70
4
Preis je
p1, k
10.6.3.5.-
2003 (j = 1)
kg Menge (in1000 kg)
q1, k
30
20
40
80
a) Wertindex:
Gesamtumsatz für 2003 in Euro
· 100
Gesamtumsatz für 2002 in Euro
(10 · 30 + 6 · 20 + 3 · 40 + 5 · 80) · 1000
=
· 100
(6 · 20 + 4 · 25 + 2 · 50 + 3 · 70) · 1000
940
· 100 = 177.4.
=
530
W0,1 =
b) Preisindizes:
L P0,1
P P0,1
10 · 20 + 6 · 25 + 3 · 50 + 5 · 70
· 100 =
6 · 20 + 4 · 25 + 2 · 50 + 3 · 70
10 · 30 + 6 · 20 + 3 · 40 + 5 · 80
=
· 100 =
6 · 30 + 4 · 20 + 2 · 40 + 3 · 80
=
850
· 100 = 160.4,
530
940
· 100 = 162.1.
580
Mengenindizes:
L Q0,1
P Q0,1
6 · 30 + 4 · 20 + 2 · 40 + 3 · 80
580
· 100 =
· 100 = 109.4,
6 · 20 + 4 · 25 + 2 · 50 + 3 · 70
530
10 · 30 + 6 · 20 + 3 · 40 + 5 · 80
940
=
· 100 =
· 100 = 110.6.
10 · 20 + 6 · 25 + 3 · 50 + 5 · 70
850
=
c)
W0,1
100
L P0,1 L Q0,1
·
100
100
L P0,1 P Q0,1
·
100
100
P P0,1 P Q0,1
·
100
100
P
P 0,1 L Q0,1
·
100
100
= 1.774,
W0,1
,
100
W0,1
= 1.774 =
, exakt gültig,
100
W0,1
= 1.793 ≈
,
100
940 580
W0,1
= 1.774 =
·
=
, exakt gültig.
580 530
100
= 1.755 ≈
20)
a) Aus
p1,k
= const =: r folgt:
p0,k
=r·p0,k
L P0,1
P z}|{
P
p
q
r
p0,k q0,k
1,k
0,k
k
= P
· 100 = P k
· 100 = r · 100.
k p0,k q0,k
k p0,k q0,k
P P0,1
P
P z}|{
r k p0,k q1,k
p1,k q1,k
k
= P
· 100 = P
· 100 = r · 100.
k p0,k q1,k
k p0,k q1,k
und
=r·p0,k
5
b) Für die Mengenindizes folgt aus
q1,k
= const =: r:
q0,k
L Q0,1
P
r k p0,k q0,k
= P
· 100 = r · 100.
k p0,k q0,k
P Q0,1
P
r k p1,k q0,k
= P
· 100 = r · 100.
k p1,k q0,k
und
21)
Artikel
k
1
2
2001 (j = 0)
Stückpreis Stück(Euro)
zahl
p0,k
q0,k
100.300
300.80
2002 (j = 1)
Stückpreis Stück(Euro)
zahl
p1,k
q1,k
125.160
300.80
2003 (j = 2)
Stückpreis Stück(Euro)
zahl
p2,k
q2,k
100.300
300.80
a)
P P0,1
P P0,2
P P1,2
125 · 160 + 300 · 80
· 100 = 110.0,
100 · 160 + 300 · 80
= 100.0, da für j = 2 die gleichen Daten wie für j = 0 vorliegen
100 · 300 + 300 · 80
· 100 = 87.8,
=
125 · 300 + 300 · 80
=
Wie bei Aufgabe 19 erhalten wir die Wertindizes als Quotienten aus den
Gesamtumsätzen multipliziert mit 100:
W0,1 = 81.5, W0,2 = 100.0 und insbesondere
W1,2 =
100 · 300 + 300 · 80
Gesamtumsatz für 2003 in Euro
·100 =
·100 = 122.7.
Gesamtumsatz für 2002 in Euro
125 · 160 + 300 · 80
b) Rundprobe:
W0,1 W1,2
W0,2
·
= 0.815 · 1.227 = 1.000 =
, exakt gültig,
100 100
100
P P0,1
100
·
P P1,2
100
= 1.100 · 0.878 = 0.966 ≈ 1.000 =
P P0,2
100
.
22)
Produkt
k
1
2
3
Umsatz in Euro
2001 (j = 0) 2003 (j = 2)
1400
1750
1250
1500
3750
3200
6
Preissteigerung
von 2001 bis 2003 in %
10
15
5
Die Mengen und Preise sind unbekannt. Bekannt sind u.a. die Produkte
p0,1 · q0,1 = 1400,
p0,2 · q0,2 = 1250,
p0,3 · q0,3 = 3750,
p2,1 = p0,1 + p0,1 ·
analog:
p2,1 · q2,1 = 1750,
p2,2 · q2,2 = 1500,
p2,3 · q2,3 = 3200.
10
p2,1
= 1.10,
= p0,1 · 1.10 =⇒
100
p0,1
p2,2
= 1.15,
p0,2
p2,3
= 1.05.
p0,3
Wertindex und Preisindizes:
1750 + 1500 + 3200
· 100 = 100.8
1400 + 1250 + 3750 P
p2,k
P
p2,k · q0,k
k p0,k · p0,k · q0,k
k
=P
· 100 = P
· 100
k p0,k · q0,k
k p0,k · q0,k
1.10 · 1400 + 1.15 · 1250 + 1.05 · 3750
=
· 100 = 108.0
1400 + 1250 + 3750
P
P
p2,k · q2,k
k p2,k · q0,k
· 100 = P p0,k
· 100
= Pk
k p0,k · q2,k
k p2,k · p2,k · q2,k
W0,2 =
L P0,2
P P0,2
=
1750 + 1500 + 3200
· 100 = 108.5
1750
+ 1500
+ 3200
1.10
1.15
1.05
Die Mengenindizes sind über analoge Rechnung zu bestimmen oder über die
Faktorumkehrprobe:
L Q0,2
100
·
P P0,2
100
=⇒
=
W0,2
100
L Q0,2
=
W0,2
100.8
· 100 =
· 100 = 92.9,
108.5
P P0,2
P Q0,2
=
100.8
W0,2
· 100 =
· 100 = 93.3.
108.0
L P0,2
analog:
23)
Vorgegeben sind die Daten aus 22) ohne die Umsätze von 2001.
Diese Umsätze werden in 22) bei
P P0,2
= 108.5
7
offensichtlich nicht gebraucht.
Behauptung: Die übrigen Indizes lassen sich nicht mehr bestimmen.
Vorsicht! Dass die Formeln aus 22) nicht direkt verwendbar sind, ist kein Beweis.
Es könnte eine noch unbekannte Berechnungsmöglichkeit geben.
Beweis der Behauptung mit einem Gegenbeispiel:
k
1
2
3
p0,k
1.–
1.–
1.–
|
2001
q0,k
1000
1000
1000
{z
p2,k
1.10
1.15
1.05
} |
willkürlich gewählt
Bsp.: q2,1 =
2003
q2,k
1591.
1304.
3047.
{z
berechnet
}
1750
Umsatz für Ware 1, 2003
=
= 1591.
Preis für Ware 1, 2003
1.10
1750 + 1500 + 3200
· 100 = 215.0 6= 100.8
1000 + 1000 + 1000
1100 + 1150 + 1050
=
· 100 = 110.0 6= 108.0
3000
215.0
W0,2
· 100 =
· 100 = 198.2 6= 92.5,
=
108.5
P P0,2
215.0
W0,2
· 100 =
=
· 100 = 195.5 6= 93.3.
110.0
L P0,2
W0,2 =
L P0,2
L Q0,2
P Q0,2
Die Indizes, die man bei der neuen, mit den verbliebenen Daten aus 22) konsistenten Daten erhält unterscheiden sich also von denen in 22). Daraus folgt die
Behauptung.
8